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1．若 为两条不同的直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 与 相交
2．下列说法正确的是（ ）
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b α，则a∥α
D．若直线 ，⊂b α且a∥b，则a∥α
⊂
3．设 是空间中的一个平面， 是三条不同的直线，则下列说法对的是（ ）
A．若 ， ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， 则
D．若 ， ， ，则
4．设 为两个平面， 为两条直线，且 .下述四个命题：
①若 ，则 或 ②若 ，则 或
③若 且 ，则 ④若 与 , 所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④5．已知函数 的最小正周期为 ．则 在 的最小值
是（ ）
A． B． C．0 D．
6．函数 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 的最小正周期为 ，则函数 在区间 上的最大
值和最小值分别是（ ）
A．2和－2 B．2和0
C．2和－1 D． 和
8．函数 的最小正周期为 为 图像的对
称轴，则 在区间 上的最大值与最小值的和为（ ）A． B． C． D．
9．双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线右支上一点，且
直线 的斜率为2． 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知点A(－1，0)，B(1，0)为双曲线 (a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在
双曲线上， 为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．x2－ ＝1 B．x2－ ＝1
C．x2－ ＝1 D．x2－y2＝1
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点M为 关于渐近线
的对称点.若 ，且 的面积为4，则C的方程为（ ）
A． B．C． D．
12．已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲
线 的左顶点， ， （ 在第一象限）是双曲线 上关于 轴对称的两个点，若直线
与直线 的斜率之积为 ，直线 与双曲线 的右支交于另一点 ，且 ，
的周长为20，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
13．一个五面体 ．已知 ，且两两之间距离为1．并已知
．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
14．已知正三棱柱 中， ，则该三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．15．如图，一个直四棱柱型容器中盛有水，底面 为梯形， ，侧棱长
.当侧面ABCD水平放置时，液面与棱 的交点恰为 的中点.当底面 水
平放置时，液面高为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．如图的五面体 由棱长为2的正四面体 与正四棱锥 构成．若平
面 与平面 平行，且把五面体 分成体积相等的两部分，则平面 与平面
之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
17．已知 是虚数单位，复数 ．18．已知复数 ，那么 .
19．已知复数 ，若 为纯虚数，则实数 .
20．已知复数 ， ，则 的实部的最大值为 ．参考答案：
1．C
【分析】根据线面平行的性质可判断AB的正误，根据线面垂直的性质可判断CD的正误.
【详解】对于A，若 ， ，则 平行或异面或相交，故A错误.
对于B，若 ，则 平行或异面或相交，故B错误.
对于C， ，过 作平面 ，使得 ，
因为 ，故 ，而 ，故 ，故 ，故C正确.
对于D，若 ，则 与 相交或异面，故D错误.
故选：C.
2．D
【详解】选项A中缺少l在平面α外这一条件；直线在平面α外包括直线与平面相交和与
平面平行两种情况，故选项B错；选项C中缺少a不在平面α内这一条件；选项D满足线
面平行的三个条件．
【考查意图】线面平行的判定．
3．D
【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由 ， ， ， ，只有直线 与 相交时，可得
，所以A不正确；
对于B中，由 ， ， ，则 与 平行、相交或异面，所以B错误；
对于C中，由 ， ， ，则 ，所以C错误；
对于D中，由 ， ，可得 ，又因为 ，所以 ，所以D正确.
故选：D.
4．A
【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性
质即可判断③.
【详解】对①，当 ，因为 ， ，则 ，
当 ，因为 ， ，则 ，
当 既不在 也不在 内，因为 ， ，则 且 ，故①正确；对②，若 ，则 与 不一定垂直，故②错误；
对③，过直线 分别作两平面与 分别相交于直线 和直线 ，
因为 ，过直线 的平面与平面 的交线为直线 ，则根据线面平行的性质定理知 ，
同理可得 ，则 ，因为 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ， ，则 ，又因为 ，则 ，故③正确；
对④，若 与 和 所成的角相等，如果 ，则 ，故④错误；
综上只有①③正确，
故选：A.
5．A
【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出 ，得 ，再整体求出
时， 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
【详解】 ，由 得 ，
即 ，当 时， ，
画出 图象，如下图，
由图可知， 在 上递减，
所以，当 时，故选：A
6．A
【分析】根据 ，可得 ，再结合正弦函数的图象求解即可.
【详解】解：由 ，可得 ，
则 .
故选：A.
7．C
【分析】由最小正周期可求出 的值，即可得函数的解析式，再利用已知条件中 的取值
范围，求出 的最大值和最小值.
【详解】由题知 ，得 ，即函数 ,
又∵ ，∴ ,即 ，
，
故函数 的最大值为2，最小值为－1.
故选： .
8．D
【分析】根据条件求出 、 的值，然后求出 在区间 上的最大值、最小值即可.
【详解】由题意得 ，， ，
因此 ，
当 时， ，即最大值与最小值的和为 ，
故选：D.
9．C
【分析】可利用 三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设 ，由面积
公式求出 ，由勾股定理得出 ，结合第一定义再求出 .
【详解】如下图：由题可知，点 必落在第四象限， ，设 ，
，由 ，求得 ，
因为 ，所以 ，求得 ，即 ，
，由正弦定理可得： ，
则由 得 ，
由 得 ，
则 ，
由双曲线第一定义可得： ， ，
所以双曲线的方程为 .故选：C
10．D
【解析】根据顶点坐标，可得a＝1，过点M作MN⊥x轴于点N，根据三角形的性质可得M
点坐标，代入方程即可求得b的值，即可得答案.
【详解】由题意知a＝1，不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝
120°，
过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1， ，所以 ，
代入双曲线方程得 ，解得b＝1，
所以双曲线的方程为x2－y2＝1，
故选：D.
11．A
【分析】结合图形，利用中位线定理与条件求得 ，进而求得 ，从而得解.
【详解】依题意，不妨设点 为 关于渐近线 的对称点，则直线 垂直
平分线段 ，
设交点为 ，则N为 的中点， ，又 为 的中点，所以 ，
因为 ，即 ，所以 ，则 ，
因为 的面积为4，所以 ，则 ，
在 中， ，即 ，
渐近线 可化为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故双曲线的方程为 ，
故选：A.
12．C
【分析】设出点 ，结合题意计算可得 ，由 的周长为20，
，结合双曲线定义可得 ，计算即可得 、 ，即可得该双曲线的标准方程.
【详解】设 ，则 ，有 ，即 ，即 ，
则 ，所以 ，所以 ，
因为直线 与双曲线 的右支交于另一点 ，所以 ，，即 ， ，
则 的周长为 ，
所以 ，则 ，所以该双曲线的标准方程为 ．
故选：C．
13．C
【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.
【详解】用一个完全相同的五面体 （顶点与五面体 一一对应）与该
五面体相嵌，使得 ； ; 重合，
因为 ，且两两之间距离为1． ，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为
，
.
故选：C.14．C
【分析】首先求出底面 的面积，再根据柱体的体积公式计算可得.
【详解】在正三棱柱 中， ，
所以 ，
所以 .
故选：C
15．C
【分析】根据梯形 各边长的关系可求得水的体积占整个容器体积的 ，由等体积法
可知当底面 水平放置时，液面高为5.
【详解】取底面梯形 两腰的中点为 ，如下图所示：
由 可得 ，
所以四边形 与四边形 的面积之比为 ，
即可知容器中水的体积占整个容器体积的 ；
当底面 水平放置时，可知液面高为直四棱柱侧棱长的 ,
即可得液面高为 .
故选：C
16．B
【分析】要作一个平行于平面 的截面将其分成体积相等的两部分，显然上面是一个
三棱柱，下面是一个等高的四棱柱，只需上面的小三棱柱的底面积与原来的大三棱柱的底面积之比为 即可，于是得到对应边的相似比为 ，从而即可得解．
【详解】
设平面 截五面体 所得的截面为 ，
则三棱柱 与四棱柱 等高．
因为平面 把五面体 分成体积相等的两部分，
所以 与 的面积之比为 ．
易知 与 均为等边三角形，
所以 ．
连接 交于点 ，连接 ，
则 为正四棱锥 的高，
所以平面 与平面 之间的距离 ．
而 ，
所以平面 与平面 之间的距离 ．
故选：B．
17．
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】 .
故答案为： .
18．
【分析】根据题意结合复数的乘法运算求解即可.
【详解】由题意可得： .
故答案为： .
19．8
【分析】根据复数的相关概念和四则运算求解.
【详解】因为 为纯虚数，
所以 且 ，得 .
故答案为：8.
20． ##1.5
【分析】直接计算可知 的实部为 ，然后求 的最大值即可.
【详解】直接计算知：
，
故 的实部为 .
而 ， ，
所以 的最大值为 ，故 的实部的最大值为 .
故答案为： .
