杭州学军中学2024 学年第二学期高三数学周末练（5）
命题人：杨建忠 审题人：卢予奇
一、单选题
1. 设集合𝑀= {𝑥|𝑥= 2𝑛+ 1, 𝑛∈𝑍}，𝑁= {𝑥|𝑥= 3𝑛+ 1, 𝑛∈𝑍}，𝑃= {𝑥|𝑥= 6𝑛+ 1, 𝑛∈𝑍}，则（ ）
A. 𝑀⊂𝑃
B. 𝑁⊂𝑃
C. 𝑃= 𝑀∩𝑁
D. 𝑀∩𝑁= ∅
2. 已知𝑏, 𝜆∈𝑅，虚数𝑧= 1 + 𝑏𝑖是方程2𝑥2 + 𝜆𝑥+ 3 = 0的根，则𝜆=（ ）
A. −4
B. −2
C. 4
D. 2
3. 已知|𝑎⃗| = √3，|𝑏⃗⃗| = 1. 若(𝑎⃗+ 2𝑏⃗⃗) ⊥𝑎⃗，则𝑐𝑜𝑠⟨𝑎⃗, 𝑏⃗⃗⟩=（ ）
A. −√3
2
B. −√3
3
C. √3
3
D. √3
2
4. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45 齿，小轮有30 齿. 如果大轮的转速为180𝑟/𝑚𝑖𝑛（转/分），小轮的半
径为10𝑐𝑚，那么小轮周上一点每1𝑠转过的弧长是（ ）𝑐𝑚.
A. 5400𝜋
B. 90𝜋
C. 180𝜋
D. 40𝜋
5. 已知𝑎> 0且𝑎≠1，若函数𝑓(𝑥) = {𝑎𝑥−𝑎, 𝑥≤𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥+ 𝑎) + 1, 𝑥> 𝑎的值域为𝑅，则𝑎的取值范围是（ ）
A. (0,
1
2]
B. [
1
2 , 1)
C. (1,2]
D. [2,+∞)
6. 已知函数𝑓(𝑥) =
𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑡𝑎𝑛(𝑥+𝜃)
1−2 𝑡𝑎𝑛(𝑥+𝜃) 是[−
𝜋
2024 ,
𝜋
2024]上的奇函数，则tan𝜃=（ ）
A. 2
B. −2
C.
1
2
D. −
1
2
7. 小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1 点的概率为𝑝(0 < 𝑝< 1)，他掷了𝑘次骰子，最终有6
次出现1 点. 但他没有留意自己一共掷了多少次骰子. 设随机变量𝑋表示每掷𝑁次骰子出现1 点的次数，现以
使𝑃(𝑋= 6)最大的𝑁值估计𝑁的取值并计算𝐸(𝑋). （若有多个𝑁使𝑃(𝑋= 6)最大，则取其中的最小𝑁值）. 下
列说法正确的是（ ）
A. 𝐸(𝑋) > 6
B. 𝐸(𝑋) < 6 C. 𝐸(𝑋) = 6
D. 𝐸(𝑋)与6 的大小无法确定
8. 已知函数 𝑦= 𝑓(𝑥)(𝑥, 𝑦∈N+) 满足:①对任意 𝑎, 𝑏∈N+,𝑎≠𝑏 ,都有 𝑎𝑓(𝑏) + 𝑏𝑓(𝑎) < 𝑎𝑓(𝑎) + 𝑏𝑓(𝑏) ；
②对任意 𝑛∈N+ ,都有 𝑓(𝑓(𝑛)) = 3𝑛 . 则 12𝑓(8) + 8𝑓(12) 的值是（ ）
A. 324 B. 336 C. 348 D. 360
二、多选题
9. 某科技公司统计了一款𝐴𝑝𝑝最近5 个月的下载量如表所示，若𝑦与𝑥线性相关，且用最小二乘法拟合的线
性回归方程为𝑦̂ = −0.6𝑥+ 𝑎̂，则（ ）
{#{QQABKYa04gIQ0EaACC5KVQHYCAiQsJOjLYoMRRCUuAQDyBNIFIA=}#}
月份编号𝑥
1
2
3
4
5
下载量𝑦（万次）
5
4.5
4
3.5
2.5
A. 𝑦与𝑥负相关 B. 𝑎̂ = 5.6
C. 预测第6 个月的下载量是2.1 万 D. 残差绝对值的最大值为0.2
10. 已知函数𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+ 𝜑) (𝐴> 0,𝜔> 0,0 < 𝜑< 2𝜋)的部分图象如图所示，则（ ）
A. 𝜑=
5𝜋
6 B. 𝜔= 2
C. 𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=
5𝜋
3 对称
D. 𝑓(𝑥)在[
𝜋
4 ,
5𝜋
6 ]上的值域为[−2,1]
11. 已知圆𝑀: 𝑥2 −2𝑎𝑥+ 𝑦2 = 0(𝑎> −1)，过点𝑃(−2,0)，圆圆𝑀，切线线𝑙，线点为𝑄， 𝑄，的迹为为线线𝐶，
则（ ）
A. 线线𝐶关于𝑥轴对称 B. 𝐶在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为1 −√5
C. 𝐶的渐近线为𝑥= 1 D. 当点(𝑥0, 𝑦0)在𝐶上时，𝑦0 ≤2√
2+𝑥0
2−𝑥0
三、填空题
12. 在(3 −𝑥)𝑛的展开式中，若𝑥2的系数为𝑎𝑛(𝑛≥2)，则
32
𝑎2 +
33
𝑎3 +⋅⋅⋅+
3𝑛
𝑎𝑛= .
13. 𝑀、𝑁分别为线线𝑦= 𝑒𝑥+ 2𝑥与直线𝑦= 3𝑥−1上的点，则|𝑀𝑁|的最小值为 .
14. 将椭圆𝐶1:
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1(𝑎> 𝑏> 0)，上所有的点原点点时时旋转转𝜃(0 < 𝜃<
𝜋
2)，，到椭椭圆𝐶2，的方程
𝑥2 + 𝑦2 −𝑥𝑦= 3，椭圆𝐶2的离心率为 .
四、解答题
15. 已知𝛥𝐴𝐵𝐶的内，𝐴, 𝐵, 𝐶所对的边分别为𝑎, 𝑏, 𝑐，且2𝑐−𝑏= 2𝑎𝑠𝑖𝑛(𝐶−
𝜋
6).
（1）求，𝐴；
（2）若𝑎= √6，𝐷为边𝐵𝐶上一点，𝐴𝐷为∠𝐵𝐴𝐶的平分线，且𝐴𝐷= 1，求𝛥𝐴𝐵𝐶的面积.
{#{QQABKYa04gIQ0EaACC5KVQHYCAiQsJOjLYoMRRCUuAQDyBNIFIA=}#}
16. 如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 2，𝐵𝐶= 1，𝑃𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐵.
（1）求𝑃𝐶的长；
（2）若𝑃𝐷= 1，求直线𝑃𝐴与平面𝑃𝐶𝐷所成，的正弦值.
17. 已知平面内一动圆过点𝑃(2,0)，且该圆被𝑦轴截到的弦长为4，设其圆心的迹为为线线𝐸.
（1）求线线𝐸的方程；
（2）梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的四个顶点均在线线𝐸上，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，对，线𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑇(2,1).
（i）求直线𝐴𝐵的斜率；
（ii）证明 直线𝐴𝐷与𝐵𝐶交于定点.
{#{QQABKYa04gIQ0EaACC5KVQHYCAiQsJOjLYoMRRCUuAQDyBNIFIA=}#}
18. 已知函数𝑔(𝑥) = 2 𝑙𝑛(−𝑥−1) + 𝑐𝑜𝑠(−𝑥−2).
（1）函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的图象关于𝑥= −1对称，求𝑓(𝑥)的解析式；
（2）𝑓(𝑥) −1 ≤𝑎𝑥在定义域内恒成立，求𝑎的值；
（3）求证 ∑
𝑓(
1
𝑘−
1
2)
2𝑛
𝑘=𝑛+1
< 𝑙𝑛4 , 𝑛∈𝑁∗.
19. 有编号为1, 2, ⋅⋅⋅, 𝑛的𝑛个空盒子（𝑛≥2, 𝑛∈𝑁），另有编号为1, 2, ⋅⋅⋅, 𝑘的𝑘个球（2 ≤𝑘≤𝑛, 𝑘∈𝑁），
现将𝑘个球分别放入𝑛个盒子中，每个盒子最多放入一个球. 放球时，先将1 号球随机放入𝑛个盒子中的其中
一个，剩下的球按照球编号从小椭大的顺序依次放置，规则如下 若球的编号对应的盒子为空，则将该球
放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个. 𝑘
号球能放入𝑘号盒子的概率为𝑃(𝑛, 𝑘).
（1）求𝑃(3,3)；
（2）当𝑛≥3时，求𝑃(𝑛, 3)；
（3）求𝑃(𝑛, 𝑘).
{#{QQABKYa04gIQ0EaACC5KVQHYCAiQsJOjLYoMRRCUuAQDyBNIFIA=}#}
