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初中数学变式教学研究

发布时间：2026-10-31 23:01:46 最近访问：2026-10-31 23:01:46

初中数学变式教学研究

通过变式教学构建高质量数学中考复习课堂

——以《点、直线与圆的位置关系》教学设计为例

清远市清城区银湖初级中学侯蕴芳

摘要：在“双减”政策出台及《义务教育教学课程标准（2022年版）》的颁布下，更明确了对教师及课堂的要求。课堂是学习的主阵地，须在有限的时间让初中生在数学课堂中发展自我思维，提升解决问题能力和及其综合素养，因此需要教师从教学设计开始打造高质量课堂。文章以此为契机，确立研究主题：通过变式教学构建高质量数学中考复习课堂——以《点、直线与圆的位置关系》教学设计为例，通过变式教学来探究高质量课堂的构建。

关键词：数学中考；复习课堂；变式教学；高质量

构建高质量的课堂不仅是学校长期稳定发展的保障，更是契合“双减”政策，让教学回归课堂，回归学生，让学生主动参与并主动构建知识网络，让学生能在有限的课堂时间内，把知识挖深、记牢。随着《义务教育教学课程标准（2022年版）》（以下简称《新课标》）的推行，《新课标》明确规定了初中数学的教学目标、教学内容及学科综合素养。进一步对教师作出更高的要求，特别是九年级的毕业班教师，必须改变固有的教学模式，结合本校学生的学情，制定适合本校学生的教学设计，打造高质量的复习课堂，从而在中考备考中用有限的时间提高复习的效率。变式教学则能从本质上给学生呈现知识的内在联系，让学生自发地感悟知识与知识、例题与中考之间的联系，培育学生的逻辑思维能力、空间想象能力等数学素养。

一、打造高质量课堂的教学设计策略

（一）基于学情，确立可执行的教学目标

在教学设计中，本校学情是教学目标的设计基础，课堂教学质量是教学目标的落脚点，因此，教学目标须具备整体性、预设性、生成性及明确性。数学教学目标的有效设计和达成，是提高课堂教学质量和效率的一项重要措施。[1]

（二）立足教材，以变式教学构建知识网络

教材是学生学习的工具，但是教材的编排一般围绕某个内容主题形成教学单元，将若干知识点分布在若干课时，此时往往会过度关注局部知识和技能的获得，而忽视数学知识内在的本质联系，导致学生缺乏对学科知识结构的整体认识，容易造成学生知识学习的碎片化和浅表化。[2]变式是教学中使学生确切掌握概念的方法之一，及从不同方面、不同角度和不同情况来说明某一事物，从而概括出事物的一般属性。[3]因此，基于教材的知识点零散，教师在一轮复习中可以例题变式的形式，把零碎的知识串联起来，让学生从不同角度和方向去深度掌握知识点，并且在完成例题时主动构建知识点之间的知识网络，从而达到“见木知森”的效果。

（三）衔接中考，让学生找准中考落脚点

中考是九年级学生备战的最终目标，从历年中考真题及课本习题的对比可以发现，中考真题往往来源于课本例题的变式。因此，作为学生学习的引导者，教师应该立足于中考题来研究课本例题，通过一步步的变式训练，最终变化到中考真题，不仅让学生明确教材的重要性，更是让学生了解中考的变化形式，明白“万变不离其宗”的道理，做到备考心中有数。

二、教学设计案例

课堂是教学的主阵地，好的教学设计能使得学生在有限的课堂时间上获得更优质的知识，构建高质量课堂，接下来以中考复习课中《点、直线与圆的位置关系》教学设计为例，结合变式教学来设计教学方案。

（一）学情分析

本节课是一轮复习中，学生已经复习完圆的相关性质后，进一步复习点、直线和圆的位置关系，是对以前的知识进一步的深入学习，并把圆的相关知识进行网络化、系统化的一节课，也为后续研究圆与多边形、函数等综合性考题作铺垫，具有承上启下的作用，符合学生的认知水平。但根据平时练习反馈得知，部分学生还存在着依赖性，不愿意主动研究知识，缺乏良好的数学学习习惯，导致分层严重，甚至计算能力较差及动手操作能力较差，独立解决问题的能力也比较差。

（二）教学目标

学生经历从具体的题目中回忆点、线与圆的位置关系，并且能通过题意把题目信息具化，从而再进行对知识点的抽象和总结；
过题目来回顾圆的切线性质、判定及切线长定理，掌握和应用该知识点，并且以变式的方式能主动连接知识间的联系，并能通过题目间的解题方法来构建圆与其他知识的框架,体会类比思想、分类思想以及数形结合思想，培养学生观察、分析和概括的能力。
学生学会用变化的思维来观察点、直线和圆的位置关系，并且会用切线性质和判定来解决实际的数学问题。能从数学的视角去发现问题、分析问题，会用数学语言表达位置关系，锻炼动手能力。

（三）教学重难点

教学重点：理解点、线与圆的位置关系，并且掌握以此线与圆的位置关系引出圆的切线的性质、判定及其应用，能把知识点有机结合，形成知识网络。

教学难点：通过变式的训练找到知识点之间的内在联系内在联系，并总结形成解题思路。

（四）教学过程节选

例1.☉P的半径r＝5cm,点A到圆心P的距离为d.

（1）若d=3cm，则点A在☉P__________;

（2）若点A在☉P上，则d=__________;

（3）若点A在☉P外，则d的取值范围是_______.

问题解答：通过点与圆的位置与圆的半径和圆心到点的距离比较的关系得知：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dr时点在圆外，可知d>5cm，因此答案为d>5cm。

设计意图：本题是来源于北师大版数学九年级下册P68习题3.1第2题的简单变式，目的是让学生从简单的题目进行观察和思考，通过解答问题来总结点与圆的位置关系。本题中包含点与圆的三种位置关系，但是考查了学生正向和逆向思维，但中考比较少对本知识点进行单一考察，因此本例题只为检测学生掌握程度，同时让学生自主做到查漏补缺。

变式1.在平面直角坐标系中,☉P的圆心坐标为(4,－3),半径为5，则原点O在☉P_______.

问题解答：本题是无图题，需要构建平面直角坐标系（如图1），并且把相关的信息标注在坐标系上，题目考察是原点O在☉P的位置关系，因此需要连接OP，求出OP的线段长度，此时需要过点P作AP⊥x轴交x轴于点A，利用勾股定理求出OP的长，由勾股定理得：，因此可得OP等于☉P的半径等于5，因此原点在☉P上。

图1

设计意图：通过变式，把例1的背景换成平面直角坐标系中，探寻点与圆之间的位置关系，让学生在变化当中寻找知识的本质。此外，本题还考察学生对勾股定理的运用，学生能通过题目充分感悟到知识点之间的联系，把一个知识点扩展多维知识点，拓展学生解题思维。

变式2.（1）在平面直角坐标系中,☉P的圆心坐标为(4,－3),半径为5，则☉P与x轴的位置关系__________.

（2）思考：如何变化使得☉P与x轴相切？

问题解答：直线与圆的三种位置关系、数量关系及其交点个数中可知（设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r）：当d>r时，直线与圆相离，无交点；当d=r时，直线与圆相切，只有1个交点；当d时，直线与圆相交，由2个交点。问题（1）中，探求圆与x轴的位置关系需要过圆心P作x轴的垂线，根据平面直角坐标系点坐标与坐标轴间距离关系求出d的长度为4，小于半径5，得知直线与的位置关系是相交。问题（2）中，令☉P与x轴相切，则需要反过来思考此时d=r，则有两种方法可以实现，一是通过改变☉P半径，使r=4，二是移动圆心的位置使圆心到x轴的距离为5。

设计意图：问题（1）中，改变了变式1的问题，从探究点与圆的位置关系转变到探究直线与圆的位置关系，让学生主动把点与圆位置关系的知识和直线与圆的位置的知识主动链接，并从解题思路中得知均需要探究圆心与点或直线的距离，感知变动之中的不变性。学生思维的有序性、开放性和深刻性等都是数学教学必须着力关注的。[4]因此笔者在问题（2）中设置了开放性的题目，学生通过小组合作探究的形式来深入探讨直线与圆的位置关系，从而达到思维锻炼的效果。

例2.如图2,AB与☉O相切于点B,AO的延长线交☉O于点C、D,连接BC,（1）若∠A＝40°,则∠C＝________.

（2）若∠A＝∠C,AD=3,则OB=_____,AB＝______.

问题解答：条件给出AB与☉O相切，根据相切的性质首先要连接OB（如图3），因此得到OB⊥AB，所以∠OBA=90°，问题（1）中，因为∠A=40°，所以∠AOB=90°-40°=50°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得出∠C=25°。

（2）因为∠A＝∠C，且OC=OB，所以∠OBC=∠A＝∠C，所以∠AOB=2∠C=2∠A，因为∠A+∠AOB=90°，所以∠A=30°，∠AOB=60°，所以OA=2OB，又因为OB=OD，OA=OD+AD，所以OB+AD=2OB，解得OB=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得

设计意图：本题源于人教版数学九年级上册P98练习1的改编，目的是让学生理解并掌握“切线”的性质应用，再结合同弧所对圆心角和圆周角之间的数量关系综合解决本题。问题（2）是改变（1）的条件，结合角的倍数关系和勾股定理，综合考察学生解题的综合能力，并且引导学生发现，出现垂直及求线段往往会采用勾股定理来解答，促进学生学会总结模型，形成答题思维。

变式3.（2022甘肃省卷）如图4，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC.

图4

设计意图：本题是选自2022甘肃省卷，变式3的图是通过增加例2的条件演变而来的（如图5），从课本基础图形经过增加条件的简单变式即能“变成”中考题，以点题的方式切入，将高频考点串联起来，不仅能提高学生对知识的理解，更是锻炼学生在训练例题是抓住题目的关键信息，抓住核心考点，通过自身构建的知识网络搜索出解题工具，最终帮助学生形成变式思维与归纳总结的学习习惯。