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高中数学各个击破129排列与组合中的模型(一)
排列与组合中的模型（一）：先认出形状，再动笔
高中数学各个击破 · 第 129 讲 | 第 21 册《计数原理》第 4 讲
本期考点：树状模型 ·涂色模型 ·捆绑模型 ·插空模型 ·定序模型（倍缩法）
📌 写在前面
前两讲我们把"工具"备齐了：分类用加法、分步用乘法，排列数、组合数，还有捆绑、插空、倍缩、间接四招。
可真到考场上，真正卡住人的往往不是公式，而是这一句：这道题该从哪儿下手？
本讲就干一件事——把排列组合里最常出现的五种"形状"认出来。题目换了皮，骨架没换：
| 树状模型 | ||
| 涂色模型 | ||
| 捆绑模型 | ||
| 插空模型 | ||
| 定序模型 |
认出形状之后，动笔只是执行。本讲十道例题就是十次"认形状"的演练：例 1、例 2 画树状图，例 3、例 4 涂色，例 5 到例 7 练插空与捆绑，例 8 到例 10 练倍缩与定序。
🎯 学习目标
归纳出解决排列组合问题的前五种常用模型：树状、涂色、捆绑、插空、定序； 会判断一道题该用哪个模型，并把模型翻译成具体的分步或分类动作。
📖 要点提炼
一、树状模型
有些题数据量不大，但三言两语说不清，几个步骤之间的关系缠在一起。这时不妨画树状图：每一步分出几个叉，一条路一条路地数，数完再合起来。
它的好处是不会重、不会漏，而且可以只画在解题的某个局部——前面的步骤用公式，卡住的那一步画树。
二、涂色模型
涂色题频率很高，思路主要两个方向：
方向一：按区域（或顶点）依次涂色。 关键是设计好一条涂色顺序，并且随时注意"这一步要不要分类"； 方向二：按使用的颜色种数分类。 先定用几种颜色，再对每一类分别涂。
判据很简单：区域少、相邻关系像一条链 → 方向一更省事；颜色多、结构对称或区域多 → 方向二更稳。
三、捆绑模型
要求某些元素相邻，就先把它们捆成一个"大元素"，与其余元素一起排列，最后别忘了捆内还要排列。
一句话：先捆、再排、后拆。 漏掉"后拆"这一步，答案会小 倍。
四、插空模型
要求某些元素不相邻，就先排不受限制的元素，再把受限的元素插进它们形成的空位里。
三个细节每次都要问：
谁插谁的空？——受限的插不受限的； 插哪几个空？——含两端还是只插中间，看题面（两端能不能放）； 一个空能插几个？——通常一个空只插一个，但若插两个，这两个必然相邻，需另行处理。
五、定序模型（倍缩法）
有些元素的先后顺序事先定死，或者某几个元素彼此不加区分，这时总数要除以它们内部的多余次序：
其中 个元素分成 类，第 类有 个元素，类内不加区分（或顺序已定）。
用之前记得先做一件事：把元素按各自特征归好类——哪些是同一类、哪些顺序定死，归类错了后面全错。
🧮 范例精讲
例 1 八支队伍抽签（树状模型）
某比赛有 支队伍：中国赛区 号，韩国赛区 号，欧洲赛区 号。淘汰赛抽签分四组两两对决，要求同一赛区的队伍不对战，且同一编号的队伍不对战。不同的对局情况有多少种？
解析。 中国赛区有 支，正好占满四组的一侧；其余 支（韩国 支、欧洲 支）只能分别去对中国的 支——把中国队看成 个位置，把另外 支排上去。
这样一来"同一赛区不对战"自动成立（韩、欧两队永远不会被分到同一组），剩下的约束只有一条：编号不能对上。即
韩 不能对中 ；韩 不能对中 ；韩 不能对中 ；欧 不能对中 。
支队伍往 个位置排，共 种，画树状图按"位置 上放谁"逐层展开，把违反编号约束的枝条剪掉，最后剩下
（容斥核对：。注意"韩 在 号位"与"欧 在 号位"互斥，所以六个"两两交集"里有一个是 。）
评注。 本题不建议先去"配对"——先配对会让思绪很乱，容易漏掉合法情况或混进非法情况。先把条件最硬的一方固定成位置，再把另一方排上去，这是抽签、配对类题的通用起手式。
例 2 四位同学五项测试（树状模型）
位同学在同一天的上、下午参加"身高与体重""立定跳远""肺活量""握力""台阶"五个项目的测试，每人上、下午各测一个项目且不重复。上午不测"握力"，下午不测"台阶"，其余项目上、下午各测试一人。不同的安排方式有多少种？
解析。 先把五个项目符号化，分别记为 （ 是握力、 是台阶）。于是
上午测 ；下午测 。
上午没有任何附加限制， 人分 个项目，共 种。
下午的约束就多了：每人不能重复上午测过的项目。任取上午的一种排法（比如 甲、 乙、 丙、 丁），下午要做的就是把 分给四人，且
（丁上午测的是 ，不在下午，自动无冲突。）三个禁位的排列数用容斥：
这一步也可以直接画树状图数，同样是 。所以总数
评注。 两点值得记：一是符号化（ 代替五个长名字），思考和书写都省事；二是本题的树状图没有单独呈现全题，而是与上午的全排列结合使用——方法与方法的拼接，才是实战中的常态。
例 3 五区域地图涂色（涂色模型·按区域分步）
如图，一个地区有 个行政区域（区域 两两相邻；区域 与 相邻；区域 与 相邻）。给地图涂色，要求相邻区域不同色，现有 种颜色，不同的涂色方法有（ ）
A、 种 B、 种 C、 种 D、 种
解析。 按区域 的顺序分步：
区域 ： 种； 区域 ：与 相邻， 种； 区域 ：与 都相邻， 种； 区域 与区域 ：区域 与 相邻，可选的颜色只剩 种，按"是否与区域 同色"分成两类： 区域 与区域 同色： 种，此时区域 与 相邻，而这三者只用了 种颜色，区域 有 种； 区域 与区域 异色： 种，此时 用了 种不同颜色，区域 只剩 种。
所以第四步共 种，总数
选 B。
评注。 涂色的第一步是设计顺序：先涂谁后涂谁，决定了后面要不要分类。本题把最难的区域 留在最后"打包处理"，正是为了把分类压到最少。另外，本题也可以按用色种数分类来做（用 色、用 色两类），有兴趣可以自己试一遍。
例 4 三棱柱的六个顶点（涂色模型·按用色数分类）
用 种不同颜色给三棱柱 的六个顶点涂色（上底面是 ，下底面是 ，侧棱为 ），每条棱的两个端点不同色。不同的涂色方法有多少种？
解析（按用色种数分四类）。 由于上下底面各是三角形，同底的三个顶点两两相邻，至少要 种颜色。
用 色：六个顶点颜色全不同，； 用 色：选 色 种，先涂 有 种，再涂 中的两个点有 种，最后一点只剩 种，共 ； 用 色：选 色 种，先涂 有 种，再涂 中的一个点有 种，最后两点有 种，共 ； 用 色：选 色 种，先涂 有 种，此时 各只剩一种可用的配法（两种交错），共 。
合计
评注。 与例 3 相比，本题有两个鲜明特点：一是涂色过程更复杂，二是涂色对象从平面图形变成了立体图形。若改为"按顶点依次涂"（先 再 ，并按 与谁同色分类），同样能得 ，但思维量更大——区域多、颜色多时，按用色数分类往往更稳。
例 5 摊位规划（插空模型，附三个变式）
某夜市一排有 个铺位，现有 家小吃类店铺、 家饮料类店铺入驻，要求饮料类店铺不能相邻。可以排出多少种摊位规划？
解析。 先排不受限的 家小吃店（ 种），它们形成 个空位（含两端），再把 家饮料店插进其中 个空位：
变式 1： 若要求饮料类与小吃类都不能相邻呢？
两类各 家，只能严格交替，结构不是 就是 ，故
变式 2： 若改成 个铺位、 家小吃店、 家饮料店，仍要求两类都不相邻呢？
小吃比饮料多 家，只能排成 型（ 小吃、 饮料），两端的空位用不上，故
变式 3： 若回到 个铺位、 家，只要求小吃类必须相邻呢？
把 家小吃店捆成一个大元素，与 家饮料店共 个元素排列，再拆开捆内：
评注。 四个数摆在一起看最清楚：同样的 个铺位、 家店，只因条件从"饮料不相邻"变成"两类都不相邻"再变成"小吃相邻"，答案就从 掉到 又回到 。相邻用捆绑、相间用插空，条件落在谁身上，就从谁开始动手。
例 6 五声音阶（插空模型）
中国古代五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽。五个音阶全用上排成一个音序，要求宫、羽两音阶不在角音阶的同侧，可排成多少种不同的音序？
A、 种 B、 种 C、 种 D、 种
解析（方法一：按角的位置分类）。 五个位置从左到右记为 。"宫羽不在角的同侧"意味着角必须"插在宫与羽之间"，所以角只能在 号位：
角在 号位：宫、羽中挑一个放 号位（ 种），另一个与商、徵随便排 号位（ 种），共 ； 角在 号位：宫、羽一个放 或 号位（ 种），另一个放 或 号位（ 种），余下两音排剩余两位（ 种），共 ； 角在 号位：与 号位对称，共 。
合计 ，选 D。
解析（方法二：先定相对结构再插空）。 先把宫、角、羽的相对顺序定成"宫—角—羽"或"羽—角—宫"，有 种；再把商插进 个空位（含两端）、徵插进 个空位：
插入不会改变三者的相对顺序，所以这样得到的每一个都满足要求，且不多不少。
评注。 方法二比方法一简洁得多：它先搭好骨架（宫—角—羽），再把其余元素逐一插空。这跟传统插空法的区别在于——插的对象不是"不相邻的元素"，而是"没被约束的自由元素"，插的空也包括两端。这个思路在例 7 里还要用一次。
例 7 六本书上架（插空模型的局部用法）
书架上有 本不同的书： 本语文、 本数学、 本英语。若同科目的书不排在一起，有多少种不同的排法？
解析。 "同科目不排在一起"有两条：两本数学不相邻，三本英语也不相邻。
先拿 本语文（记为 ）和 本数学（记为 ）搭框架，只有三种可能：
再把 本英语插进这 个元素形成的 个空位（含两端），每个空至多插一本——同一个空里放两本英语，它们就相邻了。
框架 （语 数 数）：此刻两本数学是相邻的，必须被英语隔开，所以两本数学之间那个空必插；余下 本英语从其余 个空中选 个：
**框架 **：与 对称，也是 种； 框架 （数 语 数）：两本数学已被语文隔开， 个空任选 个即可：
合计
（其中 是三本英语的排列， 是两本数学的交换。）
评注。 关键一步是先排 本语文和 本数学搭出框架。反过来先排 本英语行不行？也行，但英语形成的 个空中，中间两个必须插进其余的书，而"一个空里插几本"又会分出好几种情况，思路立刻变复杂。先排谁，决定了后面分类的多少。
例 8 卡片组六位数（倍缩 + 间接）
标有数字 的六张卡片排成一排组成六位数，可组成多少个不同的六位数？
解析。 两步。
第一步（倍缩）。 六张卡片若互不相同有 种排法，但两个 不加区分、两个 不加区分，各多算了 倍：
第二步（间接）。 六位数首位不能是 。首位恰为 的排法，相当于把余下五张（两个 、两个 、一个 ）排列：
故
评注。 本题只有两个限制： 与 各出现两次（倍缩）、首位不能为 （间接）。两个工具叠着用，一步一个，清清爽爽。
例 9 灯笼里的谜题（定序模型）
某次灯谜大会把 个不同的谜题藏在 只灯笼里，每只灯笼放 个。灯笼挂成三列，从左到右分别挂 只、 只、 只。规定参与者每次只能取某一列最下面的一只并解答其中的谜题，直到答完全部 个。不同的答题顺序有多少种？
解析。 把 个谜题全排列有 种，但每一列内部"自下而上"的取灯顺序是定死的：第 列只有 只，第 列的 只顺序固定，第 列的 只顺序也固定。于是每一列内部的 、、 倍次序都要除掉：
换个等价说法：答题顺序等价于"把 个先后名额分给三列"，第 列拿 个、第 列拿 个、第 列拿 个：
评注。 本题的难点全在读懂题意：一旦看出"每列的取灯顺序是确定的"，就只是定序模型的一次除法。
例 10 规范 01 数列（树状 + 定序）
定义"规范 数列" ：共有 项，其中 项为 、 项为 ，且对任意 ，前 项中 的个数不少于 的个数。若 ，这样的数列共有多少个？
解析。 时共 项， 个 、 个 ，且任意前缀中 的个数不少于 的个数。
把 看成"向上一步"、 看成"向下一步"，这就是第 128 讲例 10 见过的那条不许穿到横轴下方的折线——答案正是卡特兰数：
直接画树状图也能数出 ：第一位必须是 ，最后一位必须是 ，中间六个位置在满足"前缀不违规"的前提下逐一展开，逐层数下去正好 条路。
评注。 规范 数列、括号的合法配对、栈的输出序列、凸多边形的三角剖分……它们背后是同一个结构：**任意前缀中"上升"不少于"下降"**。认出这个结构，比记住 有用得多。
🧭 思维显微镜
一、什么时候值得画树状图？
三条判据，满足任意一条就画：
数据不大（几步之内能画完）——例 1 的 支队伍、例 2 的下午 个位置都在 步以内； 条件互相缠绕，说不清谁先谁后——例 1 的"同赛区不对战 + 同编号不对战"两条约束叠在一起； 只需在某个局部画——例 2 只在"下午"这一步画，上午照样用 。
树状图最大的价值不是"算出答案"，而是保证不重不漏：每一条从根到叶的路径就是一个完整方案，数枝条就行。
二、涂色的两条路，怎么选？
按区域依次涂：适合区域少、相邻关系像一条链（每个新区域只跟前几个发生关系）。风险是中途被迫分类（例 3 的区域 与区域 就分了两类）； 按用色种数分类：适合颜色多、结构对称（例 4 的三棱柱）。好处是每一类内部结构简单，坏处是类数可能很多。
判据： 先估算两条路各自的"分支数"。哪边的分支少，就走哪边。例 3 按区域涂只有 处分类（得 ），例 4 按区域涂要在 上连分好几类，不如按用色数分四类清爽。
三、插空时，"谁插谁的空、插哪些空"
这是插空模型最容易出错的地方，三步自查：
谁受限就插谁：要求"饮料不相邻"，就把饮料插进小吃形成的空（例 5）；反过来先排饮料再插小吃，只有当小吃数量"装得下"时才方便（例 5 变式 2）。 两端能不能放：两端允许 → 空位数是 ；两端不允许（如"左右两边都有空位"）→ 只能用中间的空。练一练第 题就是后者。 一个空能放几个：同一空放两个，这两个必然相邻——除非题目允许它们相邻，否则一个空只放一个。
四、定序模型的"除法"，到底除掉了什么？
和第 128 讲"平均分组除 "是同一件事：除掉被偷偷排进去的、其实不该算的次序。
平均分组：堆不编号，却按"先取一堆、后取一堆"排了序 → 除 ； 定序（例 9）：每列灯笼的自下而上顺序定死，全排列却把它当成了可随意排的 → 除 、； 相同元素（例 8）：两个 不加区分，全排列却把它们当成两个不同的个体 → 除 。
三句话其实是同一句话：全排列默认"人人都不同、次序都自由"，凡是不满足的，就把多算的那部分除掉。
🎒 本讲带走
| 折线不穿下方，答案 |
📚 选题说明
原书 9 道例题全取，按原书顺序编为例 –；例 保留原书的三个变式（原书第二个变式编号误作"变式 "，与第一个变式重号，本讲依次重编为变式 、变式 、变式 ）。
第 例为补选。 原书本讲"范例精讲"只到例 ，为凑满十例并给树状模型一个更有分量的收尾，本讲把"综合练习"第 题（规范 数列， 得 ）提升为例 ——它既用树状图，又与上一讲例 的卡特兰数首尾呼应。
例 1 补了"先把中国队当位置"这一句。 原书解析直接说"将韩国和欧洲赛区的 支队伍排到中国赛区的 个位置上去"，本讲把它提成可迁移的起手式（抽签、配对题通用），并用容斥给了第二种算法（），顺带指出"韩 与欧 都在 号位"互斥，容斥的交集要按 算。
例 2 点明"符号化"与"方法拼接"。 原书评注提到这两点，本讲把它们写成两条可操作的提醒，并补了下午三个禁位的容斥算式 。
例 3 的图形结构用文字写清。 原书图未随文转录，本讲按解析反推出相邻关系（ 两两相邻； 与 相邻； 与 相邻），并在题干中用文字写明；按此结构独立枚举，涂色数恰为 （原书答案 B 无误）。
例 4 保留"按用色数分类"作主线，并把四类各自的算式与数值列全（、、、，合计 ），枚举 种涂法核对无误。
例 6 方法二有一处校记。 原书方法二写作 ，按字面算得 ，与答案 不合；正确应为 （商、徵可以插在两端，三元素骨架有 个空、四元素有 个空）。本讲按 书写，并保留方法一（按角的位置分类 ）作对照。
例 7 的框架分类按枚举结果定稿。 原书解析给出 、 各 、 为 ，本讲用 的全排列枚举核对，三个数无误，合计 ；文中把"框架里两本数学是否相邻决定了可用空位数"这一层说清。
练一练 10 题：第 – 题取自原书"基础过关"–，第 – 题取自"综合练习"、、，第 、 题取自"综合练习"、，第 题取自"综合练习"。未收的题目：第 题（八类校本课程，多选）选项公式较长且涉及"不相邻/相邻/不在首尾"四种判断，留到后续专题；第 题（ 区域 色全用，）需配原图；第 题是三小问合编（、、）；第 题已提升为例 ；第 题（）与第 题（）属"拓广提升"，用的是插空法的变式与按类型枚举，本讲未收。
两处原书算式提示。 ① "基础过关"第 题（本讲练 ）后排两人的插法，原书方法一写 ，后排 人应形成 个空，正确的相邻情形是 ，故后排共 种、总数 （原书答案 C 无误）；方法二原书写作 ，按字面得 ，应为 （逐一插入时，第二个人面对的是 个空、第三个人面对 个空）。② "综合练习"第 题（本讲练 ）原书解析写作 ，按字面得 ；正确表述是" 个相同空位排好后只有 个中间空位可插入，"（答案 无误）。
✍️ 练一练
1. 用红、黄、蓝三种颜色给排成一列的六个相连的圆涂色，每种颜色只能涂两个圆，且相邻的两个圆颜色不能相同，则不同的涂色方案有（ ）
A、 种 B、 种 C、 种 D、 种
2. 现有五种不同颜色对如图所示的五个部分涂色（五个部分围成一圈，依次相邻；另外区域 与区域 也相邻），要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A、 种 B、 种 C、 种 D、 种
3. 将标有数字 的六张卡片排成一排组成一个六位数，可以组成的不同的六位数有（ ）
A、 个 B、 个 C、 个 D、 个
4. 若把英语单词"error"中的字母拼写顺序写错了（字母出现的次数没错），则可能出现的错误情况有________种。
5. 人站成 排，前排 人、后排 人，现将甲、乙、丙加入队列，前排加 人、后排加 人，其他人保持相对位置不变，则不同的情况有（ ）
A、 种 B、 种 C、 种 D、 种
6. 某中学高二年级举行英语口语演讲比赛，共 人参加，其中一班 名、二班 名、其他班 名。用抽签方式确定演讲顺序，则一班 名同学的序号相连且二班 名同学的序号不相连的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
7. 身穿红、黄两种颜色衣服的各有 人，身穿蓝色衣服的有 人。将这 人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有（ ）
A、 种 B、 种 C、 种 D、 种
8. 某工程队有 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这 项工程的不同排法有________种。
9. 电影院每排有 个位置，甲、乙、丙 个人去看电影，要求他们坐在同一排，且每个人左右两边都有空位，则不同的坐法有________种。
10. 一次射击比赛有 个泥质靶子挂成三列，从左到右分别挂 只、 只、 只。一位"神枪手"按如下规则打完所有靶子：先选定一列，再打掉该列尚存的最下面的 只。打掉这 只靶子共有________种不同的顺序。
🔑 参考答案
1．C。 六个圆排成一列，三色各涂两个，相邻不同色。用枚举或逐位推算，共 种；其中第一圆固定为红色时有 种，三种颜色对称，故 。
2．B。 按用色种数分类：
用 色：； 用 色：选色 种，恰有一对不相邻的区域同色（不相邻的对共 对： 与 、 与 、 与 、 与 ），共 ； 用 色：选色 种，需要两对同色，可行的组合有 种，共 。
合计 。
3．B。 两张 、两张 不加区分，去重后共 种排法；其中首位为 的有 种，故六位数有 个。
4．。 "error"共 个字母， 个 不加区分，不同排法有 种，其中正确的是 种，故错误拼法有 种。
5．C。 前排 人形成 个插入位，后排 人形成 个插入位。先选谁去前排（ 种），插进前排 个空（ 种）；剩下两人插入后排：若落在不同空位有 种，若落在同一空位（两人相邻）有 种。故
6．A。 把一班 人捆成一个大元素，与其余 人共 个元素，排法 ；二班 人插进 个空位且不相邻，；一班内部 。总的顺序数是 ，故
7．D。 先排 名蓝衣与 名红衣，框架只有 、、 三种（ 为蓝衣、 为红衣）：
与 ：两名红衣相邻，中间那个空不能插黄衣，可用空 个，各 种； ：可用空 个，共 种。
合计 。
8．。 甲、乙、丙三者的先后顺序定死（甲 乙 丙）， 项工程的全排列中只有 满足，故
9．。 先放好 个空座位（彼此相同），它们之间只有 个"中间空位"可插人（两端放人就不能保证左右都有空位）。把甲、乙、丙依次插进这 个空位，每人占一个：
10．。 每一列内部的顺序定死（自下而上），用倍缩法：
也可分步：先给第一列挑 个打靶时刻 ，再给第二列挑 个 ，余下 个归第三列：
💡 金句
公式还是那两条，题目却换了皮。先认出形状，再动笔——树状图数得清，涂色分得明，相邻就捆、相间就插，顺序定死就除掉多余的次序。
全排列默认"人人都不同、次序都自由"；凡是不满足的，就把多算的那部分除掉。
共同奔赴，下期见。
