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学科⽹（北京）股份有限公司
绝密★启⽤前
2025 年⾼考数学模拟卷
全卷满分150 分。考试⽤时120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每⼩题答案后，⽤铅笔把答题卡对应题⽬的答案标号涂⿊。如需改动，⽤橡⽪
擦⼲净后，再选涂其他答案标号。回答⾮选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上⽆效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。
⼀、选择题：本题共8 ⼩题，每⼩题5 分，共40 分。在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要
求的。
1．记复数
的共轭复数为
，若
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知集合
，集合
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
3．现有⼀排⽅块，其中某些⽅块间有间隔.从中拿出⼀个⽅块或紧贴的两个⽅块，⽽不改变其余⽅块的位置，
称为⼀次操作.如图所示，状态为
的⽅块：可以通过⼀次操作变成以下状态
中的任何⼀种：
，
，
，
或
.游戏规定由甲开始，甲、⼄轮流对⽅块进⾏操作，拿
出最后⽅块的⼈获胜.对于以下开局状态，⼄有策略可以保证⾃⼰获得游戏胜利的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知随机变量
，则“
”是“
”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知函数
的最⼩正周期为
，则以下说法正确的是（
）
A．
的值域为
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B．
在
上单调递增
C．
在
上有两个极⼤值点
D．
是
的⼀个对称中⼼
6．若
展开式的⼆项式系数之和为
，则展开式中含
项的系数为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，
，有
恒成⽴，则a 的取值范围
是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知圆O：
上⼀点
关于x 轴的对称点为Q，M 是圆O 上异于P，Q 的任意⼀点，若
分别交x 轴于点
，则
（
）
A．
B．2
C．
D．4
⼆多选题：（本⼤题共3 ⼩题，每⼩题6 分，共18 分，在每个⼩题给出的4 个选项中，有多个选项满⾜要
求。全部选对得6 分，部分选对的部分分，有错误选项得0 分）
9．已知
，
，则下列说法正确的是（
）
A．曲线
与
有公共点
B．曲线
关于直线
对称的曲线是
C．曲线
关于直线
对称的曲线是
D．直线
与曲线
、
的交点分别是A、B，则
的最⼩值为
10．已知在⾸项为1，公差为
的等差数列
中，
是等⽐数列
的前三项，数列
的前
项
和为
，则（
）
A．
或
B．
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C．
是等差数列
D．
11．已知平⾏六⾯体
中，各棱⻓均为
，
，则以下说法正确的
是（
）
A．
B．异⾯直线
和
所成⻆的余弦值为
C．四棱锥
的体积为
D．与三棱锥
各棱均相切的球的体积为
三填空题：本题共4 ⼩题，每⼩题5 分，共20 分。
12．已知随机变量Ⅹ服从正态分布
，且
，则
.
13．双曲线
的左、右焦点分别为
，
，直线
轴且与双曲线C 在第⼀象限交
于点P.设
内切圆半径为r，若
，则双曲线C 的离⼼率的取值范围为
.
14．⼀个袋⼦中有10 个⼤⼩相同的球，其中红球7 个，⿊球3 个.每次从袋中随机摸出1 个球，摸出的球不
再放回.设第1，2，3 次都摸到红球的概率为
；在第1，2 次都摸到红球的条件下，第3 次摸到红球的概
率为
.求
.、
四、解答题：共77 分。解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤。
15（本题13 分）中⼩学教师资格考试每半年考⼀次，2025 年上半年的考试于3 ⽉8 ⽇进⾏.考试分为笔试
和⾯试两项，只有笔试成绩合格时，才可继续参加⾯试，笔试成绩两年有效，两项成绩均合格⽅可获
得证书.李华同学报名参加今年上半年的考试，若他不放弃每次考试，直到能拿到教师资格证为⽌.根据
以往模拟情况，李华笔试成绩每次合格的概率均为
，⾯试成绩每次合格的概率均为
，假设各次考
试成绩合格与否均互不影响.
(1)求他今年能取得教师资格证书的概率；
(2)某培训机构今年共有100 ⼈参加培训，若以李华今年取得教师资格证的概率作为每个学员今年成功
取得证书的概率.设今年该培训机构能成功取得教师资格证的⼈数为k 的概率为
，求
取最⼤值时k 的值.
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16（本题15 分）．
中⻆
所对的边分别为
，
，
.
(1)若
，求
的⾯积；
(2)求
的最⼤值.
17（本题15 分）．已知函数
，曲线
在
处与直线
相切.
(1)求
、
的值；
(2)求
在
上的最⼤值和最⼩值.（其中
为⾃然对数的底数）
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18 (本题17 分)．在四棱锥
中，
平⾯
，底⾯
是菱形，
且
，
E，F 分别为
，
的中点.
(1)若平⾯
与平⾯
的交线为l，证明：
；
(2)求平⾯
与平⾯
所成⻆的余弦值；
(3)若平⾯
与线段
交于点M，求
的⻓.
19 （本题17 分）在平⾯直⻆坐标系
中，对于任意⼀点
，总存在⼀个点
满⾜关系式
，则称
为平⾯直⻆坐标系中的伸缩变换.
(1)若曲线
的⽅程为
.
（i）求
经过伸缩变换
后所得到曲线
的标准⽅程；
（ii）设曲线
的左、右顶点分别为A，B，过点
的直线与曲线
交于M，N 两点，直线
与
交于点T，证明：点T 在⼀条定直线上；
(2)已知
，抛物线
经过伸缩变换
，得到抛物线
，设
，
，
.求数列
的前n 项和
.
