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专题06 导数与函数的极值、最值
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题型01 函数的单调性（含参）...............................................................................................................................1
题型02 求函数的极值（点）................................................................................................................................... 7
题型03 极值（点）中的参数问题.........................................................................................................................14
题型04 求函数的最值............................................................................................................................................. 21
题型05 最值中的参数问题..................................................................................................................................... 27
题型06 恒成立和有解问题..................................................................................................................................... 35
题型01 函数的单调性（含参）
【解题规律·提分快招】
1、导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0 的情形，易于判断；当一次项系数不为零
时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单
调区间．
2、导函数的形式为含参准一次函数，首先对
定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关
系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
3、若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义
域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
4、若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论.
5、若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划
分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知函数
在
上是增函数，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
1
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【分析】由题意可知，对任意的
，f
′ (x)≥0，令
，则
，可得出
，
利用参变量分离法可求出
的最小值.
【详解】因为
，则
，
因为
，令
，则
，
因为函数
在
上是增函数，则对任意的
，f
′ (x)≥0恒成立，
即对任意的
，
，可得
，
因为函数
、
在区间
上为减函数，
所以，函数
在
上为减函数，则
，
因此，实数
的最小值为
.
故选：B.
2．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数
，则“
”是“
在
上单调递
增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若
在
上单调递增，则
在
上恒成立，参变分离得到
在
上恒成立，利用基本不等式求出
的最小值，即可求出参数
的取值范围，再根据充分条件、必要条件
的定义判断即可.
【详解】函数
定义域为
，则
，
若
在
上单调递增，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
又
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，
因为
，
2
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所以“
”是“
在
上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
3．（23-24 高三下·四川雅安·阶段练习）已知0 为函数
的极小值点，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数导数，利用导函数的导数，结合分类讨论，判断其正负，得出
的增减性，再结合
，判断
的符号，得出
增减性，验证函数的极小值点为0 即可.
【详解】
，令
的导函数为
.
若
，h
′ (x)>0，f
′ (x)在R上单调递增，且
，
所以当x∈(0,+ ∞)时，f
′ (x)>0，
单调递增，当
时，f
′ (x)<0，
单调递减，符合题意.
若
，当
时，h
′ (x)>0，f
′ (x)在
上单调递增，
因为
，
，所以当
时，f
′ (x)<0，
时，f
′ (x)>0，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，符合题意.
若
，当
时，h
′ (x)>0，当x∈(0,+∞)时，h
′ (x)<0，
所以
在
上单调递增，在(0,+ ∞)上单调递减，
因为
，所以
，不符合题意.
若
，当
时，h
′ (x)<0，
，
可得
时，
，x∈(0,+∞)时，
，
所以
在
递增，在(0,+ ∞)上单调递减，不符合题意.
综上，
的取值范围是
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，需要对
再次求导，利用
的导函数
，分类讨论判断
正负，得出
的增减性，再结合
，得出
的正负，据此得出函数
的单调性，验证0 是
3
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否为函数极小值点,解题的关键要具备清晰的逻辑关系，把握
，
，
三者关系.
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，其导函数为
，下列结论正确的是（ ）
A．
在
上单调递增
B．当
时，
有两个零点
C．
一定存在零点
D．若存在
，有
，则
【答案】BD
【分析】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，即可判断A、C、D，结合零点存在性定理
判断B.
【详解】
定义域为
，
，
当
时
恒成立，所以
在
上单调递增，
当
时令
解得
，令
解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，故A 错误；
当
时，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
由零点存在定理可知，当
时，
有两个零点，故B 正确；
当
时，
，故
不存在零点，故C 错误；
当
时
在
上单调递增，不存在
使得
，
当
时
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以若存在
，有
，则
，故D 正确.
故选：BD．
5．（23-24 高三下·河南·阶段练习）若函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
有最大值
B．
有最小值
4
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C．
为增函数
D．
，在
上，恒有
【答案】BC
【分析】求导后，对
进行分类讨论，可得
在不同的
对应的不同单调性，结合所得函数单调性逐项
判断即可得.
【详解】
，
当
时，
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时
有最小值，无最大值；
当
时，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
、
上单调递增；
当
时，
恒成立，故
在
上单调递增；
当
时，则当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
、
上单调递增；
对A：不存在
，使
有最大值，故A 错误；
对B：当
时，
有最小值，故B 正确；
对C：当
时，
为增函数，故C 正确；
对D：当
时，由
为增函数，故
，
故D 错误.
故选：BC.
三、填空题
6．（2024·河南·模拟预测）若函数
的减区间为
，则
的值为 .
【答案】3
【分析】由
的解集，求出
的值.
【详解】
的解集为
，
即
的解集为
，所以
，
5
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解得
.
故答案为：.
7．（24-25 高三上·江西南昌·开学考试）已知函数
，若存在
，使得
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由条件判断需求
在
上的最大值，利用导数研究函数
，根据参数
分类讨论，
当
时，
有最大值
，故要解不等式
，分解因式成
，设
，利用导数证明
在
上恒成立即得参数
的范围.
【详解】因存在
，使得
，即需求函数
在
上的最大值.
由
求导得，
，
因
，若
，则f
′ (x)>0在
上恒成立，
即函数
在
上是增函数，故此时
无最大值，且
时，
，符合题意；
若
，由
解得
，则当
时，f
′ (x)>0，当
时，f
′ (x)<0，
即函数
在
上递增，在
上递减，
则函数
在
时取得最大值，即
，
依题意，需使
，整理得，
（*）.
令
，则
则当
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，故
时，
取最大值
，
即
在
上恒成立，
由（*）可得
，即
，所以
;
综上可得，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
8．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）已知函数
有两个零点，求
的取值范
围 .
【答案】
【分析】由函数求导后，对导函数中的参数
进行分类讨论，在
时，通过判断函数
的单调性求
6
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得其最小值，依题需使
推得
；接着分段说明函数
在区间
和
上各有
一个零点即得.
【详解】由
求导可得：
当
时，
，
在R上单调递增，所以
至多有一个零点．
当
时，由f
′ (x)<0可得：
，由f
′ (x)>0可得：
，故函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以，当
时，
取得最小值，
．
令
，
，则
，所以，
在(0,+∞)上单调递减．
又h(1)=0，所以要使
，即
，则
．
又因为
，
所以
在
上有一个零点．
又
令
，
，则
，所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，所以
，所以
．
所以
在
上也有一个零点．
综上所述，a 的取值范围是(1,+∞)．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解；
（4）分类讨论法：通过对函数求导，根据参数分类讨论函数的单调性和最值，结合函数简图进行推理求
解.
题型02 求函数的极值（点）
【解题规律·提分快招】
7
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1、函数的极小值
如果对
附近的所有点都有
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则称
是函数的一个极小值，记作
．
2、函数的极大值
函数
在点
附近有定义，如果对
附近的所有点都有
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则称
是函数的一个极大值，记作
．
3、极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
4、求
极值的步骤
①先确定函数
的定义域；
②求导数
；
③求方程
的解；
④检验
在方程
的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么
函数
在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数
在
这个根处取得极小值．
②
是
为极值点的既不充分也不必要条件，如
，
，但
不是极值点．另
外，极值点也可以是不可导的，如函数
，在极小值点
是不可导的，于是有如下结论：
为
可导函数
的极值点
；但
为
的极值点．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·全国·课后作业）函数
的极值点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】先求导函数，再数形结合得出导函数有两个零点，左右正负有变化即可得出极值点个数.
【详解】由题意得
，令
，得
，令
，在同一
坐标系内作出两函数的图象，如图所示，
由图象可知，函数
与h(x)的图象有两个交点，则方程
有两个不同的根，故
有两
个不同的根，且两个根左右的单调性不同.
8
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由极值点的定义可知，函数
有两个极值点.
故选：C.
2．（24-25 高三上·全国·课后作业）函数
，则（ ）
A．
的极小值点为
B．
的极大值点为0
C．
的极小值点为0
D．
的极大值点为
【答案】D
【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，再结合极值的概念即可得答案.
【详解】
，
由
得，
，
令
，则
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减，
所以
是
的极大值点，无极小值点．
故选：D.
3．（24-25 高三上·安徽六安·阶段练习）函数
的极大值点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求函数
的导函数，再求其零点，分区间判断函数的单调性，结合极大值点的定义可得结论.
【详解】因为
，
所以
，
令
可得
或
，
当
时，f
′ (x)<0，函数
在
上单调递减，
当
时，f
′ (x)>0，函数
在
上单调递增，
当
时，f
′ (x)<0，函数
在
上单调递减，
9
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所以函数
的极大值点是.
故选：D.
4．（24-25 高三上·全国·课后作业）已知函数
，则（ ）
A．
有极大值，无极小值
B．
无极大值，有极小值
C．
既有极大值，也有极小值
D．
既无极大值，也无极小值
【答案】C
【分析】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值点，即可判断.
【详解】
定义域为
，且
，
由
可得：
，所以
在
单调递增；
由
可得：
，所以
在
单调递减．
所以
有极大值
，有极小值
．
故选：C
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，则（ ）
A．
的单调递减区间为
B．
的极小值点为1
C．
的极大值为
D．
的最小值为
【答案】C
【分析】对函数
求导得
，令
，利用导数法求得
的单调性及
函数值的符号，进而求得
的单调区间，求出最大值后可逐项判断正误.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减．
因为
，所以当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
所以
．
10
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故选：C
6．（2024·江西新余·模拟预测）函数
在其定义域内的极小值点为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用指数式与对数式的互化关系变形函数
，换元构造函数
，利用函数
与
的单调性相同，再求出
的极小值点即可得解.
【详解】函数
的定义域为
，
，
令
，则
，令
，
函数
是增函数，则函数
与
的单调性相同，
，
当
时，
；当
时，
，
于是函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在
处取得极小值，由
，得
，
所以函数
在其定义域内的极小值点为
.
故选：A
7．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知函数
，
，则函数
的极大
值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求f
′ (x)，由导数判断单调性，即可得极大值点，再由等比数列求和公式即可得极大值之和.
【详解】由
，
可得
，
令
即
，可得
，
当
时，f
′ (x)>0，
单调递增，
当
时，f
′ (x)<0，
单调递减，
所以当
时，
取得极大值，
因为
，所以
，可得
，
所以函数
的极大值之和为
11
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.
故选：D
二、多选题
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，则（ ）
A．对任意
，不等式
恒成立
B．函数
在区间
上单调递增
C．函数
的极大值为1
D．当函数
取得极小值时，自变量
【答案】ACD
【分析】对于A，对函数变形后，再根据
分析判断即可，对于BCD，对函数求导后，再利用导
数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值，进而进行分析判断.
【详解】由
，得函数
的定义域为
．
对于A，
．当
时，
，
，所以
，所以
A 正确；
对于BCD，由
，得
．由
，得
或
；由
，
得
或
，
所以
在
，
上单调递增，在
，
上单调递减，
所以
的极大值为
，极小值为
，所以B 错误，C，D 正确．
故选：ACD．
9．（24-25 高三上·江西·期中）关于函数
，则下列命题正确的有（ ）
A．
是偶函数
B．
的值域是
C．
在
上单调递增
D．
都是
的极值点
12
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【答案】BC
【分析】由
判断A，根据
的连续性及函数值的特征判断B，利用导数判断C、D.
【详解】对于A，
，
所以函数
是奇函数，所以A 不正确.
对于B，因为函数在
上连续，
且当
时，
，所以
的值域是
，所以B 正确；
对于C，由
，当
，
，
所以
在
单调递增，所以C 正确.
对于D，
，因为
，
当
时，
，所以
在
单调递增，
当
时，
，所以
在
单调递增，所以
不是函数的极值点，所以D 不正确.
故选：BC
10．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
有两个极值点
B．
有两个零点
C．若
，则
D．若方程
有两个根，则
【答案】AC
【分析】对于A：求得令
分析可知
，设
，结合单
调性分析零点即可；对于BCD：由选项A 可知
的单调性和图象，进而分析判断BCD.
【详解】对于选项A：由
，得
．
令
，得
，两边取自然对数整理得
，
设
，则
，
当
时，
单调递减，且
；
当
时，
，
单调递增，且
；
可知函数
有两个变号零点，所以
有两个极值点，故A 正确．
对于选项B：由选项A 可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
13
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当
时，
，
所以可作出函数
的大致图象如图所示，
所以
只有一个零点，故B 错误；
对于选项C：由选项B 可知
在(0,1)上单调递增，
当
时，
，所以
，故C 正确；
选项D：根据选项B 中函数
的大致图象可知，若方程
有两个根，则
或
，故D
错误；
故选：AC.
【点睛】易错点睛：可导函数的极值点与其导函数的零点之间的关系可导函数的极值点是其导函数的变号
零点，导函数的零点未必是可导函数的极值点，其中导函数的变号零点是可导函数的极值点，导函数的不
变号零点是可导函数的拐点，而可导函数的拐点未必是其导函数的零点，但对于可导函数，极值点处的导
数必为0，因此，对于可导函数，“导数为0 的点”是“该点为极值点”的必要而不充分条件
题型03 极值（点）中的参数问题
【解题规律·提分快招】
根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：求解后验证根的合理性．
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24 高三下·四川攀枝花·阶段练习）当
时，函数
取得极大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】对函数求导，根据极值点及对应极值求参数，进而求
.
【详解】由题设
，则
，又
，
14
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所以
，则
且
，
当
，
，即
在
上单调递增，
当
，
，即
在
上单调递减，
所以
为极大值点，满足题设，
故
.
故选：B
2．（24-25 高三上·北京·开学考试）已知
是函数
的极小值点，那么实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求得
，令
，得到
或
，结合题意，列出不等式
，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
令
，即
，解得
或
，
要使得
是函数
的极小值点，则满足
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
3．（24-25 高三上·吉林长春·期末）已知函数
有两个极值点，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数有两个极值点，转化为导数有两个不等零点即可得解.
【详解】因为
，
且函数
有两个极值点，
所以
有两个不等实根，
所以
，解得
或
，
15
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故选：D
4．（24-25 高三上·山东济南·阶段练习）已知
，若函数
在
上有且只有两个极
值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数解析式求导，根据极值点的定义建立方程，求得相邻的四个极值点，结合题意，建立不等
式组，可得答案.
【详解】由函数
，则求导可得
，
令
，解得
，化简可得
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
，
由题意可得
，
，
，
，解得
.
故选：A.
二、多选题
5．（24-25 高三上·青海·期中）已知函数
的极小值点为1，极小值为
.则
（ ）
A．
B．
C．
有3 个零点
D．直线
与
的图像仅有1 个公共点
【答案】ACD
【分析】首先求函数的导数，根据极小值点以及极小值求参数，判断AB，再根据导数与函数的关系判断
函数的图象，即可判断CD.
【详解】由题意得
则
，解得
，故A 正确.
由
，解得
，故B 错误.
，
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当
时，f
′ (x)>0，所以
在
上单调递增，
当
时，f
′ (x)<0，所以
在
上单调递减，
当x∈(1,+∞)时，f
′ (x)>0，所以
在(1,+∞)上单调递增，
所以
的极大值为
，
画出草图，所以
有3 个零点，故C 正确；
直线
与
的图像仅有1 个公共点，故D 正确.
故选：ACD.
6．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．存在实数
使得
恰有两个极值点
B．若
恰有三个极值点，则
C．对任意的
且
，总存在实数
使得
D．存在实数
，使得
的图象没有对称轴
【答案】BCD
【分析】由
的变号零点的个数，确定极值点个数判断A，由存在三个极值点的条件求得参数范围，
判断B，根据
得出
必在
的一个单调区间上判断C，由定义域为
的函数对称轴
中
必是极值点，在
时，通过否定极值点
对应的直线
是对称轴判断D．
【详解】选项A，
，
时，
是增函数，
只有一解，
只有一个极
值点，
时，设
，则
，由
得
，
在
或
时，
，
时，
，
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因此
在
和
上递增，在
上递减，
因此
有一个变号零点或三个变号零点，从而
有一个极值点或三个极值点，
综上，
不可能只有两个极值点，A 错；
选项B，
有三个极值点，由上讨论知
，
且
，
，即
，恒成立，
，即
，
，
综上，
有三个极值点，则
，B 正确；
选项C，
，则
，所以
不是极值点，因此存在
，
在
上是单调的，
若
，则
在
上是单调递增，
，
若
，则
在
上是单调递减，
，C 正确；
选项D，
的定义域是
，若
是函数
的图象的对称轴，则
是
的极值，
时，
只有一个极值点
，即
，若
有对称轴，则对称轴直线
，
，
，
，
，
，所以
不可能是
图象的对称轴，
故D 正确，
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的极值，解题方法是利用导数确定函数的单调性，从而得极
值点（极值），函数的极值点又是其导函数的零点，而导函数的零点又可以通过对它的导函数的单调性进
行确定．
7．（24-25 高三上·四川宜宾·阶段练习）已知
有两个不同的极值点
，且
，
则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
为函数
的极大值点
D．
【答案】ACD
【分析】对
求导，得到
，令
，得到
，根据题设知
与
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有两个不同的交点，利用导数与函数的单调性间的关系，求得
的单调区间，进而得
到
的图象，结合图象可得
，
，即可判断出选项A，B 和D 的正误，再
利用函数极值点的定义，即可判断选项C 的正误.
【详解】易知
，
，令
，得到
令
，则
，令
，得到
，
当
时，
，
时，
，
即
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
又
时，
，
，
，
时，
，则
图象如图，
因为
有两个不同的极值点
，且
，则
与
有两个不同的交点，
由图知，
，
，所以选项A 正确，选项B 错误，
由图知，当
时，
，则
，
当
时，
，则
，所以
为函数
的极大值点，故选项C 正
确，
对于选项D，由图知，
，所以
，故选项D 正确，
故选：ACD.
【点晴】关键点点晴：本题的关键在于利用题设，将问题转化成
与
有两个不同的交点，利
用导数与函数单调性间的关系，求出
的单调区间，进而得出
的图象，利用数形结合
及极值点的定义，即可求解.
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三、填空题
8．（2024 高三·全国·专题练习）函数
在
上无极值，则
．
【答案】3
【分析】根据题意,可得在
上,恒有
成立,根据
,对
的取值范围分类讨
论,逐一验证即得
的值.
【详解】函数
在
上无极值，
即导函数
在
上恒有
(*)；
而
，
当
时，由
可得
或
；因
，故(*)式不能恒成立；
当
时，由
可得
或
；因
时，故(*)式不能恒成立；
当
时，
，满足
,此时
在
上单调递增，符合题意．
故答案为:3．
9．（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数
的两个极值点为
、
，且
，则实数
的最小值是 .
【答案】
【分析】由题意可知，
、
为方程
的两根，列出韦达定理，将不等式
变形为
关于实数
的不等式，即可解得实数
的最小值.
【详解】函数
定义域为
，且
，
因为函数
有两个极值点
、
，则
，可得
，
由题意可知，
、
为方程
的两根，
由韦达定理可得
，
所以，
，解得
，所以，
，
因此，实数
的最小值为
.
故答案为：
.
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10．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
有两个极值点
，且
，则
的取值范围是
【答案】
【分析】求
，根据
是
的两个极值点可得
为方程
的两个根，结合韦达定理
可得
，令
，构造函数
分析单调性可得
的值域，即得
的取值范围.
【详解】∵
，∴
，
∴
为方程
的两个根，
∴
，∴
，
，
∴
代入
可得：
，
设
，∵
，∴
，
设
，则
，
∴
在
上单调递减，
∵
，
∴
，即
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型04 求函数的最值
【解题规律·提分快招】
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求函数
在闭区间
上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值
，
与
的各极值进行比较得到函数的最值．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·黑龙江·阶段练习）若
为
上的减函数，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，利用导数与函数单调性间的关系，求得
的单调区间，
在同一直角坐标系中作出
与
，根据题设，数形结合，即可求解.
【详解】因为二次函数
的图象为拋物线，开口向上，顶点为
，且最小值为
，
记
，则
，所以当
时，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
是
的极大值点，也是最大值点，且
，
则
时总有
，
与
在同一直角坐标系下的图象如图所示，
因为
为
上的减函数，由图知
，
故选：B.
2．（24-25 高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数
的最小值为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】由二次函数的性质可知
，令
，运用导数可求得
的最小值，进而可得结
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果.
【详解】因为
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
，
故选：B．
3．（24-25 高三上·安徽阜阳·期末）已知
，对任意的
，当
时，恒有
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
，通过变形将不等式等价于
恒成立；构造
，借
助导数研究单调性和最值即可.
【详解】令
，因为
，所以
，
不等式
两边取以为底的对数，得
，即
不等式等价于
恒成立；
令
，
，
当
即
时，恒有
单调递增，当
时，恒有
；
当
时，即
时，
时，有
单调递减，
则
不合题意，舍；
综上，
.
故选：C.
4．（23-24 高三上·江苏无锡·阶段练习）已知一个母线长为2，底面半径为r 的圆锥形密闭容器（容器壁厚
度忽略不计），当能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r 的值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设圆锥的轴截面的内切圆的半径为R，则根据等面积法可得
，
进而可得
，再利用导数求得当球的体积最大，即R 最大时r 的值.
【详解】如图，设圆锥的轴截面的内切圆的半径为R，即该圆锥的内切球的半径为R.根据等面积法可得
，解得
，
则
，
设
，
则
，
，
所以在
上
，
单调递增，在
上
，
单调递减，
所以当
时，
取得最大值，
即能够被整体放进该容器的球的体积最大时，
.
故选：D.
二、多选题
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
有两个极值点
C．
的最大值为
D．
在
上有且仅有一个零点
【答案】AD
【分析】求导，构造函数
，利用导数确定其单调性，进而结合零点存在性定理可得
在
上单调递增，在
上单调递减，即可判断AB，根据
即可判断C，根据
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的单调性，结合f (1)=0即可判定D.
【详解】由题得
，
，令
，即
，
令
，
，则
，
令
，则
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
时，
，
，
，
故在区间
内存在唯一
，使g(x0)=0，此时
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，所以
在
上单调递减，A 正确；
因为
在
内单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，故
只有一个极值点，B 错误；
因为
，
，故
的最大值为
，C 错误；
因为
，又
在
上单调递增，在
上单调递减，
又f (1)=0，故
在(0,2)上有且仅有一个零点，且零点为1，D 正确．
故选：AD
【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽
离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性，在证明不等式时，常采用
两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的
关键.
6．（2024·福建宁德·二模）已知函数
，则下面说法正确的是（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的最大值为
C．
是
的对称轴
D．
是
的对称中心
【答案】AD
【分析】根据二倍角公式可得
，即可判断A；结合周期性利用导数求出函数
的最
大值即可判断B；利用
即可判断C；利用
即可判断D.
【详解】
，
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因为
的最小正周期为
，
的最小正周期为
，
所以
的最小正周期为
，故A 正确；
，
又
，令
，
因为
的周期为
，所以只需讨论
内的
的最大值，
此时当
时，
，当
时，
，
故当
即
时，
有极大值，
又
，因此
的最大值为
，
因为
，
所以直线
不是
图象的对称轴，故B 错误，C 错误；
，
所以点
是
图象的对称点，故D 正确.
故选：AD
三、填空题
7．（24-25 高三上·甘肃·期末）已知函数
，则函数
的最小值为 ；若过
原点可向曲线
作两条切线，则a 的取值范围是 .（注：当
时，
）
【答案】
【分析】(1)求导数f
′ (x)，根据单调性，即可求出
的最小值；（2）设切点为
得切线方程
，
将问题转化为关于
的方程
有两个不同的根即可.
【详解】因为
，
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所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
的最小值为
.
因为
，所以
.
设切点为
，
则切线方程为
，将原点坐标代入，
化简得
，则关于
的方程
有两个不同的根.
令
，则
，所以
在
上单调递减，
在
上单调递增.因为
，
，
，
，
所以
，故
的取值范围是
.
故答案为：
，
8．（24-25 高三上·辽宁丹东·期中）设
、
、
是一个三角形的三个内角，则当
取得最
大值时，
.
【答案】
【分析】利用内角和定理、诱导公式、辅助角公式化简可得出
，
记函数
，其中
，利用导数求出函数
取最大值时的值，即为所求.
【详解】
，
其中
，
所以
，
记函数
，其中
，
则
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
27
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故当
时，
取得最大值，
即当
时，
取得最大值.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：求函数
在区间
上的最值的方法：
（1）若函数
在区间
上单调，则
与
一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数
在区间
内有极值，则要求先求出函数
在区间
上的极值，再与
、
比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数
在区间
上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数
的实际应用中经常用到.
题型05 最值中的参数问题
【解题规律·提分快招】
1、若所给的闭区间
含参数，则需对函数
求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而
得到函数
的最值．
2、已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数
，当
时，函数取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题设有
、
求参数，注意验证所得函数是否符合题设，进而求对应函数值.
【详解】由题设
，故
，且
，
所以
，故
，即
，
此时
，且
，
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所以，
时
，
在
上单调递增；
时
，
在
上单调递减；
故
处
为极大值，也是最大值，满足题设；
所以
.
故选：D
2．（24-25 高三上·广西南宁·开学考试）已知函数
，若对
，
，则实数m 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用导数求函数最小值，由
即可得解.
【详解】由题意可知，
，
，
当
时，f
′ (x)<0，当
时，f
′ (x)>0，
所以
在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以当
时，
取得最小值
，
因为对
，
，所以
，解得
.
故选：C
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．若
在
上有解，则
当实数
取最小值时，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】C
【分析】根据题意有f
′ (x)≥0在(0,+∞)上有解,可得
，转化为求函数的的最值即可．
【详解】因为
，所以
，
因为f
′ (x)≥0在(0,+∞)上有解，所以
在(0,+∞)上有解，
化简得
．因为
，
即
在
）上有解．
因为
，设
，则
在(1,+∞)上有解，
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因为
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
，
所以
的最小值为
，此时
，
当且仅当
，即
时，f
′ (x)有最大值0.
故选:C．
4．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设切点坐标为
，由切点坐标求出切线方程，代入坐标
，关于
的方程有两个不同的
实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.
【详解】设切点坐标为
，由于
，因此切线方程为
，
又切线过点
，则
，
，
设
，函数定义域是
，
则直线
与曲线
有两个不同的交点，
，
当
时，
恒成立，
在定义域内单调递增，不合题意；
当
时，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，所以
，
结合图象可知
，即
.
故选：A.
5．（2024 高三·全国·专题练习）函数
，若
在
上有最小值，则实数a 的取值范
围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对函数求导，讨论参数a 的范围，根据导数的符号判断单调性，进而确定是否存在最小值，即可
得范围.
【详解】由题意，函数
，可得
，
若
时，当
时
在
上单调递减，
此时函数
在
上没有最小值，不符合题意；
当
时，令
，即
，
画出函数
与
的图象，如图所示，
结合图象，存在
，使得
，
当x∈(0, x0)时
单调递减；
当
时
单调递增，
此时函数
在
上有最小值，符合题意．
综上可得，实数a 的取值范围是
.
故选：A
二、多选题
6．（24-25 高三上·河南·开学考试）已知函数
的最大值为1，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
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D．当
时，
【答案】ACD
【分析】利用导数求最值，结合已知可得
，可判断A；利用单调性可判断BC；将目标不等式转化为
，构造函数
，利用导数求最值可判断D.
【详解】对A，
，当
时，f
′ (x)>0，当
时，f
′ (x)<0，
所以
在
上单调递增，在
单调递减，
所以当
时
取得最大值
，解得
，A 正确；
对B，由上可知，
在
上单调递增，在(0,+ ∞)单调递减，
因为
，所以
，B 错误；
对C，因为
，所以
，所以
，C 正确；
对D，当
时，
，不等式
成立，
当
时，
，
记
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在 (0,1)上单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
综上，当
时，不等式
成立，D 正确.
故选：ACD
7．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知三次函数
，则（ ）
A．函数
一定有两个极值点
B．当
时，
C．当
时，
的极小值为0
D．
在区间
上的值域为
【答案】BCD
【分析】对于AD，利用特例法可判断其正误，对于B，利用作差法可判断其正误，对于C，判断导数的
符号可判断其正误.
【详解】对于A，当
时，
，该函数在
上为增函数，无极值点，故A 错误；
对于B，
，
而
，故
，故
，所以
，
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故B 正确；
对于C，
，
若
，则
，此时当
或
时，f
′ (x)>0，
当
时，f
′ (x)<0，故
在
处取极小值
；
若
，则
，此时当
或
时，f
′ (x)<0，
当
时，f
′ (x)>0，故
在
处取极小值
；
故C 正确；
对于D，当
，
时，
则当
或
时，f
′ (x)<0，当
时，f
′ (x)>0，
故
在
为减函数，在
上为增函数，
取
，则
，
考虑方程
在
上是否有解，
设
，则
，
，
由零点存在定理可得
在
上存在零点，设该零点为
，则
,
则
在
上的值域为
，
故D 成立，
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：对于三次函数中定义域与值域一致的问题，我们先利用导数判断函数的单调性，再
结合函数在闭区间上端点处、在区间内的最值的关系来判断处理即可.
三、填空题
8．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
的最小值是4，则
.
【答案】3
【分析】利用导数分析函数的单调性，求函数的最小值，根据已知的最小值求参数.
33
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【详解】因为
所以
，
令
，则
.
所以
在
上为增函数，
又
，
所以由
；由
.
所以函数
在
上单调递减，在
单调递增.
所以
时，函数
取得极小值，也是最小值.
由
.
故答案为：3
9．（24-25 高三上·吉林·期末）函数
是定义域上的增函数，则实数
的取值范
围为 .
【答案】
【分析】求导，得到
在x∈(0,+ ∞)上恒成立，变形得到
，只需
，设
，求导得到其单调性，求出最大值为
，从而得到不等
式，求出答案.
【详解】
的定义域为(0,+∞)，
，
由题意得
在x∈(0,+ ∞)上恒成立，
即
，
因为
，所以
，故
，
只需
，
设
，
则
，
34
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令
得
，
，
令
得
，
，
令
得
，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极大值，也是最大值，
，
故
，即
，
所以
，即
，
所以
，
，
，解得
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法， 使不等
式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的
条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两
个函数图像确定条件.
10．（24-25 高三上·山东·阶段练习）设函数
，
．若函数
有两个零点
，
，则满足条件的最小正整数
的值为 ．
【答案】3
【分析】求导，分
，
两种情况讨论，当
时，不存在两个零点，当
时，有两个零点时，
需
，进而求解即可.
【详解】由题
，
所以
，
当
时，
对(0,+∞)恒成立，
则F (x)在(0,+∞)单调递增，故不存在两个零点，
当
时，若
，则
，函数F (x)在
上单调递减，
35
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若
，则
，函数F (x)在
上单调递增，
要使函数
有两个零点，则F (x)的最小值
，
所以
即
，
因为
，所以
，令
，
显然
在(0,+ ∞)上为增函数，且
，
，
所以存在
，使得
，
当
时，
，当
时，
，
所以满足条件的最小正整数
，
又当
时，
，
，
所以
时，
有两个零点，
综上所述，满足条件的最小正整数
的值为3.
故答案为：3.
【点睛】思路点睛：利用导数的运算法则即可得出
，并对
分类讨论得出函数的单调性，再结合根
的存在性原理得
，进而将问题转化为求
的最小正整数
的值即可求解.
题型06 恒成立和有解问题
【解题规律·提分快招】
1、若函数
在区间D 上存在最小值
和最大值
，则
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
2、若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为
，则
不等式
在区间D 上恒成立
．
36
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不等式
在区间D 上恒成立
．
3、若函数
在区间Ｄ上存在最小值
和最大值
，即
，则对不等式有解问题
有以下结论：
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
4、若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为
，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式
在区间D 上有解
不等式
在区间D 上有解
5、对于任意的
，总存在
，使得
；
6、对于任意的
，总存在
，使得
；
7、若存在
，对于任意的
，使得
；
8、若存在
，对于任意的
，使得
；
9、对于任意的
，
使得
；
10、对于任意的
，
使得
；
11、若存在
，总存在
，使得
12、若存在
，总存在
，使得
．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）函数
，若存在
，使
有解，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】构造函数
，利用导数求最值，进而得
的取值范围.
【详解】若存在
，使得
有解，即
．
设
，
，则
．
37
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令
，解得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，所以
．
故
的取值范围为
．
故选：A
2．（24-25 高三上·全国·课后作业）已知函数
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，构造函数
，借助导数研究其单调性即可得解.
【详解】
等价于
，
令
，则
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．
所以
，
所以只需
，即
．
故选：B.
3．（24-25 高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数
，
，若
，使
得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】题中条件“
，使得
”可转化为
和
值域交集非空，分别求出
和
值域分析求解即可.
【详解】由
得：
，
38
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因为本题中
，所以
，
所以
单调递减，所以
，
由
得：
，
当
时，
，所以
单调递增，
所以
，
因为
，使得
，
所以
，
所以
，
故选：D.
4．（24-25 高三上·甘肃白银·期末）若存在
，使得
成立，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】B
【分析】
化简可得
，构造函数
，然后利用导数求出函数的最
小值即可.
【详解】不等式
等价于
，即
.
令
，由x∈(0,+ ∞)可知
，
在(0,+ ∞)上为增函数，
，x∈(0,+ ∞)，则
，
令
，
，则
，
当
时，
，当x∈(0,+ ∞)时，
，
所以函数
在
上单调递减，在(0,+ ∞)上单调递增，所以
，
所以结合题意可知
，即实数
的最小值为1.
39
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故选：B
5．（2025 高三·全国·专题练习）定义在
上的函数
满足
，
（
为
的导函数），若存在唯一的整数
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用构造函数的导数来研究原函数的性质，再利用数形结合来研究不等式，从而可得取值范围.
【详解】因为
，所以
，
即
（
为常数），
又
，所以
，即
.
，当
时，f
′ (x)>0，
单调递增，
当x∈(1,+∞)时，f
′ (x)<0，
单调递减，
所以
，
又
，当
时，
，当
时，
，
且当
时，
，当
时，
，
所以作出
的大致图象如图所示.
令
，易知
的图象恒过点
，
在同一平面直角坐标系中作出
的图象，易知
，数形结合可知，
若存在唯一的整数
，使得
，则
即
，得
，
故选：B.
6．（24-25 高三上·甘肃白银·期末）若不等式
对x∈(0,+∞)恒成立，则实数
的取值
40
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不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对
进行讨论，当
时，求导可得函数的最值，进而得
，当
时，代入验证即可求解.
【详解】若
，则
显然不能恒成立；
若
，则
，所以
，即
，
对于
，则
，故
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
在
单调递增，
因此
的最大值为
，所以
；BD 可以；
当
时，
，
可知当
时，
，此时
单调递增，故
，
故
，
当
时，
，此时
单调递增，故
，
故
，故
时，满足题意，C 正确，
当
时，
，不符合题意，故A 错
误
故选：A．
7．（24-25 高三上·贵州·阶段练习）已知函数
．若
有两个极值点
，且
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，依题意可得
在
上有两个不同的零点，即方程
在
上有两个不同的实根，利用韦达定理及根的判别式求出
，不等式
41
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恒成立，参变分离可得
恒成立，利用韦达定理得到
，再构造函数
，
，利用导数说明函数的单调性，即可求出
的
取值范围.
【详解】函数
的定义域为
，
又
，因为
有两个极值点为
，
所以
在
上有两个不同的零点，
此时方程
在
上有两个不同的实根，
则
，解得
.
若不等式
恒成立，则
恒成立，
因为
，
则
，设
，
，
则
，因为
，所以
，所以
在
上单调递减，
所以
，所以
，即实数
的取值范围为
.
故选：A
8．（24-25 高三上·海南·阶段练习）已知函数
，若存在
，使
得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．(
1
2 ,1)
C．(0,1)
D．
【答案】C
【分析】由导函数确定
的单调性，将含绝对值的方程去掉绝对值符号，然后引入新函数，设
，问题转化为存在
，
，使得
，只要
在
42
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上不单调即可得．
【详解】
，
时，
，所以
是增函数，
不妨设
，则
，又
，
所以由
，得
，即
，
设
，则
，
当
时，
，
是增函数，不存在
，
，使得
，
当
时，要满足题意，则
在
上有解，使得
在
上不单调．
，
，
设
，
，
，
所以
，
由
在
上单调递减，得
，
，
所以
．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数方程有解问题，解题关键是利用函数的单调性去掉绝对值符号，转化
为新函数不单调，即新函数的导数有零点，最后转化为求函数的最值．
9．（24-25 高三上·四川成都·期中）函数
，不等式
对
恒
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，根据奇偶性定义判断
为奇函数，再应用导数研究
的单调性，进而将
目标式转化为
在R 上恒成立，求参数范围.
【详解】因为
，
所以
，
43
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令
，则
，得
为奇函数，
又
，
，当且仅当
，即
时等号成立；
，当且仅当
，即
时等号成立；
所以
，得
在R 上为增函数，
因为
，
所以
在R 上恒成立，显然
时满足；
当
，需满足
，解得
，
综上，
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：注意构造
，判断其奇偶性、单调性，最后将问题化为
在R 上恒成立为关键.
二、填空题
10．（24-25 高三上·福建龙岩·阶段练习）不等式
解集中有且仅含有两个整数，
则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】构造
，
，求导，研究
的单调性，
的图象
恒过点(2,0)，在同一坐标系内作出
的图象，数形结合得到2 和1 为符合要求的整数，从而得到
.
【详解】
，设
，
，
，
令
得
，令
得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
其中
，
，
，
，
44
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的图象恒过点(2,0)，在同一坐标系内作出
的图象，如下：
要想不等式解集中有且仅含有两个整数，显然2 为一个符合要求的整数，
当
经过点
时，
，解得
，
故
，此时
，1 为另一个符合要求的整数，
故
，
故答案为：
11．（2024 高三·全国·专题练习）若不等式
恒成立，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【分析】不等式
恒成立等价于
，
，令
，
，利用导数研究函数的最值，即可得出结论．
【详解】不等式
恒成立
，
，
令
，
，
，
，
令
，则函数
在
上单调递增，
，
，
，
存在唯一
使得
，即
，
，
时
，函数
在
上单调递减，
时
，函数
在
上单调递增．
时，函数
取得极小值，即最小值，
，
45
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实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
12．（24-25 高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数
，若
，则
最
大值为
【答案】
【分析】由题意函数
，根据
得
，即
，令
，通过导数求
的最大值即可.
【详解】由题意，
，
注意到
，
，
当
时，令
，解得
或
，
令
，解得
，不满足
,
，
当
时，令
，解得
或
，
令
，解得
，不满足
，
，
当
时，函数
成立，符合条件，
所以
，即
.
令
，则
，
令
，则
，
令
，则
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数判断函数的单调性并求最值，本题解题的关键是由
得
，然后结合导数求解待求表达式最大值即可.
13．（24-25 高三上·山东泰安·期中）已知函数
，若存在
，
使得
，则实数
的取值范围是 .
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【答案】
【分析】对
，
及
进行分类讨论，分别判断条件是否满足，即可得到答案.
【详解】设
，则
，
.
故对
有
，对
有
.
这表明
在
上递增，在
上递减.
而
，
，
.
所以结合
的单调性知，存在
，使得对
有
，对
有
，且
.
这表明
在(0,1)和
上递减，在
上递增.
从而对
有
，对
有
，对
有
.
故对任意
，都有
，而对任意
，都有
.
下面对
进行分类讨论：
①若
，则对
有
，
，从而
，且
.
故
，满足条件；
②若
，则有
，
满足条件；
③若
，设
，则
.
47
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从而对
有
，对
有
.
所以
在
上递增，在
上递减，这就得到
.
故对任意
，都有
，不满足条件.
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于分类讨论，以求得
的取值范围.
一、单选题
1．（23-24 高三下·河南商丘·期末）已知函数
在x =1处取得极小值1，则
在区间
上的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】根据函数
在
处取得极小值1 求出
，利用导数判断出
区间
上的单调性，求
出极值、端点值可得答案.
【详解】
，
因为函数
在
处取得极小值1，
所以
，解得
，
可得
，且
，解得
，
，
，
当
时，f
′ (x)>0，
单调递增，
当x∈(0,1)时，f
′ (x)<0，
单调递减，
当
时，f
′ (x)>0，
单调递增，
所以
，
，
，
，
则
在区间
上的最大值为6.
48
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故选：C.
2．（2024·四川眉山·一模）若函数
在
时取得极小值，则
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数求导，结合极小值的定义建立方程求得参数，还原函数解析式明确定义域，求导列表，
可得答案.
【详解】由函数
，求导可得
，
由题意可得
，则
，解得
，
所以
，则
，
，
令
，解得
或2，
可得下表：
1
2
正
0
负
0
正
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
则函数的极大值为
.
故选：D.
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知某圆锥的外接球的表面积为
，则该圆锥体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由圆锥的外接球的表面积为
可得圆锥的外接球半径
，再设圆锥的底面半径为，高为，
可得
，再圆锥的体积为
，构造函数求导可得圆锥体积的最大值.
【详解】设该圆锥的底面半径为，高为，其外接球的半径为
，
由题知，外接球的表面积
，
．
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由球的截面性质知，
，化简得
故圆锥的体积为
．
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
时，
单调递减，
，即该圆锥体积的最大值为
.
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）若函数
是
上的增函数，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数给定区间上为增函数可得导函数在该区间上恒为非负数，利用参变分离法即可通过求相
应函数的最值求得参数范围.
【详解】因为函数
是(0,+ ∞)上的增函数，所以
在(0,+∞)
上恒成立，
即
在(0,+ ∞)上恒成立．令
，x∈(0,+ ∞),则
，
则当
时，
，当
时，
，故
在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以
，所以
．
故选：C．
5．（23-24 高三下·天津滨海新·阶段练习）已知
，
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用导数分别求得函数
和
的单调性及最小值
和
，
50
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结合
，即可求解.
【详解】由函数
，可得
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以，当
时，函数
取得最小值，最小值为
，
又由函数
在
上单调递增，所以函数
，
因为函数
，
，使得
成立，
可得
，解得
，即实数
的取值范围为
.
故选：C.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
6．（24-25 高三上·山东泰安·阶段练习）若函数
有两个极值点
，
，且
，
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求导可得两个极值点满足的二次方程，再根据韦达定理与判别式求解即可．
【详解】函数
的定义域为
，
，
，
令
，可得
，
，
由题意
是方程
的两根，且
故
且
，解得
，
又
，解得
，
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综上，实数
的取值范围是
.
故选：A．
7．（2024 高三·全国·专题练习）若
是函数
的极值点，
在区间
上单调递增，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
在区间
上单调递增求出
得范围，再根据
是函数
的极值点，确定
的值求出解析式，将
代入得出答案.
【详解】因为
在区间
上单调递增，所以
，
解得
，因为
，
所以
，且
，
解得
，又
，则
，故
．
又
是
的极值点，
所以
，解得
，
令
，解得
，故
，
则
，
，故
．
故选：B.
8．（23-24 高三下·广东韶关·期末）已知函数
，若
有两个零点，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
52
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【分析】根据已知条件，分类讨论求导函数判断函数单调性及极值点，结合零点存在定理可得参数范围.
【详解】已知函数
，函数
的定义域为
，
当
时，
恒成立，所以
在
上单调递减，故
时，
至多有一个零点；
当
时，令
得
，当
时，
；当
时，
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
此时最小值为
，
①当
时，由于
，故
只有一个零点；
②当
时，
即
，故
没有零点；
③当
时，
即
，又
；
，
由零点存在定理知
在
上有一个零点；在
有一个零点．
所以
有两个零点，a 的取值范围为
；
故选:A．
9．（2024·福建泉州·模拟预测）若函数
，
，则（ ）
A．函数
，
的图象关于直线
对称
B．
，使得
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】根据函数图象的特点判断A 是否正确；设
，分析函数的单调性，求出函数的
极值，判断B 的单调性；由同构结合函数的单调性可得
的关系；由
，两边取自然
对数，可得
，可验证D 的真假.
53
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【详解】对A：当x>0时，
，
恒成立，所以
在(1,+∞)上单调递增，且
增长速度比
快，
即
的图象在
上方；同理
的图象也在
上方.
所以函数
，
的图象关于直线
对称是不可能的，故A 错；
对B：设
（
），则
，（
），
设
（
），则
在(0,+∞)上恒成立，
所以
在(0,+ ∞)单调递增，又
，
，
所以存在唯一的
，使得
，即
.
当x∈(0, x0)时，F (x)单调递减；当x∈(x0,+ ∞)时，F (x)单调递增.
所以
（因为
，故不能取“
”）.
所以
在(0,+∞)恒成立，故B 错；
对C：因为
，
.
因为
在(0,+ ∞)上单调递增，所以
，故C 正确；
对D：由
，由
的单调性，
只有一解，且
，所以
.
由
，由
的单调性，
只有一解，且
，所以
.
所以
.故D 错.
10．（24-25 高三上·北京·开学考试）已知函数
，有如下3 个结论：
①当
时，
在区间
上单调递减；
②当
时，
有两个极值点；
③当
时，
有最大值.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】①求出函数
的导数，根据已知求得
，即可求得说法正确；
54
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②根据已知将问题转化为两个函数
与
的图象交点问题，作出
图象，求得两个图象有两
个交点，从而求得
有两个极值点，则说法正确；
③结合
图象，
时，可求得
，则
单增无最大值，故说法错误.
【详解】
，
，
对于①，因为
，所以
，
当
时，
，则
在区间
上单调递减，所以①正确.
对于②，令
，得
，令
，
，
当
，则
，当
，则
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以当
，
，
又当
趋近于
时，
趋近于
，
，当
趋近于
时，
趋近于0，
所以可作出函数
的大致图象如图所示，
由图可知，当
时，直线
与
的图象有两个交点，
即方程
有两个不等实根
，
当
或
时，
， 当
时，
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
是函数
的极大值点，
是函数
的极小值点，
故
有两个极值点，所以②正确.
对于③，当
时，
，即
恒成立，则函数
在
上单调递增，
所以函数
无最大值，所以③错误.
则说法正确的个数为
，
故选：C.
55
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【点睛】关键点点睛：本题②的关键在于求导后分离参数，再次构造函数求导分析单调性和最值.
11．（24-25 高三上·辽宁·期中）已知函数
，若
在区间
上
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求导得
，分
、
、
，讨论函数的单调性及最值，即可得答
案.
【详解】解：因为
，
所以
，
又因为
，
所以当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，不满足题意；
所以
，
令
，
则
，
令
，得
，
当
，即
时，
在
上恒成立，
所以
，即
在
上单调递增，
所以
，
所以
在
上单调递增，
则
，满足题意；
当
，即
时，
当
时，
，则
，即
单调递减，
当
时，
，则
，即
单调递增，
又因为
，
假设存在唯一
，使
成立，则必有
，
56
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所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
又
，
所以当
时，必有
，不满足题意；
综上，
.
故选：D.
【点睛】难点点睛：本题的难点是在对
时，
正负的确定，其关键是结合题意得出
、
.
二、多选题
12．（23-24 高三下·陕西安康·期末）对于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．
有最小值但没有最大值
B．对于任意的
，恒有
C．
仅有一个零点
D．
有两个极值点
【答案】BC
【分析】AD 选项，求导，得到函数单调性，从而得到AD 错误；BC 选项，结合函数特征得到当
时，
，且函数只有一个零点0，BC 正确.
【详解】AD 选项，
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
有最大值但没有最小值且
只有一个极值点，AD 错误；
BC 选项，由于
恒成立，故当
时，
，
令
，得
，所以函数
仅有一个零点，B，C 正确.
故选：BC
13．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则（ ）
A．点
是
图象的对称中心
57
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B．
是
的极小值点
C．当
时，
D．当
时，
【答案】BC
【分析】利用导数判断出
单调性，作出
的大致图象，利用任意三次函数
f (x)=a x
3+b x
2+cx +d (a≠0)的图象均为中心对称图形，且对称中心为点
可判断A；由
单调性可判断BCD.
【详解】由题可得
，令
，得
或
，
所以当
时，f
′ (x)<0，
单调递减，当
时，
f
′ (x)>0，
单调递增，当
时，f
′ (x)<0，
单调递减，
又
，
，
，
，
且当
时，
，当
时，
，
所以可作出
的大致图象如图所示.
选项A：设g(x)= f
′ (x)，则
，令
，得
，
又
，所以点
是
图象的对称中心，故A 错误；
选项B：易知
是
的极小值点，故B 正确；
选项C：当
时，
，又
在
上单调递增，
所以
，故C 正确；
选项D：当
时，
，又
在(0,1)上单调递减，
在
上单调递增，所以当
时，
，
，
所以
，故D 错误.
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故选：BC.
14．（24-25 高三上·甘肃临夏·期末）若函数
，则（ ）
A．函数
在区间
上单调递增
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
的极大值为
D．函数
有且仅有两个零点
【答案】ACD
【分析】对于A，当
时，可得
，从而判断A；求得定义域
，可判断B；
可得函数
为奇函数，结合A 可知极值点在
，利用导数可求得极大值判断C；求得所有的
零点判断D.
【详解】对于A，当
时，
，所以
，
所以函数
在区间
上单调递增，故A 正确；
对于B，由
，可得
，所以定义域为
，
所以函数
的图象不关于点
对称，故B 错误；
对于C，因为
，所以函数
为奇函数，
又函数
在
上单调递增，故函数
在
上无极值点，
故f (x)在
上无极值点，
当
时，
，求导得
，令
，
可得
，当
，所以
，当
时，
，
所以函数
在
处取得极大值，且极大值为
，
由奇函数的定义可知
有极小值，无极大值，故C 正确；
对于D，令
，又定义域为
，所以
，
解得
，所以函数
有且仅有两个零点，故D 正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：利用分类讨论去绝对值符号，进而求解是解决本题的关键.
15．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
在
上单调递增
C．
在
内共有3 个极值点
59
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D．设
，则
在
上共有12 个零点
【答案】ACD
【分析】对于A，根据函数的奇偶性的定义和判定方法即可判断;对于B，求得
，
结合
，利用导数研究其单调性，可以判断
的单调性；对于C，利用导数求得函
数
在(0,π )的单调性,结合偶函数可知其极值点的个数；对于D，根据
的周期及单调性以及函数
零点的判定方法即可求解.
【详解】对于A，函数
，定义域为R，关于原点对称，
且
，故函数
是偶函数，A 正确；
对于B，由函数
，
可得
，
令
，
则
在
单调递增，
又
，
所以存在
使得
，
当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
单调递减，故B 错误;
对于C，由函数
，
可得
，
因为函数
是偶函数，不妨设
，
令
，
，
则
在
单调递增，又
，
所以存在
使得
，
当
时，
在
单调递增；
60
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当
时，
在
单调递减；
在
处取得极小值，
又函数
是偶函数，所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
在
处取得极小值，在x =0处取得极大值，故C 正确;
对于D，由
，
函数
周期为
，不妨设
，
由C 可知，存在
，
在
单调递减，在
单调递增，
在
单调递减，在
单调递增，
又
所以
在
上有3 个零点，故
在
上共有12 个零点，D 正确.
故选：ACD.
【点睛】方法技巧点睛：对于利用导数研究函数零点与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解;
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围;
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
16．（24-25 高三上·河南·期中）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
为奇函数
C．
是
的极小值点
D．
在
上有极值
【答案】ABC
【分析】由对称中心的定义代入验证可得满足
，即可知A 正确；利用奇函数定义化简
61
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可得B 正确，对函数求导并判断出函数
在
上的单调性，即可判断C 正确，利用辅助角公式化简
并根据正弦函数图象性质可判断D 错误.
【详解】对于A，由
易知
,
即满足
，所以
的图象关于点
对称，可得A 正确；
对于B，易知
，
满足奇函数定义，即可得
为奇函数，即B 正确；
对于C，求导可得
，
不妨只研究当
时的单调性，
当
时，
，当
时，
，
可知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
在
处取得极小值，所以
是
的极小值点，即C 正确.
对于D，由
可知，当
时，
，
此时函数
在
上是单调递减的，因此
在
上没有极值，即D 错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用中心对称函数性质验证选项中的对称中心是否满足中心对称表达
式，并充分利用三角函数性质解决极值点问题.
17．（23-24 高三下·广东茂名·期末）已知函数
，其中实数
，
，且
，
则（ ）
A．当
时，
没有极值点
62
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B．当
有且仅有3 个零点时，
C．当
时，
为奇函数
D．当
时，过点
作曲线
的切线有且只有1 条
【答案】BCD
【分析】对A，直接代入求导即可得到其极值点；对B，求导得到
的单调性，再根据其零点个数得到
不等式组，解出即可；对C，代入
，化简
即可；对D，设切点，求出切线方程，代入
，再转化得
，转化为直线
与
的交点个数问题.
【详解】对A，当
时，
，
则
，当
时，
，
当
或
时，
，
所以
分别是函数
的极大值点和极小值点，选项A 错误；
对B，当
时，
，
当
，
，当
或
时，
，
即
在
上单调递减，在
和
上单调递增.
当
有且仅有3 个零点时，
且
得
，
得
，故B 正确；
对C，当
时，
，
，
设
，定义域为
，且
，
所以
为奇函数，选项C 正确；
对D，
，
不在曲线
上.
63
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设过点
的曲线
切线的切点为
，
，
过点
的曲线
切线的方程为
，
又点
在
的切线上，有
，
即
，设
，
，
当
或
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
则
，
，
，根据图象知
与
只有一个交点，选项D 正确.
故选；BCD.
【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是设出切点坐标，写出切线方程，将
代入切线方程得
，最后转化为直线
与函数
的交点个数问题.
三、填空题
18．（24-25 高三上·河北承德·开学考试）写出函数
的一个极值点 .
【答案】
（答案不唯一）
【分析】求导函数
，令
即可求极值点.
【详解】由题意，函数
，
导函数
，
令
，则
或
，
所以
或
.
64
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令
，则可取
，且在其左右两侧导函数变号.
故答案为：
.（答案不唯一）
19．（23-24 高三上·河北·期末）已知函数
的最小值为0，则
.
【答案】
【分析】求导，分类讨论函数的单调性即可求解最值.
【详解】因为
，所以
.
若
，则
在
上单调递减，无最小值.
若
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，解得
.
故答案为：
20．（2024 高三·全国·专题练习）设函数
，若
恒成立，求a 的取
值范围 .
【答案】
【分析】由题意得
，对
求导，对
分
和
讨论，利用导数分析单调性，求出函数的
最值即可求解.
【详解】
，
由题意
恒成立，则
，
①当
时，令
，得
；
令
，得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，解得
②当
时，存在
，不满足题意，
综上，实数a 的取值范围是
.
故答案为：
.
21．（23-24 高三上·安徽合肥·期末）已知函数
，若
恒成立，则
.
65
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【答案】1
【分析】对
求导，分
和
两种情况，判断
的单调性，求出
的最小值，再结合
恒成立求出
的取值范围.
【详解】由题可得
的定义域为
，且
，
①当
时，
，所以
在
上单调递增，所以当
时，
，与
矛盾；
②当
时，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以
，
因为
恒成立，所以
，记
当
时，
单调递增，
当
时
单调递减，所以
，所以
在
上恒成立，
故要使
恒成立，则
，所以
.
故答案为：1
22．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知函数
在区间
上恰有两个极大值点和一个
极小值点，则正实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据正弦型函数的性质，利用整体法求
的取值范围，再由正弦函数函数的极值列不等式求
解正实数
的取值范围即可.
【详解】由题意，当x∈(0,π )时
，
则由题意得
，解得
．
故正实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
23．（24-25 高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数
在
处取到极大值，则
实数
的取值范围是 .
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【答案】
【分析】先求得f
′ (x)，然后对
进行分类讨论，根据极值、极值点的知识求得正确答案.
【详解】
的定义域是(0,+ ∞)，
，
当
时，f
′ (x)≥0，
在(0,+ ∞)上单调递增，
没有极值，不符合题意；
当
时，
在区间
上
单调递增，
在区间
上
单调递减，
所以
在
处取得极大值，符合题意.
当
时，
在区间(0,1)上
单调递减，
在区间(1,+∞)上
单调递增，
所以
没有极大值，不符合题意；
当
时，
在区间
上
单调递增，
在区间
上
单调递减，
所以
在
处取得极小值，不符合题意.
综上所述，
的取值范围是(0,1).
故答案为：(0,1).
24．（23-24 高三上·河南·阶段练习）若函数
的图象在区间
上单调递增，则实数
的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用函数的单调性转化为
在区间
上恒成立，
构造函数
，利用导数求最小值即可求得
即
.
【详解】因为
，所以
．
由
的图象在区间
上单调递增，
可知不等式
即
在区间
上恒成立．
令
，则
，
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当
时，
，所以
在
上单调递减，
故要使
在
上恒成立，只需
．
由
，解得
，
故实数a 的取值范围为
，则a 的最小值为
．
故答案为：
25．（23-24 高三上·安徽·开学考试）已知函数
既有极小值又有极大值，则实数a 的取
值范围是 .
【答案】
【分析】函数
既有极小值又有极大值，则
有两个不相等的实数根，进而分离参数，通过分
析函数的单调性及最值，即可求出
的取值范围.
【详解】
函数
既有极小值又有极大值，
则
在
上有两个不等的实数根，
即
有两个不等的实数根，
所以
有两个不等的实数根，
所以
有两个不等的实数根，
令
，
，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
，当
时，
，
故
，解得
.
故答案为：
26．（24-25 高三上·宁夏银川·阶段练习）设函数
，其中
.若对任
意的正实数
，不等式
恒成立，则
的最小值为 .
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【答案】
【分析】根据不等式
恒成立的等价形式
，先求得
的最小值，然后分离
常数得
恒成立，令
求其最大值，从而得到
的取值范围，进而求得最小值.
【详解】依题意，当
时，不等式
恒成立，等价于
，
对于
，当
时，
，
，
，
当
时，
，
，
，
当且仅当
时，
，
当
时，
，即
，
令
，
，
当
时，h
′ (x)>0，h(x)单调递增；
当
时，h
′ (x)<0，h(x)单调递减；
，
，
的最小值为
.
故答案为：
27．（23-24 高三下·四川遂宁·阶段练习）已知
是函数
的极大值点，则
的
取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，求得
，分
、
、
和
，四种情况讨论，结
合函数的单调性与极值点的定义，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
①若
时，
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
此时
时，函数
取得极小值，不符合题意；
②若
时，令
，可得
，此时
，
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当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
此时
时，函数
取得极小值，不符合题意；
③若
时，令
，
单调递增，没有极值点，不符合题意；
④若
时，令
，可得
，此时
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
此时
时，函数
取得极大值，符合题意，
综上可得，实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
28．（2024 高三上·江苏·专题练习）设函数
，其中
，若存在唯一负整数
，使得
，则实数
的取值范围是
【答案】
，
【分析】由已知可得
解集中只有一个负整数
，结合不等式特点构造函数
，然后结合导数分析
的性质，结合两函数图象可求．
【详解】由
可得
，
所以
解集中只有一个负整数
，
令
，则
，
易得，当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，当
时，g(x)<0，
只有一个零点
，
图象为直线，过定点(1,0)，其大致图象如图所示，
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结合图像可知，
，
解得，
．
故答案为：
．
29．（23-24 高三下·甘肃临夏·期末）函数
存在唯一的极值点，则实数t 的最大值为
．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，依题意
存在唯一的变号正实根，当
符合题意，当
时参变分
离可得
没有除
之外的正实根，构造函数
，利用导数求出函数的单调性，即可求出函
数的最小值，从而求出的取值范围.
【详解】因为
，x∈(0,+ ∞)，
所以
，
依题意可得
存在唯一的变号正实根，
即
存在唯一的变号正实根，
当
时
，方程只有唯一变号正实根
，符合题意，
当
，方程
，即
没有除
之外的正实根，
令
，则
，
所以当
时，
，即
在(0,2)上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
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所以
，所以
，
则实数t 的最大值为
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．
30．（23-24 高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数
的最小值为1，则
的取值范围
为 .
【答案】
【分析】变换得到
，换元构造新函数，确定单调区间，计算最值得到
有解，变换
得到
，构造新函数，求导得到单调区间，画出图像，根据图像得到答案.
【详解】
，
，
设
，
，
，
，
当
时，
，函数单调递减；
当
时，
，函数单调递增；
故
，故
有解，即
，
，
，
即
，
，
设
，
，
当
时，
，函数单调递增；
当
时，
，函数单调递增；
，画出函数图像，如图所示：
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根据图像知
，解得
或
，即
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求参数的取值范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合
应用能力，其中将取值范围问题转化为函数的最值问题，再利用函数图像求解是解题的关键.
31．（23-24 高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知函数
，不等式
对任意的
恒成立，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】研究
的单调性和奇偶性，转化不等式为
在
恒成立，再构造函数
，利用导数研究其最小值，即可求得
的范围，从而求得其最大值.
【详解】
，定义域为
，且
，
故y = f ( x)是奇函数；
又
，且
，
，故
恒成立，
故y = f ( x)在
上单调递增；
，即
，也即
，
故
，也即
在
恒成立；
令
，则
；
令
，则
，故
在
单调递增；
又
，故存在
，使得
，即
；
则当
，
，故
，此时
单调递减；
当
，
，故
，此时
单调递增；
故
时，
取得最小值，
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又
满足：
，两边取对数可得
，也即
；
故
的最小值
.
故
，则
的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟练掌握利用函数单调性和奇偶性求解不等式的方法；二是，
熟练掌握利用导数求函数最小值的问题，尤其是本题中涉及隐零点的处理，属综合困难题.
32．（23-24 高三上·湖南邵阳·阶段练习）设函数
在区间
上有极大值点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求导，令
，则
，构造函数
，利用导数画出函数
的大致图像，结合函数图象，从
分类讨论结合极值的定义即可得解.
【详解】
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
又当
时，
，
，
作出函数
的大致图像，如图所示，
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由图可知，当
，即
时，
，
所以函数
在
上无极值；
当
，即
时，
方程
有两个不同的实数根，设为
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以函数
既有极大值又有极小值，
故
符合题意；
当
，即
时，
方程
只有一个实数根，设为
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数只有极小值，没有极大值，
综上所述，
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与
轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由
分离变量得出
，将问题等价转化为直线
与函数
的
图象的交点问题.
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