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专题03 导数与函数的极值、最值
目录
题型一： 根据函数图象判断极值..................................................................................................4
题型二： 求函数的极值...................................................................................................................7
题型三： 已知极值(点)求参数........................................................................................................8
题型四： 利用导数求函数最值问题............................................................................................13
知识点一、函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f (x)在点x＝a 的函数值f (a)比它在点x＝a 附近其他点
的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0.类似地，函数
y＝f (x)在点x＝b 的函数值f (b)比它在点x＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且
在点x＝b 附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0.我们把a 叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)
叫做函数y＝f (x)的极小值；b 叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大
值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f (x)在某一点的导数值
为0 是函数y＝f (x)在这点取得极值的必要条件．可导函数y＝f (x)在x＝x0处取极大(小)值
的充分条件：
①f ′( x 0) ＝
0 ；
②在x＝x0附近的左侧f ′(x0)>0(<0)，右侧f ′(x0)<0(>0)．
知识点总结
1
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(3)导数求极值的方法：解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0 时，如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，
右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)>0，那么f
(x0)是极小值．
注意 对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条
件．
知识点二、函数的最大(小)值
(1)函数最大(小)值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最
大值和最小值．
②若函数y＝f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数在[a，b]上的最小值，f (b)为函数在
[a，b]上的最大值；若函数y＝f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数在[a，b]上的最大
值，f (b)为函数在[a，b]上的最小值．
(2)导数求最值的一般步骤：设函数y＝f (x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f
(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．
知识点三、三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2
－3ac)，并设x1，x2是方程f ′(x)＝0 的根，且x1<x2.
(1)a>0
Δ>0
Δ≤0
2
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图象
单调性
在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调
递增；在(x1，x2)上单调递减
在R 上是增函数
极值点个数
2
0
(2)a<0
Δ>0
Δ≤0
图象
单调性
在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，
x1)，(x2，＋∞)上单调递减
在R 上是减函数
极值点个数
2
0
题型一：根据函数图象判断极值
【要点讲解】 由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点
(1)由y=f'(x)的图象与x 轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结
合可得极值点.
【例1】（2023 春•监利市期中）如图，可导函数
在点
，
处的切线为
，设
，则下列说法正确的是
例题精讲
3
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A．
，
是
的极大值点
B．
，
是
的极小值点
C．
，
不是
的极值点
D．
，
是
的极值点
【解答】解：可导函数
在点
，
处的切线为
，
则
，
，
，
，
设
，
，
，
由图象可得：导函数
单调递增，
时，
；
时，
．
是
的极小值点，故
正确．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•霞山区校级期中）如图是函数
的导函数
的图象，
4
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下列结论正确的是
A．
是函数
的极大值点
B．
是函数
的极值点
C．
在
处取得极大值
D．函数
在区间
上单调递增
【解答】解：根据题中导函数
的图象可知，
在
上小于零，在
，
上大于零，且
，
故函数
在
上为减函数，在
上为增函数，
对于选项
，
是函数
的极小值点，故
错误；
对于选项
，
不是函数
的极值点，故
错误；
对于选项
，根据
的两侧均为单调递增函数，故
不是极值点，故
错误；
对于选项
，根据
在区间
上的导数大于或等于零可知，
在区间
上单调递增，故
正确．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•南岸区校级期中）如图是函数
的导函数
的图象，
则下列说法正确的是
5
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A．
是函数
的极小值点
B．当
或
时，函数
的值为0
C．函数
在
上是增函数
D．函数
在
上是增函数
【解答】解：结合导数与函数单调性的关系可知，当
时，
，函数
单调
递减，
当
时，
，函数
单调递增，
故当
时，函数取得极小值．
结合选项可知，
正确．
故选：
．
【变式训练3】（2023 春•华龙区校级期中）已知函数
的导函数
的图象大致如图
所示，则关于函数
，下列结论正确的是
A．
无极大值点
B．
有2 个零点
6
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C．
在
上单调递增
D．
在
上单调递减
【解答】解：在导函数
的图象上作出
的图象如下所示：
因为当
时，
，
在
上单调递减，
易知
，使
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，排除选项
；
所以
是函数
的极大值点，
的零点个数无法判断，排除选项
和选项
．
故选：
．
题型二：求函数的极值
【要点讲解】 运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤
(1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f'(x).
(2)求方程f' ( x )=0
在f(x)定义域内的根.
(3)检查导数f'(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;
如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
(1)导数为零的点不一定是极值点.
(2)在解答题中涉及极值问题要列出表格.
【例2】（2023 春•科左中旗校级期中）已知函数
，则
的极小值为
A．
B．
C．0
D．1
7
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【解答】解：
函数
的定义域为
．
导函数
．
令
，解得：
．
列表得：
1
0
单减
极小值
单增
的极小值为
．
故选：
．
【变式训练1】（2023•武鸣区校级三模）函数
的极小值点为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
定义域为
，
所以
，令
得
，
令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在
处取得极小值．
故选：
．
【变式训练2】（2023•阿勒泰地区三模）函数
的极值点是
A．0
B．1
C．
D．
【解答】解：
，令
，得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
8
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故当
时，函数取极大值，所以，函数
的极值点是1．
故选：
．
题型三：已知极值(点)求参数
【要点讲解】 已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式:根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:因为某点处的导数值等于0 不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求
解后必须验证根的合理性.
【例3】（2023 春•涪城区校级月考）已知函数
在
处
有极值，则
的最小值为
A．2
B．
C．
D．4
【解答】解：由
，得
，
所以
，即
，
由题意，得
，
当且仅当
，即
，
时，取等号．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•临沂期中）函数
在
时有极大值0，
则
A．7
B．6
C．5
D．4
【解答】解：
，
，
9
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在
时有极大值0，
，
，
解得
，
．
则
，
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•朝阳区校级月考）已知实数
，
，
，
成等比数列，且曲线
的极大值点为
，极大值为
，则
等于
A．2
B．
C．
D．1
【解答】解：
实数
，
，
，
成等比数列，
，
由
，
，
令
，解得
，
函数
在
上单调递减；函数
在
上单调递增；函数
在
上
单调递减．
时，函数
取得极小值，
时，函数
取得极大值．
曲线
的极大值点为
，极大值为
，
，
（1）
，即
．
，
．
故选：
．
【变式训练3】（2023 春•河南月考）函数
的一个极值点是
10
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1，则
的值
A．恒大于0
B．恒小于0
C．恒等于0
D．不确定
【解答】解：
，
是
的极值点，
（1）
，
即
，令
（a）
，
，
则
，
令
（a）
，解得：
，令
（a）
，解得：
，
故
（a）在
递增，在
递减，故
，
故
，即
恒小于0．
故选：
．
【例4】（2023 春•北京期中）若函数
恰好有两个极值，则实数
的
取值范围是
A．
B．
，
C．
，
，
D．
，
，
【解答】解：
，则
，函数定义域为
，
函数
恰好有两个极值，
有两个不相等的零点，
故方程
有两个不相等的实根，
11
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则
，解得
或
，
实数
的取值范围是
，
，
．
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•东光县月考）若函数
在
上存在极值，则
正整数
的最小值为
A．4
B．5
C．6
D．7
【解答】解：
，
，
函数
在
上存在极值，
函数
在
上不是单调函数，
可得
有两个不等的根，
即△
，
解得
，或
，
正整数
的最小值为5．
故选：
．
【变式训练2】（2023 春•峨眉山市校级期中）已知函数
有两个极值点，求
的范围
A．
B．
C．
D．
【解答】解：已知
，函数定义域为
，
12
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可得
，
若
有两个极值点，
此时
有两个根，
即
有两解，
不妨设
，函数定义域为
，
可得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以
，
易知当
时，
，
所以
．
故选：
．
【变式训练3】（2023 春•东城区校级期中）设
，若函数
，
有大于
零的极值点，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
则
，即
，解得
，
函数
，
有大于零的极值点，
则
，即
，解得
．
故选：
．
13
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题型四：利用导数求函数最值问题
【要点讲解】求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最值的方法
(1)若所给的问题中不含有参数,则只需求f'(x),并求f'(x)=0 在区间[a,b]内的根,再计算使导数
等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最
小值.
(2)若所给的问题中含有参数,则需求f'(x),通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到
函数f(x)的最值.
【例5】（2023 春•江城区校级月考）函数
在
，
上的最大值与最
小值分别是
A．23，5
B．5，4
C．
，
D．5，
【解答】解：
，
，
，
，
，
，
，
函数
在
，
上单调递增，
（3）
，
，
故选：
．
【变式训练1】（2023 春•朝阳区校级月考）函数
的最小值为
A．1
B．
C．0
D．
【解答】解：
，
，
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令
，解得
，
令
，解得
或
，
故
在
，
递减，在
递增，在
，
递减，
而
（3）
，
故
在
，
上的最小值是0，
故选：
．
【变式训练2】（2023•阿勒泰地区三模）函数
在
，
上的最小值是
A．
B．
C．0
D．
【解答】解：因为
，所以
，
当
，
时，
，函数单调递增；
当
，
时，
，函数单调递减；
所以当
时，函数值为0，当
时，函数值为
，所以其最小值为0．
故选：
．
【例6】（2023 春•泸县校级期末）已知函数
．求：
（1）曲线
在点
，
（1）处的切线方程；
（2）函数
在区间
，
上的最值．
【解答】解：（1）
，则
（1）
，
，
切点是
，
15
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故切线方程是
，即
；
（2）令
，解得：
或
，
，
，
在
，
的变化如下：
0
2
3
0
0
单调递增
极大值1
单调递减
极小值
单调递增
1
在
，
和
，
上单调递增，在
，
上单调递减，
最大值是
（3）
，又
，
，
在
，
的最大值是
（3）
，
在
，
在最小值是
．
【变式训练1】（2023 春•凉山州期末）已知函数
在
时取得极值．
（1）求
在
，
处的切线方程；
（2）求
在区间
，
上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）已知
，函数定义域为
，
可得
，
因为
在
处取得极值，
所以
，
解得
，
当
时，
，
16
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当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
此时函数
在
时取得极值，
所以
，
此时
，
又
，
所以
在
，
处的切线方程为
，
即
；
（2）由（1）知
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
，
，
又
，
，
所以
在区间
，
上的最大值为1，最小值为
．
【变式训练2】（2023 春•莱芜区期中）已知函数
．
（1）若函数
在区间
上不单调，求
的取值范围；
17
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（2）令
，当
时，求
在区间
，
上的最大值．
【解答】解：（1）已知
，函数定义域为
，
可得
，
不妨设
，函数定义域为
，
该函数是开口向上的二次函数，对称轴为
，
因为函数
在区间
上不单调，
所以
，即
，
解得
则
的取值范围为
；
（2）已知
，
所以
，函数定义域
，
可得
，
若
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以函数
在
，
上单调递减，
则
（1）
；
若
，
18
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当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
（a）
；
若
时，
恒成立，
单调递增，
所以
（2）
；
若
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以函数
在
，
上单调递增，
则
（1）
．
综上，当
，
在区间
，
上的最大值为
；
当
时，
在区间
，
上的最大值为
；
当
时，
在区间
，
上的最大值为
．
一．选择题（共6 小题）
1．（2023 春•临沂期中）已知函数
，若对任意正数
，
，都
课后练习
19
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有
恒成立，则实数
的取值范围
A．
，
B．
C．
，
D．
，
【解答】解：因为对任意两个不等的正数
，
，都有
恒成立，
设
，则
，
即
恒成立，
问题等价于函数
，
即
在
上为增函数，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
所以
，
即实数
的取值范围是
，
，
故选：
．
2．（2023•池州模拟）已知函数
，记
，则下列结论正确的是
A．
的值域为
B．
的值域为
，
C．
为奇函数
D．
为偶函数
【解答】解：
，
，则
，则
，
错误；
，
错误；
20
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设
，
则
，
则
为奇函数，
正确；
设
，则
，
则
不为偶函数．
故选：
．
3．（2023 春•伊州区校级期中）已知
是函数
的极小值点，那么函数
的极大值为
A．0
B．1
C．2
D．4
【解答】解：因为
，
，
所以
，
又因为
是函数的极小值点，
所以
（1）
，
解得
，
所以
，
，
令
，得
，
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
21
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所以
在
处取极大值，在
处取极小值，
所以
的取极大值为
．
故选：
．
4．（2023 春•崇明区期末）将函数
，
，
的图像绕点
顺时针旋转
角
得到曲线
，若曲线
仍是一个函数的图像，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数
，
，
当
时，
，函数在
上递增，
当
时，
，函数在
上递减，
（1）
，可得在
处切线的倾斜角为
，
因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转
后的切线倾斜角最多为
，
也就是说，最大旋转角为
，
即
的最大值为
．
故选：
．
5．（2023•内江三模）已知函数
和
有相同的极大值，则
A．2
B．0
C．
D．
【解答】解：
，则
，
令
，解得
，令
，解得
，
22
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所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值
，
又
，则
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值
，
依据题意，
和
有相同的极大值，
故
（1）
（e），所以
，所以
．
故选：
．
6．（2023•湖北二模）设函数
恰有两个极值点，则实数的取值范
围是
A．
，
B．
，
C．
，
，
D．
，
，
【解答】解：函数
，
，
，
函数
恰有两个极值点，
方程
恰有两个正根，
显然
是方程
的一个正根，
方程
有唯一正根，即方程
有唯一正根，
23
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等价于函数
与函数
在
上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，
，
函数
在
上单调递增，
又
，
（1）
，
函数
的图象如图所示：，
且
，
故选：
．
二．多选题（共2 小题）
7．（2023•红河州一模）已知函数
，则下列说法正确的是
A．函数
有两个极值点
B．若关于
的方程
恰有1 个解，则
C．函数
的图象与直线
有且仅有一个交点
D．若
，且
，则
无最值
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【解答】解：
，
作出
的图象可得：
对于
：由图象可知
和
是函数
的两个极值点，故
正确；
对于
：若函数
恰有一个零点，则
或
，故
不正确；
对于
：因为函数
在点
处的切线为
，
函数
在
处的切线为
，
由图可知，当
，即
时，
的图象与直线
恰有一个交点，
当
，即
时，令
，得
，
令
，
则
（1）
，
，
由二次函数的图象及零点存在定理可知，方程
有且只有一个实数根，
当
，即
时，令
，
25
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设
，
，
则
（当且仅当
时取等号），即函数
在
上单调递增，
由于
，
所以函数
有且仅有一个实数根，故
正确；
对于
：由于
，
，
，
则
，
，
，则
，
设
，
，
设
，
所以
在
上单调递增，且
，
（1）
，
所以存在
，使得
，
当
时，
，
单调递减，
当
，
时，
，
单调递增，
所以
存在最小值
，故
不正确，
故选：
．
8．（2023 春•香洲区校级月考）对于函数
，下列说法正确的有
A．
在
处取得极大值
B．
在
处取得最大值
C．
有两个不同零点
D．
（2）
（3）
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【解答】解：函数的导数
，
令
得
，则当
时，
，函数为增函数，
当
时，
，函数
为减函数，
则当
时，函数取得极大值，极大值为
，故
正确，
由
知当
时，函数取得最大值，最大值为
，故
正确；
由
，得
，得
，即函数
只有一个零点，故
错误，
，由
时，函数
为减函数，知
（3）
（4），
故
（2）
（3）成立，故
正确．
故选：
．
三．填空题（共4 小题）
9．（2023 春•怀仁市期末）函数
在区间
上有最大值，则
的取值范围
是
，
．
【解答】解：
，
，
令
解得
；令
，解得
或
，
由此可得
在
上是增函数，在
上是减函数，在
上是增函数，
故函数在
处有极大值，在
处有极小值，
，即
，解得
，
即
的取值范围是
，
．
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故答案为：
，
．
10．（2023•兴庆区校级二模）在等比数列
中，
，
是函数
的极值点，则
2
．
【解答】解：因为
，所以
，
又因为
，
是
的极值点，
所以
，
是方程
的两根，
所以有
，
由等比数列的性质可知：
，
又因为
，
所以
，
故答案为：2．
11．（2023 春•青羊区校级期中）已知函数
，
，有以下四个命题：
①对
，不等式
恒成立；
②
是函数
的极值点；
③函数
的图象与
轴及
围成的区域面积为
；
④
．
其中正确的命题有
①③④
．
【解答】解：对①：
，即
，设
，则
恒成立，函数单调递增，故
，正确；
28
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对②：
恒成立，函数单调递增，无极值点，错误；
对③：
，面积为
，正确；
对④：根据①知：
在
上恒成立，则
，故
，
则
，正确．
故答案为：①③④．
12．（2023•宜章县二模）已知函数
，若有且仅有两个整数
，满足
，则实数
的取值范围为
，
．
【解答】解：若
，则
，
所以
，
所以
，
令
，
则
，
令
，
则
在
上单调递增，且
，
（1）
，
所以存在
，当
，则
，
，
单调递减，
当
，
时，
，
，
单调递增，
因为
（1），
所以只需
且
且
（2），
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所以
，
解得
，
所以
的取值范围为
，
．
故答案为：
，
．
四．解答题（共3 小题）
13．（2023 春•永昌县校级期中）当
时，函数
取得极小值2．
（1）求实数
，
的值；
（2）求函数
的最小值．
【解答】解：（1）已知
，函数定义域为
，
可得
，
因为函数
在
处取得极小值2，
所以满足
（1）
，
（1）
，
解得
，
，
此时
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，函数
取得极小值，满足题意，
所以
，
；
30
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（2）由（1）可知
，函数定义域为
，
可得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
在
处取得极小值，也是最小值，
故
．
14．（2023 春•泉州期末）已知函数
．
（1）求曲线
在点
，
（1）处的切线方程；
（2）证明：
．
【解答】解：（1）已知
，函数定义域为
，
可得
，
所以
（1）
，
又
，
所以曲线
在点
，
（1）处的切线方程为
，
即
；
（2）证明：不妨设
，函数定义域为
，
要证
，即证
，
易得
恒成立，
31
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所以函数
在定义域上单调递增，
又
，
当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
，
当
时，
．
故
．
15．（2023 春•曹县校级月考）若函数
．
（1）当
时，求
的极值；
（2）若
在
，
恒成立，求
的取值范围．
【解答】解：（1）当
时，
，
，
令
，得
，
所以在
上
，
单调递增；
在
上
，
单调递减，
所以
，无极小值．
（2）
，
因为
在
，
上恒成立，所以
在
，
上恒成立，
①当
时，
，
32
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所以
在
，
上单调递减，则
，不符合题意，
②当
时，
，
所以
在
，
上单调递减，则
，符合题意，
③当
时，令
得
或
，
若
，即
时，
在
上
，
单调递增，
所以
（1）
，
又
，矛盾，不符合题意，
若
，即
时，
在
上
，
单调递减，
在
，
上
，
单调递增，
所以当
，
时，
的最大值为
与
（1）中的较大者，
要满足
在
，
上恒成立，只需
，解得
，
又因为
，
所以
，
若
，即
时，
在
上
，
单调递增，
所以
（1）
，即
，
33
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又
，
所以
，
若
，即
时，
在
上
，
单调递减，
所以
，符合题意，
34
