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专题9 间接法模型
例1．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地
至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工
作，则不同的分配方法总数为（ ）
A．18
B．24
C．30
D．36
【解析】
因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家
看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家，
先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和
其余二个看成三个元素的全排列共有：
种；
又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，
所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有
种，
所以不同的分配方法种数有：
故选：C
例2．某校从8 名教师中选派4 名同时去4 个边远地区支教（每地1 名教师），其中甲和乙不能都去，甲和
丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（ ）
A．900 种
B．600 种
C．300 种
D．150 种
【解析】
第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5 名教师中选2 名，有
（种）不同选法，
第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6 名教师中选4 名，有
（种）不同选
法，
所以不同的选派方案共有(10+15)
（种）.
故选B.
例3．某市政府决定派遣
名干部（
男
女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要
求每组至少
人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种
A．
B．
C．
D．
【解析】
两组至少都是
人，则分组中两组的人数分别为
、
或
、
，
又因为
名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为
.
故选：C.
例4．某校高一开设4 门选修课，有4 名同学选修，每人只选1 门，恰有2 门课程没有同学选修，则不同的
选课方案有（ ）
A．96 种
B．84 种
C．78 种
D．16 种
【解析】
先确定选的两门:
,再确定学生选:
,所以不同的选课方案有
选B.
例5．从5 名男生和5 名女生中选3 人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数
为
A．100
B．110
C．120
D．180
【解析】
试题分析：10 人中任选3 人的组队方案有
，
没有女生的方案有
，
所以符合要求的组队方案数为110 种
例6．某教师一天上3 个班级的课，每班上1 节，如果一天共9 节课，上午5 节，下午4 节，并且教师不能
连上3 节课（第5 节和第6 节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ）
A．474 种
B．77 种
C．462 种
D．79 种
【解析】
试题分析：根据题意，由于某教师一天上3 个班级的课，每班一节，如果一天共9 节课，上午5 节、下
午4 节，并且教师不能连上3 节课（第5 和第6 节不算连上），所有的上课方法有
，那么连着上3 节课
的情况有5
种，则利用间接法可知所求的方法有
-5
=474，故答案为A.
例7．从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同工作，若其中乙
和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案共有( )
A．36 种
B．12 种
C．18 种
D．24 种
【解析】
利用分类加法原理，对所选的3 人中分三种情况：
乙和丙有2 人，对两个人进行排列，第三项工作再从乘下的3 人中选1 人，即
；
乙和丙有1 人，则有2 种情况，这个人可以从两项工作中任取一项有2 种情况，则乘下的两项工作由3 个
人来排列，即
；
乙和丙都没有，三项工作就由其他3 个人来进行排列，即
；
∴
.
故选：A
例8．某教育局公开招聘了4 名数学老师，其中2 名是刚毕业的“新教师”，另2 名是有了一段教学时间的
“老教师”，现随机分配到A、B 两个学校任教，每个学校2 名，其中分配给学校A 恰有1 名“新教师”和1 名
“老教师”的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
分配给学校A 两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和为
.
故分配给学校A 恰有1 名“新教师”和1 名“老教师”的概率是
.
故选：D
例9．某校教师迎春晚会由
个节目组成，为考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求，节目甲不排在
第一位和最后一位，节目丙、丁必须排在一起，则该校迎春晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【解析】
利用间接法求解，先考虑将丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，共有
种.
若甲排在第一位和最后一位，且丙、丁排在一起，将这两个节目进行捆绑，形成一个大元素，此时，排法
种数为
.
综上所述，符合条件的排法种数为
（种）.
故选：C.
例10．某公园新购进
盆锦紫苏、
盆虞美人、盆郁金香，
盆盆栽，现将这
盆盆栽摆成一排，要求郁
金香不在两边，任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（ ）种
A．
B．
C．
D．
【解析】
使用插空法，先排
盆虞美人、盆郁金香有
种，
然后将
盆锦紫苏放入到4 个位置中有
种，
根据分步乘法计数原理有
，扣除郁金香在两边，
排
盆虞美人、盆郁金香有
种，
再将
盆锦紫苏放入到3 个位置中有
，
根据分步计数原理有
，
所以共有
种.
故选:B.
例11．2019 年4 月23 日中国人民海军建军70 周年.为展现人民海军70 年来的辉煌历程和取得的巨大成就，
我国在山东青岛及附近海空举行盛大的阅兵仪式.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”作战群将参加军演，要求
2 艘攻击型核潜艇一前一后，3 艘驱逐舰和3 艘护卫舰分列左右，每侧3 艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰
艇分配方案的方法种数为（ ）
A．1296
B．648
C．324
D．72
【解析】
由题意可得：2 艘攻击型核潜艇一前一后，有
种方法排列，
6 艘舰艇的任意排列，有
种方法排列，
6 艘舰艇每侧3 艘且同侧是同种舰艇，有
种方法排列，
6 艘舰艇每侧3 艘，同侧不能都是同种舰艇，有
种方法排列，
舰艇分配方案的方法种数有：
故选：A
例12．现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2 篇文章和
4 个视频，一位学习者准备学习这2 篇文章和其中2 个视频，则这2 篇文章学习顺序不相邻的学法有（
）种.
A．24
B．36
C．72
D．144
【解析】
根据题意，分2 步进行分析：
①，在4 个视频中任选2 个进行学习，有
种情况，
②，将选出的2 个视频与2 篇文章依次进行学习，共有
种情况，其中2 篇文章学习顺序相邻的情
况有
种情况，故2 篇文章学习顺序不相邻的情况有12 种，
则这2 篇文章学习顺序不相邻的学法有
种；
故选：C
例13．在报名的
名男教师和
名女教师中，选取
人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选
取方式的种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
试题分析：由题可从反面处理，即从选法中减去全是女生的选法，则可得有；
种选法．
例14．某部门在一周的7 天内给3 名实习生每人安排1 天的工作，若每天最多安排一名实习生，且这3 名
实习生不能安排在连续的3 天，则不同的安排方案的种数为（ ）．
A．30
B．120
C．180
D．210
【解析】
由题意，将3 名实习生随机安排在一周的7 天内，共有
种安排方案，
将3 名实习生安排在连续的3 天的安排方案有
种，
所以满足题意的不同安排方案有
（种）．
故选：C．
例15．我省某医院呼吸科要从2 名男医生，3 名女医生中选派3 人支持湖北省参加疫情防控工作，若这3
人中至少有1 名男医生，则选派方案有（ ）
A．60 种
B．12 种
C．10 种
D．9 种
【解析】
根据题意，有2 名男医生，3 名女医生，共5 名医生中选派3 人，有
种选法，
其中没有男医生，即全部为女医生的选法有
种，
则有
种不同的选法；
故选：D．
例16．有13 名医生，其中女医生6 人，现从中抽调5 名医生组成医疗小组前往湖北疫区，若医疗小组至少
有2 名男医生，同时至多有3 名女医生，设不同的选派方法种数为
，则下列等式能成为
的算式是（
）.
A．
；
B．
；
C．
；
D．
；
【解析】
解：13 名医生，其中女医生6 人，男医生7 人．
利用直接法，2 男3 女：
；3 男2 女：
；4 男1 女：
；5 男：
，所以
；
利用间接法：13 名医生，任取5 人，减去4、5 名女医生的情况，即
；
所以能成为
的算式是BC．
故选：BC．
例17．在100 件产品中，有98 件合格品，2 件不合格品，从这100 件产品中任意抽出3 件，则( )
A．抽出的3 件中恰好有1 件是不合格品的抽法有
种
B．抽出的3 件中恰好有1 件是不合格品的抽法有
种
C．抽出的3 件中至少有1 件是不合格品的抽法有
种
D．抽出的3 件中至少有1 件是不合格品的抽法有
种
【解析】
由题意知，抽出的三件产品恰好有一件不合格品,
则包括一件不合格品和两件合格品,
共有
种结果，则选项A 正确，B 不正确；
根据题意,"至少有1 件不合格品"可分为"有1 件不合格品"与"有2 件不合格品"两种情况,
"有1 件不合格品"的抽取方法有
种,
"有2 不合格次品"的抽取方法有
种,
则共有
种不同的抽取方法,选项C 正确；
"至少有1 件不合格品"的对立事件是"三件都是合格品"，
"三件都是合格品"的抽取方法有
种,
抽出的3 件中至少有1 件是不合格品的抽法有
，选项D 正确；
故选：ACD.
例18．新型冠状病毒疫情期间，
位党员需要被安排到
个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其
中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有_______种不同安排方法．（用数字作答）
【解析】
先考虑没有限制条件下的排法种数，将
人分为三组，三组的人数分别为
、、或
、
、，此时，
所有的排法种数为
.
其次考虑甲、乙两人安排在同一路口时的排法种数，此时有
种排法.
综上所述，共有
种.
故答案为：
.
例19．某单位拟安排6 位员工在今年6 月14 号至16 号（某节假期）值班，每天安排2 人，每人值班1 天.
若6 位员工中的甲不值16 号，乙不值14 号，则不同的安排方法共有____________种.
【解析】
解：根据题意，不同的安排方法的数目为：
所有排法减去甲值16 号或乙值14 号的排法数，再加上甲值16 号且乙值14 号的排法，
即
，
故答案为：42．
例20．从数字0，1，2，3，4，5，6 中任取3 个，这3 个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用
数字作答）.
【解析】
从数字0，1，2，3，4，5，6 中任取3 个，共有
，乘积为奇数只有
一种情况
故这3 个数的乘积为偶数时的不同取法共有
种.
故答案为：
例21．中国有十二生肖，又叫十二属相，是以十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、
狗、猪）形象化代表人的出生年份，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位属相不同的小朋友依次每人选一
个，则三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有________种．
【解析】
解：三位小朋友选择的总情况共有
（种）．
①三人都选与自己属相相同的吉祥物，有1 种选法；
②三人中有二人选与自己属相相同的吉祥物，选法共有
（种）；
③三人中有一人选与自己属相相同的吉祥物，选法有
（种），
所以三位小朋友都不选和自己属相相同的吉祥物的选法有
（种）．
故答案为：
例22．从正方体的8 个顶点中选4 个点作一个平面，可作___________个不同的平面，从正方体的8 个顶点
中选4 个点作一个四面体，可作___________个四面体.
【解析】
正方体的8 个顶点中选4 个点作一个平面，共有正方体的6 个面和6 个对角面，共12 个不同平面，故可作
个四面体.
故答案为：12；58.
例23．由数字1，2，3，4，5 组成无重复数字的五位数.
（1）共可以组成多少个五位数？
（2）其中奇数有多少个？
（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125 是第几个数？说明理由.
【解析】
（1）由数字1，2，3，4，5 组成无重复数字的五位数，共可以组成A5
5＝120 个五位数
（2）∵由1、2、3、4、5 组成的无重复数字的五位数的奇数，
∴第五个数字必须从1、3、5 中选出，共有C3
1种结果，
其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A4
4种结果，
根据分步计数原理得到共有C3
1A4
4＝72；
（3）根据题意，用1、2、3、4、5 这五个数字组成无重复数字的五位数，有A5
5＝120 种情况，即一共有
120 个五位数，
再考虑大于43125 的数，分为以下四类讨论：
1、5 在首位，将其他4 个数字全排列即可，有A4
4＝24 个，
2、4 在首位，5 在千位，将其他3 个数字全排列即可，有A3
3＝6 个，
3、4 在首位，3 在千位，5 在百位，将其他2 个数字全排列即可，有A2
2＝2 个，
4、43215，43251，43152，共3 个
故不大于43125 的五位数有120﹣（24+6+2+3）＝85 个，
即43125 是第85 项．
