文档内容
【赢在中考·黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷
（惠州专用）
第一模拟
（本卷满分120分，考试时间为90分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中只
有一个选项是最符合题意的）
1．﹣2.5的相反数是（ ）
A．2.5 B．﹣2.5 C． D．﹣
【答案】A
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：﹣2.5的相反数是2.5，
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的意义是解决本题的关键．
2．2010年5月1日至2010年10月31日期间在上海举行的世界博览会总投资约450亿
元人民币，其中“450亿”用科学记数法表示为（ ）元
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： ，故选A.
3．剪纸是中国民间流行的一种历史悠久的镂空艺术．剪纸的工具材料简便普及，技法
易于掌握，有着其他艺术门类不可替代的特性，因而，这一艺术形式从古到今，几乎
遍及我国的城镇乡村，深得人民群众的喜爱．下列剪纸图案是轴对称图形的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．
【详解】A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．从小到大的一组数据－1，1，2，x，6，8的中位数为2，则这组数据的众数和平均
数分别是（ ）
A．2，4 B．2，3 C．1，4 D．1，3
【答案】B
【分析】先利用中位数的定义求出x的值，再根据众数的定义和平均数的公式，即可
求出这组数据的众数和平均数．
【详解】解：∵一组数据－1，1，2，x，6，8的中位数为2，
∴x＝2×2－2＝2，
2出现的次数最多，故这组数据的众数是2，
这组数据的平均数是 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了众数，平均数及中位数，解题的关键是将一组数据按照从小
到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是
这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组
数据的中位数．
5．已知 ，则代数式 的值是（ ）
A．3 B．2 C．5 D．7
【答案】D
【分析】先将原式 变形为 ，再代入计算即可．
【详解】解： 可变形为 ，
∵
∴原式 ．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是求代数式的值，将所求代数式进行正确的变形是解此题
的关键．6．正六边形的一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用多边形的内角和公式（n-2）×180计算出六边形的内角和，然后再除以6
即可．
【详解】解：由题意得：（6-2）×180÷6=120°，
故选C．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形内角和公式．
7．如图， ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，直线AE是⊙O的切线，CD平分
∠ACB，若△∠CAE=21°，则∠BFC的度数为（ ）
A．66° B．111° C．114° D．119°
【答案】C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角以及角平分线的定义求得∠ACD的度数．根据
切线的性质可得出∠BAE的度数，从而可得出∠BAC的度数．最后在△ACF中，利用
三角形的外角的性质求解即可．
【详解】解：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD= ∠ACB=45°．
∵直线AE是⊙O的切线，AB是圆的直径，
∴∠BAE=90°，即∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠BAC=90°-∠CAE=90°-21°=69°，
∴∠BFC=∠BAC+∠ACD=69°+45°=114°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，切线的性质定理以及三角形的外角的性质等
知识，掌握基本性质是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分
∠ACB，若BE=2，则AE的长为（ ）A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】解：∵BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D
∴BE＝CE，∠BDE＝∠CDE＝
∴∠B＝∠ECD，
又∵∠B=30°，BE=2
∴∠ECD=30°，CE=2，DE= =1
又∵CE平分∠ACB
∴∠ECD＝∠ACE＝30°
∴∠ACB＝60°
又∵在△ABC中，∠B=30°
∴∠BAC＝90°
在Rt△ACE，CE＝2，∠ACE＝30°
∴AE＝ ＝1；
故选B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形性质，
解题的关键是正确的运算，合理的推理．
9．如图，方格纸中小正方形的边长为1， 的三个顶点都在小正方形的格点上，
下列结论：① 的形状是等腰三角形；② 的周长是 ；③点C到
边的距离是 ；④ 的值为2，正确的个数为（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出AC、BC、AB长，即可判断①和②，求出AC边上的高，
根据三角形面积公式即可判断③；由③根据正切函数的意义可以判断④．
【详解】∵由勾股定理得：
AB= ，AC= ，BC= ，
∴AB=BC，
∴△ABC的形状是等腰三角形，∴①正确；
由①可得△ABC的周长是2 ，∴②错误；
过B作BN⊥AC于点N，
由①可得：AN=CN= AC= ，∠BNC=90°，
∴由勾股定理可得：BN= ，
∴△ABC的面积是 ，
设C到AB的距离是h，
由三角形面积公式得： ，
∴h= ，∴③错误；由上可得 = ，∴④正确；
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定和性质、利用勾
股定理求出直角三角形的边长、正切函数的意义等是解题关键．
10．如图，在矩形ABCD中， ， ，连接AC，以对角线AC为边，按逆时
针方向作矩形 ，使矩形 矩形ADCB；再连接 ，以对角线 为边，
按逆时针方向作矩形 ，使矩形 矩形 ，…，按照此规律作下
去，则边 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC， ， 的长，从而可发现规律，
根据规律即可求得 ．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ， ，
∴ ，
∴ ．
∵按逆时针方向作矩形ADCB的相似矩形 ，
∴矩形 的边长和矩形ADCB的边长的比为 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
依此类推， ．
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能
根据求出的结果得出规律．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．分解因式：4a2﹣a＝_______．
【答案】
【分析】提公因式 ，将式子化简到不能再因式分解即可．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】本题考查分解因式，先提公因式，再利用平方差或完全平方公式等进行因式
分解，直到不能再分解因式．
12．若 ，则 的值是__________．
【答案】2
【分析】首先根据绝对值非负性，求解出 和 的值，然后代入即可得解.
【详解】由已知，得
∴
故答案为2.
【点睛】此题主要考查绝对值非负性的运用，熟练掌握，即可解题.
13．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘停止后，指针落在阴影区域的概率为
________．【答案】
【分析】用阴影区域的圆心角度数除以周角度数即可得．
【详解】解：针落在阴影区域的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果
数÷所有可能出现的结果数．
14．在Rt△ABC中， ， ，则 _____________．
【答案】300
【分析】已知∠C=90°，AB=10，根据勾股定理可得 ，可求得
=100，然后可求出 的值．
【详解】解：∵∠C=90°，AB=10，
∴ =100，
∴ =300，
故答案是：300．
【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的
平方和等于斜边的平方．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝AE．则∠EDC
的度数为_____．
【答案】15°【分析】由∠BAC=90°，AB=AC，可知△ABC为等腰直角三角形，即∠B=45°，
∠BAC=90°，已知∠BAD=30°，得∠DAE=90°-30°=60°，又AD=AE，则△ADE为等边
三角形，∠ADE=60°，由外角的性质可求∠EDC的度数．
【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝45°，
又∵∠BAD＝30°，
∴∠DAE＝90°﹣30°＝60°，
而AD＝AE，∴△ADE为等边三角形，则∠ADE＝60°，
又∵∠EDC+∠ADE＝∠B+∠BAD（外角定理），
即∠EDC＝45°+30°﹣60°＝15°．
故答案为15°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是根据等边三角形的判定与性质以及外
角定理解题．
16．如图，四边形ABCD为矩形，E为对角线AC的中点，A、B在x轴上．若函数y =
(x )的图像过D、E两点，则矩形ABCD的面积为_______________
【答案】8
【分析】过 作 于 ，由三角形中位线定理可得 ，设点 的横坐
标为 ， 点坐标为 ，得出 ，即可得出 ，根据图象上的坐标特
征得出 的横坐标为 ，继而得出 ，然后根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】解：过 作 于 ，
点 是矩形 对角线的交点，
，
是 的中位线，，
设点 的横坐标为 ，且点 在反比例函数 上，
点坐标为 ，
，
，
，
，
，
矩形 的面积 ，
故答案为：8．
【点睛】主要考查了反比例函数 中 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线
段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 的关系即 ．
17．如图，抛物线 交 轴于 、 两点( 在 的左侧)，交 轴于点 ，点
是线段 的中点，点 是线段 上一个动点， 沿 折叠得 ，则线
段 的最小值是_____．【答案】 ##
【分析】先根据抛物线解析式求出点 ， ， 坐标，从而得出 ， ， ，再
根据勾股定理求出 的长度，然后根据翻折的性质得出 在以 为圆心， 为半径的圆弧上运
动，当 ， ， 在同一直线上时， 最小；过点 作 ，垂足为 ，由中位线定理得
出 ， 的长，然后由勾股定理求出 ，从而得出结论．
【详解】解：令 ，则 ，
解得 ， ，
， ，
， ，
令 ，则 ，
，
，
，
为 中点，
，
由 沿 折叠所得，
，
在以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，
当 ， ， 在同一直线上时， 最小，过点 作 ，垂足为 ，
， ，
，
，
又 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等
知识，关键是根据抛物线的性质求出 ， ， 的坐标．
三、解答题（共3小题，每小题6分，共18分）
18．解不等式组 ，并写出其所有的整数解．
【答案】 ，不等式的所有整数解为 、 、
【分析】首先解不等式组，然后从中找出所有的整数解即可．
【详解】解：解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以原不等式组的解集为 ，
故此不等式的所有整数解为 、 、 ．
【点睛】本题主要考查解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
19．为了了解某小学某年级500名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的
频数分布直方图，图中的a，b满足关系式 ．由于保存不当，部分原始数据模
糊不清，但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件，回答下列问题．
(1)求出a、b的值；
(2)如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校
该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少？
【答案】(1)
(2)100人
【分析】（1）根据表格所给数据先求出50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，
再根据a+b=20，2a=3b，即可求出a和b的值；
（2）利用样本估计总体的方法即可估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多
少人．
（1）
解：由题意所给数据可知： 的有4人， 的有16人，
∴ ，
∵ ，∴ ，解得
∴ ， ．
（2）
解：40名学生所在的样本中，跳绳成绩优秀的人所占的百分比为 ，
∴该校该年级500名学生中跳绳成绩优秀的人数大约是 (人) ．
【点睛】本题考查了频数分布直方图、总体、个体、样本、用样本估计总体，解决本
题的关键是熟练掌握各个概念，数形结合．
20．如图，在四边形 中， ，点E，F分别是 上
的点，且 ，若 ，求 的度数．【答案】110°
【分析】延长 到G使 ，连接 ，先证明 得到
再证明 得到 然后利用
得到 ．
【详解】解：延长 到G使 ，连接 ，如图，
∵
∴
在 和 ，
，
∴
∴
∵
∴
在 和 中，
，
∴
∴
∵
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定
条件．解决本题的关键是构建 ．
四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
21．为了支援本地政府抗击“新冠肺炎疫情，某校学生会发起了“献爱心，自愿捐
款”活动，已知第一次捐款总额是 元，第二次捐款总额是 元，而第二次捐款
人数比第一次多了 人，两次人均捐款数恰好相等．求第一次参加捐款的人数．
【答案】第一次参加捐款的人数为 人．
【分析】设第一次捐款的人数为 人，则设第二次捐款的人数为( )人，再根据两
次人均捐款额恰好相等列出方程，再解即可．
【详解】解：设第一次参加捐款的人数为 人，根据题意得：
，
解这个方程得： ，
经检验： 是原方程的根．
答：第一次参加捐款的人数为 人．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量
关系，列出方程，注意分式方程必须检验．
22．如图，一次函数 的图像与反比例函数 ( 为常数，且 )的图像交
于
两点.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)在 轴上找一点 ，使 的值最小，求满足条件的点 的坐标;
(3)在(2)的条件下求 的面积.
【答案】(1)反比例函数的表达式： ; (2) ; (3) 的面积为 .
【试题分析】（1）根据 两点在一次函数 的图像上，求出A、B两点坐标即可；代入反比例函数求出答案；
（2）根据“小马饮水”的思路解决即可，关键是先画出图形，再解答；
（3）用割补法求三角形的面积.
【试题解析】（1）根据 两点在一次函数 的图像上，得A(-1，
3)和B(-3，1)，因为点A(-1，3)在 ，则 ；
（2）如图，作点B关于x轴的对称点D(-3，-1)，连接DA，则直线DA 的解析式为
，当y=0时，x= ，故点P（ ）；
（3）用割补法求三角形的面积， 的面积为提醒ABGH的面积减去三角形BGH
的面积减去三角形APH的面积，即 .
23．某校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球，若购买2个足球
和3个篮球需220元；若购买4个足球和2个篮球需280元．
(1)求出足球和篮球的单价分别是多少？
(2)已知该年级决定用800元购进两种球，若两种球都要有，请问有几种购买方案，并
请加以说明．
【答案】(1)足球的单价为50元，篮球的单价为40元；
(2)有三种购买方案，方案1：购进4个足球，15个篮球；方案2：购进8个足球，10
个篮球；方案3：购进12个足球，5个篮球．
【分析】（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据“若购买2个足球和3
个篮球需220元；若购买4个足球和2个篮球需280元”，即可得出关于x，y的二元
一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m个足球，n个篮球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元
一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．（1）
解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，
依题意，得： ，
解得： ，
答：足球的单价为50元，篮球的单价为40元；
（2）
设购买m个足球，n个篮球，
依题意，得：50m＋40n＝800，
解得：n
∵m，n均为正整数，
∴当m＝4时，n＝15；当m＝8时，n＝10；当m＝12时，n＝5；
∴有三种购买方案，
方案1：购进4个足球，15个篮球；
方案2：购进8个足球，10个篮球；
方案3：购进12个足球，5个篮球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元
一次方程．
五、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图， 内接于圆 ， 为直径， 于点 ， 为圆外一点，
，与 交于点 ，与圆 交于点 ，连接 ，且 ．
（1）求证： 是圆 的切线；
（2）当 时，连接 ，
①求证： ；
②若 ，求线段 的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②2
【分析】（1）连接 ，证得 ，即可证得结论；
（2）①通过证得 ，得出 ，即可证得 ；
②作 于 ，首先证得 ，得出 垂直平分 ，然后通过三角形平
分线的性质证得 ，即可证得 ，从而证得 ，
即可证得 ．
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是圆 的切线；
（2）①证明： ， ，
，
，
，
，
；
②解：作 于 ，
为直径，， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，角平分线
的性质，三角形全等的判定和性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
25．定义：如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形叫做平衡四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD＝3，AB＝4，AC＝5．
①判断四边形ABCD是否是平衡四边形，请说明理由；
②若△ACD是等腰三角形，求sin∠DAC的值；
（2）如图2，在平衡四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AC⊥BD交于点O，AD＝2，若
S CBO﹣S ADO＝12，求AB的长．
△ △【答案】（1）①四边形ABCD是平衡四边形，见解析；②sin∠DAC的值为 或
；（2）AB＝6
【分析】（1）①由勾股定理可求BD的长，由平衡四边形的定义可求解；
②分两种情况讨论，由勾股定理和锐角三角函数可求解；
（2）由相似三角形的性质可求DO＝ ，AO＝ ，进而可求BO的长，由
三角形的面积关系可列方程，即可求解．
【详解】解：（1）①四边形ABCD是平衡四边形，
理由如下：∵∠DAB＝90°，AD＝3，AB＝4，
∴BD＝ ＝ ＝5，
∵BD＝AC，
∴四边形ABCD是平衡四边形；
②如图1﹣1，当CD＝AC＝5时，过点C作CH⊥AD于H，
∵CD＝AC，CH⊥AD，
∴AH＝DH＝ ，∴CH＝ ＝ ＝ ，
∴sin∠DAC＝ ＝ ＝ ，
如图1﹣2，当AD＝CD＝3时，过点D作DG⊥AC于G，
∵AD＝CD＝3，DG⊥AC，
∴AG＝CG＝ ，
∴DG＝ ＝ ＝ ，
∴sin∠DAC＝ ＝ ＝ ，
综上所述：sin∠DAC的值为 或 ；
（2）∵四边形ABCD是平衡四边形，
∴AC＝BD，
∵S CBO﹣S ADO＝12，
△ △
∴S ABC﹣S ADB＝12，
△ △
∴ ×AC×OB﹣ ×BD×OA＝12，
设AB＝x，
∴BD＝AC＝ ＝ ，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠DAB＝90°，
∴∠DAO+∠BAO＝90°＝∠DAO+∠ADO，∴∠BAO＝∠ADO，
∴△ADO∽△BDA，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴DO＝ ，AO＝ ，
∴BO＝DB﹣DO＝ ，
∴ × × ﹣ × × ＝12，
∴ ，
∴x＝﹣4（舍去），x＝6，
1 2
∴AB＝6．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定
和性质等知识，理解新定义并运用是本题的关键．
