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1．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
2．已知 在 处取得极小值 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在 处的切线方程；
(3)若方程 有且只有一个实数根，求 的取值范围.
3．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 既存在极大值，又存在极小值，求实数 的取值范围.
4．设 ， .
(1)若 ，求曲线 在 处的切线方程；
(2)已知 ， 在 处取得极小值.求实数 的取值范围.5．如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ，
，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得
．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
6．如图，在底面 是矩形的四棱锥 中， ，点
在底面 上的射影为点 与 在直线 的两侧 ，且 .
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
7．如图，多面体 中， 和 均为等边三角形，平面 平面(1)求证： ;
(2)求平面ABD与平面PBC夹角的余弦值.
8．如图甲所示，在平面四边形 中， ， ，
，现将平面 沿 向上翻折，使得 ， 为 的中点，如图
乙.
(1)证明： ；
(2)若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求平面 与平
面 所成角的余弦值.
9．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段
由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至
少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队
员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概
率．
(2)假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
10．某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量
指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为 ，B
元素指标达标的概率为 ，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．
(1)一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；
(2)任意依次抽取该种食品4个，设 表示其中合格品的个数，求 分布列及 ．
11．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛
制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，
“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第
四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第
三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、
丙、丁获胜的概率均为 ，且不同对阵的结果相互独立.
(1)若 ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败
者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
12．某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只
派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作
比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为
、 、 ，假定 、 、 互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立.
(1)计划依次派甲乙丙进行闯关，若 ， ， ，求该小组比赛胜利的概率；
(2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目 的分布，并求 的期望 ；
(3)已知 ，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试
确定甲、丙谁先派出.
13．已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ．按照如下
方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为
关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .14．在等比数列 中，已知 ， ．
(1)若 ，求数列 的前 项和 ；
(2)若以数列 中的相邻两项 ， 构造双曲线 ，求证：双曲线系 中
所有双曲线的渐近线、离心率都相同．
15．已知有一系列双曲线 ： ，其中 ， .记第 条双曲线的离心率
为 ，且满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
16．已知数列 的首项为 ， 为数列 的前 项和， ，其中 ，
.
(1)若 时， 成等差数列，求数列 的通项公式；
(2)设双曲线 的离心率为 ，且 ，求证： .参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析 和 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得
，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知 有零点，可得
，进而利用导数求 的单调性和极值，分析可得 ，构建函数解不等
式即可.
【详解】（1）当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）解法一：因为 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 对任意 恒成立，
可知 在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，则 ，可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ；
解法二：因为 的定义域为 ，且 ，
若 有极小值，则 有零点，
令 ，可得 ，
可知 与 有交点，则 ，
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，符合题意，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，
因为则 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 .
2．(1)
(2)(3)
【分析】（1）求出 ，由题意可的 ，由此即可求出答案；
（2）分别求出 ， 的值，再利用点斜式写出直线；
（3）将问题转化为函数 与 有且只有一个交点，求出函数 的单调
性与极值，即可求出 的取值范围.
【详解】（1）由题意知 ，
因为 在 处取得极小值
则 ，解得：
经检验，满足题意，所以 ，
所以
（2）由题意知 ， ，
所以 所以切点坐标为 ，斜率
所以切线方程为： ，即 .
（3）令 ，解得 或 ，
则 ， ， 的关系如下表：+ 0 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
则 ， ，
方程 有且只有一个实数根等价于 有且只有一个实数根，
等价于函数 与 有且只有一个交点，
即 或 ，解得： 或 ，
所以 .
3．(1) ；
(2) .
【分析】（1）把 代入，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数 的导数，利用导数探讨函数的单调性，求出 的范围.
【详解】（1）当 时，函数 ，求导得 ，则 ，
而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即
.
（2）函数 的定义域为 ，
求导得 ，
当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ，则函数 在 上递增，在 上递减，函数 只有极大值 ，不合题意；
当 时，由 ，得 或 ，
①若 ，即 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
则函数 在 上递增，在 上递减，
因此函数 的极大值为 ，极小值为 ，符合题意；
②若 ，即 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
则函数 在 上递增，在 上递减，
因此函数 的极大值为 ，极小值为 ，符合题意；
③若 ，即 ，由 在 上恒成立，得 在 上递增，
函数 无极值，不合题意，
所以 的取值范围为 .
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义得到切线的斜率，结合点斜式得到方程；
（2）根据 的单调性，结合极小值的概念即可得到结果.
【详解】（1）若 ， ， ， .
曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ；
（2） ，由
令 ，则 ，①当 时， 时， ，函数 单调递增；又 ，所以当
时， ， 单调递减.当 时， ， 单调递增.
在 处取得极小值，符合题意.
②当 时， 时， ，函数 单调递增， 时，
，函数 单调递减.
（i）当 时， ，由②知 在 内单调递增，可得当 时，
， 时， ，所以 在(0，1)内单调递减，在 内
单调递增， 在 处取得极小值，符合题意
（ii）当 时，即 时， 在(0，1)内单调递增，在 内单调递减，
所以当 时， ， 单调递减，不合题意
（iii）当 时，即 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 取得极大值，不合题意.
综上可知，实数 的取值范围为 .
5．(1)证明见解析
(2)【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得 ，利用勾股定理的逆定理可证得
，则 ，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；
（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明 ，建立如图空间直角坐标
系 ，利用空间向量法求解面面角即可.
【详解】（1）由 ，
得 ，又 ，在 中，
由余弦定理得 ,
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
故 ；
（2）连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，
所以 ，由（1）知 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
由 是 的中点，得 ，
所以 ，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
所以 ，所以 ，
设平面 和平面 所成角为 ，则 ，
即平面 和平面 所成角的正弦值为 .
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，结合 为等腰直角三角形，进
而得到 平面 ，得到答案；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两个平面的法向量，由法向量夹角的余弦
公式求出答案.
【详解】（1）证明：连接 ，
因为 平面 平面 ，
所以 .
又 ，所以 .
又 ，故 ，所以 为等腰直角三角形.
而 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .（2）由（1）知， 两两垂直，
以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ，
由 ，得 ，可得点 坐标为 ，
同理得 .
所以 ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即
令 ，则 ，得平面 的一个法向量 .
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
令 ，则 ，得平面 的一个法向量 .设平面 与平面 的夹角为 ，则
，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点M，连接 ，证明 平面 ，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ABD与平面PBC的法向量，根
据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）证明：取 的中点M，连接 ，
因为 和 均为等边三角形，故 ，
而 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，
故 ；
（2）以M为坐标原点，以 所在直线为 轴，过点M作平面 的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
，故 平面 ，
和 均为等边三角形， ，，
，
设平面 的法向量为 ，
，即 ，令 ，则 ，
平面 的法向量可取为 ，
设平面ABD与平面PBC夹角为 ，
，
故平面ABD与平面PBC夹角的余弦值为 .
8．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）根据△ABC为等腰三角形，可得 ，利用长度可得
，可得 ，然后利用线面垂直的判定定理可得 平面 ，
最后可得结果.
（2）建立空间直角坐标系，首先根据直线BQ与平面ADB所成角的正弦值为 确定Q点
位置，再利用平面与平面所成角的空间向量解法求平面ADB与平面BQM所成角的余弦值；
【详解】（1）证明：如图，连接DM，因为 ， ，M为AC的中点，所以 ，
，又因为 ，所以 ，所以 ，
，所以 平面 ， 而 平面 ，所以 ；
（2）取MC的中点为O，BC的中点为E，连接DO，OE，则 ，因为
所以 ，又因为O为MC的中点，所以 ，由(1)知 平面
， 平面 ，所以 ，又 所以 平面 ，以O为
坐标原点，OA，OE，OD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示坐标系，
由题意知 ，
，设平面DAB的一个法向量为，则 ，令 ，得 ，
设 ，则 ，所以
，所以
，化简得 ，解得 (舍去)，所以点Q是DC上靠近D的三等分
点，所以
设平面BQM的一个法向量为 ， 则 ，令
，得 ，
，
故平面ADB与平面BQM所成角的余弦值为 .
9．(1)
(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自计算出 ， ，再作差因式分解即
可判断；(ii)首先得到 和 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再
次作差比较大小即可.
【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率 .
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为
，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为
，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，因为 ，则 ， ，
则 ，
应该由甲参加第一阶段比赛.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分
解从而比较出大小关系，最后得到结论.
10．(1) ；
(2)分布列见解析，期望值为 .
【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得.
（2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望.
【详解】（1）令M为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则 是A，B
都不达标的事件，
因此 ，
所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为 .
（2）依题意，A，B两类元素含量指标都达标的概率为 ，
的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然 ，
因此 ， ， ，
， ，
所以 的概率分布为：
0 1 2 3 4
P
数学期望 .
11．(1)①0.16；②3.128(2)答案见解析..
【分析】（1）结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；
（2）结合对立事件概率和独立事件概率公式比较计算.
【详解】（1）①记“甲获得第四名”为事件 ，则 ；
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量 ，
则 的所有可能取值为2，3，4，
连败两局： ，
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
；
故 的分布列如下：
2 3 4
故数学期望 ；
（2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率 ，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为 ，
由 ，且
所以 时， ，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时， ，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，两种赛制甲夺冠的概率一样.
12．(1)(2)
(3)先派出甲
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；
（2）由题意可知， 的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应
的概率，进而得到 的分布，再结合期望公式求解；
（3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，
再利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）设事件 表示“该小组比赛胜利”，
则 ；
（2）由题意可知， 的所有可能取值为1，2，3，
则 ， ， ，
所以 的分布为：
所以 ；
（3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为 ，
由（2）可知， ，
若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为 ，
则 ，
则
，
因为 ，所以 ， ，所以 ，即 ，
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．
13．(1) ，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出 的坐标即可；
（2）根据等比数列的定义即可验证结论；
（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明 的取值为与 无关的定值即可.
思路二：使用等差数列工具，证明 的取值为与 无关的定值即可.
【详解】（1）
由已知有 ，故 的方程为 .
当 时，过 且斜率为 的直线为 ，与 联立得到
.
解得 或 ，所以该直线与 的不同于 的交点为 ，该点显然在 的左支
上.
故 ，从而 ， .（2）由于过 且斜率为 的直线为 ，与 联立，得到方
程 .
展开即得 ，由于 已经是直线
和 的公共点，故方程必有一根 .
从而根据韦达定理，另一根 ，相应的
.
所以该直线与 的不同于 的交点为 ，而注意到 的
横坐标亦可通过韦达定理表示为 ，故 一定在 的左支上.
所以 .
这就得到 ， .
所以
.
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点 ，若 ， ，则 .（若 在同一条直线上，约定 ）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有
.而又有 ， ，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明 的取值是与 无关的定值，所以 .
方法二：由于上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有
.这就得到 ，
以及 .
两式相减，即得 .
移项得到 .
故 .
而 ， .
所以 和 平行，这就得到 ，即 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方
面知识方可得解.
14．(1) ；
(2)证明过程见解析.
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合对数的运算性质、等比数列和等差数列前
项和公式进行求解即可；
（2）根据等比数列的通项公式，结合双曲线渐近线方程和离心率公式进行证明即可.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ，在双曲线 中，，所以得 ，
因此双曲线的渐近线方程为： ，
双曲线的离心率为： ，
所以双曲线系 中所有双曲线的渐近线、离心率都相同.
15．（1） ；（2） .
【分析】（1）因为 ，
易得 ，然后利用 与 的关系分析计算即可
得解.
（2）由题意，易得得 ，所以 ，然后利用
裂项相消法求和即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
两式对应相减，可得 ，
所以 ，
因为当 时， ，所以 ，
所以 是以2为首项，以2为公差的等差数列，
所以 ；
（2）由题意，得 ，所以 ，
所以
.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：裂项相消法，错位相减法，奇偶并项求和法，
倒序相加法等.
16．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用 得到数列 为等比数列，再结合 成等差数
列求出 的公比q，从而利用等比数列的通项公式求解；
（2）先利用双曲线的离心率得到 的表达式，再解出 的公比q的值，最后利用等比数
列的求和公式计算证明.
【详解】（1）由已知由 ，两式相减得到 ，
又由 得 ，故对所有的 都成立，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以数列 的通项公式为 ，
因为 成等差数列，所以 ，所以 ，
解得 ，所以数列 的通项公式为 ；
（2）由(1)知 ，所以双曲线 的离心率为 ，由于 ，则有 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
则有 .
