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专题 1.4 整式的乘法与因式分解全章知识典例详解
【人教版】
知识点1 幂的运算
1．同底数幂的乘法
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an= · = = ．
语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．
（m，n，…，p都是正整数）．
（2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）．
2．幂的乘方
（1）幂的乘方的意义：
幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个
am相乘，读作a的m次幂的n次方．
（2）幂的乘方法则：
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
．
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【拓展】
（1）幂的乘方的法则可推广为 （m，n，p都是正整数）．
（2）幂的乘方法则的逆用： （m，n都是正整数）．
3．积的乘方
（1）积的乘方的意义：
积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．
（积的乘方的意义）
=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）
=a3b3．
积的乘方法则：
一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
．
因此，我们有 ．
语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：
一般地，我们有 （a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【拓展】
（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，
例如： （a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．
（2）同底数幂的除法法则的逆用： （a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
5．零指数幂的性质
零指数幂的性质：
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另一
方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0．
于是规定：a0=1（a≠0）．
语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1．
【注意】
（1）底数a不等于0，若a=0，则零的零次幂没有意义．
（2）底数a可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．
（3）a0=1中，a≠0是极易忽略的问题，也易误认为a0=0．
【典例1】计算：
（1）10m×10m﹣1×100＝ ；（2）（x﹣y）6•（y﹣x）5＝ ；
（3）103× ＝1010；（4）a5• ＝a2•a12• ＝a18．
【典例2】（1）若9n•27n＝320，则n＝ ；
（2）若x+4y﹣3＝0，则2x•16y＝ ．
【典例3】已知2×53x+2﹣3×53x+1＝175，则x的值为 ．
【典例4】（1）已知a2m+1＝9，am+2＝5，则 a3m+3＝ ；
（2）若am＝b，bn＝4，则 a2mn＝ ；
（3）若2m+n•3m+n＝36m﹣n﹣1，则 m﹣3n＝ ．
【典例5】已知a2m＝2，b3n＝3，求（a3m）2﹣（b2n）3+a2m•b3n的值为 ．
【典例6】若3n＝2，3m＝5，则32m+3n+1＝ ．若am＝2，an＝6，则am+n＝ ；am﹣n＝ ．【典例7】若5x＝18，5y＝3，则5x﹣2y＝ ；若xn＝5，yn＝3，则（xy）2n＝ ；若2x+3y﹣4＝0，则
9x•27y的值为 ．
知识点2 整式的乘法
1．单项式与单项式相乘
法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的
字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．
（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．
（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．
【注意】
（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．
2．单项式与多项式相乘
法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．
【注意】
（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在
运算中是否漏乘某些项．
（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
3．多项式与多项式相乘
（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所
得的积相加．
（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的
每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
4．单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除
式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．
【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，
连同它的指数作为商的一个因式．
【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．
5．多项式除以单项式
多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得
的商相加．
【注意】
（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前
面的符号．
（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
2 2
【典例1】计算：(− a2b3 ) 3 ⋅(− ab) 3= ； •（﹣ab2）2＝﹣8a3b6．
3 3
【典例2】填空：
（1）（ ）•（x﹣1）＝﹣2x3y3+2x2y3；
（2）（﹣2x）•[x2+（ ）﹣1]＝﹣2x3+6x2+ ；
（3）（﹣2xy）2•（ ）＝8x4y2﹣12x3y3+16x2y4．
【典例3】多项式的积（x4﹣2x3+x﹣8x+1）（x2+2x﹣3）中x2项的系数是 ．
【典例4】若（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）的展开式中不含x3项，且x项的系数为﹣3，则a2+b的算术平方根
为
【典例5】（1）（a+2b）（a﹣b）＝ ；
（2）（3a﹣2）（2a+5）＝ ；
（3）（x﹣3）（3x﹣4）＝ ；
（4）（3x﹣y）（x+2y）＝ ．
【典例6】计算：（﹣x2y2﹣2xy）÷（﹣xy）＝ ；（﹣8mn+2﹣4m2）÷（﹣2m）2＝ ．
5
【典例7】若（﹣5a2m﹣3bn+4）÷（3am+2b5）=− a4b2，则m÷n＝ ．
3知识点3 乘法公式
1．平方差公式
（1）平方差公式
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公
式．
（2）平方差公式的特点
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
②右边是相同项的平方减去相反项的平方．
③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式
，
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公
式叫做（乘法的）完全平方公式．
（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边
都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2
倍，二者也仅有一个“符号”不同．
【典例1】若关于x的二次三项式4x2+（m﹣3）x+9是完全平方式，则m的值为 ．
【典例2】若m+n＝5，mn＝6，则m2﹣mn+n2的值是 ．
【典例3】若（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝5，则xy＝ ．
【典例4】计算：2（﹣a﹣b）（b﹣a）＝ ．
1 1 1
【典例5】若a4+ =11，那么（a− ）（a+ ）＝ ．
a4 a a
知识点4 因式分解
1．因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把
这个多项式分解因式．
【注意】
（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；
（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式
乘法是一种运算．
2．用提公因式法分解因式
（1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．
（2）怎样确定公因式（五看）：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；
五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．
（3）提公因式法的定义：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因
式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（4）提公因式法分解因式的一般步骤：
①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
②提公因式并确定另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
【注意】
（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．
（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．
（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．
3．用平方差公式分解因式
（1）平方差公式的等号两边互换位置，得
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
（2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；
②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．
4．用完全平方公式分解因式
（1）完全平方公式的等号两边互换位置，得，
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
（2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号
相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．
②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和
的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．
（3）公式法的定义：
如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有
特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
【典例1】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
1
A．3a−1=a(3− ) B．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2
a
C．x2+6x+10＝（x+3）2+1 D．m2﹣4m＝m（m﹣4）
【典例2】分别写出下列多项式的公因式：
（1）ax+ay： ；
（2）3x3y4+12x2y： ；
（3）25a3b2+15a2b﹣5a3b3： ；
1
（4） x3﹣2x2﹣xy： ．
4
【典例3】把下列各式分解因式：
①3（a+b）2﹣27c2
②16（x+y）2﹣25（x﹣y）2
③a2（a﹣b）+b2（b﹣a）
④（5m2+3n2）2﹣（3m2+5n2）2
【典例4】利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程）
（1）1242×25﹣25×762
（2）382+24×38+144．
【典例5】（1）已知x+5y＝6，求x2+5xy+30y的值．
（2）已知a+2b＝0，求a3+3a2b+2ab2的值．
【典例6】（1）已知x2+4x+y2﹣2y+5＝0，求x，y．
（2）a，b满足a（a+1）﹣（a2+2b）＝1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．（3）已知a2+b2＝5，a+b＝3，求（a﹣b）2．
（4）已知x2﹣y2＝20，求[（x﹣y）2+4xy][（x+y）2﹣4xy]的值．
