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第03讲 导数与函数的极值、最值
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附
近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附
近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小
值．一．利用导数求函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1．（1）如图是函数 的导函数 的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间 上， 是增函数
B．当 时， 取到极小值
C．在区间 上， 是减函数
D．在区间 上， 是增函数
（2）设函数 在R上可导，其导函数为 ，且函数 的图像如题（8）图所示，则下列
结论中一定成立的是（ ）
A．函数 有极大值 和极小值 B．函数 有极大值 和极小值
C．函数 有极大值 和极小值 D．函数 有极大值 和极小值
（3）已知函数 的导函数 的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间 上，函数 是增函数 B．在区间 上，函数 是减函数C． 为函数 的极小值点 D．2为函数 的极大值点
（4）函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）
A． 为函数 的零点 B．函数 在 上单调递减
C． 为函数 的极大值点 D． 是函数 的最小值
（5）（多选）观察图象，下列结论错误的有（ ）．
A．若图中为 图象，则 在 处取极小值
B．若图中为 图象，则 有两个极值点
C．若图中为 图象，则 在 上单调递增
D．若图中为 图象，则 的解集为
【复习指导】：(1)导函数 的图像看正负性，原函数 的图像看单调性；
(2)导函数 的图像中，极值点的两侧正负性不同，先正后负为极大值（点），先负后正为极小值
（点）；
原函数 的图像中，极值点的两侧单调性不同，先增后减为极大值（点），先减后增为极小值（点）.命题点2 求已知函数的极值
例2．（1）已知函数 在 处取得极值，则函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为
（ ）
A．1 B． C． D．－1
（3）若 是函数 的一个极值点，则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
（4）函数 在区间（0，e）上的极小值为（ ）
A．－e B．1－e C．－1 D．1
（5）已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
【复习指导】：函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．命题点3 已知极值(点)求参数
例3．（1）已知函数 在 处取得极大值，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
（2）已知函数 有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
（3）当 时，函数 取得极小值4，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
（4）若 在 上存在极值，则数m的取值范围为_____．
（5）若函数 在 处取得极大值10，则 的值为___________.
（6）设 ，若函数 ， 有大于零的极值点，则a的取值范围是_____．
（7）函数 在 上有唯一的极大值，则 的取值范围是______.【复习指导】：已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为 0，极
值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为 f′
(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
二．利用导数求函数的最值
例4．（1）函数 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．3
【复习指导】：求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．
(4)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
（2）已知函数 在区间 上存在最小值 ，则实数 _________．
（3）已知函数 在x=2处取得极小值，则 在 上的最大值为______．
（4）已知函数 ， 对一切 ， 恒成立，则 的取值范围是___________.
（5）已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实数a的取
值范围是____________．
（6）已知函数 ．
(i)讨论 的单调性；
(ii)当 时，求 在区间 上的最小值．【复习指导】：含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0、等于0、小于0三种
情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，
则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
1．如图，可导函数y＝f(x)在点 处的切线为l：y=g(x)，设 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． ， 是h(x)的极大值点
B． ， 是h(x)的极小值点
C． ， 不是h(x)的极值点
D．
2．已知函数 的导函数 的图像如图所示，那么函数 （ ）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值3．设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 的图像如图所示，则下列结论中
一定成立的是（ ）
A．函数 有极大值 和极小值
B．函数 有极大值 和极小值
C．函数 有极大值 和极小值
D．函数 有极大值 和极小值
4．若函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）
A． 是函数 的极小值点 B． 是函数 的极小值点
C． 是函数 的极大值点 D．1是函数 的极大值点
5．已知函数 的导函数的图象如图所示，则 的极值点的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知函数 ，则（ ）
A． 的极大值为0 B．曲线 在 处的切线为 轴
C． 的最小值为0 D． 在定义域内单调
7．若 是函数 的极值点．则 的极小值为（ ）
A．-3 B． C． D．0
8．已知函数 ，则“ ”是“函数 在 处取得极小值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．等比数列 中的项 ， 是函数 的极值点，则 （ ）
A．3 B． C． D．
10．已知函数 ， 的导函数 ， 的图象如图所示，则 的极值情况为
（ ）
A．2个极大值，1个极小值 B．1个极大值，1个极小值
C．1个极大值，2个极小值 D．1个极大值，无极小值11．函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
12．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．设函数 ， ，b均为正整数，若 的极小值点为2，则 的极大值点为
（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．不确定
14．关于函数 ，给出下列四个判断：
① 的解集是 ；
② 有极小值也有极大值；
③ 无最大值，也无最小值；
④ 有最大值，无最小值. 其中判断正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
15．函数 的极大值为（ ）
A． B． C．0 D．
16．已知函数 在 处取得极小值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
17．若函数 在其定义域的一个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．函数 在区间 上存在极值，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
19．若函数 的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知函数 的两个极值点分别为 和2，若 的极大值为1，则
的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
21．设函数 在区间 恰有5个极值点，4个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．22．函数y＝ 的最大值为（ ）
A．e－1 B．e C．e2 D．10
23．若不等式 对 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．（多选）如图是导函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递减 B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 在 处取得极大值 D．函数 在 处取得极小值
25．（多选）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． 有且仅有两个极值点
B． 在区间 上单调递增
C． 可能有四个零点
D．若 在区间 上单调递减，则 的最大值为626．函数 的极小值为______.
27．若 是函数 的一个极值点，则实数 ___________.
28．在等比数列 中， 是函数 的极值点，则 ＝__________．
29．已知函数 在区间 上有两个极值，则实数 的取值范围是__________．
30．已知函数 在 处有极小值，且极小值为6，则 ______.
31．已知函数 的极小值为2，则 ______
32．函数 有两个零点，且 极大值小于 ，则实数 的取值范围是________.
33．已知函数 的定义域为R， 的导函数 ，若函数 无极值，则a=_________.34．若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______.
35．已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是________．
36．已知 ，函数 在 上的最小值为2，则实数 __________.
37．已知函数 ， ，若当 时，存在 ， ，使得 成立，
则实数 的取值范围是_____________.
38．已知函数 ， ，若 ，使得 ，则实数 的取值
范围是______.
39．已知 是函数 的极值点，则该函数在 上的最大值是______.
40．已知函数 在 处取得极值.
(1)求实数 的值；
(2)若关于 的方程 在区间 只有两解，求实数 的取值范围.41．已知函数 是 的一个极值点．
(1)求b的值；
(2)当 时，求函数 的最大值．
42．设函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 的图象与 轴没有公共点，求 的取值范围.
43．已知函数
(1)讨论 的单调区间；
(2)求 在 上的最大值 .44．已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的单调递减区间；
(2)若 ，求函数 在区间 上的最大值；
(3)若 在区间 上恒成立，求 的最大值.
45．已知函数 .
(1)若曲线 在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若存在 ，使得 ，求a的取值范围．
46．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；(2)求函数 在 上的最小值.
47．已知函数 .
(1)若 ，求证： .
(2)讨论函数 的极值；
48．已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的极值.
49．已知函数 ，其中 ，且曲线 在点 处的切线斜率为(1)求 的值.
(2)求函数 的单调区间与极值；
50．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)函数 在区间 上的最小值小于零，求a的取值范围．
