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1．设函数 .已知 ， ，且 的最小值为 ，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．某城市一年中12个月的月平均气温 （单位 ）与月份 的关系可近
似地用三角函数 来表示，已知月平均气温最高值为28 ，最
低值为18 ，则 （ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．若函数 两零点间的最小距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．记函数 的最小正周期为T．若 ，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．5．生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河流中的生
物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物
种类数 没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
6．已知正数a，b，c满足 ，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若 ， ， ，满足 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数 满足： ，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， ，
，该棱锥的高为（ ）.A．1 B．2 C． D．
10．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形， ， ，
， ， ，则点P到平面ABCD的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
11．等边 的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，将 沿DE折起，使点A
到达点 的位置.若平面 平面BCED，则线段 的长为（ ）.
A． B． C． D．
12．已知三棱锥 的三条侧棱 、 、 两两互相垂直， 是 的垂心.若
， ，则 （ ）
A． B．2 C． D．13．已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
14．已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．若 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．设 ， ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．17．已知 是平面直角坐标系中的点集.设 是
中两点间距离的最大值， 是 表示的图形的面积，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
18．若 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．已知实数x，y满足线性约束条件 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数 为定义在R上的减函数，函数 的图像关于点 对称，
满足不等式 ，则当 时， 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．参考答案：
1．B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知： 为 的最小值点， 为 的最大值点，
则 ，即 ，
且 ，所以 .
故选：B.
2．A
【分析】根据正弦函数的最值列式可得结果.
【详解】依题意可得 ，解得 .
故选：A
3．A
【分析】先求出周期，即可求出 .
【详解】因为函数 两零点间的最小距离为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，解得： .
故选：A
4．C
【分析】由最小正周期 可得 ，再由 即可得
，即可求得 .
【详解】根据最小正周期 ，可得 ，解得 ；
又 ，即 是函数 的一条对称轴，所以 ，解得 .
又 ，当 时， .
故选：C
5．D
【分析】根据题意分析可得 ，消去 即可求解.
【详解】由题意得 ，则 ，即 ，所
以 .
故选：D.
6．D
【分析】利用指数和对数的运算规则和指数函数、对数函数与幂函数的性质，比较大小.
【详解】
，
,故A错误；
， ，故BC错误，D正确．
故选：D.
7．A
【详解】因为 ，则 ，故 ，故 ；又 ，故 .综
上， .
【题型】指数与对数互化
【难度】B
【核心素养】数学运算8．A
【分析】首先可得 ，再设 ，即可得到
，再结合指数函数的性质得到 ，同理得到 、 ，再根
据函数的单调性得到 ，即可判断.
【详解】因为 ，即 ，所以 ，
设 ，
，
设 是单调递增函数，所以 ，所以 ，即 ，
又 是单调递减函数，且 ，所以 ，
设
设 是单调递增函数，所以 ，所以 ，即
又 是单调递减函数，且 ， ，
所以 ，
同理，由 得 ，又 是单调递减函数，且 ， ，
所以 ，
由 ，
所以 且 是单调递减函数，所以 .
综上可得
故选：A
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是合理的构造函数，结合指数函数的性质判断.
9．D
【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面 平面 ，可知 平面
，利用等体积法求点到面的距离.
【详解】如图，底面 为正方形，
当相邻的棱长相等时，不妨设 ，
分别取 的中点 ，连接 ，
则 ，且 ， 平面 ，
可知 平面 ，且 平面 ，
所以平面 平面 ，
过 作 的垂线，垂足为 ，即 ，
由平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
由题意可得： ，则 ，即 ，则 ，可得 ，
所以四棱锥的高为 .
当相对的棱长相等时，不妨设 ， ，
因为 ，此时不能形成三角形 ，与题意不符，这样情况不存在.
故选：D.
10．B
【分析】根据题意由勾股定理可得 ，可证 平面PAB，即平面 平面
ABCD，根据面面垂直的性质作 平面ABCD，结合图形运算求解．
【详解】在 中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得 ．
因为PC＝2，BC＝1， ，
所以 ，即 ．
因为∠ABC＝90°，所以 ，
又 ，所以 平面PAB．
因为 平面ABCD，所以平面 平面ABCD．
在平面PAB内，过点P作 ，交BA的延长线于点E，如图所示，
因为平面 平面ABCD＝AB， ，
所以 平面ABCD．
因为在 中，PA＝1，∠PAE＝60°，
所以 ，所以点P到平面ABCD的距离为 ．
故选：B．
11．C【分析】由面面垂直可得线面垂直，利用勾股定理求解.
【详解】如图，易知 是边长为1的等边三角形，过 作DE的垂线，垂足为H，
由平面 平面BCED，交线为 ， ,
则 平面BCED，且H为线段DE的中点， ，
连接BH，则 ，取BC的中点F，则 ，且 ，
所以 ，
所以 .
故选：C
12．B
【分析】先证明两个线面垂直“ 平面 ”和“ 平面 ”，进而得到
，得到等式 ，并将其转化为关系式
，求解即可.
【详解】连接 ，并延长 交 于点 ，连接 ，
连接 ，
由于三条侧棱 、 、 两两互相垂直，易得 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
因为 是 的垂心，所以 ，
因为 ， ，且 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，且 平面 ，
所以 ，同理可得 ，因为 ， ，且 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
即 ，
所以 ，
由 平面 ，易得 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
13．B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即
可.
【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误；
对于选项D：例如 ，则 ，可得 ，即 ，故D错误；
对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误，
故选：B.
14．B
【分析】先求得 ，然后根据对数函数、基本不等式等知识确定正确答案.
【详解】依题意， ， ，
，
则 ，A选项错误.
，B选项正确.
，即 ，D选项错误.
，C选项错误.
故选：B
15．D
【分析】若 ，则易得 ，则可以根据指数的性质：
及 ，对四个答案逐一进行分析，易得答案.
【详解】由 ，得 ，
， ，AC正确；
又 ， ，
又 ，所以 ，B正确；， ，D错误.
故选：D
16．A
【分析】构造函数 ，分离常数法判断函数单调性，根据单调性即可判断选项
A、B；由 ， ，即可判断选项C；结合基本不等式即可判断选
项D.
【详解】构造函数 ，则 ，
因为函数 在R上为单调递增函数， 所以 在R上为单调递减函数，
所以 ，所以 ， ，故选项A正确，选项B错误；
因为 ， ，所以 ，故选项C错误；
因为 ，当且仅当 时取等号，由题意可知 ，故 ，故选
项D错误.
故选：A
17．C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域 ，结合图形
分析求解即可.
【详解】对任意给定 ，则 ，且 ，
可知 ，即 ，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域 ，
如图阴影部分所示，其中 ，
可知任意两点间距离最大值 ；
阴影部分面积 .
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，
做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有
明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图
形中的相关结论求解．
18．D
【分析】画出可行域后，利用 的几何意义计算即可得.
【详解】实数 满足 ，作出可行域如图：
由 可得 ，即 的几何意义为 的截距的 ，
则该直线截距取最大值时， 有最小值，
此时直线 过点 ，
联立 ，解得 ，即 ，
则 .
故选：D.
19．C
【分析】作出可行域，再把 看作为动点 与定点 的两点 的斜率,利用数形结合
思想可得到答案.
【详解】画出约束条件 表示的可行域如图，设可行域内点 ，
记点 ，把 看作为动点 与定点 的两点 的斜率，
由方程组 ，解得： ，即点 ，
同理解得点 ，
所以 ， ，由图结合正切函数的单调性可知： ，
故选：C．
20．D
【分析】根据函数 的图象关于点 对称，可知函数是奇函数，再利用在 上
的减函数，转化为具体的不等式，故可解.
【详解】
由已知函数 的图象关于点 对称，
把 向左移一个单位就得到 ，对称中心也向左移一个单位变成 ，
所以 有对称中心 ， 为定义在R上的奇函数，
由 ，得 ，
因为 是在 上的减函数，
，即 ，
又 ，
平面区域如图所示．
由图求得 ， ．令 ，则 与阴影区域有交点即可，
的几何意义为直线 与阴影部分有交点时的截距，所以 的最小值为过A点时，
此时截距最小，代入A点求得 ，
当直线截距最大时与圆相切， ，此时 或 (舍)，
则 的取值范围为 ．故选：D.
