第3 讲 导数与函数的极值、最值
目录
01
考情研究
...................................................................................................................
2
02
知识梳理
·
.................................................................................................................
2
03
探究核心考点
...........................................................................................................
3
考
点一：
求函数的极
与极
点
值
值
..........................................................................................................
3
考
点二：
根据极
、极
点求参数
值
值
.......................................................................................................
5
考
点三：
求函数的最
（不含参）
值
..........................................................................................................
7
考
点四：
求函数的最
（含参）
值
..............................................................................................................
9
考
点五：
根据最
求参数
值
....................................................................................................................
1 3
考
点六：
函数
性、极
、最
的
合
用
单调
值
值
综
应
...................................................................................
1 5
考
点七：
不等式恒成立与存在性
问题
................................................................................................
19
三阶
突破训练
基础训练
·
.............................................................................................................................................
22
能力提升
..............................................................................................................................................
27
真
感知
题
..............................................................................................................................................
3 8
一、5 年真题考点分布
考点要求
考题统计
考情分析
（1）函数的极值
（2）函数的最值
2025 年II 卷第18 题，17 分
2025 年II 卷第10 题，6 分
2025 年I 卷第19 题，17 分
2024 年I 卷第10 题，6 分
2024 年II 卷第16 题，15 分
2024 年II 卷第11 题，6 分
2024 年甲卷第21 题，12 分
2023 年乙卷第21 题，12 分
2023 年II 卷第22 题，12 分
2022 年乙卷第16 题，5 分
2022 年I 卷第10 题，5 分
2022 年甲卷第6 题，5 分
高考对极值、最值的考查较为稳
定，是重点考查的部分。在本节内容
中，无论高考题目如何变化，只要我们
抓住导数作为研究函数的重要工具这一
关键，借助图像把函数的单调性、极
值、最值等核心问题直观清晰地呈现出
来，剩下的便是具体问题的转化了。最
终的焦点必然是函数的单调性与最值，
因为它们始终是导数的核心。
二、课标要求
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
三、知识导图
1．函数的极值
条件
f '( x0)=0
x0附近的左侧f '( x)>0,右侧f '( x)<0
x0附近的左侧f '( x)<0,右侧f '( x)>0
图象
形如山峰
形如山谷
极值
f ( x0)为极①
值
f ( x0)为极②
值
极值点
x0为极③
值点
x0为极④
值点
提醒（1）函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.
（2）在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.
【答案】大； 小； 大； 小
2．函数的最值
（1）一般地，如果在区间[a,b]上函数y = f ( x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小
值.
（2）若函数f ( x)在[a,b]上单调递增,则⑤_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的最小值,⑥_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的最大值;若函数
f ( x)在[a,b]上单调递减,则⑦_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的最大值,⑧_ _ _ _ _ _ _ _ 为函数的最小值.
提醒 极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的
未必有极值;极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.
【答案】f (a)； f (b)； f (a)； f (b)
考点一 求函数的极值与极值点
典例1．（2025·辽宁·模拟）已知函数
，则（ ）
A．
的单调递减区间为
B．
的极小值点为1
C．
的极大值为
D．
的最小值为
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
令
，则
，所以
在
上单调递减．
因为
，所以当
时，
，即
；
当
时，
，即
，所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
所以
．
故选：C
典例2．（2025·云南曲靖·模拟）函数
的极值点为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
由
，即
，解得：
．由
，得
，由
，得
函数
在
处取得极大值，
故选：A．
【方法技巧】
1.求函数的极值或极值点的步骤
（1）求导数f '( x)，不要忘记函数f ( x)的定义域；
（2）求方程f '( x)=0的根；
（3）检查在方程的根的左、右两侧f '( x)的符号，确定极值点或函数的极值.
2.因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程
根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值
是否与已知有矛盾．
3.原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越
轴，否则不
是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与
轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
跟踪训练1．（2025·河南·三模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在
处得到极大值
B．
在
处得到极大值
C．
在
处得到极小值
D．
在
处得到极小值
【答案】C
【解析】由
，且
，所以
时
，
递减，
时
，
递增，所以
在
处得到极小值
.
故选：C
跟踪训练2．（2025·浙江·模拟）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，记
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，
，函数
在
上单调递减.
所以，当
时，
，
因为
，且当
时，
，
所以，当
时，
，即
，
在
上单调递减；
当
时，
，即
，
在
上单调递增.
所以，当
时，
取得极小值
.
故选：B
考点二 根据极值、极值点求参数
典例1．（2025·黑龙江·模拟）已知
是函数
的极值点，则函数
的极小值为
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为R，求导得
，
由
是函数
的极值点，得
，解得
，
函数
，
，
当
或
时，
；当
时，
，所以函数
的极小值
.
故选：A
典例2．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数
的极小值是
，则实数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
，令
得
或
，
当
时，
，
在R 上单调递增，无极值；
当
即
时，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，得
在
处取得极小值，即
，
解得
；当
即
时，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调
递增，
时，
，
单调递减，得
在
处取得极小值，即
，不满足题意；
综上，实数
.
故选：C.
【方法技巧】
1.根据函数的极值（点）求参数的两个要领
（1）列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）验证：因为某点处的导数值等于0 不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验
证根的合理性.
2.注意
（1）导数为零的点不一定是极值点.
（2）对于求解析式中含有参数的函数极值问题，一般要对方程f '( x)=0的根的情况进行讨论，分两个层
次讨论，第一层次，讨论在定义域内是否有根；第二层次，在有根的条件下，再讨论根的大小.
跟踪训练1．（2025·宁夏·一模）若函数
在
处取得极大值，则
的极小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
在
处取得极大值，
则
，
且
，
即
，所以
；
所以
，
，
令
，则
或
，
由
，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以函数
在
处取得极大值，
.
故选：C.
跟踪训练2．（2025·吉林长春·一模）已知函数
的极大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，
，则
，
令
，解得
或
，
当
时，
在
，
上满足
，
单调递增，
在
上满足
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，
，解得
，
当
时，
在
，
上满足
，
单调递增，
在
上满足
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，
，不符合题意，
当
时，
，
在R 上单调递增，无极值，不符合题意，
综上所述，
.
故选：D.
考点三 求函数的最值（不含参）
典例1．（2025·江苏南京·三模）已知函数
，则当
时，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，可得
，
当
时，
；当
时，
；
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故当
时，
在
时取得极大值，也即最大值
.
故选：B
典例2.（2025·湖北黄冈·三模）已知函数
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题
的一个周期为
，故只需考虑
在
上的值域，
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
因此
的极小值为
，极大值为
，
又易知
，所以函数
在
上的值域为
，
结合函数的最小正周期为
，所以函数
的值域为
所以
的最小值为
，
故选：B
【方法技巧】
求函数
在闭区间
上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值
，
与
的各极值进行比较得到函数的最值．
跟踪训练1．（2025·河南驻马店·模拟）函数
在区间
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
，即
，
在
上单调递增，
.
故选：D.
跟踪训练2．（2025·北京·模拟）已知函数
，则（ ）
A．函数
没有零点
B．函数
有最小值
C．
在
上单调递增
D．存在
，对任意
，有
【答案】B
【解析】因为函数
，
，所以函数
至少有一个零点，A 错误；
所以
，
令
，可得
，
时
，在
上
递减；
时
，在
上
递增；
故在R 上不单调递增，C 错误；
所以
时，有最小值
，B 正确；
因为
的增长速度大于
的增长速度，所以
时，
，
故不存在
，对任意
，有
，D 错误.
故选：B.
考点四 求函数的最值（含参）
典例1．（2025·福建·模拟）（多选题）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意的实数
，
，函数
恒有两个极值点
B．设
，
为
的极值点，则
C．当
时，若
在
上有最大值，则
D．若
，则
【答案】AD
【解析】因函数
的定义域为
，求导得
.
对于A，由
，知函数
恒有两个变号零点，故函数
恒有两个极值点，故A 正确；
对于B，由A 分析，
，
，
则
，当且仅当
时取等号，故B 错误；
对于C，当
时，
，
当
或
时，
，当
时，
，
故
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
则
，1 分别是
的极大值点和极小值点，因
在
上有最大值，
且
，故有
，故C 错误；
对于D，
，则有
，解得
，故D 正确.
故选：AD.
典例2．（2025·江西·模拟）已知函数
.
(1)若
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)当
时，记函数
的最大值为
，证明：
.（参考数据：
）
【答案】(1)
（或
）(2)证明见解析
【解析】（1）由
，得
，令
，则
，
设
，
，则
，因为
，所以
.
所以
在
单调递增，所以
.
所以
时，
，可知
，所以
在
上单调递减，
所以
，故
（或
）.
（2）由
可知，
的定义域为
，设
，
，所以
在
上单调递减，
，
存在
，使得
，即
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以
在
处取得唯一的极大值，也是最大值，.
所以
，
令
，则
在区间
上单调递增，
故
，
所以
.
【方法技巧】
若所给的闭区间
含参数，则需对函数
求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从
而得到函数
的最值．
跟踪训练1．（2025·四川成都·三模）若函数
的值域为
，则实数
的取值范
围是 .
【答案】
【解析】当
时，
，当且仅当
时，等号成立，
所以，函数
在
上的值域为
的子集，
当
时，
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故当
时，
，即函数
在
上的值域为
，
由题意可得
，即
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
跟踪训练2．（2025·湖南岳阳·模拟）已知函数
，且
.
(1)求
;
(2)已知
为函数
的导函数，证明：对任意的
，均有
；
(3)证明：对任意的
，均有
.
【答案】(1)
(2)证明见解析(3)证明见解析
【解析】（1）由
得
，
令
，则
，
①当
时，
恒成立，
在
上单调递减，且
，不符题意；
②当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
，
令
，则
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，即
，又
，
所以
，解得
.
（2）由（1）知
，
，
要证
，即证
，
进一步变形为证
，即证
.
因为
，令
，则需证
（
），即证
（
）
设
，
，
，
当
时，
，
在
单调递增，所以
，得证.
（3）由（1）知
，且
，
当
时，
，即
；
令
（
），则
.
要证
，即证
，
因为
，所以
，
而
，得证.
考点五 根据最值求参数
典例1．（2025·江苏扬州·三模）若函数
的最小值为2，则实数a 的值是 .
【答案】1
【解析】由
，求导可得
，
当
时，令
，可得
，
由
可得
，由
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，解得
；
当
时，
，显然函数
在
上单调递减，故不合题意；
当
时，
，函数
在
上单调递减，故不合题意.
故答案为：
典例2．（2025·上海·模拟）已知函数
在区间
上存在最大值，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【解析】
，
当
时，
在
上严格单调递增，不符合题意;
当
时，令
；
.
所以
在
上严格单调递增，在
上严格单调递减，
所以
在
处取得极大值.
因为函数
在区间
上存在最大值，所以
.
故答案为：
.
【方法技巧】
1.求函数f ( x) 在[a,b] 上最值的方法
（1）若函数f ( x)在区间[a,b]上单调递增（或单调递减）,则f (a)为最小值（或最大值），f (b)为最大值
（或最小值）.
（2）若函数f ( x)在闭区间[a,b]内有极值,要先求出[a,b]上的极值,再与f (a),f (b)比较,最大的是最大值,
最小的是最小值,可列表完成.
（3）若函数f ( x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大（或最小）值点,此结论在导数的
实际应用中经常用到.
2.已知函数最值，求参数的范围，列出有关参数的方程或不等式，然后求其参数值或范围．
跟踪训练1．（2025·湖北十堰·模拟）若函数
在定义域
上的最大值为
，则当ab 取得
最小值时，实数
.
【答案】
【解析】因为
且定义域为
，则
，
当
时，
恒成立，则
在定义域上单调递增，不存在最大值，故舍去；
当
时，
有
，
有
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
在
处取得最大值，即
，
所以
，
，
令
，则
，
令
，得
，令
，得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
综上，
．
故答案为：
跟踪训练2．（2025·重庆·模拟预测）若
，
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递减，显然无最小值，不符；
当
时，令
，则
，
若
，
时，
，则
在
上单调递增，故
，不符；
若
，
时，
在
上
，即
在
上单调递减，
在
上
，即
在
上单调递增，
所以
，则
，
可得
，又
，可得
；
综上，
.
故选：A
考点六 函数单调性、极值、最值的综合应用
典例1．（2025·江苏连云港·模拟）若函数
在区间
上有三个零点，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
在区间
上有三个零点等价于函数
与
在
上有三个交点，
当
时，
在
上单调递减，
是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需
；
当
时，
，令
，得
，
令
，
，
令
，解得
，
所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取得最大值
，
又
，
.
要使函数
与
在
上有三个交点，则
与
在
上需有一个交点、在
上需有两个交点，
则需满足
，所以
.
综上，实数a 的取值范围为
.
故选：B
典例2．（2025·江西·模拟）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，求导得
，所以
，
又因为
，故曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）由函数
可知，
.求导得：
，
当
时，因为
，所以
，此时
为单调递增函数，没有极小值，与题意不符；
当
时，
，
因为
，所以当
时，
，当
时，
，
所以函数
有极小值为
．
又
，所以
，即
，
因为
，所以
．
设
，则
，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
的解集为
，即
的取值范围是
．
【方法技巧】
1.求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.
2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论.
3.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性
和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象得到函数的最值.
4.函数单调性、极值、最值的综合应用通常会用到分类讨论、数形结合的数学思想方法.
跟踪训练1．（2025·云南玉溪·模拟）（多选题）函数
有两个零点
，下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为函数
有两个零点
，
所以
有两个根，即
有两个根，
即
与
的图象有两个交点，设
，所以
，
当
时，解得
，所以函数
在
单调递增；
当
时，解得
，所以函数
在
单调递减，
所以
，当
时，
，当
时，
，
函数
的图象如图所示，
结合图象可得当
时，
与
的图象有两个交点，
即函数
有两个零点，故A 正确；
对于D，又
，结合图象可知
，
因为
，要证明
，
即证明
，整理得
，
令
，即证明
，
即证明
，
设
，所以
恒成立，
所以
在（0,1）单调递增，所以
，
即
，故D 正确；
对于C，
，
又
，
，则
，即
，故C 不正确；
对于B，因为
，
，可得
，
可得
，故B 正确.
故选：ABD.
跟踪训练2．（2025·河北秦皇岛·模拟）已知函数
（
，且
）.
(1)当
时，证明：
.
(2)若不等式
恒成立，求a 的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
.
【解析】（1）证明：因为
，所以
，
令
，则
，
令
，解得
，所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
，所以
，即
，所以
；
（2）解：令
，则
，
又因为
，所以
在
处的值为
，
又因为
，所以
，由
，解得
；
当
时，令
，下面证明
恒成立，
当
时，令
，
则
，
由（1）可知
，当
时等号成立，
所以
，即
，当
时等号成立，
又因为
，所以
，所以
在
上单调递增，所以
，
所以
，所以
；
当
时，令
，则
，即为
，
令
，则
，
令
，则
因为
，所以
，
单调递增，所以
，所以
，
所以
在
上单调递增，所以
，即
，
综上，当
时，恒有
成立.
故
.
考点七：不等式恒成立与存在性问题
典例1．（2025·四川成都·二模）若函数
有极值，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
，则
，
令
，
，则
，
当
时，
恒成立，则
，
即函数
在
上单调递增，此时函数
无极值，不符合题意；
当
时，令
，得
，
当
时，
，则
，得函数
在
上单调递减，
又
时，
；
时，
，
所以存在
，使得
，则函数
存在极值；
当
时，
，
则
时，
；
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
设
，
，则
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，且
时，
，
则
时，
，此时函数
无极值，不符合题意；
当
时，
，且
时，
；
时，
，
此时函数
存在极值.
综上所述，
的取值范围为
.
故选：A.
典例2．（2025·湖北武汉·模拟）已知
，若0 是
的极小值点，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
因为
是函数
的极小值点，所以
恒成立，
令
，则
，
，
当
时，
，
即
在
附近单调递增，
又
，所以当
时，在
附近
，
当
时，在
附近
，满足0 是
的极小值点；
当
时，
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，所以
单调递增，此时
无极小值点；
当
时，
，
即
在
附近单调递减，又
，
所以当
时，在
附近
，
当
时，在
附近
，
此时0 是
的极大值点，不符合题意．
综上所述：
的取值范围为
．
故选：D
【方法技巧】
1.分离变量，构造函数，直接把问题转化为求函数的最值问题.
2.a≥f ( x)恒成立转化为a≥f ( x)max;
a≤f ( x)恒成立转化为a≤f ( x)min;
a≥f ( x)能成立转化为a≥f ( x)min；
a≤f ( x)能成立转化为a≤f ( x)max.
跟踪训练1．（2025·重庆沙坪坝·模拟）已知函数
有两个极值点，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，由
，可得
函数
有两个极值点，即方程
在
内有两个不等实根，
即函数
与
在
上有两个交点，
因
，
，
，
所以
，解得
.
故选：A.
跟踪训练2．（2025·甘肃白银·三模）已知函数
在
上恰有两个零点，两个
极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
,令
，则
．
设
，则
在
上恰有两个极值点和两个零点，如图，
，
解得
．
故选：A.
1．已知函数
，
为
的导函数，
，则（ ）
A．
的极大值为
，无极小值
B．
的极小值为
，无极大值
C．
的极大值为
，无极小值
D．
的极小值为
，无极大值
【答案】C
【解析】
的定义域为
，
，
所以
，求导得
，令
，得
，
当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，且当
时，
取得极大值
，无极小值．
故选：C．
2．（2025·广西·模拟）函数
在
处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意，
，因为函数
在
处取得极小值，则
，解得
，
此时
，当
或
时，
，当
，时
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极小值
.
故选：C
3．（2025·浙江·模拟）已知函数
，则（ ）
A．函数
的极大值点为
B．函数
的极小值为2
C．过点
作曲线
的切线有两条
D．直线
是曲线
的一条切线
【答案】D
【解析】
，令
，解得
或
，
因为
，
；
，
；
，
；
所以
在
递增，
递减，
递增，
故
的极大值点为
，故A 错误；
极小值为
，故B 错误；
设过
的切线为
，切点为
，
所以
，
则
，
从而
，
解得
或
，有三条切线，故C 错误；
令
，即
，解得
，
从而
，即切线方程为
，故D 正确．
故选：D.
4．（2025·辽宁大连·三模）已知
，若存在
，使得
，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得：
，即
，令
，即存在使得
，
构造
，
，由
，可得
，由
，可得
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
又
，所以
，即存在
，使得
，参变分离得到
，
令
，
易得当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
最小值为
，当
时，
，所以
的值域为：
，
所以实数
的取值范围是
，
故选：B
5．（2025·河南驻马店·模拟）已知函数
在区间
上恰有3 个极值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
，
令
，则
，
，
作出
的图象，
要使函数
在区间
上有三个极值点，则
，
解得
，则
的取值范围为
.
故选：B.
7．（2025·江西·模拟预测）已知函数
恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意
，若函数
恰有两个极值点，
则只需
有两个不同的根，显然
不是方程的根，所以只需
有两个不同的根，
令
，则
，
当
时，
，
是减函数；
当
时，
，
是减函数；
当
时，
，
是增函数，
极大值
，
又当
，当
，
当
，当
，
，
的图像如图所示，
结合图象可得若原函数有两个极值点，需满足
.
故选：B．
8．（2025·安徽·模拟预测）已知
若函数
有两个极值点，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因
时，
，函数图象的对称轴为
，
当
时，函数在
时取得极大值，
又因
时，
，且
，
由函数的性质，可知要使
还有一个极值，那就是
，
所以必须使
，
则由
，可得
.
故选：A.
9．（24-25 高三下·广东·开学考试）已知函数
的最小值是
，则
.
【答案】
【解析】由题意可得
.
设
，则
，所以
是偶函数.
当
时，
.
设
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，所以
，所以
，
所以
在
上单调递增.
因为
是偶函数，所以
在
上单调递减，
所以
，
由
.
故答案为：
10．（2025·湖南常德·一模）若函数
有最小值，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】当
时，
，求导得
，
函数
在
上单调递增，
在
时的取值集合为
，
当
时，
，没有最小值，
由函数
在R 上有最小值，得
在
上单调递减，且
，
因此
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
1．（2025·四川自贡·三模）函数
，若
在
有最大值，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
则
，
令
，得
或
，
当
，即
时，
，
函数
在
上单调递增，此时
在
上没有最大值，不符合题意；
当
，即
时，
令
，得
或
，令
，得
，
则函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
又
，则
在
没有最大值，不符合题意；
当
，即
时，
令
，得
或
，令
，得
，
则函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
要使
在
有最大值，
则
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：B.
2．（2025·江苏连云港·模拟）若函数
在区间
上有三个零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
在区间
上有三个零点等价于函数
与
在
上有三个交点，
当
时，
在
上单调递减，
是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需
；
当
时，
，令
，得
，
令
，
，
令
，解得
，
所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取得最大值
，
又
，
.
要使函数
与
在
上有三个交点，则
与
在
上需有一个交点、在
上需有两个交点，则需满足
，所以
.
综上，实数a 的取值范围为
.
故选：B
3．（2025·重庆·三模）（多选题）已知
，则（ ）
A．
，使得
是增函数
B．
，函数
均存在极值点
C．
，函数
只有一个零点
D．
，且
，有
【答案】ACD
【解析】对于AB，
，当
时，
，所以
为增函数，此时
无极值，所以A 正确，B 错误；
对于C，当
时，由
，得
或
，由
，得
，
所以
在
上递增，
上递减，
上递增，
又
，当
时，
，
所以观察图象可知，函数
只有一个零点，所以C 正确；
对于D，当
时，由选项C 可知
在
上递增，
上递减，
上递增，
所以
的极大值为
，极小值为
，
因为
，所以
，
当
时，由
，得
或
，由
，得
，
所以
在
上递增，
上递减，
上递增，
因为
，
，所以
，综上
，所以D 正确.
故选：ACD
4．（2025·江苏·一模）（多选题）已知函数
，其导函数为
，则（ ）
A．直线
是曲线
的切线
B．
有三个零点
C．
D．若
在区间
上有最大值，则
的取值范围为
【答案】BC
【解析】因为
，则
，
，
所以
，C 正确；
因为
，令
，得
，解得
或
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，在
处取得极小值，
且
，
图象如图所示：
故
有两个极值点，三个零点，故B 正确；
设切点的坐标为
，则切线斜率为
，
则
，所以不存在斜率为
的切线，
直线
不是曲线
的切线，故A 错误；
因为
，所以若
在区间
上有最大值，
则
，所以
，故D 错误．
故选：BC．
5．（2025·福建三明·三模）已知函数
存在最小值，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【解析】
的定义域为R，
，
令
，
若
，则
，令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
存在最大值，不存在最小值，舍去；
若
，
，
若
，则
，此时
，
其中
，
，
当
且
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
存在最大值，不存在最小值，舍去；
若
，即
时，
恒成立，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
存在最大值，不存在最小值，舍去；
若
，则
或
，
当
时，设
的两根为
，
开口向上，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
即为
的最小值，故
满足要求；
当
时，设
的两根为
开口向下，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
当
趋向于
时，
趋向于
，不存在最小值，
综上，
故答案为：
6．(2025· 八省联考)已知函数f ( x)=a ln x + b
x - x.
（1） 设a=1，b=-2，求曲线y = f ( x)的斜率为2 的切线方程;
（2） 若x =1是f ( x)的极小值点，求b的取值范围.
【答案】（1）y =2 x -5; （2）b的取值范围为(1,+∞)
【解析】（1） 由题意，f ( x)= ln x - 2
x - x,函数f ( x) 的定义域为(0,+∞),令f '( x)= 1
x + 2
x
2 -1=2，得
(3 x +2)( x -1)=0,所以x =1,故切点为(1,-3),又斜率为2,则切线方程为y =2 x -5.
（2 ） 函数f ( x) 的定义域为(0,+∞).f '( x)= a
x - b
x
2 -1, 因为x =1 是f ( x) 的极小值点，所以
f '(1)=a-b-1=0,得a=b+1.
所以f '( x)=- x
2-(b+1)x +b
x
2
=- ( x -1)( x -b)
x
2
.
①若b≤0，则x -b>0,令f '( x)=0 得x =1,此时当0< x<1 时，f '( x)>0,f ( x)单调递增；当x>1 时，
f '( x)<0,f ( x)单调递减，f ( x)在x =1 处取得极大值，不符合题意，舍去.
②若0<b<1，当0< x<b 时，f '( x)<0,f ( x)单调递减；当b< x<1 时，f '( x)>0,f ( x)单调递增；当x>1
时，f '( x)<0,f ( x)单调递减,此时，f ( x)在x =1 处取得极大值，不符合题意，舍去.
③若b=1，则f '( x)=- ( x -1)
2
x
2
≤0,f ( x)在(0,+ ∞) 上单调递减，f ( x)不存在极值，舍去.
④若b>1，当0< x<1 时，f '( x)<0,f ( x)单调递减；
当1< x<b 时，f '( x)>0,f ( x)单调递增；当x>b 时，f '( x)<0,f ( x)单调递减,
此时f ( x) 在x =1 处取得极小值，符合题意.
综上，b的取值范围为(1,+ ∞).
7．（2025·广东广州·模拟）已知函数
，
，其中
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求a 的值；
(2)求
的最小值；
(3)设
，若
对
恒成立，求b 的最大值．
【答案】(1)1;(2)0;(3)2
【解析】（1）由
得
．
因为曲线
在点
处的切线方程为
，
所以
，解得
．
（2）由（1）知
，
所以
，
令
，则
．
因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，所以
在
单调递减，
又
，所以存在唯一零点
，使得
．
所以
在
单调递增，在
单调递减．
又
，
所以
在
上恒成立，所以
在
上单调递增，
所以
，即
的最小值为0.
（3）因为
对
恒成立，
令
，则
，由（2）知
，所以
，
因为
，所以
．假设当
时，
对
恒成立．
由（2）知
，则
，所以
．
设
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，
所以
在
上恒成立，即
满足题意．
综上所述，整数
的最大值为2．
8．（2025·湖北黄冈·模拟）已知函数
．
(1)若
，证明：函数
在
上单调递增；
(2)若函数
有三个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）当
时，
，则
，
要证函数
在
上单调递增，只要证明
在
上恒成立，令
，
因为
，令
，解得
，
由
，得
，此时函数
单调递增，
由
，得
，此时函数
单调递减，
所以当
时，
取得最小值
，
因为
，所以
恒成立，即
在
上单调递增；
（2）方法一：令
，等价于
，设
，
当
时，
没有零点；当
时，
，
当
时，
，函数
单调递增，
因为
，所以函数
在
上有一个零点；
当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函数
单调递减，
所以当
时，
的最小值为
，
若
．即
在
上没有零点；
若
，即
在
上有一个零点；
若
，即
，
因为
，当
时，
，
所以
在
上有两个零点；
综上，当
时，
有3 个零点.
方法二：当
时，
恒成立，
没有零点，故
，
当
时，
单调递增，
单调递减，
故
在
上单调递增，
且当
时，
，
故
在
上有唯一零点，
所以
在
上有三个零点等价于
在
上有两个零点，
当
时，由
，
即
，得
，
令
，则
，
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增，
故当
时，
，
且当
时，
，当
时，
，
故要使
在
上有两个零点，
则只要
即可，解得
；
综上，当
时，
有3 个零点.
9．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调递增区间；
(3)若
，方程
有三个不相等的实数根
且
，证明：
．
【答案】(1)
；(2)答案见解析；(3)证明见解析.
【解析】（1）由题意得
，定义域为
，
，
可得曲线
在点
处的切线的斜率为0．
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）
，
易知
，且
．
令
，则
．
当
，即
时，
在
上恒成立，且等号不恒成立，
即
在
上恒成立，且等号不恒成立，因此
在
上单调递增．
当
，即
时，
由
解得
或
，
，
当
时，
；当
时，
，
因此
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上，当
时，
的单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
，
.
（3）由（2）可知，当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减．
．
令
，
则
在
上恒成立，
在
上单调递增，则当
时，
，
在
上恒成立．
，且
．
由于
在
上单调递减，
．
令
，
则
在
上恒成立，
在
上单调递增，则当
时，
，
在
上恒成立．
且
．
在
上单调递增，
．
由
和
可得
．
10．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
，
(1)当
时，若直线过原点且与曲线
相切，求的方程.
(2)若关于
的方程
恰有两个不同的正实数根
，求
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）当
时，
，设直线的方程为
，
曲线
与直线相切于点
，
因为
，所以
①，
又点
既在曲线
上，又在直线
上，
所以
②，由①②得
，所以
，
所以
，故的方程为
.
（2）由
得：
，
恰有2 个正实数根
恰有两个正实数根
，
令
，则
与
有两个不同交点，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，又
，
当
从0 的右侧无限趋近于0 时，
趋近于
；
当
无限趋近于
时，
的增速远大于
的增速，则
趋近于
，则
的图象如图所示，
当
时，
与
有两个不同交点，
实数
的取值范围为
.
1.（2025 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
A．
B．当
时，
C．
，当且仅当
D．
是
的极大值点
【答案】ABD
【解析】
是定义在
上的奇函数，所以
，所以
正确；
当
时，
，函数是奇函数，所以
，所以
正
确．
，
，
，函数f (x)是减函数，
，
．
函数f (x)是增函数，
所以
是f (x)的极小值，
（1）
，
因为函数f (x)是奇函数，所以
是极大值点，
正确；
极大值为
，又因为
，函数图象如下：
由图像可得
不正确．
故选：
．
2．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（多选题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【解析】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
3．（多选题）（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【解析】对A，因为函数
的定义域为R，而
，
易知当
时，
，当
或
时，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，故
是函数
的极小
值点，正确；
对B，当
时，
，所以
，
而由上可知，函数
在
上单调递增，所以
，错误；
对C，当
时，
，而由上可知，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，正确；
对D，当
时，
，
所以
，正确；
故选：ACD.
4．（2022 年高考全国乙卷数学（文）真题）函数
在区间
的最小值、最
大值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
所以
在区间
和
上
，即
单调递增；
在区间
上
，即
单调递减，
又
，
，
，
所以
在区间
上的最小值为
，最大值为
.
故选：D
5．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】因为函数
定义域为
，所以依题可知，
，
，而
，所以
，即
，所以
，因此函数
在
上递增，在
上递减，
时取最大值，满足题意，即有
．
故选：B.
6．（多选题）（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数
既有极大值也有极
小值，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】函数
的定义域为
，求导得
，
因为函数
既有极大值也有极小值，则函数
在
上有两个变号零点，而
，
因此方程
有两个不等的正根
，
于是
，即有
，
，
，显然
，即
，A 错误，BCD 正确.
故选：BCD
7.（2025 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）（1）设函数
．求
在
，
的最大值；
（2）给定
，
为给定实数，证明：存在
，
，使得
；
（3）若存在
，使得对任意
，都有
，求
的最小值．
【解答】
（1）解法一：由已知得：
，
因为
，所以
，
，
所以
，故只需判断
的符号即可，由
，解得
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
；
解法二：
.
所以：
.
这得到
，同时又有
，
故
在
上的最大值为
，在
上的最大值也是
.
解法三：令
.注意到
，故
或
，即
或
.
于是，
时，
，所以
，即
，此时
单调递增；
时，
，所以
，即
，此时
单调递减.
所以
.
（2）证明：解法一：若
，则
，
若
，不妨
，
，
①若
，则
；
②若
，此时
，所以
，
令
，可知存在
，
，使得
；
③若
，此时
，所以
，
令
，可知存在
，
，使得
；
综上，存在
，
，使得
，证毕．
解法二：由余弦函数的性质得
的解为
，
，
若任意
与
交集为空，
则
且
，此时
无解，
矛盾，故无解；故存在
，使得
，
解法三：由余弦函数的性质知
的解为
，
若每个
与
交集都为空，
则对每个
，必有
或
之一成立.
此即
或
，但长度为的闭区间
上必有一整数
，该整数
不满足条件，矛盾.
故存在
，使得
成立.
（3）解法一：令
，
，
由于
周期为
，不妨设
，
，
，
因为
连续且处处可导，所以
最大值在根值点处取得，
令
，
，所以
或
，
所以
或
，
当
时，
，
当
，
，
所以
，
，
显然
，
取值情况最多有6 种，相当于
图象上以
为起点，横坐标以
为跨度，往后
总共取6 个点，
由
图象可知，
时，
取最小值
，
所以
，所以
，
此时
恒成立，且
时取等号，所以
的最小值为
．
解法二：记
，
因为
，
故
为周期函数且周期为
,故只需讨论
的情况.
当
时，
，
当
时，
，
此时
，
令
，则
，
而
，
，故
，
当
，在（2）中取
，则存在
，使得
，
取
，则
，取
即
，
故
，故
，
综上
，可取
，
使得等号成立.
综上，
.
解法三：设
.
①一方面，若存在
，使得
对任意
恒成立，则对这样的
，同样有
.
所以
对任意
恒成立，这直接得到
.
设
，则根据
恒成立，有
所以
均不超过
，
再结合
，
就得到
均不超过
.
假设
，则
，
故
.
但这是不可能的，因为三个角
和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都在
直线
左侧.
所以假设不成立，这意味着
.
②另一方面，若
，则由（1）中已经证明
，
知存在
，使得
.
从而
满足题目要求.
综合上述两个方面，可知
的最小值是
.
8．（2025 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数
，其中
．
（1）证明：
在
存在唯一的极值点和唯一的零点；
（2）设
，
为
在
的极值点和零点，
设
，证明：
在
单调递减；
比较
与
的大小，并证明你的结论．
【解析】：解法一：（1）因为
，
，
所以
= x2
1+x −3kx 2
，
当
时，令
，解得
，又
y= 1
1+x −3k
在(0，+∞)单调递减，
所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以
是
在
上唯一的极值点，且是极大值点．
当x>0
时，令h(x)=ln(1+x)−x ，则
h
' (x)= 1
1+x −1= −x
1+x <0
，所以h(x)=ln(1+x)−x 在
上单调递减，
所以h(x)=ln(1+x)−x<h(0)=0，即ln(1+x)−x<0.
因为
，
，所以
，使得
，
即
是
在
上唯一的零点；
（2）
证明：因为
，
所以
（注意到
，代入）
，
其中
，为正数，
为正数，
显然成立，因此
，
所以
，即
在
上单调递减；
，证明如下：
由
得，
在
上单调递减，所以
，
即
，
，
因为
是
的零点，所以
，
所以
，
又因为
，
，且
在
，
上单调递减，所以
．
解法二：（1）因为
，
，
所以
；
；
所以
，使得
，且
在
上为单调递减函数，如图所示.
所以当
时，
；当
时，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，又当
时
，
所以,
使得
，且当
时，
；当
时，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，又当
时
，
所以,
使得
，且当
时，
；当
时，
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，又当
时
，
所以
有唯一极值点
，且
为
的极大值，
也有唯一零点
（2）因为
分别为
在
上的极值点和零点，所以
即
，
即
，且
(i)因为
，设
，则
则
①当
时，
由(1)知
，即
②当
时，
，即
故
，从而
在
上单调递减，
所以
，从而
在
上单调递减.
(ii)因为
，
所以
，
由(i)知
在
上单调递减.，所以
，即
.
由(1)知：
当
时，
；当
时，
.
所以
，故
.
