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1．抛物线 的焦点坐标为 ．
2．已知抛物线 ，则抛物线 焦点坐标为 .
3．若抛物线 的焦点到直线 的距离为1，则实数 的值为 ．
4．已知抛物线 的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且AB的中点到x轴的
距离为6，则 的最大值为 ．
5．在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于原点对称.若
，则 的最大值为 ．
6．函数 在 上的值域为 .7．在平面直角坐标系 中，设角 的始边与 轴的非负半轴重合，角 终边与单位圆相
交于点 ，将角 终边顺时针旋转 后与角 终边重合，那么 ．
8．已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴非负半轴重合，点 是角 终
边上的一点，则 ．
9．若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的一个取值为 ．
10．已知直线 和双曲线 ，若l与C的右支交于不同的两点，则t的
取值范围是 ．
11．已知斜率存在的直线 与双曲线 相交且仅有一个交点，则直线 的方程可
以为 ．
12．已知双曲线 ，直线 ，若直线与双曲线的右支有两个交点，求
的取值范围 ．13．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、
斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，
底面直径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为
，升量器的高为 ．
14．如图，高度均为3的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水，此时水面高度均为
，若 ，记圆锥的底面半径为 ，圆柱的底面半径为 ，则 .
15．国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个
平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面
的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，将底面半径都为b，高都为
的半椭球（左侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为
底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面 上，用平行于平面 且与平面 任意距离
d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明 总成立．据此，图
中圆柱体（右侧图）的底面半径b为2，高a为3，则该半椭球体（左侧图）的体积为
．16．如图,一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块,容器内盛有a升水．若
将容器平放在地面上（如图1）,则水面正好过圆锥的顶点P;若将容器倒置（如图2）,水面
也恰好过点P．下列说法中,正确的是 ．（写出所有满足条件的说法序号）
①圆锥的高等于圆柱的高的一半;
②将容器的一条母线贴地,水面也恰过点P;
③将容器任意摆放,当水面静止时都过点P．
17．设 与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合 ，
给出下列4个结论：
①若 与 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 与 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 为等差数列， 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 为递增数列， 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .18．已知各项不为0的等差数列 满足 ，数列 是等比数列，且 ，
则 ．
19．已知数列 的各项均为整数， ， ，前12项依次成等差数列，从第11
项起依次成等比数列，则集合 中所有元素之和为 .
20．已知等差数列 的公差 不为零，等比数列 的公比 是小于1的正有理数．若
， ，且 是正整数，则 的值可以是 ．参考答案：
1．
【分析】形如 的抛物线的焦点坐标为 ，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为 ，所以其焦点坐标为 .
故答案为： .
2．
【分析】根据抛物线方程确定开口方向和 的值即可写出焦点坐标.
【详解】根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且 ，即 ，
焦点坐标为 .
故答案为： .
3．
【分析】先求得抛物线的焦点为 ，根据题意，列出方程 ，即可求解.
【详解】由抛物线 可化为 ，可得其焦点为 ，
因为抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，可得 ，
解得 或 （舍去），故实数 的值为 ．
故答案为： .
4．20
【分析】根据抛物线的定义，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可．
【详解】由题意知 ，抛物线C的准线方程为 ．
设AB的中点为M，分别过点A，B，M作准线的垂线，垂足分别为C，D，N．因为M到 轴的距离为6，所以 ．
由抛物线的定义知 ，
所以 ．
因为 ，当点F在线段AB上时等号成立，
所以 ，即 的最大值为20．
故答案为：20．
5． ##
【分析】首先得出 ，结合三角函数单调性即可求解最值.
【详解】由题意 ，从而 ，
因为 ，所以 的取值范围是 ， 的取值范围是 ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 .
故答案为： .
6．
【分析】根据题意，结合余弦函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由余弦函数的性质，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，所以，当 时， ，
又因为 ，所以函数 的值域为 .
故答案为： .
7． ##-0.6
【分析】先根据三角函数的定义算出 ，然后根据 的关系结合诱导公式计算 .
【详解】根据三角函数的定义， ，由题意， ，于是
.
故答案为：
8．
【分析】先利用三角函数的定义求得 和 ，再根据诱导公式化简求解即可.
【详解】因为角 的顶点在坐标原点，始边与 轴非负半轴重合，点 是
角 终边上的一点，
所以 ，
，
所以 ，
故答案为：
9． （或 ，答案不唯一）
【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立 ，化简并整理得： ，
由题意得 或 ，
解得 或无解，即 ，经检验，符合题意.
故答案为： （或 ，答案不唯一）.
10．
【分析】联立直线 与双曲线 的方程，利用判别式及韦达定理求解作答.
【详解】由 消去y得： ，由于l与C的右支交于不同的两
点，
则直线 与双曲线 的两个交点横坐标均为正，且不等，
于是 ，解得 ，
所以t的取值范围是 .
故答案为：11． （答案不唯一）
【分析】由直线与双曲线相交，且有且仅有1个交点可得直线与渐近线平行，得解.
【详解】因为斜率存在的直线 与双曲线 相交且仅有一个交点，双曲线 的渐
近线方程为 ，
故不妨设直线 的方程为 ，易知当 时， 满足题意．
故答案为： （答案不唯一）.
12． 或
【分析】联立双曲线和直线方程，然后列不等式求解即可.
【详解】解：依题意，联立方程 ，消去 ，得 ，
设直线与双曲线的右支的两个交点为 ， ，
则 ，解得 或 ，
所以 或 .故答案为： 或 .
13． 23 57.5##
【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个
圆柱的高度.
【详解】设升量器的高为 ，斗量器的高为 （单位都是 ），则
，
故 ， .
故答案为： .
14． ##
【分析】利用圆锥的轴截面求出圆锥内水的体积的表达式，再求出圆柱内水的体积表达式，
二者相等，化简即可得答案.
【详解】如图，作出圆锥的轴截面 ，设 为水面，O为圆锥底面中心， 为水面中
心，则 ，则 ∽ ，故 ，
故圆锥内水的体积为 ，
圆柱内水的体积为 ，
由 ，得 ，故 ，
故答案为：
15．
【分析】利用圆柱、圆锥的体积公式，即可得出结论．
【详解】根据题意，因为 总成立，
所以半椭球体的体积为 ，
由题意知： ， ，
所以半椭球体的体积为： ．
故答案为： ．
16．②
【分析】先利用倒置后水的体积不变,建立三棱锥的高和圆柱高之间的关系,即可得①的正误,
求出圆柱内部体积,和水的体积比较可知②的正误,由于该容器上下不对称,所以过点P的平
面不可能总平分圆柱内部空间,可得③的正误.
【详解】解:记圆柱底面积为 ,
记圆锥的高为 ,圆锥顶点到圆柱上底面的距离为 ,
设圆柱的高为 ,则 ,
由题知, ,
且 ,
所以 ,即 ,
故 ,
故①错误;
圆柱内部空间体积为 ,
而水的体积为 ,
故水的体积正好是圆柱内部空间体积的一半,
因此将圆柱母线贴地,水面过点P,
故②正确;
因为过点P的平面不可能总平分圆柱内部空间,
故③错误.
故答案为: ②
17．①③④
【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结
合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.
【详解】对于①，因为 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故 中至多一个元素，故①正确.
对于②，取 则 均为等比数列，
但当 为偶数时，有 ，此时 中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设 ， ，
若 中至少四个元素，则关于 的方程 至少有4个不同的正数解，
若 ，则由 和 的散点图可得关于 的方程 至多有两个
不同的解，矛盾；若 ，考虑关于 的方程 奇数解的个数和偶数解的个数，
当 有偶数解，此方程即为 ，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时 ，
否则 ，因 单调性相反，
方程 至多一个偶数解，
当 有奇数解，此方程即为 ，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时 即
否则 ，因 单调性相反，
方程 至多一个奇数解，
因为 ， 不可能同时成立，
故 不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.
对于④，因为 为递增数列， 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征
来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
18．8
【分析】首先根据题意得到 ，在利用等比数列的性质求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，则 ..
故答案为：8
19．1023
【分析】根据题意分别求出前11项公差 ，11项后的公比为 ，然后可求得
，从而可求解.
【详解】设由前12项构成的等差数列的公差为 ，从第11项起构成的等比数列的公比为 ，
由 ，解得 或 ，又数列 的各项均为整数，故 ，
所以 ，所以 ，
故
，所以 ，
故集合 中所有元素之和为
.
故答案为： .
20． ##0.5
【分析】首先由等差数列，等比数列得出 ，而要使 为正整数，则要想办法消掉14，即可想到 ，这样问题就由 为正整数转化为 为
正整数，即可得出满足范围的 的取值，而 又是有理数，则通过解关于 的一元二次方程，
去找出满足题意的 的取值，即可得到 的取值.
【详解】由题意知： 是首项为 ，公差为 ，且 的等差数列，
是首项为 ，公比为 ，且 的等比数列，
∴ ，
要使 为正整数，即 为正整数，
∵ ， ，∴ ，
设 ， ，即 ，即 ，
又∵ ，∴ 为正整数，
则满足范围的 的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又 ，
即 ，
又由题意知： ，且为有理数，
∴ ，∴只有当 时，满足题意，
此时： .
故答案为： .
