第03讲导数与函数的极值、最值（解析版）_数学_一轮复习_2024年_2024年高考数学考点题型测试一轮高效复习精讲精练_第三章《一元函数的导数及其应用》

第03讲 导数与函数的极值、最值
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附
近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附
近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小
值．
一．利用导数求函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值例1．（1）如图是函数 的导函数 的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间 上， 是增函数
B．当 时， 取到极小值
C．在区间 上， 是减函数
D．在区间 上， 是增函数
【答案】D
【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;
对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.
【详解】由导函数图象知，在 时， ， 递减，A错； 时， 取得极大值（函
数是先增后减），B错； 时， ， 递增，C错； 时， ， 递增，D
正确．
故选：D.
（2）设函数 在R上可导，其导函数为 ，且函数 的图像如题（8）图所示，则下列
结论中一定成立的是（ ）
A．函数 有极大值 和极小值 B．函数 有极大值 和极小值C．函数 有极大值 和极小值 D．函数 有极大值 和极小值
【答案】D
【详解】 则 函数 增；
则 函数 减；
则 函数 减；
则 函数 增；选D.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则
函数递减
（3）已知函数 的导函数 的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间 上，函数 是增函数 B．在区间 上，函数 是减函数
C． 为函数 的极小值点 D．2为函数 的极大值点
【答案】D
【分析】根据导函数与原函数的关系可求解.
【详解】对于A，在区间 ， ，故A不正确；
对于B，在区间 ， ，故B不正确；
对于C、D，由图可知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，且 ，所以 为函数
的极大值点，故C不正确，D正确.
故选：D（4）函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）
A． 为函数 的零点
B．函数 在 上单调递减
C． 为函数 的极大值点
D． 是函数 的最小值
【答案】B
【详解】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值
与导数的关系可判断C，D.
由 的图象可知 ，当 时， ，
当 时， ，故 为函数 的极大值点，A错误；
当 时， ，故函数 在 上单调递减，B正确；
当 时， ，当 时， ，
故 为函数 的极小值点，C错误；
当 时， ，当 时， ，
故 为函数 的极小值点，而 也为函数 的极小值点，
与 的大小不定，故 不一定是函数 的最小值，D错误,
故选：B（5）（多选）观察图象，下列结论错误的有（ ）．
A．若图中为 图象，则 在 处取极小值
B．若图中为 图象，则 有两个极值点
C．若图中为 图象，则 在 上单调递增
D．若图中为 图象，则 的解集为
【答案】ABD
【分析】选项A：若图为 图象， 在 左右单调性一致，不是极值；
选项B：若图为 图象，根据导数与0的大小判断单调性，判断极值.
选项C: 若图为 图象,根据图像的正负判断 的正负，判断单调性.
选项D: 若图为 图象, 根据图像的正负判断 的正负,解出 的解集.
【详解】选项A：若图为 图象，则 在 两边单调性一致，不是极值，故A错误；
选项B：若图为 图象， 函数单调递减；
函数单调递增； 函数单调递减；
函数单调递增；故函数有-2,0,2三个极值点，选项B错误；
选项C: 若图为 图象，则 时，单调性相反，即 函数单调递
增； 函数单调递减； 函数单调递增；当 单调性一致，函数单调递增；故C正确；
选项D: 若图为 图象， ，图像正负相反， 时图像正负一致， 的
解集为 ，故D错误；
故答案为：ABD.
【复习指导】：(1)导函数 的图像看正负性，原函数 的图像看单调性；
(2)导函数 的图像中，极值点的两侧正负性不同，先正后负为极大值（点），先负后正为极小值
（点）；
原函数 的图像中，极值点的两侧单调性不同，先增后减为极大值（点），先减后增为极小值（点）.
命题点2 求已知函数的极值
例2．（1）已知函数 在 处取得极值，则函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件得出 ，即可求得 的值，然后利用函数极值与导数的关系可求得函数 的
极小值.
【详解】因为 ，该函数的定义域为 ，所以， ，
由已知条件可得 ，解得 ，
所以， ，则 ，
列表如下：
增 极大值 减 极小值 增所以，函数 的极小值为 .
故选：B.
（2）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为
（ ）
A．1 B． C． D．－1
【答案】A
【分析】求导，根据导数的几何意义求得a的值，再根据导数的正负判断极值点，求得极大值.
【详解】由由题意得 ,
故 ，则 ，
所以 ，令 ，
则 ， ，
当 或 时， ；当 时， ，
故函数 在 时取得极大值为 ，
故选：A.
（3）若 是函数 的一个极值点，则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先对函数 求导，由已知 ，先求出 ，再令 ，并判断函数 在其左右两
边的单调性，从而确定极大值点，然后带入原函数即可完成求解.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以 ， ，令 ，解得 或 ，
所以当 ， ， 单调递增；
时， ， 单调递减；
当 ， ， 单调递增，
所以 的极大值为 ．
故选：D．
（4）函数 在区间（0，e）上的极小值为（ ）
A．－e B．1－e C．－1 D．1
【答案】D
【分析】求导判断函数的单调性即可求解
【详解】 的定义域为 (0，＋∞)，
，
令 ，得x＝1，
当x∈(0，1)时， ， 单调递减，当x∈(1，e)时， ， 单调递增，
故 在x＝1处取得极小值 .
故选：D.
（5）已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
【详解】因为f(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，
所以f′(x)＝2x－＝.
①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无
极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝，x＝－(舍去)．
1 2
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (0，) (，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x)  极小值 
所以当x＝时，f(x)取得极小值，且f()＝()2－1－2aln ＝a－1－aln a．无极大值．
综上，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值．
当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极小值a－1－aln a，无极大值．
【复习指导】：函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
命题点3 已知极值(点)求参数
例3．（1）已知函数 在 处取得极大值，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】对 进行求导，利用 是方程 的解，求出 的值，并代入进行检验，要满足 的
左侧导数值要大于0，右侧导数值要小于0，从而求出结果.
【详解】 ，又函数 在 处取得极大值，
，得到： 或 ，
当 时，
此时，函数在 处取极小值，不合题意，舍去.
∴
故选：B
（2）已知函数 有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B
【分析】根据函数有极大值和极小值，可以判断导数有两个零点，然后求a的取值范围即可.【详解】函数 ，
，
函数 有极大值和极小值，
所以其导函数 有两个不同的解，
所以 或 .
故选：B
（3）当 时，函数 取得极小值4，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】求导得到 ，计算 ，且 ，解得答案.
【详解】 ， ，
根据题意有 ，且 ，解得 ， ， .
此时 ， ，
当 时， ，函数单调递减；当 时， ，函数单调递增.
函数在 处取极小值，满足.
故选：A
（4）若 在 上存在极值，则数m的取值范围为_____．
【答案】
【分析】先求导，再转化为 在 上有解求解．
【详解】解：由题得 ，要使 在 上存在极值，则 在 上有解．
因为当 时， ，
令 ，则 ，
设 ，则 ， 在 上单调递增，
，
又 恒成立，故m的取值范围为 ．
故答案为：
（5）若函数 在 处取得极大值10，则 的值为___________.
【答案】
【分析】计算 ，解方程组 ，求得 的值并检验是否在 处取得极大值即可确定 的
结果，求出答案.
【详解】由题意可知： ,则有 ,解得 或 ．
检验：当 时， ， 时， ， 时， 或
，则 为极小值点，不符合题意；
当 时， 在 处取得极大值10，所以 .
故答案为：（6）设 ，若函数 ， 有大于零的极值点，则a的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先对函数进行求导，令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数有大于零的根．
【详解】∵ ，∴ ．
由题意知 有大于0的实根，由 ，得 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
故答案为︰ ．
（7）函数 在 上有唯一的极大值，则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题知函数 在 上有唯一极大值，进而得 ，再解不等式即可得答案.
【详解】解：当 时， ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，
所以函数 在 上有唯一极大值，
所以， ，解得 .
故答案为： .
【复习指导】：已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为 0，极
值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为 f′
(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
二．利用导数求函数的最值
例4．（1）函数 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】C
【分析】利用导数讨论单调性并求最值.
【详解】由题意可得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的最小值是 ．
故选:C.
【复习指导】：求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表．
(4)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
（2）已知函数 在区间 上存在最小值 ，则实数 _________．
【答案】
【分析】求出导函数 ，在 上确定函数的单调性与最小值，由此确定 ，利用单调性得最
小值，从而求得 ．【详解】函数定义域是 ，因此 ，
， 时， ， 递减， 时， ， 递增，
，
所以 ，此时 在 上递增， ，解得 或 （舍去），
故答案为：2．
（3）已知函数 在x=2处取得极小值，则 在 上的最大值为______．
【答案】
【分析】根据函数 在x=2处取得极小值可得 ，求得a的值，继而判
断函数在 上的极值情况，计算端点处函数值并进行比较，可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
由题意可得 ，解得 ，
则 ， ，
令 ，可得x=1或x=2，当x在 上变化时， 与 的变化情况如下表：
x 1 2
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增所以函数 的极大值为 ，极小值为 ，
又因为 ，
且 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：
（4）已知函数 ， 对一切 ， 恒成立，则 的取值范
围是________.
【答案】
【分析】根据题意，通过分离参数法得出 在 上恒成立，再构造函数
，利用导数研究函数的单调性和最值，求出 ，进而求得 的取值范围.
【详解】解：由题可知， ，即 ，
得 在 上恒成立，
设 ，
则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
∴ ，
∴ ，即 的取值范围是 .
故答案为： .
（5）已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实数a的取
值范围是______．
【答案】
【分析】先求出两函数在 上的值域，再由已知条件可得 ，且 ，列
不等式组可求得结果
【详解】由 ，得 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
由 ，得 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
因为 ， ，使得 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
（6）已知函数 ．(i)讨论 的单调性；
(ii)当 时，求 在区间 上的最小值．
【答案】(i)当 时， 在R上单调递增；当 时， 在 ， 上单调递增，在
上单调递减；当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
(ii)①当 时， 在 上的最小值为 ；当 时， 在 上的最小值
为 ．
【分析】(i)求导可得 ，讨论两根 两者的大小关系，判断 的单调性；(ii)结合
（1）中的单调性，讨论 在 上的单调性，进而确定最小值．
【详解】(i)因为 ，所以 ．
①当 时， ，则 在R上单调递增；
②当 时，令 ，解得 或 ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时，令 ，解得 或 ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
(ii)由(i)知，当 时， 或 ．
①当 ，即 时，
在 上单调递减，在 上单调递增，
此时 在 上的最小值为 ；②当 ，即 时， 在 上单调递减，
此时 在 上的最小值为 ．
【复习指导】：含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于 0、等于0、小于0三种
情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，
则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
1．如图，可导函数y＝f(x)在点 处的切线为l：y=g(x)，设 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． ， 是h(x)的极大值点
B． ， 是h(x)的极小值点
C． ， 不是h(x)的极值点
D．
【答案】B
【分析】由导数的几何意义写出函数 ，并对函数 求导，再结合函数 的图象判断作答.【详解】依题意，切线 ，即 ，
则 ，求导得： ，
显然 ，观察图象知，函数 的导函数 单调递增，即函数 单调递增，
则当 时，有 ，当 时，有 ，
所以 是 的极小值点，选项ACD错误，B正确.
故选：B
2．已知函数 的导函数 的图像如图所示，那么函数 （ ）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值
【答案】D
【分析】根据给定的函数图象，判断 为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.
【详解】由函数 的导函数 的图像知，当 或 时， ，
当 时， ，当且仅当 时取等号，
因此函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，选项A，B不正确；
在 处取得极小值，在 处取得极大值，有 ，C不正确，D正确.
故选：D
3．设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 的图像如图所示，则下列结论中
一定成立的是（ ）A．函数 有极大值 和极小值
B．函数 有极大值 和极小值
C．函数 有极大值 和极小值
D．函数 有极大值 和极小值
【答案】B
【分析】由函数图象，确定 的零点并判断 的区间符号，进而可得 的单调性，即可知极值
情况.
【详解】由图知：当 时，有 、 ，
∴ ， ，
又 时 ，而 则 ，即 递增；
时 ，而 则 ，即 递减；
时 ，而 则 ，即 递增；
时 ，而 则 ，即 递增；
综上， 、 上 递增； 上 递减.
∴函数 有极大值 和极小值 .
故选：B
4．若函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）A． 是函数 的极小值点 B． 是函数 的极小值点
C． 是函数 的极大值点 D．1是函数 的极大值点
【答案】A
【分析】根据给定的函数图象，确定导数为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.
【详解】观察导函数 的图象知，当 时， ，当 时， ，当且仅当
时取等号，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
于是得 是函数 的唯一极值点，且是极小值点，A正确，B，C，D都不正确.
故选：A
5．已知函数 的导函数的图象如图所示，则 的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】含导函数图象确定 的极值点个数，要保证导函数的零点左右两边导函数函数值一正一负.
【详解】因为在 左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知 只有2个极值
点.
故选：C6．已知函数 ，则（ ）
A． 的极大值为0 B．曲线 在 处的切线为 轴
C． 的最小值为0 D． 在定义域内单调
【答案】C
【分析】直接对 ，求出导函数，利用列表法可以验证A、C、D;对于B:直接求出切线方
程进行验证即可.
【详解】 的定义域为 ，
令 ，得 ，
列表得：
x (0,1) 1 (1,+∞)
- 0 +
f(x) 单减 单增
所以 的极小值，也是最小值为 ，无极大值，在定义域内不单调；故C正确，A、D错误；
对于B:由 及 ，所以 在 处的切线方程 ，即 .故B错误.
故选：C
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
7．若 是函数 的极值点．则 的极小值为（ ）
A．-3 B． C． D．0
【答案】A【分析】根据给定的极值点求出参数a的值，再求出函数极小值作答.
【详解】函数 ，求导得： ，
因 是函数 的极值点，即 ，解得 ，
，当 或 时， ，当 时， ，
即 是函数 的极值点，函数 在 处取得极小值 .
故选：A
8．已知函数 ，则“ ”是“函数 在 处取得极小值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】对 求导，分a＝0和a≠0讨论 的单调性，即可求出a≠0时， 在x＝－1处取得极小值，
再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】 .
①当a＝0时， ，故 在R上单调递增， 无最小值.
②当a≠0时，令 ，得x＝－1或 .又 ，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
故 在x＝－1处取得极小值.
综上，函数 在x＝－1处取得极小值 .
所以“ ”是“函数 在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件.
故选：A.9．等比数列 中的项 ， 是函数 的极值点，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到 ，然后根据等比中项求得答案.
【详解】由题意， ，则 时 ，函数单调递增，
时 ，函数单调递减， 时 ，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两
个极值点，故 ， 是 的两个根，所以 ，所以 ，又
，所以 ， ，设公比为 ， ，所以 .
故选：D.
10．已知函数 ， 的导函数 ， 的图象如图所示，则 的极值情况为
（ ）
A．2个极大值，1个极小值 B．1个极大值，1个极小值
C．1个极大值，2个极小值 D．1个极大值，无极小值
【答案】B
【分析】根据图象判断 的正负，再根据极值的定义分析判断即可
【详解】由 ，得 ，令 ，
由图可知 的三个根即为 与 的交点的横坐标，当 时， ，
当 时， ，即 ，
所以 为 的极大值点， 为 的极大值，
当 时， ，即 ，
所以 为 的极小值点， 为 的极小值，
故选：B
11．函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数分析函数 的单调性，可求得该函数的极小值.
【详解】对函数 求导得 ，令 ，可得 或 ，
列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
所以，函数 的极小值为 .
故选：A.
12．函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】应用导数研究 的单调性、极值，再结合零点存在性定理判断区间零点个数，即可确定答案.
【详解】由题设， 且 定义域为 ，所以在 上 ，在 上 ，即 在 上递减，在 上递增，
所以 的极小值为 ，又 ， ，
则 在 、 上各有一个零点，共有2个零点.
故选：B
13．设函数 ， ，b均为正整数，若 的极小值点为2，则 的极大值点为
（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．不确定
【答案】B
【分析】求导函数，令 ，由极值点的定义得，方程必有一根为2，且2是 的极小值点， 由
二次函数的性质建立不等式可得答案.
【详解】解：求导得 ，令 ，得 ，则方
程必有一根为2．
代入 ，有 ，解得 ，则 ．
因为2是 的极小值点，又 ，所以 为方程 的较小根，从而 ，故
．
又a为正整数，故a＝1．所以 的极大值点为 ，
故选：B．
14．关于函数 ，给出下列四个判断：
① 的解集是 ；
② 有极小值也有极大值；
③ 无最大值，也无最小值；④ 有最大值，无最小值.
其中判断正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④
【答案】A
【分析】对①，将不等式转化为 ，解一元二次不等式；对②，对函数求导后，再解导数不等
式；对③④利用导数求出函数的单调区间，结合 时，函数值的取值情况，即可得到答案；
【详解】①因为 ，所以由 得 ，即 ，解得 ，即
的解集是 ，所以①正确．
②函数的导数为 ，由 ，得 或 ．由
得 ，
所以当 时函数取得极小值．当 时函数取得极大值．所以②正确．
③由②知，当 或 时，函数单调递增，且 时， ；当 时，
，所以 无最大值，也无最小值．所以③正确．
④由③知 无最大值，也无最小值，所以④错误．
所以判断正确的是①②③．
故选：A．
15．函数 的极大值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据函数的导数，分析函数单调性区间即可求出函数极大值.
【详解】函数 的定义域为R，
则 ，令 ，解得 ， ，
当 或 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
 1 1
f 
所以当 时， 取得极大值  2 2e ．
故选：B
16．已知函数 在 处取得极小值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，结合已知条件和导函数的零点即可判断.
【详解】因为函数 ，
则 ，
要使函数 在 处取得极小值，则 ，
故选：B.
17．若函数 在其定义域的一个子区间 内不是单调函数，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域 ，则有 ，对函数求导后，令 求出极值点，使极值点
在 内，从而可求出实数 的取值范围.
【详解】因为函数 的定义域为 ，所以 ，即 ，
，
令 ，得 或 （舍去），
因为 在定义域的一个子区间 内不是单调函数，
所以 ，得 ，
综上， ，
故选：A
18．函数 在区间 上存在极值，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可求解.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
令 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增， 单调递减，
所以 ，
又因为当 时， 则 ，
，
所以存在唯一 ，使得 ，所以函数在 时 ， 时 ，
所以函数 在 单调递增， 单调递减，
所以要使函数 在区间 上存在极值，
所以 的最大值为3，
故选:B.
19．若函数 的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求导，分 ， 与 三种情况，结合函数极值及函数图象的走势，得到不等式，求出实
数a的取值范围.
【详解】当 时， 不经过三四象限，不合题意，舍去，
当 时，由 得 ，
若 ，则当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 在 处取得极大值，且极大值为 ，故 经过第二象限，
在 处取得极小值，且极小值为 ，
函数 一定过第三和第一象限，
要想 经过第四象限，只需 ，解得 ，若 ，则当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 在 处取得极小值，且极小值为 ，
在 处取得极大值，且极大值为 ，故 经过第一象限，
函数 一定过第二和第四象限，
要想 经过第三象限，只需 ，解得 ，
综上，实数a的取值范围是 .
故选：C
20．已知函数 的两个极值点分别为 和2，若 的极大值为1，则
的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】B
【分析】对函数进行求导，通过两个极值点可得到 ，然后分 和 两种情况进行讨论即
可
【详解】由 可知 ，
因为函数 的两个极值点分别为 和2，所以 和2是 的零点，
故 和2是 的实数根， ， ， ．
当 ，即 时，
当 ， 当 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，此时极大值为 ， ， ；
当 ，即 时，
当 ， 当 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时极大值为 ， ， ，
只要 ，无论a取何值， 始终成立，
故选：B．
21．设函数 在区间 恰有5个极值点，4个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用整体思想，结合余弦函数得图像与性质及极值的定义列出不等式组，解之即可.
【详解】解：令 ，得 ，
因为 ，所以 ，
因为函数 在区间 恰有5个极值点，4个零点，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .故选：D.
22．函数y＝ 的最大值为（ ）
A．e－1 B．e C．e2 D．10
【答案】A
【分析】先求导找极大值，再得最大值.
【详解】令 当 时， ；当 时 ，
所以函数得极大值为 ，因为在定义域内只有一个极值，所以
故选：A.
23．若不等式 对 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件推导出 ， ，令 ，利用导数求出函数 的最小
值，由此能求出实数 的取值范围．
【详解】解： 对 恒成立，
， ，
令 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
∴函数 在 上递减，在 上递增，
所以
．
实数 的取值范围是 ， ．
故选：C．24．（多选）如图是导函数 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递减 B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 在 处取得极大值 D．函数 在 处取得极小值
【答案】ACD
【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.
【详解】对于A．因为 在区间 上成立，所以区间 是 的单调递减区间，故A
正确；
对于B．因为当 时， ，当 时， ，所以 在 上不单调，故B
错误；
对于C．因为当 时， ，当 时， ，函数 在 处取得极大值，故
C正确；
对于D．因为当 时， ，当 时， ，所以函数 在 处取得极小值，
故D正确.
故选：ACD．
25．（多选）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． 有且仅有两个极值点B． 在区间 上单调递增
C． 可能有四个零点
D．若 在区间 上单调递减，则 的最大值为6
【答案】AD
【分析】根据 的图象，得出函数 的单调性，结合极值点的概念和单调区间，逐项判定，即可求
解.
【详解】由 的图象知，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
即函数 的在 上单调递增，在 上单调递减，在 单调递增；
对于A中，根据极值点的概念，可得：
当 时， 取得极大值，当 时， 取得极小值，所以A正确；
对于B中，当 ， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，所以B不正确；
对于C中，根据函数 的单调性，可得函数 的图象最多与 轴有三个交点，
所以函数 最多有三个零点，所以C不正确；
对于D中，因为函数 在区间 上单调递减，
要使得 在区间 上单调递减，可得 的最大值为 ，所以D正确.
故选：AD.
26．函数 的极小值为______.【答案】
【分析】求导得到单调区间，再计算极值得到答案.
【详解】 ， ，
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
故当 时，函数有极小值为 .
故答案为：
27．若 是函数 的一个极值点，则实数 ___________.
【答案】
【分析】求出函数的导函数，依题意可得 ，代入求出参数 的值，再检验即可.
【详解】因为 ，所以 ，
依题意可得 ，即 ，解得 ，经检验符合题意.
故答案为：
28．在等比数列 中， 是函数 的极值点，则 ＝__________．
【答案】
【分析】由题，利用导数及韦达定理可得 ，后利用等比中项性质可得答案.
【详解】 ，
由题 是方程 的两个不等实根，
则由韦达定理 ，所以
又 是 的等比中项且 与 同号，则 .故答案为： .
29．已知函数 在区间 上有两个极值，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】求得 ，根据题意转化为 在 上有两个不等的实数根，转化为
和 的图象有两个交点，求得 ，求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】 ，
由题意知 在 上有两个不相等的实根，
将其变形为 ，设 ，则 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
的极大值为 .
画出函数 的大致图象如图，
易知当 时， ；当 时， ，
，即 .
故答案为： .
30．已知函数 在 处有极小值，且极小值为6，则 ______.
【答案】5 m5 m2
 
【分析】求导得到导函数，根据 ， 解得 n18或  n3 ，再验证得到答案.
【详解】 ，则 ，
根据题意 ， ，
 m5 m2
 
解得 n18或  n3 ，
 m5

当 n18时， ，
当 和 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
故 是极小值点，正确；
m2

当  n3 时， 恒成立，函数无极小值点，排除.
综上所述： .
故答案为：
31．已知函数 的极小值为2，则 ______
【答案】
【分析】求函数 的极小值的表达式，列方程求 .
【详解】函数 的定义域为 ，
求导得 ，令 可得 ，
当 时， ，函数 在 单调递减；
当 时， ，函数 在 单调递增，故 的极小值为 ，
由已知可得 ，
所以 ．
故答案为： .
32．函数 有两个零点，且 极大值小于 ，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【分析】求导后，分别在 和 的情况下讨论 的单调性，从而确定极大值为 ，根据函数
有两个零点和已知可确定 ，由此可得 的范围，结合零点存在定理可说明此时 有两个零
点，由此可得结论.
【详解】由题意知： 定义域为 ， ；
当 时， 恒成立，即 在 上单调递增，则 至多有一个零点，不合题意；
当 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值为 ，解得： ；
若 有两个零点，则需 ，解得： ， ；
此时 ， ，
又 ， ，
在 和 存在两个零点，满足题意；综上所述：实数 的取值范围为 .
故答案为： .
33．已知函数 的定义域为R， 的导函数 ，若函数 无极值，则a=_________.
【答案】
【分析】根据二次函数的性质，分类讨论，导数大于零的区间，可得函数的单调性，根据极值的定义，可
得答案.
【详解】当 时， 在区间 上 递增，
在区间 上 递减. 的极大值点为 ，极小值点为 .
当 时， ， 在 上递增，无极值.
当 时， 在区间 上 递增，
在区间 上 递减. 的极大值点为 ，极小值点为 .
故答案为： .
34．若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【分析】设 由题可知 ，当 时，可得 适合题
意，当 时，可求函数的最小值 即得，当 时不合题意，即得.
【详解】设 ，由题可知 ，
∴ ，当 时， ，适合题意，所以 ，
当 时，令 ，则 ，
此时 时， ， 单调递减， ， ， 单调递增，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ，
当 时， 时， ， ，故 的值有正有负，不合题意；
综上，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，设 由题
可知 ，当 时，利用导数可求函数的最小值 ，结合 ，可得 ，进
而通过解 ，即得.
35．已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是________．
【答案】
【分析】 恒成立，只需 即可，求出 ，得出单调区间，进而求出 ，求解即可
得出结论.
【详解】由 ，得 ，
又函数 的定义域为 ，令 ，当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
故 是函数 的极小值点，也是最小值点，且 ，
要使 恒成立，需 ，则 .
故答案为： ．
36．已知 ，函数 在 上的最小值为2，则实数 __________.
【答案】1
【分析】利用导数分类为 与 讨论，得出 在 上的最小值，由最小值为2求解
a的值即可得出答案.
【详解】 ，
，
当 时，即 时，
则 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
在 上的最小值为 ，解得 ，
当 时，即 时，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
在 上的最小值为 ，舍去，
综上所述： ，
故答案为：1.37．已知函数 ， ，若当 时，存在 ， ，使得 成立，
则实数 的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】本题将恒成立问题转化为最值，不等式问题，再解不等式即可.
【详解】由题意：存在 ， ，使得 成立，等价于 .
因为 ， ，所以当 时， .
因为 ， ，所以 .
所以 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以 .又 ，所以 或 .
故实数a的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，函数的最值问题，是中档题.
38．已知函数 ， ，若 ，使得 ，则实数 的取值
范围是______.
【答案】
【解析】“若 ，使得 ”转换为集合交集非空，分别根据导数求 ， 的
值域，进一步求出答案.
【详解】因为
所以
当 ， ，所以 单调递减，因为 ，所以 ，
当 ， ，所以 单调递增，
因为 ，使得 ，
所以
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查的是导数综合的问题，涉及到函数单调性以及恒成立的问题，属中档题.
本题主要是转换的思想，“若 ，使得 ”可以转换为集合交集非空.
39．已知 是函数 的极值点，则该函数在 上的最大值是______.
【答案】
【分析】根据在极值点处导数为0求得a，利用导数讨论单调性，然后可求最值.
【详解】记
，
因为 是函数 的极值点，
所以 ，解得
令 ，解得 或
当 时， ， 递减；当 时， ， 递增
又 ，所以，该函数在 上的最大值是
故答案为：
40．已知函数 在 处取得极值.
(1)求实数 的值；
(2)若关于 的方程 在区间 只有两解，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）对函数求导并 ，由此解得
（2）研究函数 在区间 单调性，结合端点值，确定实数 的取值范围即可.
【详解】（1） 由题意知： ，
解得：
（2）由（1）知， ， ，
当 函数单调递增；
当 函数单调递减；
m  4,6
所以当 时， 在区间 只有两解，
故实数 的取值范围为 .
41．已知函数 是 的一个极值点．
(1)求b的值；
(2)当 时，求函数 的最大值．【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）对 求导， 是 的一个极值点，所以 ，解方程即可
（2）先利用导数求出 的单调区间，再根据函数的单调性求 的最大值
【详解】（1） ，
∵ 是 的一个极值点，∴
解得 ．经检验，满足题意．
（2）由（1）知： ，则 ．
令 ，解得 或
x 1 2
+ 0 - 0 +
递增 递减 递增
∵ ，
∴函数 的最大值为 。
42．设函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 的图象与 轴没有公共点，求 的取值范围.
【答案】(1)在 上单调递减，在 上单调递增；(2)
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据（1）的单调性性可得 ，从而可求a的取值范围.
【详解】（1），
在 上， 单调递减；在 上， 单调递增.
综上所述， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）可知，
的图像与 轴没有公共点， ， .
的取值范围为 .
43．已知函数
(1)讨论 的单调区间；
(2)求 在 上的最大值 .
【答案】(1)① ， 在 上单减；② ， 在 上单增， 单减；
(2) .
【分析】（1） ，根据函数定义域 ，分 ， ，讨论求解；
（2）根据（1）知：分 ， ， ， 讨论求解.
【详解】(1)解：(1)定义域 ，
① 时， 成立，所以 在 上递减；② 时，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单增， 单减；
(2)由（1）知： 时， 在 单减，
所以 ；
时， 在 单减，
所以 ；
时， 在 上单增， 上递减，
所以 ；
时， 在 单增，
所以 ；
综上： .
44．已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的单调递减区间；
(2)若 ，求函数 在区间 上的最大值；
(3)若 在区间 上恒成立，求 的最大值.【答案】(1) ；(2)答案见详解；(3)1
【分析】（1）求导，利用导数求原函数单调递减区间；（2）分类讨论判断导函数符号，进而确定原函数
的单调性及最大值；（3）根据恒成立理解可得 ，分类讨论，结合（2）运算求解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
令 ．因为 ，则
所以函数 的单调递减区间是
（2） ．
令 ，由 ，解得 ， （舍去）．
当 ，即 时，在区间 上 ，函数 在 上是减函数．
所以函数 在区间 上的最大值为 ；
当 ，即 时， 在 上变化时， 的变化情况如下表
x
+ + -
↗ ↘
所以函数 在区间 上的最大值为 ．
综上所述：
当 时，函数 在区间 上的最大值为 ；
当 时，函数 在区间 上的最大值为 ．
（3）当 时，则 在 上恒成立
∴函数 在 上是减函数，则
∴ 成立当 时，由（2）可知：
①当 时， 在区间 上恒成立，则 成立；
②当 时，由于 在区间 上是增函数，
所以 ，即在区间 上存在 使得 ， 不成立
综上所述： 的取值范围为 ，即 的最大值为 ．
45．已知函数 .
(1)若曲线 在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若存在 ，使得 ，求a的取值范围．
【答案】(1) ；(2)见解析；(3)
【分析】（1）由导数的几何意义结合题意知， ，解方程即可得出答案；
（2）对 求导，讨论 和 时，即可得出函数 的单调区间；
（3）由（2）知，当 时， ，则存在 ，使得 ，当 时，
，解不等式即可求出a的取值范围．
【详解】（1）直线2x－y＋3＝0的斜率为 ，
因为 ，所以由导数的几何意义知， ，
所以 ，解得： .
（2） 的定义域为 ，，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得： ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当 时，则 单调递增区间为 ；
当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（3）若存在 ，使得 ，转化为证明 ，
由（2）知，当 时，则 在 上单调递增，而 ，
则存在 ，使得 ，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 ，
解得： ，因为 ，所以 .
a的取值范围为 .
46．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；(2)求函数 在 上的最小值.
【答案】(1) ；(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先求函数的导数，化简为 ，再讨论 和 两种情况讨论函数的单调性，再求
函数的最值.
【详解】（1）当 时，
所以 .
所以曲线 在 处的切线方程为： .
（2） .
①当 时， .
所以 时， .
所以 在 上是增函数.所以 .
②当 时，令 ，解得 （舍）
1°当 ，即 时， 时， .
所以 在 上是增函数.所以 .
2°当 ，即 时，
x
- 0 +
极小
减函数 增函数
值所以 .
3°当 ，即 时， 时， .
所以 在 上是减函数.所以 .
综上，当 时， ；
当 时， .
当 时， .
47．已知函数 .
(1)若 ，求证： .
(2)讨论函数 的极值；
【答案】(1)证明见解析；
(2)极小值 ，无极大值.
【分析】（1）代入 ，求出 ，得出单调区间，求出函数的最小值，即可证明；
（2）求出 ，然后分 以及 两种情况，根据导函数即可得出函数的极值.
【详解】（1）当 时， ，则 .
则当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 处取得极小值，也是最小值 ，
所以 .（2）根据题意得： ， .
当 时， ，则 在 上单调递减，没有极值；
当 时，当 时， ；当 时， .
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
则 在 处取得极小值 ，无极大值.
综上所述，当 时， 无极值；当 时， 有极小值 ，无极大值.
48．已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的极值.
【答案】(1)
(2)极小值为 ，无极大值；
【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求切线斜率，可求出切线方程.
（2）利用导数研究函数单调性，可求得极值.
【详解】（1） ，∴切点为 ，
又 ，切线斜率 ，
∴切线方程为： ，即
（2）函数 定义域为 ，，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
即 在 单调递减，在 单调递增；
∴ 极小值为 ，无极大值；
49．已知函数 ，其中 ，且曲线 在点 处的切线斜率为
(1)求 的值.
(2)求函数 的单调区间与极值；
【答案】(1)
(2) 的单调递减区间为 ，单调递增区间 ，极小值为 ，无极大值
【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；
（2）求导，利用导数判断原函数的单调区间和极值.
【详解】（1）∵ ，则 ，
由题意可得 ，
故 的值为 .
（2）由（1）可得： ，
∵ 的定义域为 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 的单调递减区间为 ，单调递增区间 ，
可得 的极小值为 ，无极大值，故 的单调递减区间为 ，单调递增区间 ，极小值为 ，无极大值.
50．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)函数 在区间 上的最小值小于零，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2) .
【分析】（1）对 求导并求定义域，讨论 、 分别判断 的符号，进而确定单调区间.
（2）由题设，结合（1）所得的单调性，讨论 、 、 分别确定 在给定区间上
的最小值，根据最小值小于零求参数a的范围.
【详解】（1）
由题设， 且定义域为 ，
当 ，即 时，在 上 ，即 在 上递增；
当 ，即 时，在 上 ，在 上 ，所以 在 上递减，在
上递增；
（2）由（1）知：
若 ，即 时，则 在 上递增，故 ，可得 ；
若 ，即 时，则 在 上递减，在 上递增，故
，不合题设；
若 ，即 时，则 在 上递减，故 ，得 ；
综上，a的取值范围 .