文档文本内容
1．在 的展开式中，常数项为 ．
2． 的展开式的常数项为 ．
3． 的展开式中各项系数之和为64，则 的展开式中常数项为 ．
4．在 的展开式中，常数项为 ．
5．圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合， 为两曲线的交点，
则原点到直线 的距离为 ．
6．在平面直角坐标系中，以抛物线 的焦点为圆心且与直线 相切的圆的面积
为 .7．已知P为抛物线 上一个动点，Q为圆 上一个动点，那么点P到点
Q的距离与点P到直线 的距离之和的最小值是 .
8．抛物线E： 与圆M： 交于A，B两点，圆心 ，点P为劣
弧 上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则 的周
长的取值范围是 .
9． 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到 的概率为 ；已知
乙选了 活动，他再选择 活动的概率为 ．
10．某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加学校的义务劳动.男
生甲或女生乙被选中的概率为 ；设“男生甲被选中”为事件 ，“女生乙被选
中”为事件 ，则 .
11．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认
识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率
则为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动
学习的概率 ．12．从一个装有 个白球， 个红球和 个蓝球的袋中随机抓取 个球，记事件 为“抓取
的球中至少有两个球同色”，事件 为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则
；在事件 发生的条件下，事件 发生的概率 ．
13．在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点，
，则 ； 为线段 上的动点， 为 中点，
则 的最小值为 ．
14．如图，在 中， ，过点 的直线分别交直线 于不同的两点 ，
记 ，用 表示 ；设 ，若 ，
则 的最小值为 ．15．在边长为2的菱形 中， ，E是 的中点，F是边 上的一点，
交 于H．若F是 的中点， ，则 ；若F在
边 上（不含端点）运动，则 的取值范围是 ．
16．已知平面四边形 ， ， ， ， ，则
；动点 ， 分别在线段 ， 上，且 ， ，则 的取值范围
为 .
17．若函数 恰有一个零点，则 的取值范围为 ．
18．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是 .19．已知函数 ，且关于x的方程 有4
个不同的实数解，则实数m的取值范围为 .
20．已知函数 ，若函数 恰有4个零点，则实数 的取值范围
是 ．参考答案：
1．20
【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.
【详解】因为 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，
所以常数项为 .
故答案为：20.
2．
【分析】根据二项展开式的通项处理即可.
【详解】 ，令 得 ，所以展开式的常数项是
．
故答案为： .
3．84
【分析】先把 代入得出 值，再利用二项式的通项公式即可得到答案.
【详解】令 ，得二项式 的展开式中各项系数和为 ，得 ．
二项式 即 ，其通项 ，
由 得 ，所以展开式中常数项为 ．
故答案为： .
4．-40
【分析】根据 ，按照二项式定理展开，可得在
的展开式中的常数项．【详解】解：∵ （x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15• 6•
）（x﹣2），
∴常数项是 20•（﹣2）＝﹣40，
故答案为﹣40．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，
属于基础题．
5． ##
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求 及 的方程，
从而可求原点到直线 的距离.
【详解】圆 的圆心为 ，故 即 ，
由 可得 ，故 或 （舍），
故 ，故直线 即 或 ，
故原点到直线 的距离为 ，
故答案为：
6．
【分析】根据条件，求出圆心 ，再利用点到直线的距离公式即可求出结果.
【详解】因为抛物线 的焦点为 ，所以圆心为 ，
又圆且与直线 相切，所以半径 ，
所以，圆的面积为 ，
故答案为： .7．4
【分析】根据抛物线方程求得焦点F坐标和准线方程，由圆的方程求得圆心坐标，半径 ，
然后根据抛物线的定义，将问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点F距离
之和的最小值，从而即可求解．
【详解】解：抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，圆 的圆心
为 ，半径为1，
根据抛物线的定义可知点P到准线 的距离等于点P到焦点 的距离， 从而可
得：当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到直线 距离之和的最小为
，
故答案：4.
8．
【分析】根据题意，联立方程组求出点 坐标，再结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】如图，可得圆心 也是抛物线的焦点，PN交抛物线的准线于H，
根据抛物线的定义，可得 ，故 的周长 ，
由 ，解得 ，
∵ ，且 ∴PH的取值范围为 ，∴ ，
∴ 的周长的取值范围为 .
故答案为： .9．
【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到 的概率；采用列举法或者条件概
率公式可求乙选了 活动，他再选择 活动的概率.
【详解】解法一：列举法
从五个活动中选三个的情况有：
,共10种情况，
其中甲选到 有6种可能性： ，
则甲选到 得概率为： ；
乙选 活动有6种可能性： ，
其中再选则 有3种可能性： ，
故乙选了 活动，他再选择 活动的概率为 .
解法二：
设甲、乙选到 为事件 ，乙选到 为事件 ，
则甲选到 的概率为 ；
乙选了 活动，他再选择 活动的概率为
故答案为： ；
10． ## ##
【分析】根据古典概型结合对立事件的概率即可求出第一空，利用条件概率公式即可求出
第二空.
【详解】男生甲和女生乙都没有选中的概率为 ，所以男生甲或女生乙被选中的概率为 ，
，
所以 .
故答案为： ； .
11．
【分析】应用组合数，超几何分布的概率求法求恰有一名女生参加、至少有一名女生参加
的概率，进而求至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率（条件概率）.
【详解】由题设，抽取2人，恰有一名女生参加，其概率 ，
至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率 ，
所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率 .
故答案为： ，
12． ##
【分析】根据题意，由古典概率公式求出 ，分析 事件的取法数目，由此可得
和 ，由条件概率公式计算可得 ，即可得答案．
【详解】根据题意，从一个装有 个白球， 个红球和 个蓝球的袋中随机抓取 个球，有
种取法，
事件 为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则事件 的取法有 种，则 ，
事件 的取法有 种，则 ，
，
故 ．
故答案为： ， ．
13．
【分析】解法一：以 为基底向量，根据向量的线性运算求 ，即可得 ，设
，求 ，结合数量积的运算律求 的最小值；解法二：建系标点，
根据向量的坐标运算求 ，即可得 ，设 ，求 ，结合数
量积的坐标运算求 的最小值.
【详解】解法一：因为 ，即 ，则 ，
可得 ，所以 ；
由题意可知： ，
因为 为线段 上的动点，设 ，
则 ，
又因为 为 中点，则 ，可得
，
又因为 ，可知：当 时， 取到最小值 ；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，所以 ；
因为点 在线段 上，设 ，
且 为 中点，则 ，
可得 ，
则 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值为 ；
故答案为： ； .14．
【分析】利用平面向量的线性运算、用基底表示向量，结合基本不等式即可求解.
【详解】由题知，
，
即 .
由 ， ，
所以 ，
因为 、 、 三点共线，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故答案为： ；
15．
【分析】（1）由 三点共线，可得 ，
而 ，据此可得 ，从而可求得 的值.
（2）由图可求得 ，根据向量积即可知 .【详解】（1）如图所示：
设 ，
由 三点共线，
可设
，
则有 ，解得： ，
，即 .
（2）如图所示：当点 与点 重合时，此时 最长，
易知 ，且相似比为 ，
，在 中，由余弦定理得：
，
所以 ，此时满足 ，所以 ，
所以 ，此时 ，由图可知， ，
则 .
故答案为： ； .
16． ##
【分析】根据向量基本定理和向量垂直的数量积为0计算得到 ，求出
，建立直角坐标系，写出点的坐标，表达出向量 的坐标，从而求出向
量数量积的关系式，求出取值范围.
【详解】 ， ，
所以
，
解得： ，
因为 ，
所以 ，
以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，
则 ，
因为 ， ，
所以设 ，由 得： ，
，解得： ，
所以 、
，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
当 或1时，取得最大值，最大值为
所以 的取值范围是
故答案为： ，
17．
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数 与
，则两函数图象有唯一交点，分 、 与 进行讨论，当时，计算函数定义域可得 或 ，计算可得 时，两函数在 轴左侧有
一交点，则只需找到当 时，在 轴右侧无交点的情况即可得；当 时，按同一
方式讨论即可得.
【详解】令 ，即 ，
由题可得 ，
当 时， ，有 ，则 ，不符合要求，舍去；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， 或 （正值舍去），
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，即 ，
故 时， 图象为双曲线 右支的 轴上方部分向右平移 所得，
由 的渐近线方程为 ，
即 部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递增，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
当 时，则 ，即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， （负值舍去）或 ，
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
同理可得： 时， 图象为双曲线 左支的 轴上方部分向左平移 所得，
部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递减，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
综上所述， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数 的零点问题转化为函数
与函数 的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
18． ．
【分析】令 ，则有 ，将问题转化为半圆 与直线
有两个交点，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】令 ，
则 ，所以 ，
又因为 ，即为 ，表示单位圆位于 轴上及上方部分；
而 ，表示过点 且斜率为 的直线，
所以将问题转化为半圆 与直线 有两个交点，当直线与半圆相切时； ，解得 ，
当直线过点 时，则有 ，解得 ，
综上， ．
故答案为： ．
19．
【分析】设 ，画出函数图象，分类讨论，将题意转化为二次函数根的分布问题即
可.
【详解】当 时， ，且 ，
作出函数图象如图所示：
设 ，则方程为 ，因为直线 最多与函数有3个交点，
则该一元二次方程有两不等实根，则 ，解得 或 ，
设其两根分别为 ，
①当 与函数图象有1个交点， 与函数图象有3个交点时，
则 ， ，设 ，因为 ，
则 ，即 ，解得 ；②当 与函数图象有2个交点， 与函数图象有2个交点时，
此时 为 ，则 ， ， ，无解，舍去；
综上所述 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题的关键是采用换元法，设 ，将原方程转化为一元二次方
程，结合函数图象得到二次函数根的分布情况，列出不等式，解出即可.
20．
【分析】根据给定条件，讨论当 时， ，当 且 时， ，确定函
数零点只可能在 且 的情况，再分析含绝对值符号的二次函数即可得解.
【详解】函数 的定义域为R，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
此时函数 无零点；
当 时， ，
当 时，若 ，则 ，于是 ，
若 ，函数 的图象对称轴 ，此函数在 上单调递增，
， ，即当 且 时， ，函数 无零点；
于是只有当 且 时，函数 才有零点，
当 ，即 时，
，
当 时，函数 ，当 时， ，
当 时，函数 取得最小值，而当 时，
，
显然当 ，即 时，函数 有两个零点，
要函数 恰有4个零点，必有 ，
当 时，函数 的图象对称轴
，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
显然 ，
而 ，因此函数 在 、 上各有一个零点，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的
零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键.
