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1．设函数 ， ，当 时，曲线 与
恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．关于函数 ， 的图象与直线 （ 为常数）的交点情况，下
列说法正确的是（ ）
A．当 或 ，有0个交点 B．当 或 ，有1个交点
C．当 ，有2个交点 D．当有2个交点时，设2个交点的横坐标分
别为 ， ，则
3．若函数 有且仅有一个零点，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
4．若函数 的图象与 的图象至少有12个交点，则 的取值范围是( )A． B． C． D．
5．已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面ABC所成角
的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
6．一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为 ，容积为 （厚度忽略不
计），则该油槽的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC相交于一点P，已知
，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
8．在直四棱柱 中，底面 为直角梯形，
，点M在该四棱柱表面上运动，且满足
平面 平面 ．当线段 的长度取到最大值时，直线 与底面 所成
角的正弦值是（ ）A． B． C． D．
9．设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
10．若 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．若实数 满足关系式 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ， ，若 ，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．13．对于函数 和 ，下列说法中正确的有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴
14．对于函数 ，下列选项中正确的有（ ）
A． 在 上单调递减
B． 的图象关于原点对称
C． 的最小正周期为
D． 的最大值为2
15．关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 在 上最大值为 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 上单调递增 D．函数 的最小正周期为
16．先将函数 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，纵坐标不变，再把图象向右平移 个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数 的图象，
则关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为 B．在 上单调递增
C． 时 D．其图象关于点 对称
17．抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作 的一条切
线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
18．设 为抛物线 的焦点，直线 与 的准线 ，交于点
．已知 与 相切，切点为 ，直线 与 的一个交点为 ，则（ ）
A．点 在 上 B．
C．以 为直径的圆与 相离 D．直线 与 相切
19．过抛物线 上一点 作两条直线 ， ， 与E的另一个交点为A，
与E的另一个交点为B，抛物线的焦点为F，则（ ）A．E的准线方程为 B．过点M与E相切的直线方程为
C．以 为直径的圆与y轴相切 D．若 ，则
20．直线 经过抛物线 的焦点，且与抛物线 相交于 两点，
下列说法正确的是（ ）
A． ，
B．直线 的斜率为1时，
C． 的最小值为6
D．以 为直径的圆与 的准线相切参考答案：
1．D
【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有
一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；
解法二：令 ，可知 为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即可得 ，并代入检验即可.
【详解】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为 ，
则 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
2．B
【分析】由“五点法”作出 的图像，根据数形结合可逐一判断各选项.
【详解】因为函数 ， ，
所以 ， ， ， ，
且易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
据此可作出 在 上的大致图象如图所示．
对于选项A：由图可知当 时有1个交点，故A错误；
对于选项B：由图可知当 或 时有1个交点，故B正确；
对于选项C：由图可知当 时，有且只有1个交点，故C错误；
对于选项D：由图可知有2个交点时 ，故D错误．
故选：B．3．D
【解析】推导出函数 的图象关于直线 对称，由题意得出 ，进而可
求得实数 的值，并对 的值进行检验，即可得出结果.
【详解】 ，
则 ，
，
，所以，函数 的图象关于直线 对称.
若函数 的零点不为 ，则该函数的零点必成对出现，不合题意.
所以， ，即 ，解得 或 .
①当 时，令 ，得 ，作出函
数 与函数 的图象如下图所示：此时，函数 与函数 的图象有三个交点，不合乎题意；
②当 时， ， ，当且仅当 时，
等号成立，则函数 有且只有一个零点.
综上所述， .
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键
就是推导出 ，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的
能力，属于中等题.
4．D
【分析】根据两个函数都是偶函数，分别画出两个函数当 时的图象，由图象确定不等
式，即可求得 的取值范围.
【详解】 与 都是偶函数，所以只需 时，有至少 个交点，
即可画出 时，函数 的图象与 的图象，如图，由图可知，,得 ，即 的取值范围是 .
故选:D.
【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)
分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形
结合求解．
5．B
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高 ，做辅助线，结合正三棱
台的结构特征求得 ，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台
补成正三棱锥 ， 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角，
根据比例关系可得 ，进而可求正三棱锥 的高，即可得结果.
【详解】解法一：分别取 的中点 ，则 ，
可知 ，
设正三棱台 的为 ，
则 ，解得 ，
如图，分别过 作底面垂线，垂足为 ，设 ，则 ， ，
可得 ，
结合等腰梯形 可得 ,
即 ，解得 ，
所以 与平面ABC所成角的正切值为 ；
解法二：将正三棱台 补成正三棱锥 ，
则 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角，
因为 ，则 ，
可知 ，则 ，
设正三棱锥 的高为 ，则 ，解得 ，取底面ABC的中心为 ，则 底面ABC，且 ，
所以 与平面ABC所成角的正切值 .
故选：B.
6．D
【分析】利用棱台的体积公式求出正四棱台的高，进而得正四棱台的侧棱与底面所成角的
正切值．
【详解】设正四棱台形油槽的高为 ，
依题意，得 ，解得 ．
设该正四棱台的侧棱与底面所成角为 ，
所以 ，
故选：D
7．A
【分析】如图，作 ，作A点在平面PBC射影为O，连接OE，OF，设
，由题目条件可得 ，即可得答案.
【详解】如图，作 ，作A点在平面PBC射影为O，连接OE，OF，设
.
因 ，则 .
因 平面PFOE， 平面PFOE，则 ，且 为PA与平面PBC所成角，
又 ， ， 平面AOE， 平面
AOF，
则 平面AOE， 平面AOF.
又 平面AOE， 平面AOF，则 .
又 ， ， ，则 ，
故 ，结合 ，得 .
又 ，则 ，故PA与平面PBC所成角的正弦值等于
.
故选：A
8．B
【分析】根据直四棱柱的几何关系，利用面面垂直的判定定理找出点M在四棱柱表面上的
运动轨迹，再根据线段 的长度取到最大值时确定具体位置，根据几何法做出直线
与底面 所成的角，即可求得其正弦值.
【详解】根据几何体特征，四棱柱 是直四棱柱，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
要满足平面 平面 ，作 于 ，延长 交 于 ，交 的延长线
于 ，
作 交 于 ，连接 ，如下图所示；又因为 ，所以 平面 ，即 平面
而 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为点M在该四棱柱表面上运动，所以点M的轨迹是线段 ；
又因为底面 为直角梯形， ，
所以 ，即 ，得 ，所以 ；
又 ，所以 ，即 为线段 的中点，
，所以 ，
易知，当线段 的长度取到最大值时，点 于点 重合，
此时， 即为直线 与底面 所成的角，
， ，
所以，线段 的长度取到最大值时，直线 与底面 所成角的正弦值是 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何体特征，充分利用空间想象根据面面垂直
的判定定理找出满足题意的动点的轨迹，再根据轨迹形状确定线段最长时的具体位置，找
出线面角即可求得结果.
9．C【分析】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，分类讨论 与 的大小
关系，结合符号分析判断，即可得 ，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质
分析 的符号，进而可得 的符号，即可得 ，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，此时 ；
当 时，可知 ，此时 ；
可知若 ，符合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
综上所述： ，即 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ；
解法二：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
则当 时， ，故 ，所以 ；
时， ，故 ，所以 ；故 ， 则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求 、 的根，以根和函数定义域为临界，比
较大小分类讨论，结合符号性分析判断.
10．C
【分析】方法一：利用已知条件转化利用分类讨论和基本不等式求解即可；
方法二：利用已知条件转化为二次函数求解即可.
【详解】方法一：由 ， ，
消去 得到 ，
令 ， ，
则 ，即 ，
，当且仅当 时，等号成立，
故 的最大值为 ．
当 时，
，不成立，
当 时， ，
故 的最大值为 .
综上所述： 的最大值为 ．
方法二：由 ， ，
可消去 得到 ，
则 ，令 ，，
当 时， ，
故 的最大值为 ．
故选：C．
11．C
【分析】令 ，则 ，把 看作关于 的一元二次方程的两根，结合 ，
求t的范围，再由 ，应用二次函数的性质求最小值.
【详解】令 ，则 ，
将 看作关于 的一元二次方程的两根，
则 ，故 ，可得 或 ，
由 ，
结合二次函数性质， 在 上递减，在 上递增，
又 ，
所以 的最小值为 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：令 ，将 看作关于 的一元二次方程的两根，利用
求参数范围为关键.
12．A
【分析】由已知可得出 ，分析函数 的单调性，可得出 ，即可得
出 ，结合二次函数的基本性质可求得 的最大值.
【详解】因为函数 、 均为 上的增函数，所以，函数 为 上的增函数，
，因为 ，其中 ，
所以， ，故 ，
当且仅当 时等号成立，故 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出
，将所求代数式转化为以 为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.
13．BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令 ，解得 ，即为 零点，
令 ，解得 ，即为 零点，
显然 零点不同，A选项错误；
B选项，显然 ，B选项正确；
C选项，根据周期公式， 的周期均为 ，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质 的对称轴满足 ，
的对称轴满足 ，
显然 图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
14．AB
【分析】A.令 ，利用正弦函数的性质判断；B.利用奇函数的定义判断；C.利用正弦函
数的周期性判断；D；利用正弦函数的最值判断；【详解】A.当 时， ，因为 在 单调递减，
所以 在 单调递减，故选项A正确；
B.因为 ，所以 为奇函数，
所以 的图象关于原点对称．故选项B正确；
C. 代入周期公式得 ，故选项C错误；
D. ， 的最大值为1，故选项D错误.
故选：AB．
15．BD
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，当 时， ， ， 最大值为
2，A错误；
对于B，因为 ，则函数 的图象关于点 对称，B正确；
对于C，当 时， ，函数 在 上不单调，则
在 上不单调，C错误；
对于D，函数 的最小正周期 ，D正确.
故选：BD.
16．AB
【分析】利用给定变换求出函数 的解析式，根据 可判断A；利用整体代换的方
法，根据 的范围，求出 的范围，再利用正弦函数的图象和性质可判断B和C；根据关于点 对称， 的图象向上平移后对称中心也向上平移一个单位，
可判断D.
【详解】将 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，纵坐标不变，得到
，
再把图象向右平移 个单位长度，得到 ，
最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到 .
对于A， ，故A正确；
对于B， 在 单调递增，
当 时， ，
在 上单调递增，故B正确；
对于C，当 时， ， ，
，故C错误；
对于D，当 时，函数 满足 ，
函数 关于点 对称，关于点 对称，故D错误.
故选：AB.
17．ABD
【分析】A选项，抛物线准线为 ，根据圆心到准线的距离来判断；B选项， 三
点共线时，先求出 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据 先算出 的坐标，然
后验证 是否成立；D选项，根据抛物线的定义， ，于是问题转化成
的 点的存在性问题，此时考察 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直
接设 点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线 的准线为 ，
的圆心 到直线 的距离显然是 ，等于圆的半径，
故准线 和 相切，A选项正确；
B选项， 三点共线时，即 ，则 的纵坐标 ，
由 ，得到 ，故 ，
此时切线长 ，B选项正确；
C选项，当 时， ，此时 ，故 或 ，
当 时， ， ， ，
不满足 ；
当 时， ， ， ，
不满足 ；
于是 不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义， ，这里 ，
于是 时 点的存在性问题转化成 时 点的存在性问题，
， 中点 ， 中垂线的斜率为 ，
于是 的中垂线方程为： ，与抛物线 联立可得 ，
，即 的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个 点，使得 ，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设 ，由 可得 ，又 ，又 ，
根据两点间的距离公式， ，整理得 ，
，则关于 的方程有两个解，
即存在两个这样的 点，D选项正确.
故选：ABD
18．BCD
【分析】A选项，联立直线 与抛物线方程，根据根的判别式得到点 在 上；B选项，
作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C选项，证明出以 为直径的圆与 轴相切，得到C正确；D选项，设出直线 方程，与抛物线方程联
立求出 点坐标，从而求出直线 方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.
【详解】对于A，联立直线 与 的方程，消去 得 ，因为 与 相切，
所以 ，即 ，所以点 在 上，A错误．
对于B，过点 作 垂直于 的准线，垂足为 ，由抛物线定义知 ，
因为 ，所以 ，所以在 中， ，
由大边对大角得 ，B正确．
对于C， ，由A选项 与 相切，切点为 ，可得 ，其中 ，
则 的中点坐标为 ，
且 ，故半径为 ，
由于半径等于以 为直径的圆的圆心横坐标，
故以 为直径的圆与 轴相切，所以与 相离，C正确；
对于D，设直线 方程为 ，与 联立得 ，
所以 ，解得 ，则 ，
因为 ，所以直线 方程为 ，
联立直线 与曲线 的方程得 ，因为 ，所以直线 与 相切，D正确．
故选：BCD．
【点睛】抛物线的相关结论，
中，过焦点 的直线与抛物线交于 两点，则以 为直径的圆与 轴相切，
以 为直径的圆与准线相切；
中，过焦点 的直线与抛物线交于 两点，则以 为直径的圆与 轴相切，
以 为直径的圆与准线相切.
19．BCD
【分析】根据点在抛物线上求出 即可判断A，联立方程消元后利用判别式判断B，根据
抛物线的性质得出线段中点到 轴的距离判断C，由直线的斜率公式及点在抛物线上化简
条件即可判断D.
【详解】对于A，因为点 在抛物线 上，
所以 ，则 ，抛物线方程为 ，则其准线方程为 ，故A错误；
对于B，联立 ，消元得 ，则 ，
故直线 与抛物线相切，又点 在直线上，
则过点M与E相切的直线方程为 ，故B正确；
对于C，由抛物线定义知 ，线段 中点的横坐标 ，
即线段 的中点到 轴的距离为 ，
所以以 为直径的圆与y轴相切，故C正确；
对D，设 ，则 ，
即 ，所以 ，即 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD
20．AD
【分析】直线 的方程可设为 ，与抛物线方程联立可得 ， , , ，
从而可判断A；根据 可判断BC；设线段 的中点为 ，求出点 到
准线 的距离,即可判断D.
【详解】依题意可知直线 过抛物线 的焦点 ,且直线 的方程可设为 ,
将直线 方程与抛物线 方程联立可得 ，
因为 ，所以 ， ,
所以 ,
，故A正确；
,
当 时, 有最小值4，故C错误；
当直线 的斜率为1时，则 ，故 ，故B错误；设线段 的中点为 ，则 ,
所以点 到准线 的距离为 ,
所以以 为直径的圆与 的准线相切,故D正确.
故选:AD.
