文档内容
第 21 讲 间隔与阵列
内容概述
直线或环线上的排列问题，理解间隔数与端点数之间的数量关系，将若干物体排成阵列形式的问题，
学会从“层”的角度考察阵列的数量规律，并结合等差数列的相关知识进行计算。
典型问题
兴趣篇
1. 社区门口有一条长为 100 米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔 10 米种一棵，而且马路的两
端都要种，一共需要种多少棵树？
2. 学校门前有条长 100 米的马路，马路两侧一共种了 42 棵树，每侧相邻两棵树之间的距离都相等，而
且马路的两端都种了，请问：相邻两棵树之间的距离是多大？
3. 小悦上楼，从第一层走到第三层需要上 36 级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么小悦从第一
层走到第六层一共需要上多少级台阶？
4. 学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排，请问：
（1）小悦和同班女生站成一排，她发现自己的左侧有 7 人，右侧有 8 人，女生一共有多少人？
（2）冬冬和同班男生站成一排，他发现自己是左起第 7 个，右起第 9 个，男生一共有多少人？
（3）阿奇也在男生队伍里，他发现自己是左起第 4 个，他的右侧应该有几人？他应该是右起第几人？
5. 运动会闭幕式结束后，大家准备散场，班长小悦让全班同学站成一行清点人数（她自己并不在队伍中）。
她先从左往右数，发现冬冬是第 25 个；然后她又从右往左数，发现阿奇正好是第 29 个，如果队伍里一共
有 31 个 ，那么冬冬和阿奇之间有几个人？
6. 一整块大豆腐长 40 厘米，宽 20 厘米。厨师准备把它切成一些长 5 厘米，宽 4 厘米的小块，而且每次
只能沿着直线切，如果不允许移动豆腐的位置，那么厨师至少要切几次？
7. 学校有一个圆形水池，水池的周长为 40 米，如果绕着水池每隔 4 米种一棵树，一共要种几棵树？
8. 50 个男生沿着 300 米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等，现在，每相邻两个男生之间又
加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等。请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之
间的距离又是多少米？
9. 有 100 个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？
从里向外算起的第三层有多少人？
10. 一个实心方阵，最外层一共有 20 人。请问：
（1）最外层每边有多少人？这个方阵一共有多少人？
（2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少人？
（3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？
拓展篇
1.费叔叔想做一张木凳，他先把一根木头锯成 4 段，用了 12 分钟，如果把另一根木头据成 8 段，需要几
分钟？（假设费叔叔每据断一次所花的时间相同）小悦和冬冬去费叔叔家玩，费叔叔住在 15 层，两人同时从一楼往上走，速度都保持不变，当小悦走到第 3
层的时候，冬冬恰好走到第 5 层。请问：当冬冬走到费叔叔家的时候，小悦走到了第几层？
3. 有一块三角形土地，三条边的长度分别为 120 米、150 米、80 米，在边界上每隔 10 米种一棵树，三
角形的每个顶点都必须种，一共要种多少棵树？
4. 体育课上老师让 42 名同学站成一行，冬冬发现有一半人站在他自己的左边；阿奇发现自己是从右往
左数的第 12 个，冬冬和阿奇之间有多少人？
5. 班里一共有 42 名学生，站成一圈做游戏，现在从小悦开始数。请问：
（1）如果冬冬是顺时针数第 26 个，阿奇是顺时针数第 17 个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？
（2）如果冬冬是顺时针数第 22 个，阿奇是逆时针数第 13 个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？
（3）如果冬冬是顺时针数第 27 个，阿奇是逆时针数第 31 个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？
6. 若干名同学站成一个 15×15 的实心方阵。请问：最外层一共有多少人？这个方阵一共有多少层？从
里向外算起的第七层有多少人？
7. 一个实心方阵，最外层共有 44 人。请问：
（1）这个方阵共有多少人？
（2）要让这个方阵减少一半，一共减少了多少人？
8. 红领巾小学三年级有 120 名学生，他们排成一个三层的空心方阵，请问：
（1）这个方阵最外层每边有多少人？
（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加几个人？
（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加几个人？
9. 用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面，由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷砖，
第二层是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖„„这样依次铺下次，一共使用了 400 块瓷砖。请
问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种瓷砖相差多少块？
10. 费叔叔把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了 6 棵树苗，后来又运来了 34 棵树苗，
恰好能补成一个更大的实心方阵，那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？
11. 如图 21-1，一块绿地由 3 块相同的等边三角形草地和一个水池构成，现在要在草地上种花，要求在
草地与草地的公共点处种上花（即图中的 A、B、C 点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，
每块草地上最外层的每条边上有 10 朵花。请问：整个绿地一共要种多少朵花？
12. 有 1000 人参加国庆节游行庆祝活动，这些人被平均分成 25 队，每队以 20 人为一排。前进过程中，
排与排之间相隔 1 米，队与队之间相隔 6 米。那么这支游行队伍的长度为多少米？超越篇
1. 如图 21-2，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为 100 米、宽为 70 米，
现在需要在所有道路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可以拐弯的地点（顶
点或中点）都要种上树，那么最少要种多少棵树？
2. 在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与
图 21-3 中的阵列类似。从外向内一共 8 层，依次站着两层六年级的同学，两层五年级
的同学，两层四年级的同学以及两层三年级的同学。已知参加表演的六年级同学有 126
名，请问：
（1）最外层有多少人？
（2）现在阵列中一共有多少人？
（3）如果想要一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？
3.
4.
5. 若干名男生站成一排，站好后冬冬的左侧有 15 人，阿奇恰好在正中间，而且他们
两人之间（不包括他们自己）一共有 3 人，队伍里可能有多少人？（写出所有可能的
答案）
6. 冬冬拿出一根绳子，对折之后在中间剪了一切，结果绳子被剪成了 3 段，如果冬冬把
这根绳对折 3 次， 再从中间剪 2 刀，绳子会被剪成向段？如果冬冬把这根绳子对折 4
次，再从中间剪 3 刀，绳子会被剪成几段？
7. 水池周围种了一些树，冬冬和小悦沿顺时针方向绕水池散步，边走边数树的棵数，由于
两人的出发地点
不同，因此冬冬数的第 20 棵在小悦那儿是第 7 棵，冬冬数的第 7 棵在小悦那儿是第
94 棵。请问：水池四周一共种了多少棵树？
8. 阿奇用一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他又多摆上去 28 个棋子，使得图
形变成一个三层的空心方阵，开始时阿奇可能摆了多少个棋子？
9. 阳光小学的学生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等，已知方阵最外面一
圈都是男生，往内一圈都是女生，然后是男生„„如此下去直到最里面，如果男生总数比女生总数多 52
人，那么共有学生多少人？
10. 如图 21-4，这是一些棋子摆成的正三角形点阵，和“空心方阵”类似，也可以有“空心
三角阵”。
（1）如果有一个 5 层的空心三角阵，最外层每边有 20 个棋子，那么一共有多少枚棋子？
（2）如果一个空心三角阵共有 294 枚棋子，那么它最多有多少层？
（3）如果一个空心三角阵共有 294 枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋
子？
（4）已知一个空心三角阵共有 108 枚棋子，如果增加 42 枚棋子后可以让它增加一层，
请你表示出如何增
加这 42 枚棋子。
