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1．设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点
O.且C上的点满足:横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积
为4，则（ ）
A． B．点 在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点 在C上时，
2．已知曲线C是平面内到两个定点F（－1，0）和F（1，0）的距离的积等于常数a2（a
1 2
＞1）的点的轨迹．下列结论正确的是（ ）
A．曲线C过坐标原点
B．曲线C关于坐标原点对称
C．曲线C关于坐标轴对称
D．若点P在曲线C上，则 FPF 的面积不大于 a2
1 2
△
3．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在
研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系 中， ，，动点 满足 ，其轨迹为一条连续的封闭曲线 ，则下列结论正确的
是（ ）
A．曲线 与 轴的交点为 和
B．曲线 关于 轴对称，不关于 轴对称
C．坐标原点 是曲线 的对称中心
D． 的取值范围为
4．在平面直角坐标系 中，曲线 ：到定点 ， 的距离之积等于
的点的轨迹．若 是曲线 上一点，则下列说法中正确的有（ ）
A．曲线 关于原点 成中心对称
B． 的取值范围是
C．曲线 上有且仅有一点 满足
D．曲线 上所有的点 都在圆 的内部或圆上
5．设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平行于 轴的直线交
C于A，B两点，若 ，则C的离心率为 ．
6．设直线 过双曲线 的一个焦点，且与 的一条对称轴垂直， 与 交于 两点，
等于 的半实轴长，则 的离心率为 ．7．斜率为 的直线过双曲线 的左焦点F 与双曲线的右支交于点P，
1
且PF 与x轴垂直（F 为右焦点），则此双曲线的离心率为 .
2 2
8．已知 分别为双曲线 的左，右焦点， 为双曲线上第一象限
内一点，且 关于 的平分线的对称点 恰好在 上，则
的离心率为 .
9．若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 .
10．若曲线 与 有一条斜率为2的公切线，则 .
11．已知曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切
线重合，则 ．
12．已知曲线 ： 和曲线 ： ，若存在斜率为
1的直线与 ， 同时相切，则b的取值范围是 .13．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，
3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两
人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1
分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能
使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 .
14．袋中有 个红球， 个黄球， 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，
若取出的两个球都是红球的概率为 ，则 ．
15．现有 张卡片，分别写上数字 ．从这 张卡片中随机抽取 张，记所抽取
卡片上数字的最小值为 ，则 .
16．编号为1、2、3、4的四名学生随机入座编号为1、2、3、4的座位，每个座位坐1人，
座位编号和学生编号一致时称为一个“配对”，用X表示“配对”数，则X的期望
．
17．记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．18．已知 分别为 内角 的对边，且
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的值.
19．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的值．
20． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
（1）求B；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长.参考答案：
1．ABD
【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求 ，故可判断A的正误，结合曲线方程可判
断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D
的正误.
【详解】对于A：设曲线上的动点 ，则 且 ，
因为曲线过坐标原点，故 ，解得 ，故A正确.
对于B：又曲线方程为 ，而 ，
故 .
当 时， ，
故 在曲线上，故B正确.
对于C：由曲线的方程可得 ，取 ，
则 ，而 ，故此时 ，
故 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点 在曲线上时，由C的分析可得 ，
故 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合
不等式的性质等来处理.
2．BCD
【详解】
设动点坐标为(x，y)，由题意，得 · ＝a2，即[(x＋1)2＋y2]·[(x－1)2＋y2]＝a4，若曲线C过坐标原点(0，0)，将点(0，0)代入曲线C的方程中可得a2
＝1，与已知a＞1矛盾，故曲线C不过坐标原点，故A不正确．把方程中的x被－x代换，
y被－y代换，方程不变，故曲线C关于坐标原点对称，故B正确．因为把方程中的x被－
x代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称，把方程中的y被－y代换，方程不变，故此曲
线关于 x 轴对称，所以曲线 C 关于坐标轴对称，故 C 正确．若点 P 在曲线 C 上，则
PF·PF ＝a2，则 FPF 的面积为 ·PF·PF·sin ∠FPF≤ a2，当且仅当∠FPF ＝90°
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
△
时，等号成立，故 FPF 的面积不大于 a2，故D正确．
1 2
△
3．ACD
【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，由 判断A；由曲线方程对称性判断B，
C；求出 的范围计算判断D作答.
【详解】设点 ，依题意， ，整理得：
，
对于A，当 时，解得 ，即曲线C与y轴的交点为 ， ，A正确；
对于B、C，因 ，由 换 方程不变，曲线C关于x轴
对称，
因为 ，由 换 方程不变，曲线C
关于 轴对称，
所以坐标原点 是曲线 的对称中心，B不正确，C正确；
对于D，由 得： ，解得 ，
于是得 ，解得 ，D正确.
故选：ACD
4．ACD【分析】利用直接法可得曲线 的轨迹方程，设 ，代入轨迹方程可判断A选
项，利用不等性质可得 ，解不等式可判断B选项，由 ，可得 在
轴上，令 ，可判断C选项，由曲线方程可得 ，可得
，可判断D选项.
【详解】曲线 的方程为 ，
A选项：由 是曲线 上一点，则
点 关于原点的对称点 ，
有 ，即
也在曲线 上，故A选项正确；
B选项：
由 ，得 ，
，故B选项错误；
选项：若 ，则点 在 的垂直平分线上， ，将 代入方程，得
，解得 ，即仅 是原点时满足 ，故C选项正确；
D选项：由 ，得 ，又
得 ，
，故D选项正确；
故选：ACD．5．
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出 ，结合双曲线第一定义求出 ，即可得
到 的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知 三点横坐标相等，设 在第一象限，将 代入
得 ，即 ，故 ， ，
又 ，得 ，解得 ，代入 得 ，
故 ，即 ，所以 .
故答案为：
6．
【解析】由题意不妨设双曲线 ，所以 ，求出 ，从而可得
，再由 即可求解.
【详解】不妨设双曲线 ，焦点 ，对称轴
由题设知，由
得
.
故答案为：
7．
【解析】可设直线方程为 ，求出直线与右支的交点纵坐标，利用PF 与x轴垂
2
直,结合双曲线的性质列出方程转化求解双曲线的离心率即可.
【详解】由斜率为 的直线过双曲 的左焦点
可得直线方程为 ，可得P的纵坐标为 ，
又因为 与x轴垂直（ 为右焦点），
，
可得 ，解得 ，
则双曲线的离心率为 ，
故答案为： .
【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几
种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以
及圆锥曲线的定义来求解．
8． .【分析】利用题给条件结合双曲线定义求得a的值，进而求得 的离心率.
【详解】在双曲线 中，
关于 的平分线的对称点 恰好在 上，
三点共线，且 ，
.
设 ，
根据双曲线定义可得 ，
，
解得 ，即 .
则在 中，
即 ，解得 ，
又 的离心率为 .
故答案为： .
9．
【分析】先求出曲线 在 的切线方程，再设曲线 的切点为
，求出 ，利用公切线斜率相等求出 ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由 得 ， ，
故曲线 在 处的切线方程为 ；
由 得 ，
设切线与曲线 相切的切点为 ，
由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ，
切线方程为 ，
根据两切线重合,所以 ，解得 .
故答案为：
10．
【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.
【详解】设公切线在曲线 与 上的切点分别为 ，
由 可得 ，所以 ，解得 ，
所以 ,则 ，
所以切线方程为 ，
又由 ，可得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
又因为切点 ，也即 在切线 上，
所以 ，解得 ，所以 .
故答案为: .
11．
【分析】求出函数的导函数，即可得到切线方程，从而得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 在点 处的切线为 ，
又 ，则 ，
所以 ，又当 时 ，
所以曲线 在点 的切线方程为 ，
所以 ，解得 ，即 ；
故答案为：
12．
【分析】分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为
1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得与的关
系式，再根据二次函数性质可求出b的取值范围．
【详解】由题意得 ， ，
设斜率为1的切线在 ， 上的切点横坐标分别为 ， ，
所以 ，则 ， ，两点处的切线方程分别为 ， ，
所以 ，即 ，
所以b的取值范围为 .
故答案为： .
13． ##0.5
【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.
【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为 ，四轮的总得分为 .
对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有
六种，从而甲在该轮获胜的概率 ，所以 .
从而 .
记 .
如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，
所以 ；
如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，
6，所以 .
而 的所有可能取值是0，1，2，3，故 ， .所以 ， ，两式相减即得 ，故 .
所以甲的总得分不小于2的概率为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得
到等量关系，从而避免繁琐的列举.
14．
【分析】记取出的两个球都是红球为事件 ，则 ，即可求出 ，从而
得到 的可能取值为 、 、 ，求出所对应的概率，即可求出数学期望.
【详解】依题意 、 为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件 ，则
，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以 的可能取值为 、 、 ，
则 ， ， ，
所以 .
故答案为：
15．
【分析】由条件求 分布列，再由期望公式求其期望.
【详解】由已知可得 的取值有1，2，3，4，， ，
，
所以 .
故答案为： .
16．1
【分析】根据X的可能取值，运用计数原理和古典概型逐项分析计算即可.
【详解】X的可能取值为0,1,2,4，全排列为 ，
当X=0时，先安排的第一人由3种选择，比如说先安排“1”号人，可以选择2,3,4座位，
如果安排在2号位，则“2”号人也可以由3种选择，比如是安排在1号位，
则“3”号人只能在4号位，“4”号人只能在3号位；如果是安排在3号位，
则“3 ”号人只能在4号位，“4”号人只能在1号位，如果安排在4号位也是类似，
所以有 种排法， ；
当X=1时，先从4人中选一人安排在对应的位置上，由 种选法，
比如选“1”号人安排在1号位，则“2”号人有2种选法，如果选3，则“3”号人只能选4，
“4”号人只能2,；如果选4，则“4”号人只能只能选3，“3”号人只能选2；所以有
种排法， ；
当X=2时，先从4人中选2人安排在对应的位置，有 种选法，比如先安排“1”号人
和“2”号人，分别安排在1号和2号位置，则“3”号人和“4”号人只能由1种排法，所以总
共
有6种排法， ；
当X=4时，只有1种排法， ；
其数学期望为 ；故答案为：1.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出 ，最后结合已知
得 的值即可；
（2）首先求出 ，然后由正弦定理可将 均用含有 的式子表示，结合三角形面积
公式即可列方程求解.
【详解】（1）由余弦定理有 ，对比已知 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，
从而 ，
又因为 ，即 ，
注意到 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，
而 ，
由正弦定理有 ，从而 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，
由已知 的面积为 ，可得 ，
所以 .
18．(1)
(2)
【分析】（1）结合正弦定理，边化角即可求解角 ；
（2）结合三角形面积公式与余弦定理求解 ，即可得 的值.
【详解】（1）解： ，
由正弦定理得 ，
所以
由于 ，所以 ，则 ，又 ，所以 ；
（2）解：由（1）得 ，
由余弦定理得 ，
，
.19．（1） ；（2） .
【分析】（1）根据已知条件，结合余弦定理即可得答案;
（2）结合（1）及 得 ，进而得 ， ，再根据恒等
变换得 ，进而根据三角形面积得 ，最后由正弦定理即可得答案.
【详解】解：（1）由条件及余弦定理得，
，
所以 ，
所以 ．
（2）由 得， ，
又 ，所以 ，
则 ， ．
，
由 的面积为 得 ，
所以 ．
由正弦定理得， ，
所以 ，故
【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角形的面积等，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于利用第一问的结论得 ，进而结合三角恒等变换求得
,最后利用正余弦定理求解.
20．（1） ；（2）
【解析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出 ，进而求出 ；
（2）根据余弦定理可得到 ，再根据三角形面积公式得到 ，即可求
出 ，进而求出 的周长.
【详解】解：（1） ，
由正弦定理得： ，
整理得： ，
∵在 中， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
即 ；
（2）由余弦定理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 .
