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第 19 讲 工程问题
兴趣篇
1．甲、乙两辆车运一堆煤，如果只用甲车运，15小时可以运完；如果只用乙车运，10小时可以运完．
请问：
(1)如果两车一起运，多少小时可以运完？
(2)如果甲车从早上8点开始运煤，乙车下午1点才开始运，那么几点的时候可以把煤运完？
解析：
（1）1÷（ ＋ ）= 6（小时）
（2）（1－5× ）÷（ ＋ ）= 4（小时）；1＋4 = 5 （点）
2．一项工作，甲单独做20天可以完成，乙单独做30天可以完成，现在两人合做，用16天就完成了工作，
已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．请问：乙休息了多少天？
解析：
（1－14× ）÷ = 9（天）；16－9 = 7（天）
3．如果甲、乙两队合做一项工程，恰好24天完成；如果乙队先做5天，然后甲队来帮忙，又共同做了
10天后，全部工程才完成了一半，请问：甲队单独完成这项工程需要多少天？
解析：
两人合作10天完成： 10÷24 = ； － = ；
÷5 = ； － = 1÷ = 40（天）
4．一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成．如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替
工作，每人工作1小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？
解析：
＋ = ； 1－ ×3 = ；
（ － ）÷ = （小时） 2×3＋1＋ = （小时）5．有一批工人做某项工程，原计划4天完成．如果增加6人，只需要3天就能完成．现在人数不仅没有
增加，反而减少了9人，求完成这项工程需要的天数．
解析：
－ = ； ÷ 6 × 9 = ； 1 ÷ = 8（天）
6．甲、乙两队分别在A、B两块地植树，B地需要植树的数量是A地的两倍，已知甲队单独在A地植树
需要12天完成，乙队单独在B地植树需要30天完成．现在甲、乙两队分别在A、B两地同时开始，当甲
队做完后便去B地和乙队共同工作．请问：两队要用多少天才能种完树？
解析：A地为1份，B地为2份
（1＋2）÷（ ＋ ） = 20（天）
7．一水池装有一个进水管和一个排水管．如果单开进水管，5小时可将空池灌满；如果单开排水管，7
小时可将整池水排完．现在先打开进水管，2小时后打开排水管，请问：再过多长时间池内将恰好存有半
池水？
解析：
（ － ）÷（ － ）= 1 （小时）
8．蓄水池有甲、乙、丙三个进水管．如果想灌满整池水，单开甲管需 10小时，单开乙管需12小时，单
开丙管需15小时．上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满，问：甲
管在何时被关闭？
解析：
（14－8）×（ ＋ ＋ ）= ； （ －1）÷ = 5（小时） 14－5 = 9（时）
9．师傅带着两名徒弟加工一批零件，按加工零件数量的比例分配 3000元报酬．如果按照原定计划，师
傅应该得到1800元，但开始工作前有一名徒弟生病住院，最后是师傅和另一名徒弟完成了所有工作．如
果两个徒弟的工作效率相同，请问：师傅实际应得到多少元？
解析：
÷ ×2 = 3（倍）； 3000× = 2250（元）10．甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、
乙两人合做6天完成了工程的 ；因甲中途有事，由乙、丙合做2天，完成了余下工程的 ；之后三
人合做5天完成了这项工程．如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？
解析：
（1－ ）× = ； 合：（1－ － ）÷5 = ；
甲： － ÷2= 1800× ×（6＋5）=330（元）
乙： ÷6－ = 1800× ×（6＋5＋2）=910（元）
丙： ÷2－ = 1800× ×（5＋2）=560（元）<或丙：1800－330－910=560（元）>
拓展篇
1．一条公路，甲队单独修需20天完成，乙队单独修需30天完成，请问：
(1)如果甲、乙两队合做，共需要多少天完成？
(2)如果甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了5天才修完，那么乙队一共修了多
少天？
解析：
1÷（ ＋ ）=12（天）； （1－ ×5）÷（ ＋ ）=9（天
2．有一批资料需要复印，甲复印机单独复印要11小时，乙复印机单独复印要13小时．现在甲、乙两台
复印机同时工作，由于相互有些干扰，两台机器每小时共少印 28张，结果用6小时15分钟印完，请问：
这批资料共有多少张？
解析：
1÷（ ＋ ）=5 （小时）； 5 ×28÷（6 －5 ）=572（张）
6 ×572=3575（张）3．有一条公路，甲队单独修需20天，乙队单独修需30天，丙队单独修需40天，现在让三个队合修，但
中间甲队撤出去到另外工地，结果用了12天才把这条公路修完．请问：当甲队撤出后，乙、丙两队又共
同合修了多少天才完成？
解析：
乙、丙两队又共同合修的天数 = 甲队离开的天数
12×（ ＋ ＋ ）－1= ； ÷ =6（天）
4．甲、乙两人共同完成一件工作．如果甲、乙两人合做2天后，剩下的由乙单独做，刚好在规定时间完
成；如果甲单独做需要18天完成；如果乙单独做，则要超过规定时间 3天才能完成．求完成这件工作规
定的天数．
解析：
乙： ×2÷3= ； （1－ ×2）÷ =24（天）
5．一项工程，乙单独做要14天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做…一两
人这样轮流做，需要9天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做…一两人这样
轮流做，会比上次轮流的做法多用多少天？
解析：
（1－ ×4）÷5= ； 1－（ ＋ ）×4－ = ÷ = （天）
6．甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多 ，已知甲队单独完成
A工程要40天，乙、丙两队单独完成B工程分别需要60天、75天．开始时甲队做A工程，乙、丙两队
共同做B工程；几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程，剩下乙队单独做B工程，结果两个工程同时
完成．请问：丙队与乙队合做了多少天？
解析：
A：1份；B： 份； 甲： ； 乙： ÷60= ； 丙： ÷75=
（1＋ ）÷（ ＋ ＋ ）=36（天）； （ － ×36）÷ =30（天）7．俄国文学家列夫·托尔斯泰的庄园里有大、小两片草地，每年秋天，农民们都要将草收割贮存起来，冬
季当作牲畜的饲料，大草地的面积恰好为小草地面积的 2倍．这一年有一些割草人去草地割草，上午他
们都在大草地里干活，午后这些人平均分成两半，一半人继续留在大草地割草，到傍晚收工时（上、下
午工作时间相同）恰好刚收割完；另一半人到小草地干活，收工时仅剩下一小块没有割完，这一小块草
地恰好够一个人收割一天．工头去托尔斯泰那儿结账时，讲了上述情况，话音刚落，托尔斯泰就算出了
共有多少个割草人，同学们你们能算出来吗？
解析：
一半的人做三个半天的割草量 = 一半的人做两个半天的割草量 ＋ 一个人做两天的割草量
一半的人做一个半天的割草量 = 一个人做两天的割草量
一半的人做一天的割草量 = 一个人做4天的割草量
所有人做一天的割草量 = 一个人做8天的割草量
所以共有8个割草人。
8．蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需12小时注满水，单开乙管需18小时注满水．现要求10小时
注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？
解析：
10×（ ＋ ）－1= ； 10－ ÷ =3（小时）
9．某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流人．为了
防洪，需调节泄洪速度．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开 1个泄洪闸，30小时水位降至
安全线；若打开2个泄洪闸，10小时水位降至安全线，现在抗洪指挥部队要求在2.5小时使水位降至安全
线以下，至少要同时打开几个闸门？
解析：
进水量：（30×1－10×2）÷（30－10）=0.5； 原水量：30×（1－0.5）=15
（15＋2.5×0.5）÷2.5=6.5（个）
所以：至少要同时打开7个闸门。10．某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单独灌满水池分别
需要10小时和15小时，水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要 6小时将水池
中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要 2小时将水池中的水放完．问：水池中原有水多少立方
米？
解析：
[6×（ ＋ ）－2× ]÷（6－2）= ； ×2－2× =
100× =20（立方米）
11．画展9时开门，但早有人来排队等候入场．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多．如
果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队．请问：第一个
观众到达的时间是8时多少分？
解析：
来人量：（3×9－5×5）÷（9－5）=0.5； 原有量：9×（3－0.5）=22.5
22.5÷0.5=45（分） 60－45=15（分）
所以第一个观众到达的时间是8时15分
12．如下图，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处有两个排水孔A和B，它们排水
时的速度相同且保持不变．现在以一定的速度从上面往水箱注水．如果打开A孔、关闭B孔，经过20分
钟可将水箱注满；如果关闭A孔，打开B孔，经过22分钟可将水箱注满，如果两个孔都打开，那么注满
水箱的时间是多少分钟？
解析：
从底到B孔的时间为a，从B到A开了B孔的时间为b
2a＋b=20 解得： a=6
a＋2b=22 b=8
（22×1－20×1）÷8= ； 20×1－8× =18；
18÷3=6； 6＋6÷（1－ ）＋6÷（1－ ×2）=26（分钟）
超越篇
1．甲工程队每工作5天必须休息l天，乙工程队每工作6天必须休息2天，一项工程，甲工程队单独做需62天（含休息），乙工程队单独做需51天（含休息）．请问：甲、乙两队合作完成这项工程需要多少天？
解析：
甲工程队为10个周期＋2天：10×5＋2=52（天），工作效率为：
甲工程队为6个周期＋3天：6×6＋3=39（天），工作效率为：
24天为一个小周期： ×24÷（5＋1）×5＋ ×24÷（2＋6）×6=
1－ = ÷（ ＋ ）= （天）
24＋ =27 （天）
2．一水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入 30吨水时，水箱已满；如果只
打开乙、丙两管，乙管注入40吨水时，水箱才满，已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍．请问：该水
箱注满时可容纳多少吨水？
解析：
30×1.5=45（吨）； 30＋ ×乙=40＋乙
乙：（40－30）÷（ －1）=80（吨）； 40＋80=120（吨）
3．甲、乙两人分别加工一批零件，甲用A机器需要6小时才能完成任务，用B机器效率降低60%，乙用
B机器需要10小时才能完成任务，用A机器效率提高20%．如果甲用A机器、乙用B机器同时开始工作，
中途某一时刻交换机器，最后恰好同时完成任务，求甲、乙完成任务所用的时间．
解析：
×（1－60%）= ； ×（1＋20%）=
假设经过a小时后，甲乙交换机器工作，然后又工作了b小时完成。
a＋ b=1， 解得：a=4；b=5
b＋ a=1 4＋5=9（小时）
4．甲、乙、丙三个工程队要完成一项工程，原计划三个队同时做，并且按照三个队工作效率的比进行分
配，但是若干天之后，甲队因为种种原因退出，把甲队剩下工程的 交给乙队完成， 交给丙队完成．如
果仍然要按时完成该工程，乙队就必须将工作效率提高20%，丙队则必须提高30%．问：甲、乙、丙原来的工作效率之比是多少？如果工程结束时，按照工作量付给报酬，甲队得到2700元，乙队得到6300元，
那么丙队可以得到多少元？
解析：
1÷甲= ÷（乙的20%）= ÷（丙的30%）， 甲：乙：丙=9：15：20
2700× =4500（元） 6300－4500=1800
1800÷（1＋20%）=1500（元） 1800－1500=300（元）
6300－300=6000（元） 6000× ＋300×2=8600（元）
5．有一个长方体的容器，侧面有一个小洞，如果水面超过了小洞，那么容器内的水将会以一定的速度向
外流出，现在打开1个水龙头向容器内注水，注到一半的时候用了80分钟，又过了100分钟容器内恰好
注满水．已知水龙头注水的速度是小洞漏水速度的1.5倍．试问：如果用2个龙头一起向容器内注水，需
要多少分钟可以注满？
解析：
一： （100×1.5－80×1.5）÷1=30（分钟）； 100－30=70（分钟）
（80＋70）÷2=75（分钟）； （80－70）×1.5÷（1.5×2－1）=7.5（分钟）
75＋7.5=82.5（分钟）
二： 100×（1.5－1）=50； （80×1.5－50）÷1=70（分钟）
80－70=10（分钟）；
（50×2－10×1.5×2）÷（1.5×2－1）=37.5（分钟） 37.5＋10=47.5（分钟）
6．有甲、乙两个容积相同的空立方体水箱，在它们的侧面上分别有排水孔A和B。A孔和B孔与底面的
距离分别是水箱高度的 和 ，且在排水时速度相同．现在以相同的速度一起向两水箱注水，并通过管道
使A孔排出的水直接流入乙箱，这样经过70分钟后，甲、乙两水箱恰好同时被注满．试问：如果以上述
的速度向乙箱注水，乙箱从空到满需要多少分钟？
解析：甲、乙两个水箱在注水到 之前，两个箱子的入睡速度一样；从 到 处是，乙水箱速度比甲慢；
到 时，乙开始恢复原来的速度，而甲的注水速度则为乙从 到 处的速度。两个箱子同时注满。所以，
乙从 到 的时间与 到满的时间相同，所以从0到 ：从 到 ：从 到满=3：2：2
所以：漏水速度为进水速度的 。
70÷（3＋2＋2）×（3＋3×2）= 90（分钟）7．有一个正方体水箱，在某个侧面相同高度的地方开有3个大小相同的出水孔，用一个进水管给空水箱
灌水．如果3个出水孔全关闭，需要30分钟将水箱注满；如果打开1个出水孔，需要多用2分钟将水箱
注满；如果打开2个出水孔，则需要35分钟将水箱注满．请问：当3个出水孔全开的时候，多少分钟可
以将水箱注满？
解析：
×32－1= ； ×35－1= ；
（ － ×2）÷（35－30－2）÷2= ； ÷ =12（分钟）
30＋2－12=20（分钟）；
20＋（30－20）× ÷（ － ×3）=40（分钟）
8．一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成 时离去，结果
恰好按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半；如果丙不来帮忙，仅由乙接替甲一直做下去，就会
比计划推迟 天完成；如果全由甲单独做，就会比计划提前 6天完成．已知乙的工作效率是丙的3倍．
请问：原计划工期是多少天？
× 3 = 10（天） （ － ）÷ 10 = 丙： ÷ 4 =
乙： × 3 = ÷ = 20（天）
甲：乙 = （20＋ ）：（20－6）= 5：3 甲： × =
1 ÷ ＋ 6 = 30（天）
