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1．已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程．
2．已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
(1)求C的标准方程；
(2)过C的左焦点且斜率为 的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，当
的面积为 时，求k的值．
3．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 与椭圆交于B，C两点，若 面积为 ，求m．
4．已知椭圆 经过点 ，其右焦点为 .
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若点 在椭圆 上，右顶点为 ，且满足直线 与 的斜率之积为 .求面积的最大值.
5．如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ， ．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ．
6．已知四棱锥 如图所示，其中 ，点M，N分别是
线段SC，AB的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 为直二面角，则 ， ，求四面体SBDM的体积．
7．如图，三棱锥 中， 底面ABC， ， ， ，点M满足
，N是PC的中点．(1)请写出一个 的值使得 平面AMN，并加以证明；
(2)若二面角 大小为45°，且 ，求点M到平面PAC的距离．
8．如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点底面四
边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于点O．
(1)求证：MN∥平面PCD；
(2)二面角B－PC－D的平面角为θ，若 ．
①求PA与底面ABCD所成角的大小；
②求点N到平面CDP的距离．
9．已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
10．设
(1)求证： ；
(2)若 恒成立，求整数 的最大值．（参考数据 ， ）
11．已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，证明： ；
(2)若对任意 ，都有 ，求k的取值范围．
12．已知函数 ， .
(1)求证： ；
(2)若 ，问 是否恒成立?若恒成立，求a的取值范围；若
不恒成立，请说明理由
13．设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项 和
后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中一次任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列
的概率为 ，证明： ．
14．已知{ }是公差不为0的无穷等差数列．若对于{ }中任意两项 ， ，在{ }中
都存在一项 ，使得 ，则称数列{ }具有性质P．
(1)已知 ，判断数列{ }，{ }是否具有性质P；
(2)若数列{ }具有性质P，证明：{ }的各项均为整数；
(3)若 ，求具有性质P的数列{ }的个数．
15．设 和 是两个等差数列，记 ，
其中 表示 ， ， ， 这 个数中最大的数．
(1)若 ， ，求 ， ， 的值；
(2)若 为常数列，证明 是等差数列；
(3)证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在正整数 ，使得 ， ， ， ， 是等差数列．
16．设 为无穷数列，给定正整数 ，如果对于任意 ，都有
，则称数列 具有性质 ．
(1)判断下列两个数列是否具有性质 ；（结论不需要证明）
①等差数列 ：5，3，1，…；②等比数列 ：1，2，4，…．
(2)已知数列 具有性质 ， ， ，且由该数列所有项组成的集合
，求 的通项公式；
(3)若既具有性质 又具有性质 的数列 一定是等差数列，求 的最小值．参考答案：
1．(1)
(2)直线 的方程为 或 .
【分析】（1）代入两点得到关于 的方程，解出即可；
（2）方法一：以 为底，求出三角形的高，即点 到直线 的距离，再利用平行线距
离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到 点坐标，则得到直线 的方程；方法二：
同法一得到点 到直线 的距离，再设 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方
程组，解出即可；法三：同法一得到点 到直线 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；
法四：首先验证直线 斜率不存在的情况，再设直线 ，联立椭圆方程，得到点
坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线 斜率不存在的情况，再设
，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与
法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘 表达面积即可.
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，
所以 .
（2）法一： ，则直线 的方程为 ，即 ，
，由（1）知 ，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，则将直线 沿着与 垂直的方向平移 单位即可，
此时该平行线与椭圆的交点即为点 ，
设该平行线的方程为： ，
则 ，解得 或 ，
当 时，联立 ，解得 或 ，
即 或 ，
当 时，此时 ，直线 的方程为 ，即 ，
当 时，此时 ，直线 的方程为 ，即 ，
当 时，联立 得 ，
，此时该直线与椭圆无交点.
综上直线 的方程为 或 .
法二：同法一得到直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离 ，
设 ，则 ，解得 或 ，即 或 ，以下同法一.
法三：同法一得到直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离 ，
设 ，其中 ，则有 ，
联立 ，解得 或 ，
即 或 ，以下同法一；
法四：当直线 的斜率不存在时，此时 ，
，符合题意，此时 ，直线 的方程为 ，即 ，
当线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立椭圆方程有 ，则 ，其中 ，即 ，
解得 或 ， ， ，
令 ，则 ，则
同法一得到直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离 ，则 ，解得 ，
此时 ，则得到此时 ，直线 的方程为 ，即 ，
综上直线 的方程为 或 .
法五：当 的斜率不存在时， 到 距离 ，
此时 不满足条件.
当 的斜率存在时，设 ，令 ，
，消 可得 ，
，且 ，即 ，
，
到直线 距离 ，
或 ，均满足题意， 或 ，即 或 .
法六：当 的斜率不存在时， 到 距离 ，
此时 不满足条件.
当直线 斜率存在时，设 ，设 与 轴的交点为 ，令 ，则 ，
联立 ，则有 ，
，
其中 ，且 ，
则 ，
则 ，解的 或 ，经代入判别式验证均满
足题意.
则直线 为 或 ，即 或 .
2．(1) ；
(2) .
【分析】（1）依据题给条件列方程求得 的值，进而求得C的标准方程；
（2）先设直线l的方程为 ，与椭圆方程联立，利用设而不求的方法列出关
于 的面积的方程，解之即可求得k的值.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，由题意得，，解得 ，∴C的标准方程为 ；
（2）由（1）得，椭圆C的左焦点为 ，
∴设直线l的方程为 ， 令 ， ，
联立 ，整理得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 .
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得 ，求出 即可得解；（2）设 ，联立 ，消 ，利用韦达定理求得 ，
再利用弦长公式求得 ，求出点 到直线 的距离 ，再根据
，即可得出答案.
【详解】（1）解：根据题意可知：
，解得 ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）解：设 ，
联立 ，消 整理得 ，
则 ，解得 ，
，
则 ，
点 到直线 的距离 ，则 ，解得 ，
所以若 面积为 ， .
4．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得 ，从而可求出 ，进而可求出离心率，
（2）设 ，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与
系数的关系，再由 可得 或 ，可得直线 经过定点 ，然后
表示出 面积，求其最大值即可.
【详解】（1）依题可得， ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
所以离心率 .
（2）易知直线 与 的斜率同号，所以直线 不垂直于 轴，
故可设 ，由 可得， ，
所以 ，
，而 ，即 ，
化简可得 ，
，
化简得 ，
所以 或 ，
所以直线 或 ，
因为直线 不经过点 ，
所以直线 经过定点 .
设定点
，
因为 ，所以 ，
设 ，所以 ，
当且仅当 即 时取等号，即 面积的最大值为 .
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证出 平面 ，即可得 ，由勾股定理逆定理可得
，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）过点D作 于 ，再过点 作 于 ，连接 ，根据三垂线法可知，
即为二面角 的平面角，即可求得 ，再分别用 的长度表
示出 ，即可解方程求出 ．
【详解】（1）（1）因为 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ， 根据平面知识可知 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）如图所示，过点D作 于 ，再过点 作 于 ，连接 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，而平面 平面 ，
所以 平面 ，又 ，所以 平面 ，
根据二面角的定义可知， 即为二面角 的平面角，
即 ，即 ．
因为 ，设 ，则 ，由等面积法可得， ，
又 ，而 为等腰直角三角形，所以 ，故 ，解得 ，即 ．
6．(1)证明见解析；
(2)4．
【分析】（1）取SD的中点P，则四边形MPNB为平行四边形，得 ，结合线面平
行的判定定理即可证明；
（2）取AD的中点O，则 ，根据面面、线面垂直的性质可得 ，求出 ，
易知点S到平面BDM的距离等于点C到平面BDM的距离，利用等体积法和棱锥的体积公
式计算即可求解.
【详解】（1）取SD的中点P，连接MP，NP，则 ，且 ，
故 ， ，则四边形MPNB为平行四边形，
故 ，而 平面 ， 平面 ，
故 平面 ．
（2）取AD的中点O，连接OS，因为 为等边三角形，故 ，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面
故 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又 ，故 ，
因为M为SC的中点，故M到平面BDC的距离为 ，
在菱形ABCD中， ，故 为等边三角形，又 ，故 ，
故 ，
由M为SC的中点可得，点S到平面BDM的距离等于点C到平面BDM的距离，
故 ，即四面体SBDM的体积为4．
7．(1) ，证明见解析
(2) ．
【分析】（1）根据题意得到 ，利用中位线的性质得到 ，然后根据线面平
行的判定定理证明即可；
（2）根据二面角的平面角的定义得到 就是二面角 的平面角，即可得到
，将点 到平面 的距离转化为点 到平面 的距离的 ，然后求距
离即可.
【详解】（1）当 时，满足题意．
是 的中点，又因为 是 的中点，
所以 ，
又 平面 ，且 平面 ，
所以 ∥平面 ．
（2）由勾股定理得 ，
因为 平面 ， 平面ABC，
所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
而 平面 ，故 ，
故 就是二面角 的平面角，所以 ，
所以 为等腰直角三角形，且 ，
过 作 于 ，则 平面 ，易得 ，
所以点 到平面 的距离等于 ，为 ．
8．(1)证明见解析；
(2)① ② .
【分析】（1）取PD得中点E，连接ME，CE，证明 ，然后证明 平面
PCD；
（2）①作出二面角的平面角，利用二面角的余弦值求出 ， ，再由条件可证明所求
线面角为 ，利用直角三角形求大小即可；
②由 平面PAC转化为求O到平面距离，作出垂线段，利用等积法求解即可.
【详解】（1）取PD得中点E，连接ME，CE，如图，为PA的
中点， ，
为 的中点且四边形ABCD为菱形， .
， 四边形MNCE为平行四边形，
,
又MN 平面PCD, CE 平面PCD,
MN∥平面PCD.
（2）①连接PO，过 作 于 ，连接 ，
由PB＝PD， 是 的中点， ，
由菱形 知 ，又 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ，且交线为 ，
直线 在平面 上的射影为 ，即PA与底面ABCD所成角为 .
平面 ， ，且 在平面 上的射影为 ，
，又PA⊥PC， ， 是 的中点， 是PC的中点，
，
由 知， , ，
为二面角B－PC－D的平面角，
,即 ，解得 ， ,
，
， ，
即PA与底面ABCD所成角的大小为 .
②连接 ，过 作 于 ，
由 ， 平面 ， 平面 ， 平面
点N到平面CDP的距离即点 到平面CDP的距离，
，
平面 ， 平面 平面 ,且 是交线，
， 平面 ，
在 中， ， ， ，
由等积法可得 ，即 ，
即点N到平面CDP的距离为 .
9．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出 后根据 可求 的最小值；
（2）设 为 图象上任意一点，可证 关于 的对称点为
也在函数的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断 即 ，再根据 在 上恒成立可求得 .【详解】（1） 时， ，其中 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，而 成立，故 即 ，
所以 的最小值为 .，
（2） 的定义域为 ，
设 为 图象上任意一点，
关于 的对称点为 ，
因为 在 图象上，故 ，
而 ，
，
所以 也在 图象上，
由 的任意性可得 图象为中心对称图形，且对称中心为 .
（3）因为 当且仅当 ，故 为 的一个解，
所以 即 ，
先考虑 时， 恒成立.
此时 即为 在 上恒成立，
设 ，则 在 上恒成立，设 ，
则 ，
当 ， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 时， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 ，则当 时，
故在 上 为减函数，故 ，不合题意，舍；
综上， 在 上恒成立时 .
而当 时，
而 时，由上述过程可得 在 递增，故 的解为 ，
即 的解为 .
综上， .
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解
的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围
时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
10．(1)证明见解析
(2)2【分析】（1）将问题转化成求证， ，构造函数 ，通过求导，
利用导数与函数单调性间的关系，得出 的单调区间，从而求出 的最小值，即可
证明结果；
（2）通过取值 ，得出 ，再利用（1）结果，证明 时， ，
再通过构造函数，求出函数最值即可得出结果.
【详解】（1）要证： ，（ ， ），
只要证： ，又当 时， ，当 时， ，
即 与 同号，故只要证： ，即证： ，
令 ，（ ， ），则 ，
当 时， ， 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，故原不等式得证．
（2）因为 ，当 时，有 ，
则 ，所以整数
．
当 时，由（1）可得 ，
下证： ， ，只要证： ．令 ， ，
因为 ，
所以 在 上单调递减，故 ，所以得证,
综上所述，整数 的最大值为2．
【点睛】证明不等式或恒（能）成立问题，常通过构造函数，利用导数与函数单调性间的
关系，求出函数的单调区间，将问题转化成求函数最值.
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用导数求得 的单调区间，进而证得不等式成立.
（2）将不等式 转化为 ，利用构造函数法，
结合多次求导的方法来求得 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，所以 ，
当 时， ， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， ， 单调递增，
所以 ，即不等式成立．
（2）由题意得对任意 ，都有 ，
即 ，即 ．
令 ，可得 恒成立， ，
令 ，所以 ．当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增，
所以 恒成立，即 恒成立，故只需 ．
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以只需 ，解得 ，所以k的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定 的定义域；（2）计算导数
；（3）求出 的根；（4）用 的根将 的定义域分成若干个区间，
考查这若干个区间内 的符号，进而确定 的单调区间.如果一次求导无法求得函数
的单调区间，可考虑利用多次求导的方法来求解.
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接作差令 ，求导判定差函数单调性及最小值即可得出结论；
（2）令 ，利用端点效应即 得出 时恒成立，
再证明充分性即可.
【详解】（1）令 ， ，当 ， ，所以此时 单调递减；
当 ， ，所以此时 单调递增；
即当 时， 取得极小值也是最小值 ，所以 ，得证；
（2）设 ，
即证 在 上恒成立，
易得 ，
当 时，若 ，
下面证明：当 时， ，在 上恒成立，
因为 ，设 ，
令 ，
所以 在 上是单调递增函，所以 ，
又因为 ，则
所以 在 上是单调递增函数，
所以 ，所以 在 上是严格增函数，
若 时， ，即 在 右侧附近单调递减，此时必存在 ，
不满足 恒成立，
故当 时，不等式恒成立.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范
围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到
分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
13．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据 可分数列的定义即可；
（2）根据 可分数列的定义即可验证结论；
（3）证明使得原数列是 可分数列的 至少有 个，再使用概率的定义.
【详解】（1）首先，我们设数列 的公差为 ，则 .
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差
数列，
故我们可以对该数列进行适当的变形 ，
得到新数列 ，然后对 进行相应的讨论即可.
换言之，我们可以不妨设 ，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第1小问相当于从 中取出两个数 和 ，使得剩下四个数是等
差数列.
那么剩下四个数只可能是 ，或 ，或 .
所以所有可能的 就是 .
（2）由于从数列 中取出 和 后，剩余的 个数可以分为以下两个部分，
共 组，使得每组成等差数列：① ，共 组；
② ，共 组.
（如果 ，则忽略②）
故数列 是 可分数列.
（3）定义集合 ，
.
下面证明，对 ，如果下面两个命题同时成立，
则数列 一定是 可分数列：
命题1： 或 ；
命题2： .
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果 ，且 .
此时设 ， ， .
则由 可知 ，即 ，故 .
此时，由于从数列 中取出 和 后，
剩余的 个数可以分为以下三个部分，共 组，使得每组成等差数列：
① ，共 组；
② ，
共 组；
③，
共 组.
（如果某一部分的组数为 ，则忽略之）
故此时数列 是 可分数列.
第二种情况：如果 ，且 .
此时设 ， ， .
则由 可知 ，即 ，故 .
由于 ，故 ，从而 ，这就意味着 .
此时，由于从数列 中取出 和 后，剩余的 个数可以分为
以下四个部分，共 组，使得每组成等差数列：
① ，共 组；
② ， ，
共 组；
③全体 ，其中 ，共
组；
④
，
共 组.
（如果某一部分的组数为 ，则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含 个行，个列的数表以后， 个列分别是下面这些数：
， ，
， .
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍
中除开五个集合 ， ， ，
， 中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的 和 以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的
八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列 是 可分数列.
至此，我们证明了：对 ，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列
一定是 可分数列.
然后我们来考虑这样的 的个数.
首先，由于 ， 和 各有 个元素，故满足命题1的 总共有 个；
而如果 ，假设 ，则可设 ， ，代入得
.
但这导致 ，矛盾，所以 .
设 ， ， ，则 ，即 .
所以可能的 恰好就是 ，对应的 分别是，总共 个.
所以这 个满足命题1的 中，不满足命题2的恰好有 个.
这就得到同时满足命题1和命题2的 的个数为 .
当我们从 中一次任取两个数 和 时，总的选取方式的个数等于
.
而根据之前的结论，使得数列 是 可分数列的 至少有 个.
所以数列 是 可分数列的概率 一定满足
.
这就证明了结论.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用
定义验证或探究结论.
14．(1)数列 具有性质 ，数列 不具有性质
(2)证明见解析
(3)12个
【分析】（1）根据数列{ }具有性质P的定义即可求解；
（2）设数列 的公差为 ，由题意，存在 使得 ，同理，存在 使得
，两式相减，根据等差数列的定义即可得证；
（3）由题意结合（2）知 的各项均为整数，所以 为整数，首先证明 为正整数，其次证明 为 的约数，从而即可求解.
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，
所以对于{ }中任意两项 ， ，在{ }中都存在一项 ，使得 ，
所以数列 具有性质 ，
因为 ，所以取 ，则 ，
因为 ，
所以不存在一项 ，
所以数列 不具有性质 ；
（2）证明：设数列 的公差为 ，
因为数列 具有性质 ，所以存在 使得 ，同理，存在 使得 ，
两式相减，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 的各项均为整数．
（3）解：由题意结合（2）知 的各项均为整数，所以 为整数，
首先证明 为正整数，否则假设 为负整数，则 为递减数列，所以 中各项的最大
值为 ，
由题设， 中存在某项 ，且 ，所以 ，
从而对任意正整数 ， ，这与 具有性质 矛盾；
其次证明 为 的约数，
由 得， ，所以 ，
所以 为整数，即 为 的约数，
由 为正整数，所以 为 的正约数，
因为 ，所以 的正约数共有 个，
对于首项为 ， 的正约数为公差的等差数列，易知其满足性质 ，
所以具有性质 的数列 共有 个．
【点睛】关键点点睛：解决本题（3）问需结合（2）的结论，得 的各项均为整数，所
以 为整数，进而证明 为正整数，然后再证明 为 的约数，这里牢牢抓住性质P
的定义及等差数列的通项公式是解题的关键.
15．(1) ， ， ；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）分别求得 ， ， ， ， ， ，代入即可求得 ，
， ；
（2）根据 ， ，即可作差得 ，即可根据
时，则 ，以及 时， ，此时 为常数，所
以 是等差数列；
（3）方由 ，分类讨论 ，
， 三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得 ， ， ，
是等差数列；【详解】（1）已知 ， ，
， ， ， ， ， ，
当 时， ，
当 时， , , ，
当 时， , , , ，
（2）设 （ 为常数）， 的通项公式为 .
，
先考虑 ，
则 时， ，
所以 .
当 时，则 ， ，
此时 为常数，所以 是等差数列；
当 时，则， ，
此时 是常数列，也是等差数列；
综上所述： 是等差数列；
（3）设数列 和 的公差分别为 ，
则 ，
所以 ，
①当 时，取正整数 ，则当 时， ，因此 ，此时， 是等差数列；
②当 时，对任意 ，
此时， 是等差数列；
③当 时，当 时，有 ，
所以
，
对任意正数 ，取正整数 ，
故当 时， .
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元
算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
16．(1)数列 具有性质 ；数列 不具有性质
(2) 的通项公式为 或
(3)5
【分析】（1）性质 即 ，通过代入验证即可判断；
（2）通过转化得到数列 ： ， ， ，⋯， 是等差数列且公差 ，数列 ：
， ， ，⋯， ，是等差数列且公差 ，进而分类讨论 的正负情况进而求
解 的通项公式；（3）由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3， ， ， ， ，不是等差数列，且其既具有
性质 又具有性质 ，得 ．所以 的最小值大于或等于5，然后证明 的最小值
等于5即可.
【详解】（1）由题意知，数列 通项公式为 ，满足
，所以数列 具有性质 ；
数列 中，代入 ， ，所以不满足 ，所以数列 不具有
性质 .
（2）由数列 具有性质 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以数列 ： ， ， ， ， ，是等差数列．
又因为 ， ，
所以数列 的公差 ，
同理，得数列 ： ， ， ，⋯， ，是等差数列，公差 ．
①若 且 ，则数列 的最小项是 ，数列 的最小项是 ，
所以数列 的最小项为1，这与 矛盾；
②若 且 ，同理，得 的最大项为2，这与 矛盾；
③若 且 ，则 为递减数列， 为递增数列．
由 ，得3为数列 中的项，
所以只能是 ，且 ；同理，可得0为数列 中的项，
所以只能 ， ．
此时， 的通项公式为 ．
④若 ， ，类似③的讨论可得 ， ．
此时， 的通项公式为 ．
综上， 的通项公式为 或
（3）由数列1，1，2，2，3，3，⋯， ， ， ， ， ， ，不是等差数列，
且其同时具有性质 ， ， ，得 且 ．
类似的，由数列1，1，1，2，2，2，3，3，3，⋯， ， ， ，不是等差数列，且其既具
有性质 又具有性质 ，得 ．
所以 的最小值大于或等于5．
以下证明 的最小值等于5，即证“既具有性质 又具有性质 的数列 一定是等
差数列”．
因为 具有性质 ，即 ，
所以对于 ， 是等差数列；
同理，由 具有性质 ，得对于 ， 是等差数列．
由 ， ， ， ， ， ，为等差数列（记公差为 ），且 ， ， ， ， ，
， 为等差数列（记公差为 ），得 ， ，所以 ．令 ，则 ， ， ．
同理，由 ， ，⋯， ，为等差数列，且 ， ， ， ， ， ， ， ，为
等差数列（记公差为 ），得 ， ，
所以 ，且 ．
所以 ．
同理，由 ， ， ，⋯， ，为等差数列，且 ， ， ，⋯， ，为等差数列，
得 ；
由 ， ， ， ，⋯， ，为等差数列，且 ， ， ， ，⋯， ，为等差数列，
得 ；
由 ， ， ， ， ，⋯， ，为等差数列，且 ， ， ， ， ，⋯， ，
为等差数列，得 ．
综上， ．
故数列 是公差为 的等差数列．
即既具有性质 又具有性质 的数列 一定是等差数列．
所以 的最小值等于5
【点睛】方法点睛：本题考查数列的综合问题.要通过转化与化归的技巧，将问题进行转化，
结合分类讨论等常见方法进行问题的求解.
