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杭州学军中学高三（下）数学周末练（8）
命题：陈硕罡
审题：崔舒静
一、单选题
1．已知集合
{
3
2},
{
4}
M
x
x
N
x a
x
∣
∣
，若
{
3
4}
M
N
x
x
∣
，则实数a 的
取值范围为（
）
A．[ 3,2)
B．( 3,2]
C．[ 3,2]
D．[2,4)
2．已知复数z 满足
1 i i
z
，则在复平面内z 对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．若两个等比数列
n
a
，
n
b
的公比相等，且
1
1
1
a
b
，
2
3
2
3
2
2
0
a
a
b
b
，则
数列
n
n
a
b
的前7 项和为（
）
A.
43
B. 43
C.
47
D. 47
4．已知
3
1
1
sin
2
5 tan
tan
，
，则sin sin
（
）
A．
3
10
B．1
5
C．
1
5
D．3
10
5．已知,a b
是平面内两个非零向量，
0
，那么“ a
b
”是“ a
b
a
b
”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知圆
2
2
:
1
4
C
x
y
m
，直线:
4
0
l x
y
.若过直线l 上任意一点A 都能作圆C
的两条切线，切点为P，Q，且
3
PAQ
，则实数m 的取值范围是（
）
A．
3,3
B．
4 2,4 2
C．
, 2
2 3
2
2 3,
D．
,3
4 2
3
4 2,
7．已知双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一点，ABM
为等腰
三角形，且外接圆面积为
2
3 a
，则双曲线E 的离心率为（
）
A．
2
B．
2
1
C．
3
D．3 1
8.已知
( )
f x 为奇函数，当
[01]
，
x
时，
1
( )
1
2
2
f x
x
，当
1
(
1]
( )
1
，，
x
x
f x
e
，
若关于x 的不等式
(
)
( )
f x
m
f x
恒成立，则实数m 的取值范围为
（
）
A. ( 1 0)
(0
)
，
，
B. 1
ln 2
2
，
C.
1
1
ln 2
1
ln 2
2
2
，
，
D. (2
)
，
{#{QQABKYYw4gKQ0FSACC4KVQXoCAuQsIMjLQoMRRCcuAQDiANIFIA=}#}
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二、多选题
9．一组样本数据( ,
),
{1,2,3,
,100}
i
t
x y
i
．其中
1895
ix
，
100
5
1
2 10
i
i
x
，
100
1
970
i
iy
，求
得其经验回归方程为：
1
0.02
y
a
x
，残差为
ie ．对样本数据进行处理：
ln(
1895)
i
i
x
x
，
得到新的数据( ,
)
i
i
x y
，求得其经验回归方程为：
2
0.42
y
a
x
，其残差为
i．
ie ，
i分布
如图所示，且
2
2
1
2
(0,
),
)
(0,
e
N
N
，则（
）
A．样本
,
i
i
x y
负相关
B．
1
49.7
a
C．
2
2
1
2
D．处理后的决定系数变大
10．对于棱长为2m 的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），则（
）
A．底面半径为2 2m ，高为4m 的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方
体
B．向容器中装入直径为0.5m 的小球，至少可装入66 个
C．底面半径为1.5m，高为0.01m 的圆柱体可以放入该容器
D．该正方体内能同时整体放入半径分别为0.1m，0.25m，1m 的三个小球
11．已知
( )
f x 的定义域为非零有理数集，且满足下面三个性质：
①
(
)
( )
( )
f xy
f x
f y
；
②
(
)
min
( ),
( )
f x
y
f x
f y
；
③当
( )
( )
f x
f y
时，
(
)
min
( ),
( )
f x
y
f x
f y
，其中
,
min
,
,
b a
b
a b
a a
b
下列说法正确的是（
）
A．若
( )
f x
r
，
( )
f y
r
，则
(
)
f x
y
r
B．
( )
0
f x
恰有两个整数解
C．若
0
x
y
z
，
0
xyz
，则
( )
f x ，
( )
f y ，
( )
f z 中至少有两个相等
D．若
(2)
1
f
，则
(240)
3
f
{#{QQABKYYw4gKQ0FSACC4KVQXoCAuQsIMjLQoMRRCcuAQDiANIFIA=}#}
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三、填空题
12．已知向量,a b
不共线，
(1,1)
a
，写出一个在向量a上的投影向量等于a的向量b
的坐
标
.
13. 在ABC 中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且2 cos
a
B
c
a ，则
3
c
a
b
的最小值为
___________
14．二面角
l
为π ,
,
,
3 A
l D
B C
､为线段AD 的三等分点，且
2 2
AD
，D 到l 的距
离为4 3
3
.若P 为平面内一动点，则
BPC
最大时，cos BPC
的值为
.
四、解答题
15．已知数列
na
的首项
1
1
a ，
na
的前n 项和为
n
S 且满足
2
1
1
(
1)
(
)
0
2
n
n
nS
n
S
n
n
(1)证明：数列
n
S
n
是等差数列；
(2)若
2n
n
n
b
a
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
16．高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6 分，每小题有4 个选项，其中只有2 个
或者3 个选项是正确的.若正确选项有2 个，则选对其中1 个得3 分；若正确选项有3 个，
则选对其中1 个得2 分，选对其中2 个得4 分，答案中有错误选项的得0 分.设一套数学试
卷的多项选择题中有2 个选项正确的概率为
0
1
p
p
，有3 个选项正确的概率为1
p
.
在一次模拟考试中：
（1）小明可以确认一道多项选择题的选项A 是错误的，从其余的三个选项中随机选择
2 个作为答案，若小明该题得分X 的数学期望为3，求p ；
（2）小明可以确认另一道多项选择题的选项A 是正确的，其余的选项只能随机选择.
小明有三种方案：①只选A 不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1 个.共选
2 个；③从另外三个选项中再随机选择2 个，共选3 个.若
1
3
p
，以最后得分的数学期望
为决策依据，小明应该选择哪个方案？
{#{QQABKYYw4gKQ0FSACC4KVQXoCAuQsIMjLQoMRRCcuAQDiANIFIA=}#}
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17. （本小题满分15 分）如图，在四棱锥P
ABCD
中，
PAD
△
为正三角形，底面ABCD为
正方形，平面PAD 平面ABCD，点M 是棱PB 的中点，平面CDM 与棱PA 交于点N ．
（1）求证：
//
MN
平面ABCD；
（2）Q 为平面CDNM 内一动点，E 为线段BC 上一点；
①求证：NQ
AP
；
②当AQ
QE
最小时，求
MQ
QC 的值．
18．已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
的离心率为
1
2
2 ,
,
2
F F 分别为椭圆E 的左､右焦点，,
A B
分别为椭圆E 的上､下顶点，且
2
AB
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)已知过
1F 的直线l 与椭圆E 交于
,
M N 两点，且直线l 不过椭圆四个顶点.
（i）设
1
2,
MF F
MAB
的面积分别为
1
2
,
S S ，若
1
2
S
S
，求AM 的
最大值；
（ii）若M 在x 轴上方，
1
AF 为
MAN
的角平分线，求直线l 的
方程.
19.高等数学的罗尔中值定理：如果R 上的函数
( )
f x 满足条件：①在闭区间[
]
，
a
b 上连续；
②在开区间(
)
，
a
b 可导；③
( )
( )
f a
f b
，则至少存在一个
(
)
，
c
a
b
，使得
( )
0
f c
.据此
定理，请你尝试解决以下问题：
（1）证明方程：
4
3
2
5
4
3
2
(
)
0
ax
bx
cx
dx
a
b
c
d
在(01)
，内至少有一个实根，
其中，，，
a
b
c
d
R
；
（2）已知函数
2
2
2
( )
2
2
2
2(
)
x
f x
e
mx
e
m
x
m
R
在区间(01)
，内有零点，求m 的取
值范围.
{#{QQABKYYw4gKQ0FSACC4KVQXoCAuQsIMjLQoMRRCcuAQDiANIFIA=}#}
