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专题 3.4 一元一次方程与动点问题
【例题精讲】
【例1】如图，数轴上的点 和点 分别表示0和10，点 是线段 上一动点．点 从点
出发沿 的方向以每秒2个单位的速度向 运动， 是线段 的中点，设点 运
动时间为 秒 不超过5秒）．若点 在运动过程中，当 时，则运动时间 的值为
A． B． C．3或7 D． 或
【例2】如图，已知线段 ．动点 从点 出发以每秒 的速度向点 运动，
同时动点 从点 出发以每秒 的速度向点 运动，有一个点到达终点时另一点也随之
停止运动．当 时，则运动时间 ．
【例3】已知 ，点 、 在数轴上对应的数分别是 、 ．
（1）求 、 的值，并在数轴上标出点 和点 ；
（2）若动点 从点 出发沿数轴正方向运动，点 的速度是每秒1个单位长度，求几秒
后点 与点 的距离是3个单位长度；
（3）在（2）的条件下，动点 同时以每秒2个单位长度的速度，从点 出发向数轴负方
向运动，求几秒后点 与点 的距离等于3个单位长度．【题组训练】
一．选择题（共7小题）
2．如图，已知数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，且 、 满足
．动点 从点 出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运
动，动点 从点 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
秒．若点 、 同时出发，当 、 两点相距4个单位长度时， 的值为
A．3 B．5 C．3或5 D．1或
3．如图，已知 ， 两点在数轴上，点 表示的数为 ， ，点 以每秒1个
单位长度的速度从点 向右运动．点 以每秒3个单位长度的速度从点 向左运动（点 、
点 同时出发）．经过几秒，点 、点 分别到原点 的距离相等？
A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或 秒 D． 秒
4．如图，数轴上点 和点 表示的数分别是 和4，动点 从 点以每秒 的速度匀
速向右移动，动点 同时从 点以每秒 的速度匀速向右移动．设移动时间为 秒，当动点 到原点的距离是动点 到原点的距离的2倍时， 的值为
A． B． C． 或 D． 或
5．如图所示，已知数轴上点 表示的数为8，点 表示的数为 ．动点 从点 出发，
以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点 从点 出发，以每秒3个单位长
度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 、 同时出发，点 运动 秒追上点 ．
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，已知正方形的边长为24厘米，甲，乙两动点分别从正方形 的顶点 ，
同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速
度为9厘米 秒，甲的速度为3厘米 秒，当它们运动了2022秒时，它们在正方形边上相遇
了
A．252次 B．253次 C．254次 D．255次
7．如图，数轴上的点 和点 表示的数分别是0和10， 是线段 上一动点．点 沿
以每秒2个单位长度的速度往返运动1次， 是线段 的中点，设点 运动
的时间为 秒 ．在点 运动的过程中，当 时，则点 运动的时间 的值为A． 或 B．3或7
C． 或 或 或 D．3或 或7或
二．填空题（共18小题）
8．数轴上 ， 两点表示的数分别为 ，2， 是射线 上的一个动点，以 为折点，
将数轴向左对折，点 的对应点落在数轴上的 处．
（1）当点 是线段 的中点时，线段 ．
（2）若 ，则点 表示的数是 ．
10．已知数轴上两点 、 对应的数分别为 与3．点 从 点出发，以每秒2个单位长
度的速度沿数轴的正方向匀速运动；同时点 从 点出发，以每秒1个单位长度沿数轴匀
速运动．设 、 两点的运动时间为 秒，当 时， ．
11．如图， 、 、 、 为直线 上的4个动点，其中 ， ．在直线
上，线段 以每秒2个单位的速度向左运动，同时线段 以每秒4个单位的速度向
右运动，则运动 秒时，点 到点 的距离与点 到点 的距离相等．
12．如图，已知 ， 两点在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为30，点
以每秒6个单位长度的速度从点 向右运动，点 以每秒2个单位长度的速度从点 向右
运动，其中点 、点 同时出发，经过 秒，点 、点 分别到原点 的距离
相等．
13．如图，已知 ， 两点在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为30．点以每秒4个单位长度的速度从点 向右移动，点 以每秒1个单位长度的速度从点 向右
运动，且点 ，点 同时出发，经过 秒，点 、点 分别到点 的距离相等．
14．已知线段 ，直线 上有一动点 从点 出发向右沿直线 运动，速度为
每秒 ，运动时间为 ，当 时， 的值为 ．
15．如图，在数轴上，点 ， 表示的数分别是 ，14．点 以每秒2个单位长度从
出发沿数轴向右运动，同时点 以每秒3个单位长度从点 出发沿数轴在 ， 之间往返
运动，设运动时间为 秒．当点 ， 之间的距离为8个单位长度时， 的值为
．
16．数轴上 、 两点对应的数分别为 、 ，则 、 两点之间的距离表示为：
．若数轴上 、 两点对应的数分别为 、 ，且满是 ．
（1）求得 、 两点之间的距离是 ；
（2）若 、 两点在数轴上运动，点 从 出发以2个单位长度 秒的速度向右匀速运动，
同时，点 从 出发以3个单位长度 秒的速度向左匀速运动．经过 秒， 、
两点相距5个单位长度．
17．已知数轴上三点 ， ， 对应的数分别为 ，0，3，点 为数轴上一点，其对应
的数为 ．如果点 以每分钟1个单位长度的速度从点 向左运动，同时点 和点 分别
以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设 分钟时点 到点
点 的距离相等，则 的值为 ．
18．如图，在数轴上点 是原点，点 、 、 表示的数分别是 、8、14．若点 从
点 出发以2个单位 秒的速度向右运动，其中由点 运动到点 期间速度变为原来的2
倍，之后立刻恢复原速，点 从点 出发，以1个单位 秒的速度向左运动，若点 、同时出发，则经过 秒后， 、 两点到点 的距离相等．
19．如图，已知 ， 两点在数轴上，点 表示的数是 ， ，动点 从点 出
发，以每秒1个单位的速度沿线段 向终点 运动，同时，另一个动点 从点 出发，
以每秒3个单位的速度在线段 上来回运动（从点 向点 运动，到达点 后，立即原
速返回，再次到达 点后立即掉头向点 运动，掉头时间忽略不计）．当点 达到点 时，
、 两点都停止运动．当点 运动 秒时，点 恰好落在线段 的中点上．
20．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形 的顶点 、 同时
沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是
甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边 上．
21．如图，在直线 上顺次取 ， ， 三点，使得 ， ，取线段
的中点 ．若动点 从点 出发以 的速度沿射线 方向运动，设运动时间为 ，
当 时， 的值为 ．
22．如图，数轴上 ， 两点对应的数分别为10， ，点 和点 同时从原点出发，点
以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点 以每秒3个单位长度的速度先沿数轴负方向运动，到达 点后再沿数轴正方向运动，当点 到达点 后，两个点同时结束运
动．设运动时间为 秒，当 ， 两点距离为2个单位长度时， 的值为 ．
23．已知数轴上两点 ， 对应的数分别是 和2， 从 出发以每秒2个单位长度的速
度向左运动， 从 出发以每秒6个单位长度的速度向左运动．假设点 ， 同时出发，
经过 秒后， ， 之间的距离为2个单位．
24．已知点 、 在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为15．动点 从点 出
发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向匀速移动，则点 移动 秒后，
．
25．如图①，点 在线段 上，图中共有三条线段；线段 ，线段 ，线段 ，若
其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点 为线段 的“奇分点”．若
，如图②，点 从点 开始以每秒 的速度向 运动，当点 到达 点时
停止运动，运动的时间为 秒．当 秒， 是线段 的“奇分点”（写出一种
情况即可），如果同时点 从点 的位置开始以每秒 的速度向点 运动，如图③所示，
并与 点同时停止，则当 秒， 是线段 的“奇分点”．三．解答题（共15小题）
27．已知数轴上两点 ， 对应的数分别为 和4，点 为数轴上一动点，若规定点 到
的距离是点 到 的距离的3倍时，我们就称点 是关于 的“好点”．
（1）若点 到点 的距离等于点 到点 的距离时，点 表示的数是 ；
（2）①若点 运动到原点 时，此时点 关于 的“好点”（填是或者不
是）；
②若点 以每秒1个单位的速度从原点 开始向右运动，当点 是关于 的“好点”
时，点 的运动时间 ；
（3）若点 在原点的左边（即点 对应的数为负数），且点 ， ， 中，其中有一个
点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点 表示的数
．28．在数轴上有 ， 两点，点 表示的数为 ．对点 给出如下定义：当 时，将点
向右移动2个单位长度，得到点 ；当 时，将点 向左移动 个单位长度，得到
点 ．称点 为点 关于点 的“联动点”．如图，点 表示的数为 ．
（1）在图中画出当 时，点 关于点 的“联动点” ；
（2）点 从数轴上表示 的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点 从数轴上
表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为 秒．
①点 表示的数为 （用含 的式子表示）；
②是否存在 ，使得此时点 关于点 的“联动点” 恰好与原点重合？若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由．29．在数轴上点 表示 ，点 表示 ，且 、 满足 ．
（1）求 ， 的值，并计算点 与点 之间的距离．
（2）若动点 从 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒
后，点 到达 点？
（3）若动点 从 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点
从 点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后， 、 两
点间的距离为4个单位长度？30．【概念学习】
点 ， ， 为数轴上的三点，如果点 到 的距离是点 到 的距离的2倍，那么我们
就称点 是 、 的偶点．
如图1，点 表示的数为 ，点 表示的数为1，表示0的点 到点 的距离是2，到点
的距离是1，那么点 是 、 的偶点；表示 的点 到点 的距离是1，到点 的
距离是2，那么点 就不是 、 的偶点，但点 是 、 的偶点．
【初步探究】
已知如图2， ， 为数轴上两点，点 表示的数为 ，点 表示的数为5，若点 是
、 的偶点，回答下列问题：
（1）当 在点 ， 之间，点 表示的数为 ；
（2）当 为数轴上一点，点 表示的数为 ．
【深入思考】
如图3， 、 为数轴上两点，点 表示的数为 ，点 表示的数为40，现有一个动点
从点 出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点 停止．若运动时间为 ，求当
为何值时， ， ， 中恰有一个点为其余两点的偶点？31．如图1，点 把线段 分成两条线段 和 ，如果 时，则称点 是线
段 的内二倍分割点；
如图2，如果 时，则称点 是线段 的内二倍分割点．
例如：如图3，数轴上，点 、 、 、 分别表示数 、2、1、0，则点 是线段
的内二倍分割点；点 是线段 内二倍分割点．
（1）如图4， 、 为数轴上两点，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为7．
的内二倍分割点表示的数是 ； 的内二倍分割点表示的数是 ．
（2）如图5，数轴上，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为20．点 从点 出发
以2个单位每秒的速度沿
数轴向左运动，设运动时间为 秒．
①线段 的长为 ；（用含 的式子表示）
②求当 为何值时， 、 、 三个点中恰有一个点为其余两点的内二倍分割点．32．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动 到达 点，再向右移动 到达
点，然后再向右移动 到达 点，数轴上一个单位长度表示 ．
（1）请你在数轴上表示出 ， ， 三点的位置；
（2）把点 到点 的距离记为 ，则 ．
（3）若点 沿数轴以每秒 匀速向右运动，经过多少秒后点 到点 的距离为 ？
（4）若点 以每秒 的速度匀速向左移动，同时点 、点 分别以每秒 、 的速
度匀速向右移动．设移动时间为 秒，试探索： 的值是否会随着 的变化而改变？
若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出 的值．33．如图，已知数轴上的点 ， 对应的数分别是 和1．
（1）若 到点 ， 的距离相等，求点 对应的数；
（2）动点 从点 出发，以2个长度单位 秒的速度向右运动，设运动时间为 秒，问：
是否存在某个时刻 ，恰好使得点 到点 的距离是点 到点 的距离的2倍？若存在，
请求出 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若动点 从点 出发向点 运动，同时，动点 从点 出发向点 运动，经过2秒
相遇；若动点 从点 出发向点 运动，同时，动点 从点 出发与点 同向运动，经过
6秒相遇，试求 点与 点的运动速度（长度单位 秒）．34．数轴上 、 两点对应的数分别是 、12，线段 在数轴上运动，点 在点 的左
边，且 ，点 是 的中点．
（1）如图 1，当线段 运动到点 、 均在 、 之间时，若 ，则
， ， ；
（2）当线段 运动到点 在 、 之间时，求 与 的数量关系；
（3）当点 运动到数轴上表示数 的位置时，动点 从点 出发，以每秒3个单位长度
的速度向右运动，抵达 后，立即以同样速度返回，同时点 从 出发，以每秒1个单位
长度的速度向终点 运动，设它们运动的时间为 秒 ，求 为何值时， 、 两点间
的距离为1个单位长度．35．如图， 、 分别为数轴上的两点， 点对应的数为 ， 点对应的数为100．
（1）请写出与 、 两点距离相等的点 所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁 从 点出发，以6单位 秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂
蚁 恰好从 点出发，以4单位 秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的 点相
遇，你知道 点对应的数是多少吗？（写出计算过程）
（3）在题（2）中，若运动 秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出 的值．36．【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具．利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现
了许多重要的规律：数轴上 点、 点表示的数为 、 ，则 ， 两点之间的距离
，若 ，则可简化为 ；线段 的中点 表示的数为 ．
【问题情境】
已知数轴上有 、 两点，分别表示的数为 ，8，点 以每秒3个单位的速度沿数轴向
右匀速运动，点 以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为 秒 ．
【综合运用】
（1）运动开始前， 、 两点的距离为 ；线段 的中点 所表示的数
．
（2）点 运动 秒后所在位置的点表示的数为 ；点 运动 秒后所在位置的点表
示的数为 ；（用含 的式子表示）
（3）它们按上述方式运动， 、 两点经过多少秒会相距4个单位长度？
（4）若 ， 按上述方式继续运动下去，线段 的中点 能否与原点重合？若能，求
出运动时间，并直接写出中点 的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当 ，
两点重合，则中点 也与 ， 两点重合）．37．如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为8，点 从点 出发，以每秒3个
单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度
向左匀速运动．设运动时间为 秒 ．
（1）填空： 秒后，点 表示的数为 ；点 表示的数为 ．
（2）求当 为何值时， ；
（3）当点 运动到点 的右侧时，点 是线段 上靠近于点 的四等分点，点 为线
段 上靠近于点 的三等分点，求 的值．38 ． 已 知 数 轴 上 ， ， 三 个 点 表 示 的 数 分 别 是 ， ， ， 且 满 足
，动点 、 都从点 出发，且点 以每秒1个单位长度的速
度向终点 移动．
（1）求 ， ， 的值；
（2）若 为 的中点， 为 的中点，试判断在 点运动的过程中，线段 的长度
是否发生变化，请说明理由；
（3）当点 运动到点 时，点 再从点 出发，以每秒3个单位长度的速度在 ， 之
间往返运动，直至 点停止运动， 点也停止运动．问 点开始运动后的第几秒， ，
两点之间的距离为2？请说明理由．39．材料：在学习绝对值时，我们知道了 表示5和3在数轴上对应的两点之间的距
离；又如 ，所以 表示5和 在数轴上对应的两点之间的距离．
若点 ，点 在数轴上分别表示数 和数 ，则点 ，点 之间的距离可表示为 ．
根据材料内容，完成下面问题：
已知数轴上三点 ， ， 对应的数分别为 ，0，4，点 为数轴上任意一点，其表示
的数为 ．
（1）如果点 ，点 之间的距离等于1，那么 ；
（2）如果 ，那么 ；
（3）若点 表示的数是 ，现在有一蚂蚁从点 出发，以每秒1个单位长度的速度向右
运动时，经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点 ，点 的距离之和是8．40．如图，在数轴上，点 对应原点，点 在原点的左侧，对应的数是 ；点 在原点的
右侧，对应的数是 ，并且 ．
（1） ； ．
（2） ， 是数轴上的两个动点，点 从点 出发，同时点 从点 出发，点 的速度
大于点 的速度．若两点同向运动，经过3秒相遇；若两点相向而行，经过1秒相遇，
① ， 两点的速度分别是多少？
②若点 相向而行，且点 运动到点 后原速返回，经过几秒钟，点 ， 第二次相遇？
（3）在（2）的条件下，当点 ， 沿数轴同向运动时，经过几秒钟，相距9个单位长度？
