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第 03 讲 导数与函数的极值、最值
目录
第一部分：题型篇....................................................2
题型一：重点考查根据图象判断极值（点）...........................2
题型二：重点考查利用导数求函数的极值（点）.......................5
题型三：重点考查利用函数的极值求参数.............................9
题型四：重点考查利用函数的极值个数求参数........................12
题型五：重点考查利用导数求函数的最值............................16
题型六：重点考查利用导数求函数（含参）中的最值问题..............21
题型七：重点考查根据函数的最值求参数............................29
题型八：重点考查极值，最值，单调性的综合问题....................34
第二部分：易错篇...................................................37
易错一：已知极值（点）求参数，注意回代检验......................37
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第一部分：题型篇
题型一：重点考查根据图象判断极值（点）
典型例题例题1．（多选）（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）函数 的导函
数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． 是函数 的极值点 B． 是函数 的最小值点
C． 在区间 上单调 D． 在 处切线的斜率小于0
【答案】AC
【详解】对A，由图象可得 且 在 左右两边异号，故 是函数 的极值
点，故A正确；
对B，在 上 ， 单调递增， 不是函数 的最小值点，故B不正确；
对C，根据导函数图象可知在 时， ，
函数 在 上单调递增，故C正确；
对D， 函数 在 处的导数大于0， 切线的斜率大于零，故D不正确.
故选：AC．
例题2．（2023春·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）设函数 在R上可导，其导函数为
，且函数 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． 有三个极值点 B． 为函数的极大值
C． 有一个极大值 D． 为 的极小值
【答案】C
【详解】解： ，并结合其图象，可得到如下情况，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减；∴ 在 取得极小值，在 处取得极大值，只有两个极值点，
故A、B、D错，C正确；
故选: C.
例题3．（2023·全国·高二专题练习） 设函数 在R上可导，其导函数为 ，且函数
的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． 有两个极值点 B． 为函数的极大值
C． 有两个极小值 D． 为 的极小值
【答案】C
【详解】解： ，并结合其图像，可得到如下情况，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增
∴ 在 和 处取得极小值，故B，D错，C正确；
在 处取得极大值.
所以 有3个极值点，故A错.
故选: C.
精练核心考点
1．（多选）（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）函数 的导函数
的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ）
A． 是函数 的极值点B． 是函数 的最小值点
C． 在区间 上单调递增
D． 在 处切线的斜率小于零
【答案】AC
【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时， ，在 时， ，
∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在 上单调递增，故C正确；
则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；
∵在 上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；
∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；
故选：AC
2．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知函数 ，其导函数
的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递减
B．函数 在 处取得最大值
C．函数 在 上单调递减
D． 在区间 内的函数值为负
【答案】C
【详解】由图象可得：当 或 时， ；当 或 时， ；
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
故A错误，C正确；
函数 在 处取得极大值，不一定是最大值，B错误；
根据题意只能得到 的符号，以及 的单调区间，无法判断 的符号，D错误；
故选：C.
3．（2023·高二校考课时练习）已知函数 ，其导函数 的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，则下列说法中不正确的序号是______．
①当 时函数取得极小值；
② 有两个极值点；
③当 时函数取得极小值；
④当 时函数取得极大值．
【答案】①
【详解】由图象可知,当 时, ;当 时, ;当 时, .
所以函数f(x)在 上单增，在 上单减，在 上单增.
f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值,当x=1时,函数取得极大值,故只有①不正确.
故答案为:①
题型二：重点考查利用导数求函数的极值（点）
典型例题
例题1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考阶段练习）已知 ，
则 （ ）
A．在 上单调递增 B． 在上单调递减
C．有极大值 ，无极小值 D．有极小值 ，无极大值
【答案】D
【详解】∵ ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故A、B错误；
由单调性可得： 有极小值 ，无极大值，
故C错误，D正确.故选：D.
例题2．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数 在
点 处的切线与直线 垂直.
(1)求 的值
(2)求函数 的极值.
【答案】(1)
(2)极小值 ，极大值 .
【详解】（1）易得 ，
又函数 在点 处的切线与直线 垂直，∴ ，得 ；
（2）由（1）得 ， ，
令 有 或 ，可得
x 0 2
+ 0 - 0 +
单调递
单调递增 极大值 极小值 单调递增
减
在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ；
综上，极大值 ，极小值 .
例题3．（2023春·天津宝坻·高二校考阶段练习）设函数 ，其中 ，曲线 在点
处的切线经过点 .
(1)求 的值；
(2)求函数 的极值.
【答案】(1)
(2)极小值 ，没有极大值
【详解】（1）因为 ，则 ，
故 在 处的切线方程 ，
把点 代入切线方程可得 ；（2）函数 的定义域为
由（1）可得 ，令 得 ，
当 时， ，函数单调递减，
当 时， ，函数单调递增，
故当 时，函数取得极小值 ，没有极大值．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）求函数 的极值.
【答案】不存在极大值；存在极小值，且极小值为
【详解】 ， ，
，令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
不存在极大值；存在极小值，且极小值为 ．
精练核心考点
1．（2023春·北京·高二北理工附中校考阶段练习）函数 （ ）
A．有极大值1，无极小值 B．无极大值，也无极小值
C．有极小值0，极大值1 D．有极小值1，无极大值
【答案】D
【详解】 ， ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以当 时，函数有极小值 ，无极大值，
故选：D.
2．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间和极值.【答案】(1)
(2) 在 和 上单调递增，在 上单调递减；极大值为 ，极小值为
【详解】（1）由 ，有 ，
则 ， ，
故切点坐标为 ，切线斜率为12，
切线方程为 ，即 ；
（2）令 ，解得x=0或x=1，
故当 时， ，当 时， ，当 时 ，
故函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
故函数 的极大值为 ，极小值为 .
3．（2023春·天津河东·高二期中）设函数 ，求函数 的单调区间及极值.
【答案】增区间为 ，减区间为 ，极大值为 ，极小值 .
【详解】由函数 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 或 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ，
所以当 时， 取得极大值，极大值为 ，
当 时， 取得极小值，极小值为 .
4．（2023·四川成都·统考二模）函数 的极大值为______．
【答案】1
【详解】依题意，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减.所以 在 处取得极大值： .
故答案为：1.
题型三：重点考查利用函数的极值求参数
典型例题
例题1．（2023春·河南洛阳·高二统考期中）已知函数 在 时有极值10，则
（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】B
【详解】 ，
因为 在 时有极值10，
故 且 ，即 ，消元后得到： ，
故 或 .
当 时， ，
故 为 上的增函数，无极值点，舍；
当 时， ，
当 或 时， ；当 时， ，
故 在 处取极小值，符合题设要求.
故选：B.
例题2．（2023春·四川成都·高二统考期中）已知函数 在 处取得极大值 .
(1)求 的值；
【答案】(1)
【详解】（1） ，且函数 在 处有极值1，，解得 .
又当 时，
当 或 时， ，
当 时， ，
故 在 处取得极大值，满足题意.
综上， .
例题3．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数 在 处有极值36．
(1)求实数 ， 的值；
【答案】(1) 或
【详解】（1）由题意知 ．
∵ ， ，
∴ 或 ，
经检验都符合题意．
例题4．（2023·上海·高二专题练习）已知函数 在 处取得极值3.
(1)求 ， 的值；
【答案】(1) ，
【详解】（1）依题意， ，因为 在 处取得极值3，
所以 ，解得 ， ．
此时 ，显然当 和 时， ，
当 时， ，故 在 单调递增，在 单调递减，
所以 在 处取得极大值 ，
所以 ， ．
（2）由（1）知， ， ，
当 或 时， ，当 时， ，所以 在 ， ， ， 上单调递增，在 上单调递减，
， ， ， ，
所以 的最小值为0，最大值为12．
精练核心考点
1．（2023春·河南洛阳·高二统考期中）已知函数 在 时有极值0，则 （
）
A．4 B．11
C．4或11 D．以上答案都不对
【答案】B
【详解】解：由 ，得 ，
因为 在 处有极值0，
所以 ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，此时函数无极值，所以舍去，
当 时， ，令 ，得 或 ，经检验 和 都为函数的极值
点，
综上，
所以 ，
故选：B
2．（2023·全国·高二专题练习）已知 在 时有极值0.
(1)求常数 的值；
【答案】(1)
【详解】（1） ，可得 ，
由题 时有极值0.可得： 即
解得： 或 ，
当 时， 单调，不会有极值，故舍去.经验证 成立；
3．（2023春·河北石家庄·高二校联考期中）已知函数 .
(1)若 在 处取得极值，求a的值；
【答案】(1)
【详解】（1）解：由函数 ，可得函数 的定义域为 ，
且 ，
因为函数 在 处取得极值，所以 ，解得 ，
当 时，可得 ，
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值，符合题意.
4．（2023春·贵州遵义·高二校考阶段练习）已知函数 在 处取得极值.
(1)求 的值；
【答案】(1) ；
【详解】（1）由 ，则 .
因在 时， 取到极值，
所以 ，即 解得 .
当 时， ，
则 ,
由 ，解得 或 .
由 ，解得 或 ；
由 ，解得 .
∴ 的递增区间为： 和 ；
递减区间为： .
故当 时，函数 取得极值.
故 .题型四：重点考查利用函数的极值个数求参数
典型例题
例题1．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知函数 有极大值
和极小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B
【详解】函数 ，
，
函数 有极大值和极小值，
所以其导函数 有两个不同的解，
所以 或 .
故选：B
例题2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数 在 上有3
个极值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，
所以 ，
因为函数 在 上有3个极值点，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：C.
例题3．（2023春·吉林·高二四平市实验中学校考阶段练习）若函数 在 上存在
极值，则正整数 的最小值为___________．
【答案】5【详解】 ，
，
函数 在 上存在极值，
函数 在 上不是单调函数，
可得 有两个不等的根，
即 ，
解得 ，或 ，
正整数 的最小值为5．
故答案为：5．
例题4．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数 ，若函
数 在 上有极值，则实数 的取值范围为___．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
为二次函数，且对称轴为 ，
所以函数 在 单调递增，
则函数 在 单调递增，
因为函数 在 上有极值，
所以 在 有解，
根据零点的存在性定理可知 ，即 ，
解得 ，
故答案为： .
精练核心考点
1．（2023春·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）若函数 有两个不同的
极值点，则实数a的取值范围为（ ）．A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，
当 时，函数 单调递增，在 时，该函数单调递减，
当 时，函数 有最大值，且 ，且函数 的对称轴
为 ，
所以当 时， 有两个不同的极值点，等价于直线 与函数
有两个不同的交点，所以 ，
故选：B
2．（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）若函数 在区间 上有极值点，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知得 ，若函数 在 上有极值点，则 在 上有
解，即 ，解得 .
故选：D
3．（2023春·广西梧州·高二苍梧中学校考阶段练习）若函数 有两个不同的极值点，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】函数的定义域为 ，
因为函数 有两个不同的极值点，
所以 有两个不同正根，
即 有两个不同正根，
所以 解得 ，
故选:A.
4．（2023秋·青海西宁·高二统考期末）若函数 在区间 上有极值点，则实数a的取值范
围是______．
【答案】
【详解】由已知得 ，若函数 在 上有极值点，则 在 上有
解，即 ，解得 ．
故答案为：
题型五：重点考查利用导数求函数的最值
典型例题
例题1．（2023春·天津南开·高一天津市天津中学校考阶段练习）函数 在 上的
最值是（ ）
A．最大值是4，最小值是 B．最大值是2，最小值是
C．最大值是4，最小值是 D．最大值是2，最小值是
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
由 有： 或 ，由 有： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ，
所以 在 上的最大值是4，最小值是 ，故B，C，D错误.
故选：A.
例题2．（2023春·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）已知 是函数
的一个极值点．
(1)求 的单调区间；
(2)求 在区间 上的最小值．
【答案】(1)增区间为 、 ，减区间为
(2)
【详解】（1）解：因为 ，则 ，
因为 是函数 的一个极值点，则 ，解得 ，
此时， ，
由 可得 ，由 可得 或 ，
所以，函数 的增区间为 、 ，减区间为 .
（2）解：由（1）可知， ，
函数 在 上单调递增，在 上递减，在 上单调递增，
当 时，函数 的极大值为 ，极小值为 ，
又因为 ， ，
所以，函数 在 上的最小值为 .
例题3．（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）已知函数 在 处取
得极值 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】(1) ，
(2)最大值为11，最小值为
【详解】（1）由已知得 ，
因为 在 处取得极值 ，所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 .（2）由（1）知 ， ，
令 ，解得 或 ．
当x变化时， ， 的变化情况如下表所示：
+ 0 0 +
极小值
单调递增 极大值 单调递减 单调递增 11
所以 在区间 上的最大值为11，最小值为 ．
例题4．（2023春·广东梅州·高二丰顺县丰顺中学校联考期中）已知函数 在 处取
得极值-14.
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 在 上的最值.
【答案】(1)
(2)最小值为-14，最大值18
【详解】（1）因 ，故
由于 在 处取得极值-14，故有 ，
化简得 ，解得 ，
经检验， 时，符合题意，所以 .
则 ， ，故 .
所以曲线 在点 处的切线方程为： ，即
（2） ， ，
解得 或 ； 解得 ，
即函数 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
，
因此 在 的最小值为 .最大值为
精练核心考点1．（2023春·北京·高二人大附中校考期中）已知函数 在 处取得极值．
(1)求 的解析式；
(2)求 在 上的最值．
【答案】(1)
(2)最大值为2，最小值为 .
【详解】（1） ．
在 时取得极值，所以 ， ,
即 ,且 解得 ．
经检验， 时， ,当 或 时, ,此时 单调递增，当 时,
,此时 单调递减，故 在 时取得极小值．
．
（2） ，
令 ，解得 或 ；
, 时， 和 变化如下：
1
0
单调递 单调递
增 减
由上表可知函数 在区间 ， 上的最大值为2，最小值为 .
2．（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)求函数 在 的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）易知，函数 的定义域为 ；
所以 ，则切点为 ，
又 ，则 在点 处的切线斜率 ，所以切线方程为 ，整理可得 ，即 ，
即函数 在点 处的切线方程为 .
（2）由（1）可知， ，又 ，所以令 得 ，
令 得 ，所以 在 上单调递减，
令 得 ，所以 在 上单调递增，
所以函数 有极小值为 ，也是函数的最小值，
又 ， ，所以函数 的最大值为 ，
综上可得，函数 在 上的最大值为 ，最小值为 .
3．（2023春·广东汕头·高二校考期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 在 上的最值．
【答案】(1)
(2)最大值为 ，最小值为
【详解】（1）解：因为 ，则 ，
所以， ， ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）解：因为 ，令 ，可得 ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
故当 时， ， .
4．（2023春·吉林·高二四平市实验中学校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间与极值；
(2)求函数 在区间 上的最值．
【答案】(1)单调增区间为 ， ，单调减区间为 ， 的极大值为 ， 的极小值为(2)最大值为 ，最小值为
【详解】（1）（1）因为 ，
令 ，可得 或 ，
和 随 的变化情况如下：
3
0 0
极小
单调递增 极大值 单调递减 单调递增
值
函数 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ，
的极大值为 ， 的极小值为 ；
（2）由（1）可知函数 在 ， 单调递增，在 单调递减，
， ， ， ．
函数 在区间 ， 上的最大值为 ，最小值为 ．
题型六：重点考查利用导数求函数（含参）中的最值问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，记 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【详解】（1）因为 ，故可得 ，
令 ，可得 或 ；
当 时， ，此时 在 上单调递增；
当 时，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
当 时，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 和 单调递增，在 单调递减.
（2）由（1）可知：当 时， 在 单调递减，在 单调递增
又 ， ，故 在 单调递减，在 单调递增.
则 的最小值 ；
又 ，
当 时， 的最大值 ，
此时 ；
当 时， 的最大值 ，
此时 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ；
所以 的取值范围为 .
例题2．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)求函数 在区间 上的最小值 ．
【答案】(1)答案见解析(2)
【详解】（1）因为 ，
①当 时，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，在 单调递减；
②当 时， 在 上恒成立，
当且仅当 时， ，
所以函数 在 上单调递增；
③当 时，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，在 单调递减；
综上所述，
当 时，函数 在 上单调递增，在 单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 单调递减；
（2） 的定义域为 ，
①当 时， 在 上单调递增， ，
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，③当 时， 在 上单调递减，
所以
综上 ．
例题3．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)求当 时，函数 在区间 上的最小值 ．
【答案】(1)极大值为 ，极小值为
(2)
【详解】（1）当 时，函数 ．
则 ，
令 ，得 或
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
则 在 处取得极大值，在 处取得极小值．
极大值为 ，极小值为 .
（2）函数 的定义域是 ，
．当 时，令 有两个解， 或 ．
当 ，即 时， ，∴ 在 上单调递减，
∴ 在 上的最小值是 ，
当 ，即 时，
当 时， ，∴ 在 上单调递减，
当 时， ，∴ 在 上单调递增，
∴ 在 上的最小值是 ，
当 ，即 时， ， ，∴ 在 上单调递增，
∴ 在 上的最小值是 ．
综上，
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)设 在区间 上的最小值为 ，求 及 的最大值．
【答案】(1)极大值 ，极小值0
(2) ， 的最大值为0，
【详解】（1）当 时， ，
，当 或 时， ，
当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值为 ，极小值为 ，
（2） ， ，
当 时， ， 在 上单调递增， 在区间 上的最小值为 ，
当 时，当 或 时， ，
当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
在区间 上的最小值为 ，
当 时，同理得 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
若 ， 在区间 上的最小值为 ，
若 ， 在区间 上的最小值为
综上，
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，
可知 在 上单调递增，故 的最大值为0，
精练核心考点
1．（2023春·江苏常州·高二校考开学考试）已知函数 ，求函数 在区间 上的最大
值．
【答案】答案见详解【详解】由题意可得： ，则 ，
∵ ，则有：
当 时，则 当 时恒成立，
则函数 在区间 上单调递增，则 ；
当 时，则 当 时恒成立，
则函数 在区间 上单调递减，则 ；
当 时，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
①当 ，即 时，则 在区间 上的最大值为 ；
②当 ，即 时，则 在区间 上的最大值为 ；
③当 ，即 时，则 在区间 上的最大值为 ；
综上所述：当 时，则 在区间 上的最大值为 ；
当 时，则 在区间 上的最大值为 ；
当 时，则 在区间 上的最大值为 .
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值；
(2)当 时．求函数f（x）的最大值．
【答案】(1)a=1
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意可知 ，
所以 ，即3-3a=0解得a=1，
经检验a=1，符合题意．
所以a=1．
（2）由（1）知 ，
令 ， ，当 即 时，f（x）和 随x的变化情况如下表：
x －2 1
＋ 0 － 0 ＋
单调调
－7+6a 单调递增 单调递减 2－3a
增
，
由上可知，所以 的最大值为 ．
当 即 时，f（x）和 随x的变化情况如下表：
x －2 1
＋ 0 －
－7+6a 单调递增 单调递减 2－3a
，
由上可知，所以f（x）的最大值为 ．
当 即 时， 恒成立，即f（x）在［－2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值
为f（－2）=－7+6a，
综上所述，当 时，f（x）的最大值为 ；
当 时，f（x）的最大值为－7+6a．
3．（2023·高二课时练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求 在区间 上的最小值．
【答案】(1)当 时， 在R上单调递增；当 时， 在 ， 上单调递增，在
上单调递减；当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
(2)①当 时， 在 上的最小值为 ；当 时， 在 上的最小值
为 ．
【详解】（1）因为 ，所以 ．
①当 时， ，则 在R上单调递增；②当 时，令 ，解得 或 ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时，令 ，解得 或 ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由（1）知，当 时， 或 ．
①当 ，即 时，
在 上单调递减，在 上单调递增，
此时 在 上的最小值为 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，
此时 在 上的最小值为 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是 的一个极值点．
(1)求b的值；
(2)当 时，求函数 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，
∵ 是 的一个极值点，∴
解得 ．经检验，满足题意．
（2）由（1）知： ，则 ．
令 ，解得 或
x 1 2
+ 0 - 0 +
递增 递减 递增
∵ ，
∴函数 的大值为题型七：重点考查根据函数的最值求参数
典型例题
例题1．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考阶段练习）若函数
在 上的最小值是1，则实数 的值是（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【详解】解：令 ，
解得 或 ，
当 时， ， 时， ，
又 ， ，
显然 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
例题2．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考阶段练习）若函数 在区间( ,
)内存在最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A．[－5,1) B．(－5,1)
C．[－2,1) D．(－2,1)
【答案】C
【详解】由 ，令 ，可得 或 ，
由 得： 或 ，由 得： ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数在 处取得极小值 ，
令 ，解得 或 ，
若函数 在( , )内存在最小值，则 ，得 ．
故选：C
例题3．（2023·四川·高三统考对口高考）如果函数 的值域为 ，那么 ______．【答案】1
【详解】 ，当 时， ， 为减函数， ，显然不合题意；
当 时， 时， ，此时为减函数， 时， ，此时为增函数，所以
；
因为函数 的值域为 ，所以 ，解得 .
故答案为：1.
例题4．（2023春·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）已知函数 在区间
上的最大值为28，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【详解】∵ ，
∴ ，
令 ＝0，得 ＝-3， ＝1，
当x变化时 及 的变化情况如下表．
x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞)
+ 0 - 0 +
↗ 28 ↘ -4 ↗
当x＝-3时， 取极大值28；
当x＝1时， 取极小值-4.
而f(2)＝3<f(-3)＝28，
如果 在区间[k，2]上的最大值为28，
则k≤-3.
故答案为：k≤-3
例题5．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）已知函数 ，且满足 的
导数 的最小值为 .
(1)求 值；
(2)若函数 在区间 上的最大值与最小值的和为7，求 值.【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵ ，则 的最小值为 ，
由题意可得： .
（2）由（1）可得： ，则 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
则 在 单调递增，在 上单调递增，
且 ， ，
， ，
且 ，
所以函数 在区间 上的最大值 ，最小值 ，
又∵函数 在区间 上的最大值与最小值的和为7，
则 ，解得 .
精练核心考点
1．（2023·上海松江·统考二模）已知函数 ， ，在区间 上有最大值，则
实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数在 ， 上递增函数，在 上递减函数，
故 时函数有极大值，且 ，所以当函数在 上有最大值，则 且 ，
即 ，解得 .
故选：B.
2．（多选）（2023·高二校考课时练习）已知函数 的最大值为3，最小
值为 ，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】由题意可得： ， ，
当 时，则 ，显然不合题意，舍去；
当 时，令 ，而 ，则 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，即
，
故 ，解得 ，则 ；
当 时，令 ，而 ，则 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，即
，
故 ，解得 ，则 ；
综上所述： 或 .
故选：AC.
3．（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）若函数 在区间 上存在最
大值，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
由 ，得 或 ，则 在区间 和 上单调递增，
由 ，得 ，则 在区间 上单调递减，所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
要使函数 在区间 上存在最大值，又 ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
4．（2023春·安徽合肥·高二校联考阶段练习）若函数 在区间 上存在最大值，则实
数 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】由 得 ,
当 或 时, ；当 时, ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 为函数的极大值点，且 ，
令 ，则 或 ，
故要使函数 在区间 上存在最大值，即 时函数取最大值，
需满足 ，
故答案为：
5．（2023春·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 上的最小值是 ，求 的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1） .
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
在 上单调递减.（2）由（1），若 ，则 在 上的最小值是 ，不合题意；
若 ，由（1）可得 在 上单调递增，则 ，不合题意；
若 ，由（1）可得 在 上单调递减，在 上单调递增，则
；
若 ，由（1）可得 在 上单调递减，则 ，不合题意.
综上可知： .
题型八：重点考查极值，最值，单调性的综合问题
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，若函数 无最小值，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由 得 ，
令 ,得 ，令 ，得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得极小值，为 ，
因为 无最小值，所以 ，解得 .
故选：A
例题2．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）若函数 在区间 上存在最小
值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 的导函数为 ，令 ，得 或 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 为极小值点， 为极大值点.
由 在区间 上存在最小值，
可得 ，解得 ，
此时 ，
因此实数m的取值范围是 ，
故选：D.
例题3．（多选）（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知函数 有两个极值点 ，
且 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的图象关于点 中心对称
【答案】BCD
【详解】由题可得 有两个不相等的实数根，
所以 ，
所以 错误；
根据题意， 为 的两个根，
所以 正确；
因为 ，且 为 的两个根，
所以由 得 或 ，
由 得 ，
所以函数 在 上单调递增，
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 成立，C正确；
因为 为奇函数，
所以 关于 对称，
所以 关于 对称，D正确，
故选：BCD.
精练核心考点1．（多选）（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，
导函数为 ，满足 ，（e为自然对数的底数），且 ，则（ ）
A． B．
C． 在 处取得极小值 D． 无最大值
【答案】AD
【详解】解：设 ，则 ，
可设 ，则 ，解得 ，故 ，即 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，
∴ ，即 ，则 ，A正确；
∵ ，令 ，解得 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ， 在 处取得极小值，无最大值，B、C均错误，D正确．
故选：AD.
2．（多选）（2023春·江苏南京·高二南京大学附属中学校考阶段练习）对于函数 ，下列说法
正确的有（ ）
A． 在 处取得极大值 B． 在 处取得最大值
C． 有两个不同零点 D．
【答案】ABD
【详解】函数的导数 ，
令 得 ，
则当 时， ，函数 为增函数，
当 时， ，函数 为减函数，
则当 时，函数取得极大值，极大值为 ，
故A正确，
由上述可知当 时，函数的极大值即为最大值，且最大值为 ，
故B正确，
由 ，得 ，得 ，即函数 只有一个零点，
故C错误，由 ，
所以 ，
由 时，函数 为减函数，知 ，
故 成立，
故D正确．
故选：ABD．
3．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数 的极值点为 ，函数
的最大值为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 的定义域为 ，
在 上单调递增，且 ， ，
所以 ， ．
的定义域为 ，由 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
即 ．所以 ．
故选：A
第二部分：易错篇
易错一：已知极值（点）求参数，注意回代检验
典型例题
例题1．（2023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考阶段练习）函数
在 处有极值为7，则A．-3或3 B．3或-9 C．3 D．-3
【答案】C
【详解】 ，
∴ ，解得 或 ，
时， ，当 时， ，当 时， ，
是极小值点；
时， ， 不是极值点．
∴ ．
故选C．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 处有极大值，则实数 的值为
（ ）
A．1 B． 或 C． D．
【答案】D
【详解】由 ，
因为函数 在 处有极大值，
所以有 ，或 ，
当 时， ，
当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减，所以 是函数 的极小值点，
不符合题意；
当 时， ，
当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减，所以 是函数 的极大值点，
符合题意，
故选：D
例题3．（2023春·江西南昌·高二校考阶段练习）函数 在 处有极值为 ，
那么 ， 的值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， 或 ， D． ，
【答案】A
【详解】 ，由题意可知 即 ，
则 解得 或 ，
当 时， ，
在 处不存在极值，不符合题意；
当 时， ，
， ， ， ，符合题意．
，
故选：A．
例题4．（2023春·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习）函数 在 处
有极小值5，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或3
【答案】A
【详解】由题意可得 ，则 ，解得 ，或 ．当 ，
时， ．由 ，得 ；由 ，得 ．则 在 上单调递增，在
上单调递减，故 在 处有极大值5，不符合题意．当 ， 时， ．由
，得 ；由 ，得 ．则 在 上单调递减，在 上单调递增，故
在 处有极小值5，符合题意，从而 ．
故选：A.
精练核心考点
1．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知 在 处有极值 ，则
（ ）
A．11或4 B．-4或-11 C．11 D．4
【答案】C【详解】根据题意，
函数 在 处有极值0
且
或
时 恒成立，此时函数无极值点
.
故选：C.
2．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1
处的极值为10，则数对(a，b)为（ ）
A．(－3,3) B．(－11,4)
C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)
【答案】C
【详解】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得 即
解得 或
当 时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，
所以数对 为(4,-11)，选项C正确.
故选：C.
3．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知函数 在 处有
极值0，则 的值为（ ）
A．4 B．7 C．11 D．4或11
【答案】C
【详解】解：由 ，得 ，
因为 在 处有极值0，
所以 ，即 ，解得 或 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，此时函数无极值，所以舍去，
当 时， ，令 ，得 或 ，经检验 和 都为函数的极值点，
综上，
所以 ，
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极值0，则
（ ）
A．4 B．11 C．4或11 D．3或9
【答案】B
【详解】因为 ，由题有 ，即 ，解得 或 ，
检验：当 时 ，不合题意，舍掉；
当 '时， ，令 ，得 或 ；令 得
.
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，符合题意，则 .
故选：B.
