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第 2 讲 导数与函数的极值、最值
讲义设计提纲：
【考试要求】
1、借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2、会用导数求函数的极大值、极小值.
3、掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．
1．函数的极值
(1)判断f(x)是极值的方法
0
一般地，当函数f(x)在点x 处连续时，
0
①如果在x 附近的左侧f′(x)＞0，右侧 ，那么f(x)是极大值；
0 0
②如果在x 附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x)是极小值．
0 0
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得
；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与 ．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的 ；若函数
f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间
的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答．
【易错点提醒】
(1) 求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另
外注意函数最值是个 “ 整体 ” 概念，而极值是个 “ 局部 ” 概念．
(2) f ′ ( x ) ＝ 0 是 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 取极值的既不充分也不必要条件．
0 0
如 ① y ＝ | x | 在 x ＝ 0 处取得极小值，但在 x ＝ 0 处不可导；
② f ( x ) ＝ x 3 ， f ′ (0) ＝ 0 ，但 x ＝ 0 不是 f ( x ) ＝ x 3 的极值点．
(3) 若 y ＝ f ( x ) 可导，则 f ′ ( x ) ＝ 0 是 f ( x ) 在 x ＝ x 处取极值的必要条件．
0 0
1、下列判断正确的是
①对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的充要条件
0 0
②函数的极小值一定小于函数的极大值
③函数的极大值一定不是函数的最小值．
④函数 的极小值点为
⑤若函数 在区间D上单调，则一定在D上存在最值
⑥函数的函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
2、已知函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）A． 在区间 上单调递增
B． 在区间 上有且仅有2个极值点
C． 在区间 上有且仅有3个零点
D． 在区间 上存在极大值点
3、（多选）（2023春广东东莞·高二校考）已知函数 ，下列说法正
确的是（ ）
A． 有两个极值点 B． 的极大值点为
C． 的极小值为 D． 的最大值为
4．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．
5．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
考点一 根据函数图象判断极值
例1 (多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个
判断，其中正确的判断是( )
A．当x＝－1时，f(x)取得极小值
B. f(x)在[－2,1]上单调递增
C．当x＝2时，f(x)取得极大值
D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性
【对点演练1】设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（x－1）f'（x）
的图象如图所示，则下列结论中正确的是 （ ）A.函数f（x）有极大值f（－3）和f（3）
B.函数f（x）有极小值f（－3）和f（3）
C.函数f（x）有极小值f（3）和极大值f（－3）
D.函数f（x）有极小值f（－3）和极大值f（3）
【对点演练2】（2023天津红桥区天津三中校考）如图是 的导函数 的图象，
则下列说法正确的个数是（ ）
① 在区间 上是增函数；
② 是 的极小值点；
③ 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数；
④ 是 的极大值点.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点二 函数的极值
考向1：求不含参函数的极值
例2(2023·衡水模拟)函数f(x)=(x2-3x+1)ex的极大值为 ( )
A.-e2 B.5e-1 C.-5 3 D.-2e
e2
4
【对点演练1】（2023广东东莞校考）（多选）已知函数 ，下列说
法正确的是（ ）
A． 有两个极值点 B． 的极大值点为
C． 的极小值为 D． 的最大值为
考向2 含参函数的极值
例3(2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极
值．【对点演练1】1.已知函数f(x)＝ln x＋－1，k∈R.判断函数f(x)是否存在极值，若存在，请
求出极值；若不存在，请说明理由．
考向3 已知函数的极值求参数
例4（1）（2023·南宁模拟）函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b
＝ （ ）
A.－7 B.0 C.－7或0 D.－15或6
（2）已知函数f（x）＝x2－4x＋aln x有两个极值点，则实数a的取值范围为 （ ）
A.（－∞，2]B.（－∞，2） C.（0，2] D.（0，2）
【对点演练1】若函数 在区间 内有极小值，则 的取值范围为
________．
【对点演练2】若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
考点二 函数的最值
考向1：不含参函数的最值
例5 (2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别
为( )
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
【对点演练1】（2023天津滨海汉沽一中校考） 在 上的最大值是
________.
【对点演练2】已知某圆柱的表面积为6π，当该圆柱的体积最大时，其底面半径为（
）
A.1 B.❑√2 C.2 D.3
考向2：含参函数的最值
例6 已知函数f(x)＝－ln x(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在 上的最大值g(a)．
【对点演练1】（2023浙江宁波期末）已知 .
(1)若 在 处有极大值，求 的值；(2)若 ，求 在区间 上的最小值.
考向3：已知函数的最值求参数
例5已知函数f（x）＝ax＋ln x，其中a为常数，若f（x）在区间（0，e]上的最
大值为－3，求a的值.
【对点演练1】（2023·全国·模拟预测）已知 ，函数 在 上
的最小值为2，则实数 __________.
【对点演练2】已知函数h(x)＝x－aln x＋(a∈R)在区间[1，e]上的最小值小于零，求a的取
值范围．
1．（2023河北石家庄二中校考）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，
在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基
本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，
如函数 ，我们可以作变形： ，所以
可看作是由函数 和 复合而成的，即 为初等函数.根
据以上材料：
（1）直接写出初等函数 极值点
（2）求初等函数 极值.
【对点演练】（2023·高二单元测试）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现
代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲
率定义如下：若 是 的导函数， 是 的导函数，则曲线 在点
处的曲率 ．
（1）若曲线 与 在 处的曲率分别为 ，比较 大小；
（2）求正弦曲线 曲率的最大值．1.（2023·四川自贡·统考二模）已知函数 ，则 （ ）
A．有2个极大值点 B．有1个极大值点和1个极小值点
C．有2个极小值点 D．有且仅有一个极值点
2.函数 在区间 上的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．
3.(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)等于( )
A．－1 B．－ C. D．1
4．（2023·四川成都·统考二模）若函数 在 处有极大值，则实数 的值
为（ ）
A．1 B． 或 C． D．
5、（多选）如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(
)
A．当x＝－1时，f(x)取得极小值 B. f(x)在[－2,1]上单调递增
C．当x＝2时，f(x)取得极大值 D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性
6.(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则( )
A．f(x)有两个极值点 B．f(x)有三个零点
C．点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线
7．（2023·山西运城·统考三模）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．曲线 在 处的切线与直线 垂直
B． 在 上单调递增
C． 的极小值为
D． 在 上的最小值为
8、（2023·江西南昌·统考二模）潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水的周期性变化，人们可以利用潮汐进行港口货运.某港口具体时刻 （单
位：小时）与对应水深 （单位：米）的函数关系式为 .某艘大
型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，船底与海底距离不小于
4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次卸货最长时间不超过8小时），同时吃水
深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸完货，要及时驶入深水区域，则该
船第一次停止卸货的时刻为______.
9、（2023·山东潍坊二模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的极值点的个数.
10.已知函数为f（x）＝ax+lnx，其中a为常数．
（1）当a＝﹣1时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在区间（0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值为﹣3，求a的值．
