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十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—函数解答题
目录
题型一：函数概念及其性质............................................1
题型二：函数的零点问题..............................................9
题型三：函数的应用.................................................14
题型一：函数概念及其性质
1．(2020 江苏高考·第19 题)已知关于
的函数
与
在区间
上恒有
．
(1)若
，求
的表达式；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)若
求证：
．
【答案】(1)
；(2)
；(3)证明详见解析
【解析】(1)由题设有
对任意的
恒成立．
令
，则
，所以
．因此
即
对任意的
恒成立，
所以
，因此
．故
．
(2)令
，
．又
．
若
，则
在
上递增，在
上递减，则
，即
，不符合
题意．当
时，
，符合题意．
当
时，
在
上递减，在
上递增，则
，
即
，符合题意．综上所述，
．
由
当
，即
时，
在
为增函数，
1
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因为
，故存在
，使
，不符合题意．
当
，即
时，
，符合题意．
当
，即
时，则需
，解得
．
综上所述，
的取值范围是
．
(3)因为
对任意
恒成立，
对任意
恒成立，
等价于
对任意
恒成立．
故
对任意
恒成立
令
，当
，
，
此时
，当
，
，
但
对任意的
恒成立．
等价于
对任意的
恒成立．
的两根为
，则
，
所以
．
令
，则
．
构造函数
，
，
所以
时，
，
递减，
．
所以
，即
．
2．(2014 高考数学上海理科·第20 题)设常数
，函数
．
(1)若
，求函数
的反函数
；
(2)根据
的不同取值，讨论函数
的奇偶性，并说明理由．
【答案】解析：(1)因为
，所以
，……3 分
得
或
，且
．
2
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因此，所求反函数为
，
或
．……6 分
(2)当
时，
，定义域为R，故函数
是偶函数；……8 分
当
时，
，定义域为
，
，
故函数
是奇函数；……11 分
当
且
时，定义域
关于原点不对称，故函数
既不是奇函数，
也不是偶函数．……14 分
3．(2014 高考数学广东理科·第21 题)设函数
，其中
，
(1)求函数
的定义域
；(用区间表示)
(2)讨论
在
上的单调性；
(3)若
，求
上满足条件
的
的集合(用区间表示)．
【答案】解：(1)依题意有
故
均有两根记为
注意到
，故不等式
的解集为
，即
(2)令
则
令
，注意到
，故方程
有两个不相等的实数根
记为
，且
注意到
结合图像可知
在区间
上
，
单调递增
在区间
上
，
单调递减
故
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．
3
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(3)
在区间
上，令
，即
，即
方程
的判别式
，故此方程
有4 个不相等的实数根，记为
注意到
，故，
，故
，故
故
结合
和函数的图像
可得
的解集为
附
：
的
大
致
图
像
为
x3
x5
x1
-1
x2
x6
x4
的大致图像为
4
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x10
x3
x1
x8
x9
x2
x4
x11
4．(2015 高考数学浙江理科·第18 题)(本题满分15 分)已知函数
，记
是
在区间
上的最大值．
(1)证明：当
时，
；
(2)当
，
满足
，求
的最大值．
【答案】(1)详见解析；(2)
．
解析：
(1)分析题意可知
在
上单调，从而可知
，分类讨论
的取值范围即可求解．；(2)分析题意可知
，再由
可得
，
，即可得证．
解析：(1)由
，得对称轴为直线
，由
，得
，故
在
上单调，∴
，当
时，由
，得
，即
，当
时，由
，得
，即
，综上，当
时，
；(2)由
得
，
，故
，
，由
，得
，当
，
时，
，
且
在
上的最大值为
，即
，∴
的最大值为
．．
5．(2015 高考数学上海理科·第23 题) 对于定义域为
的函数
，若存在正常数
，使得
是
以
为周期的函数，则称
为余弦周期函数，且称
为其余弦周期．已知
是以
为余弦周期
的余弦周期函数，其值域为
，设
单调递增，
，
；
(1)验证
是以
为余弦周期的余弦周期函数；
(2)设
，证明对任意
，存在
，使得
；
(3)证明：“
为方程
在
上的解”的充要条件是“
为方程
在
上的解”，并证明对任意
都有
．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；
5
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解析：(1)证明：
，
所以
是以
为余弦周期的余弦周期函数；
(2)当
或者
时，由于
单调递增，所以存在
或
使得
成立；
当
，构造函数
，则
，
，从而
，所以存
在
，使得
，即存在
，使得
成立，证毕．
(3)先证必要性
为方程
在
上的解，即
，由
可得
，由于函数
是以
为余弦周期的余弦周期函数，所以
，即
为方程
在
上的解；
再证充分性
为方程
在
上的解，即
，由
可得
，由
于函数
是以
为余弦周期的余弦周期函数，所以
，即
为方程
在
上的解；
下证：对任意
都有
．
由于函数
是以
为余弦周期的余弦周期函数，所以
，即有
，所以
，
即
或
所以
或
①若
，由
，
，可得
．
所以
，这与函数
为增函数矛盾，舍去；
②若
，由
，
，可得
，
所以
，即
．
由此，对任意
都有
．
6．(2017 年高考数学上海(文理科)·第21 题)设定义在R 上的函数
( )
f x 满足:对于任意的
1x 、
2x R ,
当
1
2
x
x
时,都有
1
2
(
)
(
)
f x
f x
．
(1)若
3
( )
1
f x
ax
,求a 的取值范围;
(2)若
( )
f x 为周期函数,证明:
( )
f x 是常值函数;
(3)设
( )
f x 恒大于零, ( )
g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数, M 是
( )
g x 的最大值．函数
( )
( ) ( )
h x
f x g x
．证明:“ ( )
h x 是周期函数”的充要条件是“
( )
f x 是常值函数”．
【答案】见解析
【解析】(1) 记
1
2
x
x
, 若
1
2
(
)
(
)
f x
f x
,
3
( )
1
f x
ax
, 则
3
3
1
2
1
2
(
)
(
)
(
)
0
f x
f x
a x
x
,∵
1
2
x
x
,
3
3
1
2
0
x
x
,∴
0
a
;
6
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(2)若
( )
f x 是周期函数,记其周期为
kT ,任取
0x R ,则有
0
0
(
)
(
)
k
f x
f x
T
,
又由题意,对任意
0
0
,
k
x
x x
T
,
0
0
(
)
( )
(
)
k
f x
f x
f x
T
,
∴
0
0
(
)
( )
(
)
k
f x
f x
f x
T
,
又
∵
0
0
(
)
(
)
k
f x
f x
nT
,nZ ,
并
且
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
,
2
2
,
,
,
,
,
2
R
k
k
k
k
k
k
k
k
x
T x
T
x
T x
T
x
T x
x x
T
x
T x
T
所以对任意
R
x
,
0
( )
(
)
f x
f x
C
为常数,证毕．
(3)充分性:
若
( )
f x 为常值函数,记
1
( )
f x
c
,设( )
g x 的一个周期为
g
T ,
则
1
( )
( )
h x
c
g x
,则对任意
0x R ,
0
1
0
1
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
g
g
h x
T
c
g x
T
c
g x
h x
,
故( )
h x 是周期函数成立．
必要性:
若( )
h x 是周期函数,记其一个周期为
hT ．
首先证明
( )
f x 符号不变．
(i) 设集合
|
( )
A
x g x
m
, 若存在
0x R 使得
0
(
)
0
f x
, 则
0
(
)
0
h x
, 且对任意
Z
k
均有
0
(
)
0
h
h x
kT
,因为( )
0
g x
,∴
0
(
)
0
h
f x
kT
,
∴对任意
0
0
,
(
1)
h
h
x
x
kT x
k
T
,
Z
k
,
( )
0
f x
恒成立,所以
( )
f x 是常数函数．
(ii)若存在
1
2
,
x x ,使得
1
(
)
0
f x
,且
2
(
)
0
f x
,则由题可知,
1
2
x
x
,
那么必然存在正整数
1
N 使得,
2
1
1
k
x
N T
x
,∴
2
1
1
(
)
(
)
0
k
f x
N T
f x
,且
2
1
2
(
)
(
)
k
h x
N T
h x
,
又
2
2
2
(
)
(
)
(
)
0
h x
g x
f x
,而
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(
) (
)
0
(
)
k
k
k
h x
N T
g x
N T
f x
N T
h x
,矛盾．
综上,
( )
0
f x
恒成立或
( )
0
f x
恒成立或
( )
0
f x
恒成立．
其次证明
( )
f x 是常数函数．
(i)若
( )
0
f x
恒成立．
任取
0x
A
,则必存在
2
N
N
,使得
0
2
0
h
g
x
N T
x
T
,即
0
0
0
2
0
,
,
g
h
x
T
x
x
N T x
,
∵
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
,
2
2
,
,
,
,
,
2
R
g
g
g
g
g
g
g
g
x
T
x
T
x
T
x
T
x
T
x
x x
T
x
T
x
T
∴
0
2
0
2
0
2
0
0
0
2
0
2
0
2
2
,
,
,
,
2
R
k
k
k
k
k
k
x
N T x
N T
x
N T x
x x
N T
x
N T x
N T
,
0
0
0
0
2
0
2
0
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
h
h
h
h x
g x
f x
h x
N T
g x
N T
f x
N T
,
因为
0
0
2
(
)
(
)
0
h
g x
M
g x
N T
,
0
0
2
(
)
(
)
0
h
f x
f x
N T
,
因此若
0
0
2
(
)
(
)
h
h x
h x
N T
,必有
0
0
2
(
)
(
)
h
g x
M
g x
N T
,
且
0
0
2
(
)
(
)
h
f x
f x
N T
c
,
而由第(2)问证明可知对任意
R
x
,
0
( )
(
)
f x
f x
c
为常数．
(ii)若
( )
0
f x
恒成立．
任取
0x
A
,则必存在
3
N
N
,使得
0
3
0
h
g
x
N T
x
T
,即
0
0
0
0
3
,
,
g
h
x x
T
x x
N T
,
∵
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
,
2
2
,
,
,
,
,
2
R
g
g
g
g
g
g
g
g
x
T
x
T
x
T
x
T
x
T
x
x x
T
x
T
x
T
∴
0
3
0
3
0
3
0
0
0
3
0
3
0
3
2
,
,
,
,
2
R
k
k
k
k
k
k
x
N T x
N T
x
N T x
x x
N T
x
N T x
N T
,
7
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0
0
0
0
3
0
3
0
3
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
h
h
h
h x
g x
f x
h x
N T
g x
N T
f x
N T
,
因为
0
0
3
(
)
(
)
0
h
g x
M
g x
N T
,
0
0
3
(
)
(
)
0
h
f x
f x
N T
,
因此若
0
0
3
(
)
(
)
h
h x
h x
N T
,必有
0
0
3
(
)
(
)
h
g x
M
g x
N T
,
且
0
0
3
(
)
(
)
h
f x
f x
N T
c
,
而由第(2)问证明可知对任意
R
x
,
0
( )
(
)
f x
f x
c
为常数．
综上所述,必要性证毕．
7 ．(2016 高考数学浙江理科· 第18 题)( 本题满分15 分) 已知
，函数
，其中
．
(Ⅰ)求使得等式
成立的
的取值范围；
(Ⅱ)(ⅰ)求
的最小值
；
(ⅱ)求
在区间
上的最大值
．
【答案】【命题意图】本题主要考查函数的单调性与最值的求法、分段函数等基础知识，同时考查推
理论证能力，分析问题和解决问题的能力．
解析：(Ⅰ)由于
，故
当
时，
，
当
时，
．
所以，使得等式
成立的
的取值范围为
．
(Ⅱ)(ⅰ)设函数
，
，则
，
，
所以，由
的定义知
，即
(ⅱ)当
时，
，
当
时，
．
所以
8．已知
，函数
．
(1)当
时，解不等式
；
(2)若关于
的方程
的解集中恰好有一个元素，求
的取值范围；
(3)设
，若对任意
，函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1，求
的取值范围．
【答案】(1)
．(2)
．(3)
．
8
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解析：(1)由
，得
解得
．
(2)
，
，
当
时，
，经检验，满足题意．
当
时，
，经检验，满足题意．
当
且
时，
，
，
．
是原方程的解当且仅当
，即
；
是原方程的解当且仅当
，即
．
于是满足题意的
．
综上，
的取值范围为
．
(3)当
时，
，
所以
在
上单调递减．
函数
在区间
上的最大值与最小值分别为
，
．
即
，对任意
成立．
因为
，所以函数
在区间
上单调递增，
时，
有最小值
，由
，得
．
故
的取值范围为
．
9
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题型二：函数的零点问题
1．(2020 年浙江省高考数学试卷·第22 题)已知
，函数
，其中e=2．71828…
为自然对数的底数．
(Ⅰ)证明：函数
在
上有唯一零点；
(Ⅱ)记x0为函数
在
上的零点，证明：
(ⅰ)
；
(ⅱ)
．
【答案】(I)证明见解析，(II)(i)证明见解析，(ii)证明见解析．
解析：(I)
在
上单调递增，
，
所以由零点存在定理得
在
上有唯一零点；
(II)(i)
，
，
令
一方面：
，
在
单调递增，
，
，
另一方面：
，
所以当
时，
成立，
因此只需证明当
时
，
因为
当
时，
，当
时，
，
所以
，
在
单调递减，
，
，
综上，
．
10
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(ii)
，
，
，
，因为
，所以
，
，
只需证明
，
即只需证明
，
令
，
则
，
，即
成立，
因此
．
2．(2019·上海·第18 题)已知
.
(1)当
时，求不等式
的解集；
(2)若
时，
有零点，求
的范围.
【答案】(1)
；(2)
【解析】(1)当
时，
；
代入原不等式：
；即：
移项通分：
，得：
；
（2）依题意：
在
上有解
参编分离：
，即求
在
值域，
在
单调递增，
；
11
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，故：
.
3．(2016 高考数学江苏文理科·第19 题)已知函数
．
(1)设
，
．
① 求方程
的根；
② 若对于任意
，不等式
恒成立，求实数
的最大值；
(2)若
，
，函数
有且只有1 个零点，求
的值．
【答案】(1)①
；②
；(2) ；
【官方解答】(1)因为
，所以
．
①方程
，即
，亦即
，
所以
，于是
，解得
．
② 由条件知
．
因为
对于
恒成立，且
，
所以
对于
恒成立．
而
，且
，
所以
，故实数
的最大值为4．
(2)因为函数
只有1 个零点，而
，
所以0 是函数的唯一零点．
因为
，又由
，
，知
，
所以
有唯一解
．
令
，则
，
从而对任意
，
，所以
是
上的单调增函数．
于是当
时，
；当
时，
．
12
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因而函数
在
上是单调减函数，在
上是单调增函数．
下证
．
若
，则
，于是
．
又
，且函数
在以
和
为端点的闭区间上的
图象不间断，所以在
和
之间存在
的零点，记为
．
因为
，所以
．又
，所以
，与“0 是函数
的唯一零点”矛盾．
因此，
．
若
，同理可得，在
和
之间存在
的非0 的零点，矛盾．
因此，
．
于是
，故
，所以
．
民间解答：(1)①
，由
可得
，
则
，即
，则
，
；
② 由题意得
恒成立，
令
，则由
可得
，
此时
恒成立，即
恒成立，
∵
时
，当且仅当
时等号成立，
因此实数
的最大值为
．
(2)
，
由
，
可得
，令
，则
递增，
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而
，因此
时
，
因此
时，
，
，则
；
时，
，
，则
；
则
在
递减，
递增，因此
最小值为
，
① 若
，
时，
，
，则
；
logb2 时，
，
，则
；
因此
且
时，
，因此
在
有零点，
且
时，
，因此
在
有零点，
则
至少有两个零点，与条件矛盾；
② 若
，由函数
有且只有1 个零点，
最小值为
，
可得
，
由
，因此
因此
，即
，即
，
因此
，则
．
题型三：函数的应用
1．(2020 江苏高考·第17 题)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底
在
水平线
上、桥
与
平行，
为铅垂线(
在
上)．经测量，左侧曲线
上任一点
到
的距离
(米)与
到
的距离
(米)之间满足关系式
；右侧曲线
上任一点
到
的距离
(米)与
到
的距离
(米)之间满足关系式
．已知点
到
的距
离为
米．
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(1)求桥
的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于
的桥墩
和
，且
为
米，其中
在
上(不包括端
点)．桥墩
每米造价
(万元)、桥墩
每米造价
(万元)(
)．问
为多少米时，桥墩
与
的总造价最低?
【答案】(1)
米(2)
米
【解析】(1)由题意得
米
(2)设总造价为
万元，
，设
，
(0 舍去)
当
时，
；当
时，
，因此当
时，
取最小值，
答：当
米时，桥墩
与
的总造价最低．
2．(2018 年高考数学上海·第19 题)(本题满分14 分，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分)
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族
中的
成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当
中
的成员自驾时，自驾群体的人均
通勤时间为：
，
而公交群体的人均通勤时间不受
影响，恒为40 分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当
在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族
的人均通勤时间
的表达式；讨论
的单调性，并说明其实际意义．
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【答案】(1)
；(2)
，
在
时单调递减，在
时单调递增．实际意义为：当
中
的成员自驾时，该地上班族
的人均通勤时间达到最小值36．875 分钟．
解析：(1)由题意得
且
．
化简得
，即
．所以
或
．
综上所述，当
时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．
(2)①若
，则
．
②若
，则
．
所以
．
当
时，
递减；
当
时，
的对称轴为
，所以
递减，
递增．
综上所述，
递减，
递增．
即：当
中的自驾人数比例在
时，人均通勤时间随着成员自驾的比例增加而减少；当
中
的自驾人数比例在
时，人均通勤时间随着成员自驾比例增加而增加，当
中
的成员自驾时，该地上班族
的人均通勤时间达到最小值36．875 分钟．
实际意义是：自驾人数在一定范围内增加时，交通顺畅；当随着范围进一步增加，交通拥堵，导致通
勤时间增多．所以，对该地区要限制自驾人数．
3．(2015 高考数学上海理科·第20 题)(本题满分14 分)本题共2 个小题，第1 小题6 分，第2 小题8 分
如图，
、
、
三地有直道相通，
千米，
千米，
千米，现甲、乙两警员同时
从
地出发匀速前往
地，经过小时，他们之间的距离为
(单位：千米)．甲的路线是
，速
度是
千米/小时，乙的路线是
，速度为
千米/小时．乙到达
地后在原地等待，设
时，乙
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A
B
C
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到达
地．
(1)求
与
的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离为
千米．
当
时，求
的表达式，并判断
在
上的最大值是否超过
？说明理由．
【答案】(1)
，
；(2)
；最大值不超过3．
解析：(1)由题中条件可知
小时，此时甲与
点距离为
千米，由余弦定理可知
，所以
；
(2)易知，当
时乙到达
位置，所以
①当
时，
；
②当
时，
；综合①②，
当
时，
单调递减，此时函数的值域为
；
当
时，
单调递增，此时函数的值域为
；
当
时，
单调递减，此时函数的值域为
；
由此，函数
在
上的值域为
，而
，即
，
所以
在
上的最大值没有超过3．
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