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杭州学军中学高三（下）数学周末练（7）
命题：郑日锋 审题：李逸扬
一、
单项选择题
1. 已知复数
满足
，则
为（ ）
A.
B. 1
C.
D. 2
2. 某项比赛共有10 个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一
定不变的是( )
A. 极差
B. 45 百分位数
C. 平均数
D. 众数
3.
已知数列
为等比数列，公比为
2 ，且
.
若
，则正整数
的值是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
4. 在锐角
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
. 若
，
则
( )
A.
B.
C. 1
D. 2
5. 已知随机变量
，则“
”是“
”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数
，
，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是(
)
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与
7.数列
中，
使
对任意
恒成立的
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最大
值为（ ）
A.2020 B.2021 C. 2023 D. 2025
8.在四面体
中，
，且
设
与
所
成的角为
，
与平面
所成的角为
，二面角
的平面角为
，则（）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
9. 已知函数
，则下列说法正确的是( )
A. 若
，则
，
B.若
，则
C.
的图象关于原点对称
D.
，
，
，都有
成立
10. 如图，线段
为圆
的直径，点
，
在圆
上，
，矩形
所在平面
和圆
所在平面互相垂直，且
，则( )
A.
平面
B.
平面
C. 三棱锥
外接球的表面积为
D.点
到平面
的距离为
11. 已知非零平面向量
，
，
，
满足：
，
，且
，记
，
，则( )
A.
的最小值为
B.
的最小值为
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C.
的最大值为
D.
的最大值为
三、填空题：
12. 若
，则
.
13.在数列
中，
若
，则
的前
项和为__________
14. 若关于的不等式
恒成立，则
的最大值是 .
四、解答题
15. 某公司为增强市场竞争力，决定逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，
现对该公司2019~2023 年的研发人数作了相关统计，如下图：
2019~2023 年公司的研发人数情况（年份代码1~5 分别对应2019~2023 年）
（1）试根据统计图中的数据，计算该公司研发人数
与年份代码
的相关系数
，并由此
判断其相关性的强弱；
（2）求
关于的线性回归方程，并预测2025 年该公司的研发人数. （结果取整数）
参考数据：
，
.
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参考公式：相关系数
. 线性回归方程的斜率
，截距
.
附：
16. 如图，在直四棱柱
中，
，
，
，
，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值；
（3）若
为线段
上的动点，求
到直线
距离的最
小值.
相关性
弱
一般
强
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17. 已知正方形
的中心在原点，四个顶点都在曲线
上.
（1）若
，求函数
的单调递增区间；
（2）若
，且正方形
唯一，求
的值.
18. 已知双曲线 C : x
2
16 −y
2
16 =1 ,点 M 在 C 上,过 M 分别作 x 轴和 y 轴的垂线,垂
足分别为 A 和 B ,记线段 AB 的中点 N 的轨迹为 Γ .
(1)求 Γ 的方程；
(2)过 M 的直线 l 与 C 有且只有一个公共点,且与 Γ 交于 P ,Q 两点.
(i) l⊥AB ; ((ii)
是否为定值？若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由.
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19.给定奇数
,设
是
数阵.用
表示数阵第行第
列的数，
且
定义变换
为“将数阵中
第行和第列的数都乘以
”，其中
设
将
经过
变换得到
经
过
变换得到
经过
变换得到
记数阵
中1 的个数为
（1）当
时，设
，写出
并求
；
（2）当
时，对给定的数阵
，证明：
是4 的倍数；
（3）证明：对给定的数阵
，总存在
，使得
