专题11
对数及对数函数压轴题（学生版）
1.对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝
；(2)logaM
N＝
；(3)logaMn＝
(n∈R)．
2.换底公式
(1).logab＝logcb
logca(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
(2).对数换底公式的重要推论：
(1)logaN＝
1
logNa(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)log
n
m
a b ＝m
nlogab(a>0，且a≠1，b>0)；
3.对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
．
4.对数函数的图象和性质
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0<a<1
图象
定义域
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是
在(0，＋∞)上是
共点性
图象过定点
，即x＝1 时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈
；
x∈[1，＋∞)时，y∈
x∈(0,1)时，y∈
；
x∈[1，＋∞)时，y∈
对称性
函数y＝logax 与y＝
1
log
a
x 的图象关于
对称
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类型一对数的运算
例1(1).已知
18
log 9
a
，18
5
b
，求
18
log 45 .（用,a b 表示）
（2）已知
9
log 4
a
，9
5
b
，求
36
log
45 .（用,a b 表示）
(3).计算下列各式的值．
①
2
1
0
2
3
3
4
2
4
8
3
3
16
3
3
7
2
8
；
②
2
log 3
3
7
18
18
2
log 7 log 9
log 6
log 3
ln
e
．
（4）已知log 3
a
m
，log 2
a
n
（
0
a
且
1
a ）．
(1)求
2
m
n
a
的值；
(2)若
3
log 2 1
m
n
，解关于x 的不等式：
2
(
1)
6
0
tx
at
x
a
（其中t
R
）．
练习题
（1）求下列式子的值：
(1)
1
2
6
2
0
3
3
1
2
9.6
8
1.5
4
.
(2)
ln3
3
4
lg25
2lg2
log 16 log 3
e
.
(3)
1
1
1
0
2
2
3
2
4
4
3
1
3
7
4
2
3
8
(π
3)
4
8
8
9
(4)
2
1
2
log 4
lg1
2
2
3
7
1
log 7 log 8 log 3
2
2
( 2
1)
(lg5)
lg2 lg50
4
(2).求下列各式中x 的值．
(1)
3
log 27
2
x
；
(2)
2
2
log
3
x
；
(3)
27
1
log
9
x
(3).设,
,
1,
1
x y
a
b
R
，若
6,2
16
x
y
a
b
a
b
，则1
1
x
y
的最大值为
.
(4).已知定义在R 上的函数
f
x 满足：
f
x 为奇函数，
1
f x
为偶函数，当0
1
x
时，
2
1
x
f x
，
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则
2
log 2023
f
（
）
A．
999
1024
B．
25
2048
C．
1024
2023
D．
512
999
类型二
比较值的大小
例2.（1）已知
ln6
a
，
2
e
5
e
1
b
，
3
2
c
，则（
）
A．a
b
c
B．a
c
b
C．c
a
b
D．c
b
a
(2).设
3
4
log 4
log 3,3
4
5
a
a
b
a
，则（
）
A．
2
a
b
B．
2
a
b
C．
2
b
a
D．
2
b
a
(3).已知正实数x，y，z 满足2
3
6
x
y
z
，则不正确的是（
）
A．1
1
1
x
y
z
B．2
3
6
x
y
z
C．2
3
6
x
y
z
D．
2
4
xy
z
(4)已知
1
3
8
27
a
，
5
6
1
9
log 6
log 5
2
8
b
，
5
6
18
4log 6
9log 5
c
，则（
）
A．b
a
c
B．b
c
a
C．a
b
c
D．a
c
b
练习题
(1)已知定义在R 上的奇函数
f
x 满足
2
f x
f
x
，当
[0,1]
x
时，( )
3
1
x
f x
，设
1
ln
a
，
2
ln 5
e
b
，
0.1
1
3
c
，则（
）
A．
( )
( )
( )
f c
f b
f a
B．
( )
( )
( )
f b
f c
f a
C．
( )
( )
( )
f b
f a
f c
D．
( )
( )
( )
f a
f b
f c
(2)已知
( )
f x 是定义在(1,
)
上的单调函数，( )
g x 是(0,
)
上的单调减函数，且
2
3
5
x
y
z
f
f
f
，则
（
）
A．(2 )
(3 )
(5 )
g
x
g
y
g
z
B．(5 )
(2 )
(3 )
g
z
g
x
g
y
C．(3 )
(5 )
(2 )
g
y
g
z
g
x
D．(3 )
(2 )
(5 )
g
y
g
x
g
z
(3).已知10
11,
11
12,
9
10
m
m
m
a
b
则（
）
A．
0
a
b
B．
0
a
b
C．
0
b
a
D．
0
b
a
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(4)已知函数
f
x 在
1
0, 2
上单调递减，
1
f x
f
x
，
1
y
f x
为偶函数，当
2, 1
x
时，
1
f x
x
，若
3
3
a
f
，
(ln 2)
b
f
，
3
log 1458
c
f
，则a，b，c 的大小关系是（
）
A．b<c<a
B．c
b
a
C．a
b
c
D．a
c
b
(5)已知函数
2
2
1
2
x
x
f x
，
g x
xf x
，若
ln3
a
g
，
1
3
0.5
b
g
，
3
2
c
g
，则a ，b ，c 的大小
关系为（
）
A．b
a
c
B．c
b
a
C．c
a
b
D．a
b
c
类型三
与对数有关的求参数
例3（1）.已知定义在R 上的函数
f
x ，若函数
1
y
f
x
是偶函数，且
f
x 对任意
1
2
1
2
,
1,
x x
x
x
，
都有
2
1
2
1
0
x
x
f x
f x
，若
ln
1
f
a
f
，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1
0, e
B．1,e
e
C．
3
1 ,e
e
D．
3e ,
(2)函数
1
2
2
log
1
f x
ax
ax
的定义域为R，则实数a 的取值范围是（
）．
A．
0,4
B．
0,4
C．
4,
D．
0,
(3)若函数
2
lg
4
5
f
x
x
x
在
,
1
t t
上单调，则实数t 的取值范围是（
）
A．
1,1
2,4
B．
11
2 4
,
,
C．
,1
2,
D．
, 2
5,
(4).已知命题p ：任意
1 ,2
2
x
，使
2
2
2
log
log
3
0
x
m
x
为真命题，则实数m 的取值范围为（
）
A．
,2
B．
, 2
C．
2 2
,
D．
2,
(5).已知
f
x 是定义在R 上的函数，且
1
f x
关于直线= 1
x 对称.当
0
x
时，
2
1
1
4
2
2
,0
2
2
log
,
2
x
x
f
x
x x
，
若对任意的
,
1
x
m m
，不等式
2
2
f
x
f x
m
恒成立，则实数m 的取值范围是（
）
A．
1 ,0
4
B．1 ,1
2
C．
1,
D．1 ,
2
练习题
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(1).已知
(3
2)
3 ,
1
( )
log
,
1
a
a
x
a x
f x
x x
在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是
.
(2).若函数
2
2
log
3
f x
x
ax
a
在区间
2,上是增函数，则实数a 的取值范围是
．
(3).设函数
1
2
3
49
50
lg
50
x
x
x
xa
f
x
，其中a R ，如果不等式
1 lg50
f
x
x
在区间
1,有
解，则实数a 的取值范围为
．
(4).已知函数
2
2
log
,0
2,
log
4
,2
4,
x
x
f
x
x
x
若
1
2
f a
f
a
，则a 的取值范围是（
）
A．
1
7
0,
2,
2
2
B．
1
7 7
0,
,
2
4 2
C．
17
1
7
0,
2,
4
2
D．
17
1
7 7
0,
,
4
4 2
类型四对数函数的综合应用
例4（1）.设
f
x 是定义在R 上的偶函数，对任意的xR ，都有
2
2
f x
f x
，且当
2,0
x
时，
1
1
2
x
f
x
．若在区间
2,6
内关于x 的方程
log
2
0(
0,
1)
a
f x
x
a
a
，恰有3 个不同的实数根，
则实数a 的取值范围是
．
(2)设0
a
b
，若函数
2
log
1 ,
,
y
x
x
a b
的值域为
0,1 ，则a
b
的取值范围是
.
(3).已知函数
f
x 在定义域D 上是严格增函数.
(1)若
2
2
1
f
x
x
x
，求
f
x 的值域；
(2)若
1
2
2
4
1
log
,
,
(0
4)
2
1
4
x
x
x
f x
D
t t
t
x
的值域为
,
m n ，求m
n
的值；
(3)若
0,
D
，且对定义域D 内任意自变量x 均有
1
1
f
x
f
f
x
x
成立，试求
f
x 的解析式.
练习题
(1).设方程
3
lg
x
x
的两个根为
1
2
,
x x ，则(
)
A．
1
2
0
x x
B．
1
2
1
x x
C．
1
2
1
x x
D．
1
2
0
1
x x
(2).（多选题）已知函数
5
2
3
ln
1
3
f x
x
x
x
，函数
g x 满足
6
g
x
g x
，则（
）
A．
1
lg3
lg
3
3
f
f
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B．函数
f x
g x
的图象关于点
0,6 中心对称
C．若实数a 、b 满足
6
f a
f b
，则
0
a
b
D．若函数
f
x 与
g x 图象的交点为
1
1
2
2
3
3
n
n
x y
x
y
x
y
x
y
,
,
,
,
,
, ,
,
，则
1
1
2
2
3
N*
n
n
x
y
x
y
x
y
n n
（3）已知函数
3
2
ln
1
3
f
x
x
x
x
，
[ 2023,2023]
x
的最大值为M ，最小值为m ，则
M
m
.
（4）已知函数
1
2
2
x
x
f x
．
(1)用定义法证明
f
x 在
0,
上单调递增；
(2)求不等式
2
1
2
f
x
f x
的解集；
(3)若
1
3.5,4
x
，对
2
0,
x
使不等式
2
2
1
1
2
2
log
2
4
1
2
x
x
m
f
x
m f
x
成立，求实数m
的
(5).已知函数
log
log
2
(
0
1)
m
m
f x
x
m
x
m
m
m
且
.
(1)当
1
2
m
时，解不等式
2
log 5
0
f x
；
(2)若对于任意的
3 ,4
x
m m
，都有
( )
1
f x ，求实数m 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在
5
,
,
2
m
，使
f
x 在区间[，β]上的值域是
log
,log
m
m
？若
存在，求实数m 的取值范围:若不存在，说明理由.
类型五能力提升创新题
(1).已知正数, ,
a b c 满足, ,
1,
a b c
a
b
c
，且a
b
c
，记
log
,
log
x
x
x
x
c
b
m
a
b
n
c
a
，现有如下说法：
（1）若
, ,
1,
a b c
，则
1,
x
，都有m
n
x
；
（2）若
, ,
1,
a b c
，则
0,1
x
，都有n
x
m
；
（3）若
, ,
1,
a b c
，则
0,
x
，都有m
x
n
x
m
n
；
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（4）若
, ,
0,1
a b c
，则
1,
x
，都有n
x
m
x
m
n
．
则正确说法的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
(2).（多选题）已知正数a，b，c 满足, ,
1
a b c ，a
b
c
，且a
b
c
，记
log
x
x
c
m
a
b
，
log
x
x
b
n
c
a
，
则下列说法正确的是（
）
A．若
, ,
1,
a b c
，则
1,
x
，都有m
n
x
B．若
, ,
1,
a b c
，则
0,1
x
，都有n
x
m
C．若
, ,
1,
a b c
，则
0,
x
，都有m
x
n
x
m
n
D．若
, ,
0,1
a b c
，则
1,
x
，都有n
x
m
x
m
n
(3).已知函数
( )
y
f x
，若在定义域内存在实数x，使得
(
)
( )
f
x
f x
，则称函数
( )
y
f x
为定义域上的局部
奇函数．若函数
3
( )
log (
)
f x
x
m
是[ 2,2]
上的局部奇函数，则实数m 的取值范围是
．
(4).某中学高一学生组建了数学研究性学习小组．在一次研究活动中，他们定义了一种新运算“”：
ln e
e
x
y
x
y
（e 为自然对数的底数，e
2.718
），x ，y R ．进一步研究，发现该运算有许多奇
妙的性质，如：x
y
y
x
，
x
y
z
x
y
z
等等．
(1)对任意实数a ，b ，c ，请判断
a
b
c
a
c
b
c
是否成立？若成立请证明；若不成立，请举
反例说明．
(2)若
2
a
tx
（
0
t
），
1
b
x
，
2
2
c
tx
，
2
ln e
1
f
x
a
b
b
c
．定义闭区间
1
2
,
x x （
1
2
x
x
）
的长度为
2
1
x
x
，若对任意长度为1 的区间D ，存在m ，n
D
，
1
f m
f n
，求正数t 的最小值．
(5).定义一种新的运算“”：
,x y
R ，都有
lg 10
10
x
y
x
y
.
(1)对于任意实数a，b，c，试判断
a
b
c
与
a
c
b
c
的大小关系；
(2)若关于x 的不等式
2
2
2
2
2
1
lg2
x
a x
a x
的解集中的整数恰有3 个，求实数a 的取值范围；
(3)已知函数
lg
4
4
2
3
lg2
f x
x
x
x
，
1
g x
x
x
，若对任意的
1
R
x
，总存
在
2
3
2
x
,
，使得
1
2
lg 3
2
g x
m
f
x
，求实数m 的取值范围.
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1.已知定义在R 上的函数
f
x 满足：
( )
0
f
x
f x
，
2
( )
f
x
f x
，当0
1
x
时，
2
1
x
f x
，则
2
log 2023
f
（
）
A．
25
2048
B．
999
1024
C．
1024
2023
D．
512
999
2.函数
( )
f x 的定义域为D，若满足：①在D 内是单调函数；②区间[ , ]
a b
D
，使
( )
f x 在[ , ]
a b 上的值域是
,
2 2
a b
，那么
( )
y
f x
就称为“和谐函数”，若函数
( )
log
x
c
f x
c
t (
0
1)
c
c
，
是“和谐函数”，则t 的取
值范围是（
）
A．(0,
)
B．
1
, 4
C．1 ,
4
D．
1
0, 4
3.函数
f
x 在
,
单调递减，且为奇函数.
1
3
f
，则满
3
3 ln
1
0
2
f
x
x
的x 取值范围是
（
）
A．
1
1,0
,
2
B．
3
1,0
,
2
C．
3
0,
3,
2
D．
1,
4.若
ln3
ln 2
a
，
ln 2
ln3
b
，
ln3 ln 2
c
，则（
）
A．a
c
b
B．a
b
c
C．< <
b c a
D．b
a
c
5.已知函数
2
3
1
ln
1
1
f x
x
x
x
且
2
3
2
f
a
f
a
，则实数a 的取值范围为（
）
A．
1,
B．
3,
C．3 ,
2
D．
4,
6.已知
1
2
,
x x 是函数
( )
| ln
|
x
f x
e
x
的两个零点，则（
）
A．
1
2
1
1
x x
e＜
＜
B．
1
2
1
x x
e
C．
1
2
1
10
x
x
D．
1
2
10
e
x x
7.定义域是R 上的函数
f
x 满足
2
2
f x
f x
，当
0,2
x
时，
2
2
,
0,1
log
,
1,2
x
x x
f
x
x x
，若
4, 2
x
时，
1
4
2
t
f
x
t
有解，则实数t 的取值范围是（
）
A．
2,0
0,1
B．
2,0
1,
C．
2,1
D．
, 2
0,1
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8.已知
2
2
log
,0
2
8
14,
2
x
x
f x
x
x
x
，若存在互不相同的四个实数0
a
b
c
d
满足
f a
f b
f c
f d
，则
2
ab
c
d
的取值范围是（
）
A．
13
2,13
2
B．
13
2,15
C．13
2,15
D．
13
2,15
9.已知函数
log
2
3
4(
0
a
y
x
a
且
1)
a
过定点P ，且定点P 在直线:
7
0(
0)
l ax
by
b
上，则
1
1
2
4
a
b
的最小值为
．
10.已知函数
3
3
1
9log
log
f x
x
x
，
1
9
3
1
x
x
g x
m
，
0
m
．
(1)求函数
f
x 在区间
1,上的最小值；
(2)若对
1
1,
x
，
2
1,2
x
，使得
1
2
2
f x
g x
成立，求实数m 的取值范围．
11.已知f(x)+g(x)＝log2（2﹣x），其中f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性；
(3)解关于t 不等式f（t﹣1）+f（2t+1）﹣3t＞0．
12.函数
( )
lg 9
3
x
x
f x
a
．
(1)若
( )
f x 的定义域为R，求实数a 的取值范围；
(2)当
0
a
时，若
( )
f x 的值域为R，求实数a 的值；
(3)在（2）条件下，( )
g x 为定义域为R 的奇函数，且
0
x
时，
( )
( )
10
9
f x
x
g x
，对任意的
R
t
，解关于
x 的不等式
3
2
( )
2
|
( ) |
g
x
g x
tx
t
g x
．
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