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1．设 为两个平面， 为两条直线，且 .下述四个命题：
①若 ，则 或 ②若 ，则 或
③若 且 ，则 ④若 与 , 所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
2．下列说法正确的是（ ）
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b α，则a∥α
D．若直线 ，⊂b α且a∥b，则a∥α
⊂
3．设 ， 为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若
， ，则 ；②若 ， ， ， ，则 ；③若 ，
， ，则 ；④若 ， ， 与 相交且不垂直，则n与m不垂直，
其中所有假命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③④ C．①④ D．②③
4．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；③若 ， ， ，则 ；
④若 ， ， ， ， ，则 ．
其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
5．在 中,内角 所对的边分别为 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．已知 内角 的对边分别是 ，若 ，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．函数 在 上的最大值是 ．
10．函数 在区间 上的最大值是 ．
11．函数 的最大值为 ．
12．当 时， 取最小值，求 的值 .
13．已知圆台甲、乙的上底面半径均为 ,下底面半径均为 ，圆台的母线长分别为
, ，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
14．第19届亚洲运动会于2023年9月23日10月8日在我国杭州成功举办，中国国家队以
201金、111银、71铜的优异成绩位列奖牌榜榜首．此次亚运会的颁奖花束——“硕果累
累”，由花材和花器两部分组成，如图1．其中花器的造型灵感来自中国南宋时期官窑花
解，由国家级非物质文化遗产东阳木雕制作而成，可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体，如图2．已知大圆台的两底面半径和高分别为 ，小圆台的两底
面半径和高分别为 ，则该几何体的体积为 ．
15．已知圆台上、下底面半径分别为1和2，一条母线长为 ，则该圆台的体积为 ．
16．已知圆台的母线长为 ， ， 分别是上、下底面内一点（包括边界）．若点 与
点 之间的距离的最大值和最小值分别为5和3，则该圆台的体积为 ．
17．已知 且 ，则 ．
18．若 ，则 .
19．若 ， ，则 ．20．若 ，且 ，则实数 ．参考答案：
1．A
【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性
质即可判断③.
【详解】对①，当 ，因为 ， ，则 ，
当 ，因为 ， ，则 ，
当 既不在 也不在 内，因为 ， ，则 且 ，故①正确；
对②，若 ，则 与 不一定垂直，故②错误；
对③，过直线 分别作两平面与 分别相交于直线 和直线 ，
因为 ，过直线 的平面与平面 的交线为直线 ，则根据线面平行的性质定理知 ，
同理可得 ，则 ，因为 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ， ，则 ，又因为 ，则 ，故③正确；
对④，若 与 和 所成的角相等，如果 ，则 ，故④错误；
综上只有①③正确，
故选：A.
2．D
【详解】选项A中缺少l在平面α外这一条件；直线在平面α外包括直线与平面相交和与
平面平行两种情况，故选项B错；选项C中缺少a不在平面α内这一条件；选项D满足线
面平行的三个条件．
【考查意图】线面平行的判定．
3．C
【解析】①由线面关系判断；②由面面垂直的性质定理判断；③由线面垂直的判定定理判
断；④举例判断.
【详解】①若 ， ，则 或 ，故错误；
②由面面垂直的性质定理知：若 ， ， ， ，则 ，故正确；
③由线面垂直的判定定理知：若 ， ， ，则 ，又 ，则 ，故正确；
④如图： 平面 ， 平面 ，而 ，故错误；
故选：C
4．C
【分析】由线面平行的性质定理和线线垂直的性质，即可判断①；由线面的位置关系和线
面平行的判定定理，即可判断②；由线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理，即可判
断③；由面面平行的判定定理，即可判断④.
【详解】对于①，假设 ，因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，而 ，所以 ，①正确；
对于②，若 ，则 或 ，故②错误；
对于③，若 ， 则 ，又 ，
所以在平面 内一定存在一条直线 ，使 ，而 ，
所以 ，则 ，③正确；
对于④，因为 ，所以在平面 内一定存在一条直线 ，使 ，
又因为 ，所以 ，
同理可得在平面 内一定存在一条直线 ，使得 ，从而有 ，
又 ，则 与 也会相交，
所以由面面平行的判定定理， 可以判断出④是正确的.
故真命题有3个.
故选：C
5．C
【分析】利用正弦定理得 ，再利用余弦定理有 ，由正弦定理得到 的值，最后代入计算即可.
【详解】因为 ，则由正弦定理得 .
由余弦定理可得: ，
即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .
故选：C.
6．A
【分析】利用正弦定理得到关于 的关系式，再利用余弦定理表示出 ，从而得解.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，又 ，
所以 ，
又 ，则 .
故选：A.
7．B
【分析】先由正弦定理得到 ，把表示为 ，求出 .
【详解】因为 ，由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，得 ，由 可得 ，所以 ，得 .
又 ，所以由正弦定理得 ，则 ，
得 .
故选：B.
【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
8．C
【分析】先利用正弦定理化边为角，得出 ，再利用余弦定理求出角 即可
得解.
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，
又 ，则 ，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
9．2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】 ，当 时， ，
当 时，即 时， .
故答案为：2
10．
【分析】由辅助角公式及角的范围即可求解.
【详解】 ,当 时, ,当
时, 有最大值,且最大值为 .
故答案为:
11．13
【分析】利用辅助角公式化简,即可由正弦函数的性质求得最大值.
【详解】
，
令 ，
所以可得
所以由正弦函数的性质可知 的最大值为 .
故答案为:
12． ##
【分析】先利用辅助角公式对已知函数解析化简，再结合正弦函数的性质即可求解．【详解】由 ，
其中 ， ，
又当 时， 取最小值，
则 ，且 ，
所以
故答案为： ．
13．
【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直
接代入计算即可得解.
【详解】由题可得两个圆台的高分别为 ，
，
所以 .
故答案为： .
14．
【分析】根据圆台的体积公式求解即可.
【详解】根据圆台的体积公式 ，
可得 （ ），故答案为：
15． ##
【分析】根据上下底面半径和母线长求得圆台的高，然后再利用圆台的体积公式计算得到
答案.
【详解】由题意知作出圆台示意图，如图，所以可得圆台的高 ，
所以圆台的体积 ．
故答案为： .
16．
【分析】根据已知，分析 、 两点距离何时最小、最大，可以求出圆台的高和上下底半
径的关系，再根据圆台的体积公式求值.
【详解】显然当 垂直于底面时， ， 之间的距离最小，所以圆台的高为3．
设上、下底面半径分别为 ，记点 在下底面内的射影为 ，直线 交圆于点 ，
如图，当点 与 重合时， 之间的距离最大．
此时 ，且母线长为3，
所以
所以圆台体积 ．故答案为：
17．64
【分析】将 利用换底公式转化成 来表示即可求解.
【详解】由题 ，整理得 ，
或 ，又 ，
所以 ，故
故答案为：64.
18． ##
【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算可得.
【详解】解：因为 ，所以 ，即 ，即 ，
所以 ；
故答案为：
19．2
【分析】根据对数的换底公式以及对数的运算法则，即可求得答案.
【详解】由 可得 ，
由 可得 ，即 ，故 ，
故答案为：2
20．9
【分析】先指对互化可得 ，再结合换底公式以及对数的运算
性质求解.
【详解】因为 ，可知 ，
又因为 ，即 ，
由换底公式得 ，则 ，
即 ，解得 ．
故答案为：9．
