初中数学原来是一张网,数、方程和函数怎样连起来?

小学算过的 3＋5，到了初中，会变成 3x＋5x。再往后，字母走进等式，成了方程；两个量一起变化，又有了函数。

每学一章，名字就多几个。负数、有理数、无理数，随后又是整式、方程、不等式、函数。单独看每个概念，未必很难；合上书以后，它们之间的关系却容易模糊。

我们沿着几个熟悉的例子走一遍。先给数找位置，再看字母能做什么，最后把方程的答案放回函数图像。走到那里，前面学过的东西就能在同一道题里碰面了。

数的名字变多了，它们怎样分家？

先从温度说起。零上 3 度记作 3，零下 3 度记作 −3。有了负数，零的另一侧也能表示了。把正整数、零和负整数放在一起，就得到整数；分数也可以带上负号。

接着看两种常见写法。

0.5＝1/2，5＝5/1。

这两个数都能写成分数。有限小数与整数，都有这样的写法。这里还能包括无限循环小数，例如 0.333…＝1/3，省略号表示后面的 3 一直重复。

这个等式可以算出来。设 u＝0.333…，两边乘 10，就有 10u＝3.333…。两式相减，重复的小数部分抵消，得到 9u＝3，于是 u＝1/3。

对别的无限循环小数，也可以把循环节移动到相同位置，再相减。有限小数更直接，0.125＝125/1000＝1/8。负号也不影响这种表示，−0.5＝−1/2。

这些数有一个共同特征，都能写成两个整数之比 p/q，其中 q≠0。 满足这个条件的数，叫有理数。

还有一些数，无法写成这样的整数之比。它们写成小数时无限延续，且不循环，叫无理数。√2 和 π 就属于这一类。这里的“不循环”指小数展开没有从某处开始无限重复的固定循环节；只看计算器上有限的几位，无法作出这个判断。

同一个数可能有不同写法。0.5 和 1/2 在同一类，也表示同一个数；分母为零的写法不在有理数定义内。

有理数与无理数合在一起，就是实数。这些名字告诉我们一个数属于哪一类，接下来再问它在哪里。

给每个数找一个位置

画一条直线，规定原点、正方向和单位长度，数轴就建好了。

0 在原点，1 在右侧一个单位处，−1 在左侧一个单位处。1/2 落在 0 和 1 的正中间。分数的分母再大，也有自己的位置。

√2 的小数写不完，它的位置同样可以确定。画一个边长为 1 的正方形，设对角线长为 d。根据勾股定理，d²＝1²＋1²＝2，长度取正值，所以 d＝√2。

把这段长度从原点沿数轴向右量出去，终点就表示 √2。

两幅图采用相同单位长度。右图的金色线段与左图对角线等长，终点在 1 和 2 之间。这个构造确定了 √2 的位置，无理性的证明是另一件事。

在实数范围内，每个数都对应数轴上唯一的点，数轴上的每个点也都对应唯一的实数。于是，比较大小有了图上的依据，右边的数总比左边的大。

相反数和绝对值，也能在同一幅图上理解。

3 和 −3 分居原点两侧，离原点都为 3，它们互为相反数。0 的相反数仍是 0。只量一个点到原点的距离，就得到这个数的绝对值，所以 |3|＝|−3|＝3，|0|＝0。

绝对值始终大于或等于零。 距离这件事，已经把条件讲清楚了。

运算也能放到数轴上

算 −5＋3，可以从 −5 出发，向右走 3 个单位，停在 −2。

再算 2−5，从 2 出发向左走 5 个单位，停在 −3。同样的移动，也可以写成 2＋(−5)。

两条数轴尺度相同，每一格都表示一个单位。实心点标起点，箭头所指的点标结果。

减去一个数，可以转成加上它的相反数。这条规则写成字母，就是 a−b＝a＋(−b)。例如 2−(−3)＝2＋3，要向右走 3 个单位。

到这里，数轴已经做了两件事。它给数安排位置，也把加减法表示成有方向的移动。纸上的数与运算，开始和图形发生联系。

字母留下来，规律就能一起写

3＋5＝5＋3，换成 7＋2＝2＋7，交换前后两个加数的位置，和都不变。把具体的数换成 a 和 b，就能用 a＋b＝b＋a 表达加法交换律。

字母可以表示允许范围内的数。同一个式子中的同一个字母，要表示同一个数；具体取值可以在不同计算中改变。

这样再看 3x＋5x，就容易理解了。前一项是 3 个 x，后一项是 5 个 x，合起来是 8 个 x。用已经学过的分配律写出来，便是 3x＋5x＝(3＋5)x＝8x。

这里能合并，是因为每份都是同一个 x。3x＋5y 没有说明 x、y 之间的关系，就应当保留两项。取 x＝2、y＝4，原式是 6＋20＝26；若随意写成 8x，就变成 16，结果已经不同。

到了更一般的整式，同类项还要求所含字母相同，相同字母的指数也相同。例如 3x² 和 5x² 可以合并为 8x²，3x 和 5x² 就不能照着合并。

上面两行比较同类项与不同类项。下方用面积表示 3x＋5x＝8x，面积图限定 x＞0；这个代数等式对所有实数 x 都成立。

式子还可以对应面积。两个长方形高度都是正数 x，宽分别为 3 和 5，把它们拼在一起，总宽为 8。分开算面积是 3x＋5x，合起来算是 8x，两种算法计算的是同一块区域。

这一步接住了小学学过的分配律，也为后面化简整式留下了理由。

给未知的数一个名字，就能列方程

小学的“□＋3＝5”，换一个记号，就写成了 x＋3＝5。这里要找一个数，让等号两边相等。

等式两边同时减去 3，得到 x＝2。原来的加减运算，已经在帮我们寻找未知数了。

数量关系稍复杂一些，也能用同样的办法。假设一个数的 2 倍再加 3，结果是 11。先设这个数为 x，便有 2x＋3＝11。

每一步都对等式两边做相同操作。除以 2 合法，是因为 2 不为零；代回原方程后，两边同为 11。

两边同时减去 3，得到 2x＝8；再同时除以 2，得到 x＝4。代回原式，2×4＋3＝11，确实成立。

后来会遇到一元二次方程、二元一次方程组，还会遇到未知数出现在分母里的分式方程。样子变了，已有的运算和等式关系仍然用得上，只是要多留意每一步的条件。

例如解分式方程，分母必须不为零，去分母后求出的候选值还要代回原方程检验。再如 x²＝4，2 和 −2 都符合条件，不能只留下正数答案。

方程可能有多个解，也可能无解。每一次计算，都要服从原来的条件。

输入换了，输出怎样跟着变？

刚才的方程 2x＋3＝11，把结果定在了 11，要找符合条件的 x。

现在把结果记作 y，写成 y＝2x＋3，允许 x 在实数范围内变化。取 x＝0，y＝3；取 x＝1，y＝5；取 x＝4，y＝11。

我们开始研究两个变量之间的对应关系。在允许的输入范围内，每给定一个 x，都有唯一确定的 y 与它对应，这就构成了函数关系。

“唯一”落在输出这边。一个输入不能同时配两个不同的输出；不同输入却可以得到同一个输出。例如 y＝x² 中，x＝2 和 x＝−2 时，y 都等于 4，它仍然是函数。

函数也有具体的来处。匀速运动时，速度固定为每小时 60 千米，经过 t 小时的路程就是 s＝60t 千米，t≥0。正方形边长为 a，面积是 S＝a²，a＞0。圆的半径为 r，周长是 C＝2πr，r＞0。

这些式子分别告诉我们，时间或长度改变以后，另一个量怎样计算。变量的范围，要由实际问题决定。

图中采用 y＝2x＋3。表里每一对数都对应右侧的一个点，整条直线表示所有实数输入对应的点。

横着记 x，竖着记 y，一对数 (x，y) 就确定平面上的一个点。把函数对应的所有点放在一起，得到函数图像。y＝2x＋3 的图像是一条直线，y＝x² 的图像则是一条抛物线。

图像也要服从原来的输入范围。路程 s＝60t 的实际问题中，t≥0，图像只取相应的部分，不能随手把负时间也当成这段运动。

方程的答案，能在函数图像上找到

再回到 2x＋3＝11。

函数 y＝2x＋3 告诉我们每个输入对应的输出。把输出限制为 11，就能在图像上问同一件事，直线走到多高时，纵坐标等于 11？

画一条水平线 y＝11。它与 y＝2x＋3 相交于 (4，11)，交点的横坐标 4，就是方程的解。

上图交点为 (4，11)。下方数轴分别表示 x＝4 与 x＞4，实心点包含端点，空心点不包含端点。

代数计算已经给出 x＝4，图像让这个答案有了可辨认的位置。

问题再改一下，2x＋3＞11，要找哪些 x？沿着图像看，在交点右侧，y＝2x＋3 的直线高于水平线 y＝11，所以对应的输入满足 x＞4。

计算也能走到这里。两边减去 3，得 2x＞8；两边除以正数 2，得 x＞4。除数为正，不等号方向保持不变。

把所有符合条件的输入放回数轴，4 处画空心圆，向右标出整个范围。方程给出这道题的一个点，不等式给出这道题的一段范围。

这也说明了为什么数轴学完以后，还会在不等式里出现。我们一直需要一种方法，把哪些数符合条件表示出来。

回到这张关系图

图中的连线标出本篇走过的联系，不表示所有数学内容的分类，也不要求每个问题都按箭头顺序处理。

数轴帮我们找到数的位置，字母把相同的运算规律写进一个式子。加上等量条件，可以列出方程；让输入变化，就能研究函数。坐标图又把这些数量关系画了出来。

下一次看到 2x＋3＝11，可以先在纸边写下 y＝2x＋3，再画出 y＝11。算出的 4 会落在交点的横坐标上。把等号改成大于号，目光就从那个交点移到了它右侧的一段直线。前面学过的运算、坐标和数轴，此时都能派上用场。