文档内容
【赢在中考·黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷
（惠州专用）
第五模拟
（本卷满分120分，考试时间为90分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中只
有一个选项是最符合题意的）
1．若 的倒数是 ,那么它的相反数是( )
A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】 的倒数是 ，则 =3,3的相反数为-3，故选B
2．下列四幅图案，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻
找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2·a3=a6 B．(a2)3= a5 C． D．
【答案】D
【详解】试题解析：A. a2·a3=a5，故原选项错误；
B. (a2)3= a6，故原选项错误；
C. 4，故原选项错误；
D. ，正确.
故选D.
4．如图，大正方体上面正中间放置小正方体，小正方体6个表面写了数字1到6，且
所相对面两个数字之和都是7，则这个几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三视图的判断方法判断即可，根据数字之和等于7可得到结果；
【详解】由图可知，左视图是线面一个大正方形，上面一个小正方形，
再根据相对面的数字之和等于7可得，小正方形上面的数字是4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了简单组合图形的三视图，准确判断出数字是解题的关键．
5．从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率
是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【详解】试题解析：1到100的数中，是3的倍数的有33个，所以随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是 ．
故选A．
考点：概率公式．
6．把不等式组 的解集在数轴上表示出来,正确的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式组取解集的方法找出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】
由①得：x＜3，
则不等式组的解集为-2≤x＜3，
表示在数轴上，如图所示：
．
故选A．
【点睛】考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，把每个不等
式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分
成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这
段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆
点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．如图，快艇从 地出发，要到距离 地10海里的 地去，先沿北偏东70°方向走了
8海里，到达 地，然后再从 地走了6海里到达 地，此时快艇位于 地的（ ）．A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
【答案】B
【分析】先根据勾股定理的逆定理得出∠ABC=90°，根据平行线的性质可得：
∠ABE=110°，根据角的和差可得∠CBE=110°－90°=20°，继而即可得出结论．
【详解】解：∵ AC=10海里，AB=8海里，BC=6海里，
根据勾股定理的逆定理可知 ，
∴∠ABC=90°，
∵∠DAB=70°，AD∥BE，
∴∠ABE=110°，
则∠CBE=110°－90°=20°，即点C在点B的北偏西20°方向上．
故选B
【点睛】本题主要考查勾股定理、平行线的性质、角的和差，解题的关键的利用勾股
定理的逆定理求出∠ABC=90°．
8．若 ，则a、b的值分别为（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】先将方程左边展开，再根据对应项系数相等即可求解．
【详解】解：∵
x2+3x-4=x2+ax+b，
∴a=3，b=-4，
故选：B．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关
键．
9．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形
纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按
如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【分析】设大正方形的边长为 a ，小正方形的边长为 b ，利用图1得到一个 a 与 b
关系式，再利用图2得到一个 a 与 b 关系式，即可求出 a 和 b ，然后再求图3阴
影面积即可.
【详解】图1中重叠部分的为正方形且其面积为4，∴重叠部分的边长为2，
设大正方形边长为a，小正方形的边长为b，∴a-b+2=b，
如图2，阴影部分面积=a2-2b2+(b- )2=44，解得：b=6，∴a=10，
如图3，两个小正方形重叠部分的面积= =12．
故答案为：B．
【点睛】此题考查的是代数式的运算，正方形的性质，解一元二次方程，找到每个图
中的等量关系式是解决此题的关键.
10．如图，二次函数 （a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于
C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b=0；
②4a－2b＋c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：∵对称轴为x=1，∴ ， ， ．故结论①正确，
符合题意．∵点B坐标为（－1，0），∴当x=－2时，4a－2b＋c＜0，故结论②正确，符合题意．
∵图象开口向下，∴a＜0．
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0．
∴ac＜0，故结论③错误，不符合题意．
∵对称轴为x=1，点B坐标为（－1，0），
∴A点坐标为：（3，0）．
∴当y＜0时，x＜－1或x＞3．故结论④错误，不符合题意．
故选B．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．华为自主研发的麒麟9000L型芯片，要求晶体管栅极的宽度为0.000 000 005毫米，
将数据0.000 000 005用科学记数法表示为___________．
【答案】5×10-9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较
大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零
的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000 000 005=5×10-9．
故答案为：5×10-9．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．方程 的解是________．
【答案】x=1
【详解】 ，
∴x+2=3x，
∴x=1，
检验：当x=1时，x（x+2）≠0，
∴原方程的解为x=1．
故答案为x=1．
13．如图，已知 中， ， ， ，则经过 ， ， 三点的 的长度为______．
【答案】
【分析】设 的所在圆的圆心为O，连接CO，并延长交⊙O于D，连接AO、BO、
AD、BD，求出∠ACB的度数，求出 所对的圆心角的度数，根据圆周角定理得出
∠BDC=45°，求出BD=BC=2，根据勾股定理求出CD，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】设 的所在圆的圆心为O，连接CO，并延长交⊙O于D，连接AO、BO、
AD、BD，如图，
∵∠ABC=35°，∠BAC=45°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=100°，
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，
∴∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=80°，
∴∠AOB=2∠ADB=160°，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°，
∵∠CDB=∠BAC=45°，
∴∠BCD=45°=∠CDB，
∴BD=BC=2，
由勾股定理得： ，∴⊙O的半径为 ，
∴ 的长度是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，圆内接四边形的性质，三角形内角和定
理，勾股定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中， ， ，线段 由线段 绕点A顺时针
旋转 而得，则 所在直线的解析式是______．
【答案】 ##
【分析】过点C作 轴于点D，易知 ，从而求得点C坐标，
待定系数法即可求得直线 的解析式．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
过点C作 轴于点D，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，将点A，点C坐标代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，利用
全等三角形求得C的坐标是解题的关键．
15．若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程 的根，则这个等腰三
角形的周长是_____．
【答案】6或16或21
【分析】先利用因式分解法解方程得到x=7，x=2，利用三角形三边的关系和等腰三
1 2
角形的性质的等腰三角形的边长为7、7、7或7、7、2或2、2、2，然后计算三角形的
周长．
【详解】解： ，
x2-9x+14=0，
（x-7）（x-2）=0，
x-7=0或x-2=0，
所以x=7，x=2，
1 2
∵等腰三角形的每条边长都是一元二次方程x2-7x+10=0的根，
∴等腰三角形的边长为7、7、7或7、7、2或2、2、2，
∴这个三角形的周长为6或16或21．
故答案为：6或16或21．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出
方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了等
腰三角形的性质和三角形三边的关系．
16．如图，在 中， ， 是 上一点且 ，当________ 时，使得 与 相似．
【答案】 或1.5
【分析】ΔADE与 ΔABC相似有两种情况，针对每一种情况，有对应边成比例，据此
可列出等式求得AE的值．
【详解】解：分两种情况：
第一种情况：如图，过D作DE||AC于点E，
则 ；
第二种情况：如图，ΔADE ΔACB
则
故答案为 ．
【点睛】本题考查三角形相似的判定，找出对应三角形相似的两种情况是解题关键．
17．图，在 中， 平分 交 于点D，以为直径作 ，分别交 于点E，F，连接 .则 ___________度；若
，则 的长为___________.
【答案】
【分析】根据角平分线定义求得 ，再根据圆周角定理和直角三角形的两
锐角互余可求解 的度数；易证 、 是等腰直角三角形，进而根据等
腰直角三角形的性质和勾股定理分别求 、 、 、 、 、 即可.
【详解】解：∵ 在 中， 平分 ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ；
连接 ，过 作 于 ，则 ，
∵ ， ，
∴ 、 是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴
在 中， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线
的定义等知识，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质是解答的关键．
三、解答题（共3小题，每小题6分，共18分）
18．本题满分7分．
计算： +|2 -3|-（ ）-1-（2015 + ）0
【答案】-1
【详解】试题分析：根据二次根式的化简，绝对值，负指数幂的性质 ，
零指数 可计算求解．
试题解析：原式=2 +3-2 -3-1
=-1
考点：实数的运算
19．为了倡导“节约用水，从我做起”，南沙区政府决定对区直属机关 户家庭的
用水情况作一次调查，区政府调查小组随机抽查了其中 户家庭一年的月平均用水量
（单位：吨），调查中发现每户用水量均在 吨/月范围，并将调查结果制成了如
图所示的条形统计图．(1)请将条形统计图补充完整；
(2)这 户家庭月用水量的平均数是______，众数是______，中位数是______；
(3)根据样本数据，估计南沙区直属机关 户家庭中月平均用水量不超过 吨的约有
多少户？
【答案】(1)见解析
(2) ， ，
(3)210户
【分析】（1）利用总户数减去其他的即可得出答案，再补全即可；
（2）利用众数，中位数以及平均数的公式进行计算即可；
（3）根据样本中不超过 吨的户数，再估计 户家庭中月平均用水量不超过 吨的
户数即可．
（1）
解：根据条形图可得出：
平均用水11吨的用户为：50－10－5－10－5＝20（户），
如图所示：（2）
解：这 个样本数据的平均数＝ (10×10+20×11+5×12+10×13+5×14)＝ ，
11吨的用户最多，有20户，所以众数是 ，
把这50个数据按从小到大排列第25、26个数都是11，所以中位数是 ＝ ；
故答案为： ， ， ；
（3）
解：样本中不超过12吨的有10＋20＋5＝35（户），
∴广州市直机关300户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：300× ＝210（户）．
答：估计南沙区直属机关 户家庭中月平均用水量不超过 吨的约有210户．
【点睛】本题考查了读统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取
信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考
查了众数、中位数的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中
间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注
意众数可以不止一个．
20．瑞士著名数学家欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，我们现在可以见到很多
以欧拉来命名的常数、公式、定理，在分式中，就有这样一个欧拉公式：若 ， ，
是两两不同的数，称 为欧拉分式，
（1）请代入合适的值，并猜想：若 ， ， 是两两不同的数，则 ______；
（2）证明你的猜想；
（3）若 ， ， 是两两不同的数，试求
的值．
【答案】（1）0；（2）见解析；（3）1
【分析】利用分式的基本性质进行通分化简运算.
【详解】(1)当a=1,b=2,c=3时
，
P=0（2）
．
（3）原式
．
【点睛】本题主要考查分式的基本运算，熟练掌握分式的通分、约分、化简求值是解
决该问题的关键.
四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
21．已知，如图，在 中， ，点 分别是 上的点，且 ，
， ，若 73°， 35°，求 的度数.
【答案】∠AED=53°.
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=35°，根据勾股定理的逆定理得到
∠ADE=90°，根据三角形的内角和得到∠ADB=72°，进而根据平角的定义得到
∠EDC=18°，再根据三角形外角的性质得到∠AED的度数．
【详解】∵ ， 35°，
∴ 35°；
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， 90°；
又∵ 180°， 73°，∴ 180°-73°-35°=72°；
又∵ 180°，
∴ 180°-72°-90°=18°；
∴ 18°+35°=53°.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性
质，熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键．
22．如图，A、B两点在函数 的图象上．
（1）求 的值及直线AB的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数
的图象与直线AB围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．
【答案】（1）m=5，y=－x＋6；（2）（2，3），（3，2）
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）分别将x=2或3或4，代入y=-x+6和y= 两个函数解析式中，求出对应的纵坐标，
再根据围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．
【详解】解：（1）由图可知，A（1，5），B（5，1），
将A（1，5）代入y= 中，得m=5，
∴y= ，
设直线AB的解析式为y=kx+b，得：
，
解得， ，∴直线AB的解析式为y=-x+6；
（2）由题意，得：1＜x＜5，
∴x=2或3或4，
分别代入y=-x+6和y= 两个函数解析式中，满足条件的格点坐标是（2，3），（3，
2）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，横纵坐标都为整
数的格点的坐标确定方法，要注意不包括边界的条件．
23．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路
在事故易发路段设置了区间测速，如图新建的醴陵320国道（用直线l表示），进入株
洲城区的AB路段设有区间测速，所有车辆限速60千米/小时（约为16.7米/秒），数
学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．
在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC＝40米，∠APC＝71°，∠BPC＝
35°．
（1）求AB的长；
（2）若上午9时测得一汽车从点A到点B用时5.5秒，请你用所学的数学知识说明该
车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，
cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
【答案】（1）AB的长约为88米；（2）该车没有超速，见解析
【分析】（1）由三角函数定义求出AC、BC，即可得出答案；
（2）求出该汽车的速度，即可得出结论．
【详解】解：（1）在Rt△APC中，∠APC＝71°，
∵tan∠APC＝tan71°＝ ≈2.90，
∴AC≈40×2.90＝116（米），
在Rt△BPC中，∠BPC＝35°，
∵tan∠BPC＝ tan35°＝≈0.70，
∴BC≈40×0.70＝28（米）
∴AB＝AC﹣BC＝116﹣28＝88 （米）；答：AB的长约为88米；
（2）该汽车的速度约为： ＝16m/s＜16.7m/s，
∴该车没有超速．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，解此题的关键是将实际问题抽象
为数学问题，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．
五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB
同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，BD交于点P．
(1)观察猜想：
1.AE与BD的数量关系为______；
2.∠APD的度数为______；
(2)数学思考：
如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给
予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
【答案】(1)①AE＝BD；②60°
(2)上述结论成立．∠APD＝60°，证明见解析
【分析】（1）根据已知条件只要证明△DCB≌△ACE，即可证明出AE于BD的数量关
系，以及∠APD的角度；
（2）根据△ACD，△BCE均为等边三角形，可知＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝
60°，进而可知∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，从而可证
△DCB≌△ACE（SAS），则DB＝AE， ∠CDB＝∠CAE，根据∠DCA＝∠DPA＝60°可
证∠APD＝60°．
【详解】（1）解：∵△ACD和△CBE都是等边三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠DCB=∠DCE＋∠ECB，
∴∠DCB=∠ACE，∴△DCB≌△ACE，
∴AE=BD，∠BDC=∠CAE，
又∵∠DOP=∠COA，
∴∠APD=∠ACD=60°，
故答案是：AE=BD，60°；
（2）上述结论成立，
∵△ACD，△BCE均为等边三角形，
∴DC＝AC，BC＝EC，∠DCA＝∠BCE＝60°，
∴∠DCA＋∠ACB＝∠ACB＋∠BCE，即∠DCB＝∠ACE，
在△DCB和△ACE中， ，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴DB＝AE，
∠CDB＝∠CAE，
如图，设BD与AC交于点O，易知∠DOC＝∠AOP（对顶角相等），
∴∠CDB＋∠DCA＝∠CAE＋∠DPA，
∴∠DCA＝∠DPA＝60°，即∠APD＝60°．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，能够熟练掌握全等
三角形的性质与判定是解决本题的关键．
25．如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，对称轴为 ，直
线 （ ）分别交抛物线于点 ， （点 在点 的左边），直线 分别交 轴、 轴于点 ， ，交抛物线 轴右侧部分于点 ，交 于点 ，且
．
(1)求抛物线及直线 的函数表达式；
(2)若 为直线 下方抛物线上的一个动点，连接 ， ，求当 面积最大时，
点 的坐标及 面积的最大值；
(3)求 的值．
【答案】(1) ；
(2)点 的坐标为 时， 面积有最大值为
(3)2
【分析】（1）先根据点C的坐标，确定c的值，根据抛物线的对称轴为 ，得出b
的值，即可得出抛物线的解析式；根据 ，得出点D的坐标，利用待定系数法
即可得出一次函数的解析式；
（2）过点 作 轴交 于点 ，联立 ，求出点F的横坐标，
设点 ，则点 ，则 ，即可表示出
，求出结果即可；
（3）分别过点A， ， 作 ， ， 垂直 轴于点 ， ， ，设点 ，，则 ， ，联立 得 ，根据
根与系数的关系得出 ， ，联立 ，得出 ，
根据 ，即可得出结果．
(1)
解：∵ ，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的函数表达式为： ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的函数表达式为 ．
(2)
过点 作 轴交 于点 ，如图所示：
联立 ，解得 ， ，
∴点 的横坐标为 ，设点 ，
则点 ，
∴当 时，即点 的坐标为 时， 面积有最大值为 ．
(3)
分别过点A， ， 作 ， ， 垂直 轴于点 ， ， ，
设点 ， ，则 ， ，
联立 得 ，∴ ， ，
联立 得 ，即 ，
∵ 轴， 轴， 轴，
∴ ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，待定系数法求抛物线关系式，求一次
函数解析式，根与系数的关系，作出相应辅助线，熟练掌握二次函数的性质，是解题
的关键．
