文档文本内容
2026 年高考数学三轮临考冲刺卷03（全国二卷通用）
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．记集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
可得
，可得
，
由
可得
，即
，
得
，解得
，
于是
，
，故
．
故选：A．
2．已知复数
满足
，则
（ ）
A．4
B．1
C．
D．
【答案】B
1
【解析】因为
，所以
，
所以
所以
.
故选：B
3．已知
为两条直线，
为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【解析】A 选项，
，
与可能平行或异面，故A 错误；
B 选项，
，则
，故B 错误；
C 选项，由
，过直线
作平面
，与平面
相交于直线，则有
，
由
，有
，又
，所以
，故C 正确；
D 选项，
，则
不一定垂直于
，如
可以在
内，故D 错误．
故选：C.
4．在等比数列
中，
，
，
是
的前n 项和，则
（ ）
A. 15
B. 31
C. 48
D. 63
【答案】B
【解析】令等比数列
的公比为
，则
，
，
解得
，
，所以
.
故选：B
5．已知向量
满足
，且
，则
（ ）
2
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
两式相减得
，即
．
又
，所以
，联立
，解得
,即
．
故选：C．
6．一个知识问答竞赛每题有3 个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若
甲未掌握该知识，则从3 个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为
，则甲掌握该知识的概
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设甲掌握该知识的概率为
，记“甲回答正确”为事件
，
根据题意，
，
，
.
根据全概率公式，
，代入已知
，
得：
，解得
.
7．已知函数
，且
在
上有且只有一个零点，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
，由
，得
，而
，解得
，
3
则
，由
，得
，
由
在
上有且只有一个零点，得
，解得
，
而
，因此
，
，所以
.
故选：A
8．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过
的直线与
交于点
．直线为
在点
处的切线，点
关于的对称点为
．由椭圆的光学性质知，
三点共线．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
因为点
关于的对称点为
，则
，
因为
，且
，
4
所以，
，
所以，
，可得
，
则
，
所以，
，故
．
故选：D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．民营经济是推进中国式现代化的生力军.为了更好地支持民营企业的发展，某市决定对部分企业的税收
进行适当的减免.某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布
直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．样本数据落在区间
内的频率为0.45
B．若规定年收入在500 万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有
的当地中小型民营企业
能享受到减免税政策
C．若该调查机构调查了100 家民营企业，则年收入不少于400 万元的有80 家
D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为500 万元
【答案】AB
【解析】对于A，由
，得
，
所以数据落在区间
内的频率为
，A 正确；
5
对于B，数据落在区间
内的频率为
，B 正确；
对于C，
，年收入大于或等于400 万元的有四组，
其频率和是
，
所以符合条件的民营企业有
家，C 错误；
对于D，数据落在区间
内的频率为
0.3，
数据落在区间
内的频率为
，
估计中位数为
，D 错误.
故选:AB.
10．若公比为
的等比数列
的前
项积为
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
中
最小
D．使
成立的最小正整数
的值是4050
【答案】ABD
【解析】因为
，所以
，
所以
，又
，
所以
，所以
，A 对，
由
，
，可知
单调递增，
又
，所以
，
所以
，B 对，
当
时，
，当
时，
，
6
所以
最小，故C 错，
因为
为正项递增数列，且
，
所以使
成立的最小正整数
的值是4050，D 对，
故选：ABD
11．已知
是函数
的极值点，则（ ）
A．实数a 的取值范围是
B．函数
的图象关于点
对称
C．存在实数a，使得
是
的极大值点
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】因为
，
是函数
的极值点，
所以
是
的两个不等的实数根，
所以
，解得
或
，由
，
所以
，故A 正确；
在函数
的图象上取点
,则
关于点
的对称点为
，
而
，显然
不恒等于
，
故函数
的图象关于点
不对称，故B 错误；
当
是
的极大值点时，
，解得
，
7
当
时，
，
所以当
时，
，
在区间
上单调递增，
当
时，
，
在区间
上单调递减，
所以
是
的极大值点，故C 正确；
由A 选项知，
是
的两个不等的实数根，
所以
，
所以
，
由
，
因为
，所以
，故D 正确.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知
，则
.
【答案】1
【解析】由
知，
，
，同理可得
.
得到
.
故答案为：1
8
13．在平面直角坐标系
中，圆
与双曲线
相交于A，B，C，D 四
点，若点A，B，C，D 构成圆O 圆周的四等分点，圆O 的直径长度是双曲线C 实轴长的3 倍，则双曲线C
的离心率为 .
【答案】
【解析】由已知圆
的直径为4，又直径长度是双曲线C 实轴长的3 倍，所以
，所
以
.
因为点A，B，C，D 构成圆O 圆周的四等分点，所以四等分点到圆心的距离为半径，
且四点与原点构成的连线互相垂直.即如图所示：
设圆与轴交于点N，所以
，且
，
所以设
是圆与双曲线的交点，所以
或
解得
或
或
或
，
所以四等分点的坐标为
,
把
代入
中，得
，
9
解得
，所以双曲线C 的离心率
.
14．已知圆锥的母线为3，底面半径为1，球
与圆锥的侧面、底面均相切．球
与球
外切，且与圆锥
的侧面相切．球心
位于圆锥的顶点和
之间，则球
的体积为________．
【答案】
【解析】依题意，圆锥的轴截面截球
得球
的大圆，且为圆锥轴截面等腰
的内切圆，
截球
得球
的大圆，该圆与圆
外切，与
都相切，设球
、球
的半径分别为
，
在等腰
中，
，则边
上的高
，
由
，得
，解得
，
显然圆
可视为
平行于
的中位线截
所得小三角形的内切圆，而此小三角形与
相似，
因此
，解得
，所以球
的体积
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
记
内角
，
，
的对边分别为，，，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积为
，
的角平分线
交
于点
，且
，求
的周长.
10
15． 【答案】
(1)
(2)
【解析】（1）由正弦定理得
，
得
，
，.............................................................2 分
，
，
，.....................................................................4 分
又
，
............................................................................................6 分
（2）由题知
是
的角平分线，则
，.....................7 分
，
.
，.................................................................................................................9 分
，即
，
，.....................................................10 分
由余弦定理和
，得
，
即
...............................................................................................................................12 分
的周长
.........................................................................................13 分
16．（15 分）如图，四边形
是等腰梯形，
是
的中点，
是
与
的交点，将
沿
折到
的位置.
11
(1)证明：
平面
；
(2)若
平面
，求二面角
的正弦值.
16.【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图，连接
.
为
的中点，
，
又
且
四边形
为菱形，
. ........................2 分
，又
平面
. ..............................4 分
与四边形
为菱形同理，可知四边形
为菱形，
平面
.......................................................................................6 分
（2）由（1）可知
即
是边长为2 的等边三角形，又
平面
，
所以
两两互相垂直，以
为坐标原点，
以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
已知
，
则
，
......... ................................8 分
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
. .....................................................10 分
设平面
的一个法向量为
，
则
取
. .............................................................12 分
12
故二面角
的正弦值为
................................................15 分
17．（15 分）
已知抛物线
上一点
与焦点的距离为4，点
到
轴的距离为
.
(1)求
的方程；
(2)点
为
的准线上一动点，直线
（
为坐标原点）与
交于另一点
，过点
作
轴的垂线与
交
于点
.
①求证：直线
过定点；
②若
，求
的面积.
17.【答案】
(1)
；
(2)①证明见解析；②
.
【详解】（1）设点
，由
，得
，
........................................1 分
由点
到
轴的距离为
，得
，又
，则
，解得
，.......3 分
所以抛物线
的方程为
.................................................................................................................4 分
（2）①由（1）得抛物线
：
的焦点
，准线方程为
，
设
，由
轴，且点
在抛物线
上，得
，...................................................6 分
直线
方程为
，由
，得点
，.....................................................................7 分
13
当
时，直线
的斜率
，其方程为
，........................9 分
整理得
，因此直线
过定点
，当
时，直线
过点
，
所以直线
过定点
..................................................................................................................11 分
②由①知，
，
因此
，
，..............................14 分
所以
的面积
...........................................................15 分
18．（17 分）
已知函数
.
(1)对任意
，
是
的必要条件，求的最小值；
(2)对任意
，函数
存在两个零点
.
（i）求的取值范围；
（ii）对于（i）中给定的，证明：当
取得最小值时，
.
18.【答案】 (1)
(2)（i）
（ii）证明见解析
【解析】（1）∵对任意
，
是
的必要条件，
14
∴
，
在
上单调递增，...................................................................................1 分
则
，即
在
上恒成立，.............................................2 分
令
，
，
在
单调递减，
................................................................................3 分
................................................................................................................................4 分
（2）（i）因为对
有两个不等的实根
，
所以
有两个零点
..................................................................................5 分
令
，
当
，则
，当
，则
，
所以
在
单调递减；
单调递增，............................................................7 分
，
要使
有两个零点，只需
，
即
，.....................................................................................................................9 分
令
，
在(0,1)单调递增；
单调递减，
............................................................................................................11 分
15
(ii)令
，则
，
，即
，................................12 分
构造方程
，两根为
，
令
，其中
的两根为
............................................13 分
令
则
，令
，则
，
在
单调递减；
单调递增，......................................................................14 分
作出
大致图象如下：
令
，
在
单调递减；
单调递增，
当
时，
，此时
最小.
取最小值时，
.........................................................................................................17 分
19．（17 分）形如
的公式称为多项式定理，
其中
为该多项式展开式中
对应项的系数，该定理在解决概率问题中有着广泛的应用.，
(1)已知
，分别求
的奇数次方与偶数次方的系数和；
(2)现有三名水平相当的篮球运动员进行投篮训练，规则如下:按照甲乙丙的顺序依次投篮，若投中则继续投
16
篮直到未投中为止，然后换下一人继续练习，直到三人均完成练习. 每人投篮投中一次则计1 分， 每人每
次练习投中的概率均为
，且每次投篮互不影响.
①记
为甲练习投篮得分，证明:
；
②若三人投篮次数均不超过七次，求三人总得分为偶数的概率(保留两位小数).
19.【答案】 (1)偶数次方的系数和为
，奇数次方的系数和为
；
(2)①证明见解析；②0.51
【解析】（1）令
有
，①
令
有
，②................................................................2 分
则①+②有
，即
所以
的偶数次方的系数和为
，....................................................................3 分
则①-②有
，即
所以
的奇数次方的系数和为
；........................................................................................4 分
（2）①
，则
，①
，②..................................................................................7 分
两式相减，得
，.........................................................8 分
所以
； .........................................11 分
②记每人投篮为
，
表示有
次投中，
次投中的概率为
，
由式子
③，...............13 分
可以表示三人投篮投中次数情况，其中
中
表示三人共投中
次，
表示投中
次的概率，
17
所以三人总得分为偶数的概率即为③式中
的偶次方的系数和，
令
有：
令
有：
..................................................................15 分
由上两式解得
................................................17 分
18
