文档文本内容
第3 讲 导数与函数的极值、最值
目录
01
考情研究
...................................................................................................................
2
02
知识梳理
·
.................................................................................................................
2
03
探究核心考点
...........................................................................................................
3
考
点一：
求函数的极
与极
点
值
值
..........................................................................................................
3
考
点二：
根据极
、极
点求参数
值
值
.......................................................................................................
4
考
点三：
求函数的最
（不含参）
值
..........................................................................................................
5
考
点四：
求函数的最
（含参）
值
..............................................................................................................
5
考
点五：
根据最
求参数
值
......................................................................................................................
6
考
点六：
函数
性、极
、最
的
合
用
单调
值
值
综
应
.....................................................................................
7
考
点七：
不等式恒成立与存在性
问题
..................................................................................................
7
三阶
突破训练
基础训练
·
...............................................................................................................................................
8
能力提升
................................................................................................................................................
9
真
感知
题
..............................................................................................................................................
11
一、5 年真题考点分布
考点要求
考题统计
考情分析
（1）函数的极值
（2）函数的最值
2025 年II 卷第18 题，17 分
2025 年II 卷第10 题，6 分
2025 年I 卷第19 题，17 分
2024 年I 卷第10 题，6 分
2024 年II 卷第16 题，15 分
2024 年II 卷第11 题，6 分
2024 年甲卷第21 题，12 分
2023 年乙卷第21 题，12 分
2023 年II 卷第22 题，12 分
2022 年乙卷第16 题，5 分
2022 年I 卷第10 题，5 分
2022 年甲卷第6 题，5 分
高考对极值、最值的考查较为稳
定，是重点考查的部分。在本节内容
中，无论高考题目如何变化，只要我们
抓住导数作为研究函数的重要工具这一
关键，借助图像把函数的单调性、极
值、最值等核心问题直观清晰地呈现出
来，剩下的便是具体问题的转化了。最
终的焦点必然是函数的单调性与最值，
因为它们始终是导数的核心。
二、课标要求
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
三、知识导图
1．函数的极值
条件
f '( x0)=0
x0附近的左侧f '( x)>0,右侧f '( x)<0
x0附近的左侧f '( x)<0,右侧f '( x)>0
图象
形如山峰
形如山谷
极值
f ( x0)为极①
值
f ( x0)为极②
值
极值点
x0为极③
值点
x0为极④
值点
提醒（1）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.
（2）在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.
2．函数的最值
（1）一般地，如果在区间[a,b]上函数y = f ( x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小
值.
（2）若函数f ( x)在[a,b]上单调递增,则⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的最小值,⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的最大值;若函数
f ( x)在[a,b]上单调递减,则⑦_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的最大值,⑧_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的最小值.
提醒 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的
未必有极值;极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.
考点一 求函数的极值与极值点
典例1．（2025·辽宁·模拟）已知函数
，则（ ）
A．
的单调递减区间为
B．
的极小值点为1
C．
的极大值为
D．
的最小值为
典例2．（2025·云南曲靖·模拟）函数
的极值点为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【方法技巧】
1.求函数的极值或极值点的步骤
（1）求导数f '( x)，不要忘记函数f ( x)的定义域；
（2）求方程f '( x)=0的根；
（3）检查在方程的根的左、右两侧f '( x)的符号，确定极值点或函数的极值.
2.因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程
根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值
是否与已知有矛盾．
3.原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越
轴，否则不
是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与
轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
跟踪训练1．（2025·河南·三模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在
处得到极大值
B．
在
处得到极大值
C．
在
处得到极小值
D．
在
处得到极小值
跟踪训练2．（2025·浙江·模拟）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 根据极值、极值点求参数
典例1．（2025·黑龙江·模拟）已知
是函数
的极值点，则函数
的极小值为
（ ）
A．
B．
C．0
D．
典例2．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数
的极小值是
，则实数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【方法技巧】
1.根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：因为某点处的导数值等于0 不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验
证根的合理性.
2.注意
（1）导数为零的点不一定是极值点.
（2）对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f '( x)=0的根的情况进行讨论，分两个层
次讨论，第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小.
跟踪训练1．（2025·宁夏·一模）若函数
在
处取得极大值，则
的极小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·吉林长春·一模）已知函数
的极大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 求函数的最值（不含参）
典例1．（2025·江苏南京·三模）已知函数
，则当
时，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2.（2025·湖北黄冈·三模）已知函数
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧】
求函数
在闭区间
上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值
，
与
的各极值进行比较得到函数的最值．
跟踪训练1．（2025·河南驻马店·模拟）函数
在区间
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·北京·模拟）已知函数
，则（ ）
A．函数
没有零点
B．函数
有最小值
C．
在
上单调递增
D．存在
，对任意
，有
考点四 求函数的最值（含参）
典例1．（2025·福建·模拟）（多选题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意的实数
，
，函数
恒有两个极值点
B．设
，
为
的极值点，则
C．当
时，若
在
上有最大值，则
D．若
，则
典例2．（2025·江西·模拟）已知函数
.
(1)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)当
时，记函数
的最大值为
，证明：
.（参考数据：
）
【方法技巧】
若所给的闭区间
含参数，则需对函数
求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从
而得到函数
的最值．
跟踪训练1．（2025·四川成都·三模）若函数
的值域为
，则实数
的取值范
围是 .
跟踪训练2．（2025·湖南岳阳·模拟）已知函数
，且
.
(1)求
;
(2)已知
为函数
的导函数，证明：对任意的
，均有
；
(3)证明：对任意的
，均有
.
考点五 根据最值求参数
典例1．（2025·江苏扬州·三模）若函数
的最小值为2，则实数a 的值是 .
典例2．（2025·上海·模拟）已知函数
在区间
上存在最大值，则实数
的取值范围为
.
【方法技巧】
1.求函数f ( x) 在[a,b] 上最值的方法
（1）若函数f ( x)在区间[a,b]上单调递增（或单调递减）,则f (a)为最小值（或最大值），f (b)为最大值
（或最小值）.
（2）若函数f ( x)在闭区间[a,b]内有极值,要先求出[a,b]上的极值,再与f (a),f (b)比较,最大的是最大值,
最小的是最小值,可列表完成.
（3）若函数f ( x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大（或最小）值点,此结论在导数的
实际应用中经常用到.
2.已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围．
跟踪训练1．（2025·湖北十堰·模拟）若函数
在定义域
上的最大值为
，则当ab 取得
最小值时，实数
.
跟踪训练2．（2025·重庆·模拟预测）若
，
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
考点六 函数单调性、极值、最值的综合应用
典例1．（2025·江苏连云港·模拟）若函数
在区间
上有三个零点，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·江西·模拟）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且
，求
的取值范围．
【方法技巧】
1.求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.
2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论.
3.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性
和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象得到函数的最值.
4.函数单调性、极值、最值的综合应用通常会用到分类讨论、数形结合的数学思想方法.
跟踪训练1．（2025·云南玉溪·模拟）（多选题）函数
有两个零点
，下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·河北秦皇岛·模拟）已知函数
（
，且
）.
(1)当
时，证明：
.
(2)若不等式
恒成立，求a 的值.
考点七：不等式恒成立与存在性问题
典例1．（2025·四川成都·二模）若函数
有极值，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·湖北武汉·模拟）已知
，若0 是
的极小值点，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧】
1.分离变量，构造函数，直接把问题转化为求函数的最值问题.
2.a≥f ( x)恒成立转化为a≥f ( x)max;
a≤f ( x)恒成立转化为a≤f ( x)min;
a≥f ( x)能成立转化为a≥f ( x)min；
a≤f ( x)能成立转化为a≤f ( x)max.
跟踪训练1．（2025·重庆沙坪坝·模拟）已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·甘肃白银·三模）已知函数
在
上恰有两个零点，两个
极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知函数
，
为
的导函数，
，则（ ）
A．
的极大值为
，无极小值
B．
的极小值为
，无极大值
C．
的极大值为
，无极小值
D．
的极小值为
，无极大值
2．（2025·广西·模拟）函数
在
处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
3．（2025·浙江·模拟）已知函数
，则（ ）
A．函数
的极大值点为
B．函数
的极小值为2
C．过点
作曲线
的切线有两条
D．直线
是曲线
的一条切线
4．（2025·辽宁大连·三模）已知
，若存在
，使得
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河南驻马店·模拟）已知函数
在区间
上恰有3 个极值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·江西·模拟预测）已知函数
恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·安徽·模拟预测）已知
若函数
有两个极值点，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（24-25 高三下·广东·开学考试）已知函数
的最小值是
，则
.
10．（2025·湖南常德·一模）若函数
有最小值，则实数
的取值范围是 .
1．（2025·四川自贡·三模）函数
，若
在
有最大值，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江苏连云港·模拟）若函数
在区间
上有三个零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·重庆·三模）（多选题）已知
，则（ ）
A．
，使得
是增函数
B．
，函数
均存在极值点
C．
，函数
只有一个零点
D．
，且
，有
4．（2025·江苏·一模）（多选题）已知函数
，其导函数为
，则（ ）
A．直线
是曲线
的切线
B．
有三个零点
C．
D．若
在区间
上有最大值，则
的取值范围为
5．（2025·福建三明·三模）已知函数
存在最小值，则实数a 的取值范围为 .
6．(2025· 八省联考)已知函数f ( x)=aln x + b
x - x.
（1） 设a=1，b=-2，求曲线y = f ( x)的斜率为2 的切线方程;
（2） 若x =1是f ( x)的极小值点，求b的取值范围.
7．（2025·广东广州·模拟）已知函数
，
，其中
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求a 的值；
(2)求
的最小值；
(3)设
，若
对
恒成立，求b 的最大值．
8．（2025·湖北黄冈·模拟）已知函数
．
(1)若
，证明：函数
在
上单调递增；
(2)若函数
有三个零点，求
的取值范围．
9．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调递增区间；
(3)若
，方程
有三个不相等的实数根
且
，证明：
．
10．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
，
(1)当
时，若直线过原点且与曲线
相切，求的方程.
(2)若关于
的方程
恰有两个不同的正实数根
，求
的取值范围.
1.（2025 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
A．
B．当
时，
C．
，当且仅当
D．
是
的极大值点
2．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
3．（多选题）（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
4．（2022 年高考全国乙卷数学（文）真题）函数
在区间
的最小值、最
大值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
6．（多选题）（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数
既有极大值也有极
小值，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
7.（2025 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）（1）设函数
．求
在
，
的最大值；
（2）给定
，
为给定实数，证明：存在
，
，使得
；
（3）若存在
，使得对任意
，都有
，求
的最小值．
8．（2025 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数
，其中
．
（1）证明：
在
存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设
，
为
在
的极值点和零点，
设
，证明：
在
单调递减；
比较
与
的大小，并证明你的结论．
