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高中数学每日进阶(高三)丨导数与函数的极值、最值:极值看变号,最值比全场
极值点就是最值点吗？
求导只是开场，变号才是答案
极值看变号，最值比全场
极值判定 · 闭区间最值 · 含参四级分界 · 恒成立
高中数学每日进阶
📦 5 Parts + Conclusion
👉 滑动
PART 01
为什么现在讲它
链条断在后半段
PART 02
一个方法
判极值＋比全场
PART 03
两个例题
无参与含参
PART 04
题型归纳
七类对号入座
PART 05
对应练习
五题自测
PART ///
写在最后
练习＋明日预告
每天十分钟，把数学学成体系。今天是 2026 年 11 月 6 日（星期五）。昨天高二专场把数列求和的三把武器过了一遍，今天回到高三——一轮复习「导数」的第二站：极值与最值。上一期（11-04）我们已经会用导数判断单调性，这一期要接着往下走一步：单调性知道了，怎么把「峰」和「谷」精确地找出来，又怎么在全场比出最大最小。
01
PART
为什么现在讲它
WHY NOW · 导数第二站
学到这儿，很多同学会生出一种错觉：求导 → 令 f′(x)＝0 → 解出 x → 代回去，题目就结束了。可判卷时的失分，几乎都出在后半段，而不是求导本身。
常见的四种断链长这样：一是把「导数为零」当成「极值点」，忘了还要看两侧变不变号——y＝x³ 在 x＝0 处导数为零，可它一路单调递增，根本没有极值；二是把极值和最值混成一回事，以为极大值一定比极小值大，其实极大值完全可能比另一个极小值还小；三是闭区间求最值只算极值点，漏掉了两个端点；四是含参题讨论了 a＞0 就收笔，没管两根谁大、根在不在定义域里。
这四个坑指向同一件事：极值是局部的，最值是全局的。局部只看一个点附近，全局要看完整段区间。今天就把这条从「求导」到「下结论」的链条一次接上。
02
PART
一个方法：极值看变号，最值比全场
METHOD · 三步收口
先把一句话钉死：f′(x₀)＝0 只是极值点的必要条件，不是充分条件。真正决定它是峰的，是 f′ 在 x₀ 两侧的符号有没有翻脸。整条流程压成三步。
圈定义域
ln x 要 x＞0，分母不为 0
求导分解
整理成看得见零点的形状
列表定号
变号定极值，全场比最值
三步走完，峰谷位置和最大最小一起落定
第一步：圈定义域，把 f′ 整理成「能看号」的形状
单调区间是定义域的子集，极值点也只能长在定义域里。所以第一步永远是圈范围：含 ln x 要 x＞0，有分母要求分母不为 0，偶次根号要求被开方数 ≥0。
圈完范围，第二步是把 f′ 因式分解或通分。像 f′(x)＝(x－1)eˣ 这种一眼能看出零点的形状才有用；如果停在 3x²－6x＋3 或者一个未通分的分式上，符号根本定不下来，后面全是空谈。求出来令它为零的那个 x，叫驻点——记住，驻点只是「嫌疑人」，还没定罪。
第二步：判极值只认「变号」，不认「等于零」
左正右负：f′ 由正变负，函数由增转减——这是极大值点，峰。
左负右正：f′ 由负变正，函数由减转增——这是极小值点，谷。
两侧同号：函数一路增或者一路减，即使 f′＝0 也不是极值点（y＝x³ 在 x＝0 就是这样）。
操作上就一句话：列一张表，把 f′ 的根切出来的每一段都标上正负号。表的最后一行写「增 / 减」，符号变了就是峰谷，没变就直接写「不是极值点」。这张表是过程分的主要来源，别跳。
第三步：求最值，三条线分别走
闭区间 [a, b]：把所有极值点的函数值，和两个端点值 f(a)、f(b) 放在一起比大小。最大值可能落在端点，这一点最容易被忘。
开区间或无穷区间：靠单调性加趋势判断。比如先减后增就一定在极小值点取到最小值；一路递增就没有最大值，只有下确界。
含参求最值：在极值讨论之后还要再分一层——极值点到底落没落在给定区间里。落在里面才参与比大小，落在外面就只用端点值。
含参题的第四层：按这四个分界逐级讨论
导数能不能为零：二次型看 Δ，或者看最高次项系数与 a 的符号。这一层决定「有没有极值」。
根在不在定义域内：带 ln x 的题，负根要直接扔掉。
两个根谁大：分 a＜1、a＝1、a＞1。特别注意两根相等时 f′ 不变号，结论是「无极值」。
根与区间端点的位置：只在求最值时用到，比区间端点靠左、在中间、靠右，三种情况答案不同。
【三条铁律，随手记】① f′(x₀)＝0 推不出极值，反过来极值点处的导数也可能不存在（如 y＝|x| 在 0 处），所以判极值看的是「变号」而不是「解方程」。② 极大值不一定大于极小值，两者是各自邻域里的冠军，根本不在一场比赛里。③ 端点处不叫极值点，但完全可以是最大值或最小值。
本专题口诀
极值看变号，最值比全场；零点不等于峰谷，端点也要上场
（判极值：两侧符号翻不翻脸；求最值：极值加端点一起排队）
03
PART
典型例题讲解
CASES · 两道高频题
无参型：判极值、求闭区间最值、再转恒成立
【例题】已知 f(x)＝(x－2)eˣ。（1）求 f(x) 的极值；（2）求 f(x) 在 [0, 3] 上的最大值与最小值；（3）若 f(x) ≥ m 对任意 x∈[0, 3] 恒成立，求 m 的取值范围。
先提公因式，再列表定号
求导用乘积法则：f′(x)＝eˣ＋(x－2)eˣ＝(x－1)eˣ。这里的关键动作是把 eˣ 提出来——eˣ 恒大于 0，永远不会改变符号，所以 f′ 的正负完全由括号 (x－1) 决定。
x＜1 时 f′＜0，函数递减；x＞1 时 f′＞0，函数递增。x＝1 处由减转增，是极小值点，极小值 f(1)＝(1－2)e＝－e。两侧符号只翻了一次脸，所以没有极大值。
极值之外，把两个端点也拉进来
候选值只有三个：端点 f(0)＝(0－2)e⁰＝－2，极小值 f(1)＝－e≈－2.718，另一端点 f(3)＝(3－2)e³＝e³≈20.09。
三个数一比：最小值是 －e（x＝1 处取到），最大值是 e³（x＝3 处取到）。注意最大值落在右端点，而不是哪个极值点上——这正是闭区间题必须带端点的原因。
恒成立，就是拿最小值当门槛
「f(x) ≥ m 对区间内每个 x 都成立」等价于「区间上的最小值 ≥ m」。由第（2）问最小值为 －e，所以 m ≤ －e。这里方向不能反：恒成立的门槛是最小值，若换成「存在 x 使 f(x) ≥ m」，门槛就换成最大值，答案变成 m ≤ e³。
答案汇总
极小值 －e；最小值 －e、最大值 e³；m ≤ －e
（恒成立取最小，存在性取最大，两个词要分清）
！易错警示 🕳
第一个坑是把 f′(x)＝0 解出来的 x＝1 直接写成「极值点」，没做符号表——本题恰好成立，但这个习惯在含参题里会出事。第二个坑是第（2）问只比极值，忘了 f(0)＝－2 和 f(3)＝e³，把最大值写成了「无极值所以无最大值」。第三个坑是求导时把 (x－2)eˣ 的导数写成 eˣ，漏掉乘积法则的第二项。
含参型：先由点定参再返验，最后按 a 分类
【例题】已知 f(x)＝x³－3ax＋1。（1）若 f(x) 在 x＝1 处取得极值，求 a 的值及此时的极值；（2）讨论 a 的取值，求 f(x) 的极值。
列 f′(1)＝0 只是第一步，返验才是关键
f′(x)＝3x²－3a，条件 f′(1)＝0 给出 3－3a＝0，所以 a＝1。但这只是必要条件，必须回去验一遍：此时 f′(x)＝3x²－3＝3(x－1)(x＋1)，在 x＝1 左侧为负、右侧为正，符号确实翻了脸，所以 x＝1 是极小值点，极小值 f(1)＝1－3＋1＝－1（顺带，x＝－1 处是极大值 3）。
按 a 的符号切第一刀
f′(x)＝3(x²－a)，零点的个数完全由 a 的符号决定，这就是第一层分界。
当 a ≤ 0：x²－a ≥ 0 恒成立，f′(x) ≥ 0，函数在 R 上单调递增（a＝0 时 f′＝3x² 只在 x＝0 处等于 0，两侧同号不变），所以无极值。
当 a ＞ 0：f′＝0 得 x＝±√a。在 (－∞, －√a) 上 f′＞0，在 (－√a, √a) 上 f′＜0，在 (√a, ＋∞) 上 f′＞0。于是 x＝－√a 处是极大值点，极大值 f(－√a)＝1＋2a√a；x＝√a 处是极小值点，极小值 f(√a)＝1－2a√a。
答案（按 a 分类）
a≤0 无极值；a＞0 时极大 1＋2a√a，极小 1－2a√a
（验算：a＝1 时极大 3、极小 －1，与第（1）问吻合）
！易错警示 🕳
第一个坑是第（1）问解出 a＝1 就交卷，不返验——遇到「在 x＝1 处取极大值」这类条件时，求出的 a 可能让两侧不变号，必须舍。第二个坑是第（2）问默认 a＞0，直接写两个极值点，漏掉「a≤0 时无极值」这一支。第三个坑是把极大值 f(－√a) 与极小值 f(√a) 的式子抄反，代入 a＝1 验一下（应为 3 与 －1）就能自查出来。
04
PART
重要知识点类型归纳
TYPES · 七类对号入座
极值最值的题，表面千变万化，落到操作上只有「判号、比全场、分层次」三件事。下面把常考的七类一次列清：
| 题型 | 识别特征 | 关键动作 |
|---|---|---|
| 无参多项式求极值 | f′ 能分解出两个不同零点 | 列表定号：左正右负为极大，左负右正为极小 |
| 带 eˣ、ln x 求极值 | 导数里含 eˣ 或 ln x | 先提公因式（eˣ 恒正），只让括号为零；ln 题先圈 x＞0 |
| 闭区间求最值 | 题目给出 [a, b] | 极值点与两个端点值一起比，最大值常在端点 |
| 已知极值点求参 | 「在 x＝x₀ 处取极值」 | 列 f′(x₀)＝0 解参，再返验两侧变号与极值大小 |
| 含参极值讨论 | f′ 里带参数 a | 按「能否为零 → 根在不在域内 → 两根谁大」逐级分 |
| 极值点个数问题 | 「恰有一个极值点」「有极值」 | 转成 f′＝0 的变号零点个数，画 f′ 草图数交点 |
| 恒成立 / 存在性 | 「f(x) ≥ m 恒成立」 | 化最值：恒成立取最小，存在取最大；含参回到第 5 类 |
一句话记忆口诀
极值看变号，最值比全场；零点不等于峰谷，端点也要上场
（再加半句操作提醒：含参题，先问有没有根，再问根在不在里面）
05
PART
对应练习参考
PRACTICE · 五题自测
求 f(x)＝2x³－3x²－12x＋5 的极值。（答案：极大值 12（x＝－1 处），极小值 －15（x＝2 处）。提示：f′＝6(x－2)(x＋1)，列表定号，代回原函数算值）
求 f(x)＝x³－3x＋1 在 [0, 3] 上的最大值与最小值。（答案：最大值 19（x＝3），最小值 －1（x＝1）。提示：f(0)＝1、f(1)＝－1、f(3)＝19，三者相比；端点不能漏）
已知 f(x)＝x³＋ax²＋bx＋a² 在 x＝1 处取得极小值 10，求 a、b 的值。（答案：a＝4、b＝－11。提示：由 f′(1)＝0 与 f(1)＝10 解得两组——a＝4、b＝－11 或 a＝－3、b＝3；后者 f′＝3(x－1)² 两侧不变号，无极值，必须舍去）
若 f(x)＝x³－3ax＋1 在区间 (0, 1) 内有极值点，求 a 的取值范围。（答案：0＜a＜1。提示：极值点为 ±√a，需 a＞0 且 0＜√a＜1）
若 ln x－x ≤ m 对一切 x＞0 恒成立，求 m 的最小值。（答案：－1。提示：g′(x)＝(1－x)/x，g 在 (0,1) 增、在 (1,＋∞) 减，最大值 g(1)＝－1，故 m ≥ －1）
✦ 做完后逐题自查三件事：符号表列了吗（有没有真的变号）？闭区间的端点算了吗？含参的题，有没有漏掉「无解」「不变号」这两种情况？
///
LAST
写在最后
CONCLUSION · 导数进行中
这一节真正的分水岭，不在会不会求导，而在敢不敢把符号表老老实实列出来。求导是机械动作，谁都会；判号是逻辑动作，需要你把每一段的正负都说清楚。表列出来了，峰谷自然浮出来，过程分也顺便拿满。
再强调一遍两个最容易混淆的词：极值是局部的冠军，最值是全场的冠军。极值只在某个点的邻域里称王，所以极大值完全可能小于极小值；最值要在整个区间里比，所以端点必须上场。题目问「极值」就只写峰谷，问「最值」就老老实实排队比大小，问「恒成立」就取最小值，问「存在」就取最大值。
含参题别怕它长。四个分界像四道闸门，能否为零、根在不在域内、两根谁大、根在不在区间里，一道一道过，每过一道写一句结论，最后自然收口。真正丢分的从来不是难题，而是「只讨论了一半」。
✦ 明日预告：高一专场——必修一第五章「三角函数」收尾：三角函数的应用。简谐运动、摩天轮、潮汐这些模型，其实都是同一个套路：设 A 与 ω，代点定 φ，再回答问题。我们明天见。
我是三晖青年，每天一篇高中数学进阶，陪你把数学学成体系。
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