文档文本内容
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第06 讲 一元二次方程根与系数的关系
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1、利用根与系数的关系直接求代数式的值
题型2、利用根与系数的关系间接求代数式的值
题型3、利用根与系数的关系降次求代数式的值
题型4、利用根与系数的关系求参数的值
题型5、构造一元二次方程求代数式的值
题型6、利用根与系数的关系判断根的情况
题型7、根的代入与根与系数的关系结合问题
题型8、根与系数的关系中新定义问题
题型9、根与系数关系的多结论判断
题型10、根与系数关系与几何图形结合
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
两根之和
两根之积
1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的推导过程与核心
公式。
2.能熟练运用两根之和、两根之积公式进行简单代数式求值与变形计算。
3.学会利用根与系数的关系，不解方程判断根的符号、关系及相关特征。
4.掌握根据方程根的条件逆向求解参数取值，养成结合判别式检验的解题习
惯。
5.体会数形结合与整体代换的数学思想，提升综合分析与运算推理能力。
学习重点：熟记韦达定理公式，不解方程，利用两根关系完成代数式求值计算。
学习难点：灵活变形代数式，同时结合判别式，综合求解字母参数取值范围。
知｜识｜框｜架
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知识点
01
一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程
的两个根分别为
、
，则方程的两个根与各系数a、b、c 之间
具有以下关系：
.
1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”；
2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即
；
3.当一元二次方程的二次项系数为1 时，如
，其两根关系为
.
即时即练
1．若一元二次方程
的两个实数根为
，
，则
的值是（ ）
A．7
B．4
C．3
D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键．
利用一元二次方程根与系数的关系，对于方程
，两根之和为
进行计算即可．
【详解】∵ 方程
中，
，
，
∴
．
故选：B．
2．若
是方程
的两个实数根．则代数式
的值等于___________．
【答案】
知｜识｜精｜讲
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【分析】本题考查了根与系数的关系．根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出
，
，再将其代入
，即可求出结论．
【详解】解：
，
是方程
的两个实数根，
，
，
．
故答案为：
．
3．已知
，
是方程
的两个根．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)9
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程
，若
是方
程的两个根，那么
，
．
（1）
变形为
，即可求解；
（2）
变形为
，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，
，
．
；
（2）解：
．
知识点
02
一元二次方程根与系数关系的应用
1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数
2.求与两个根有关的代数式的值
3.不解方程，判定根的符号
除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于
、
的对称式的值，涉及到的变形如下：
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1、x1
2+ x2
2=( x1+ x2)
2−2 x1 x2
2、( x1−x2)
2=( x1+ x2)
2−4 x1 x2
3、| x1−x2|=√( x1+ x2)
2−4 x1 x2
4、1
x1
+ 1
x2
= x1+ x2
x1 x2
5、1
x1
2 + 1
x2
2 = ( x1+ x2)
2−2 x1 x2
( x1 x2)
2
6、x1
3+ x2
3=( x1+ x2)
3−3 x1 x2( x1+ x2)
7、( x1+m)( x2+m)= x1 x2+m( x1+ x2)+m
2
即时即练
4．若方程
的两个根是
和
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：
一元二次方程的两个根为
和
，则
，
．
【详解】解：∵
和
是方程
的两个根，
∴
，
，
∴
，
故选：C
5．已知m，n 是方程
的两个实数根，则
的值是______．
【答案】19
【分析】由一元二次方程的解、根与系数的关系得
，
，再代入
即可
求解．
【详解】解：∵m，n 是方程
的两个实数根，
∴
，
，
∴
，
∴
．
6．已知关于
的一元二次方程
有两个实数根
，
．
(1)求实数
的取值范围；
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(2)若方程的两个实数根
，
满足
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据
列出关于
的不等式解答即可求解；
（
）利用一元二次方程根和系数的关系及完全平方公式解答即可求解；
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形运算，熟练掌
握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，
，
解得
；
（2）解：由根和系数的关系得，
，
，
∵
，
∴
，
即
，
整理得，
，
解得
或
，
∵
，
∴
．
题型1、利用根与系数的关系直接求代数式的值
1．已知
，
是一元二次方程
的两个实数根，则
（ ）
A．3
B．
C．10
D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解，若
是一元二次方程
的两个实
数根，则
，直接代入系数即可得到结果．
【详解】解：∵
是一元二次方程
的两个实数根，
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∴ 根据根与系数的关系得
．
2．若
是一元二次方程
的两个实数根，则
的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．5
【答案】A
【分析】对于一元二次方程
，若方程有两个实数根
，则两根之积
，据此
计算即可．
【详解】解：∵
是一元二次方程
的两个实数根，方程中
，
∴
．
3．已知
、
是一元二次方程
的两个实数根，则
______．
【答案】
【分析】对于一元二次方程
，若方程有两个实数根，根据根与系数的关系可得
，
，据此求解即可．
【详解】解：已知一元二次方程
，
其中
，
，
，
因此可得：
，
，
将其代入所求代数式得：
．
4．若
，
是一元二次方程
的两根，则
__________．
【答案】
【分析】先将所求代数式变形，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积的值，代入变形后的代数
式进行计算即可．
【详解】解：
，
是一元二次方程
的两根，
由根与系数的关系可得，
，
，
则
．
5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
，
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(2)
，
(3)
，
【详解】（1）解：
，
，
；
（2）解：
，
，
；
（3）解：
，
，
．
题型2、利用根与系数的关系间接求代数式的值
6．已知
、
是一元二次方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．-3
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入
计算即可得到结果．
【详解】解：
、
是一元二次方程
的两个根，
∴
，
，
∴
．
7．已知a，b 是一元二次方程
的两个根，则
的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．9
【答案】D
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【分析】本题先将所求代数式因式分解为完全平方形式，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之
和，整体代入即可计算出结果．
【详解】解：∵
，
是一元二次方程
的两个根
∴根据一元二次方程根与系数的关系，得
又∵
∴将
代入得，原式
．
8．若
，
是一元二次方程
的两根，则
的值为________．
【答案】
【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得
，
，对代数式进行化简，然后代入求解即
可．
【详解】解：由
，
是一元二次方程
的两根可得
，
，
∴
，
将
，
代入可得
原式
．
9．已知关于
的方程
．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根为
，
，求代数式
的值．
【答案】(1)
证明：方程
中
，
，
，
所以，该方程总有两个实数根．
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得
，所以方程一定有两个实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
，
，把
展开后
整体代入即可求出结果．
【详解】（1）略
（2）解：由题意得：
，
，
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．
10．已知关于
的一元二次方程
的两个实数根为
，
，其中
为实数．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由根与系数的关系得
，
，结合已知的
，即可求得
，
的值，代入即可
求得
的值；
（2）由根与系数的关系得
，
，对所求代数式先通分，再利用完全平方公式变形，代入所求代数
式的值求解即可．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：
，
一元二次方程
为
，
，
，
，
．
题型3、利用根与系数的关系降次求代数式的值
11．若
，
是一元二次方程
的两个实数根，则代数式
的值为（ ）
A．0
B．2027
C．2026
D．
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【答案】B
【详解】解：∵
，
是一元二次方程
的两个实数根，
∴
，
，
．
12．已知
，
是方程
的两个实数根，则代数式
的值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．2025
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的定义化简所求代数式，再结合根与系数的关系代入求值，掌握一元二次方
程根的性质是解题的关键．
【详解】解：∵
，
是方程
的两个实数根
∴ 由根的定义得
，
由根与系数的关系得
，
对所求式子变形
同理可得
∴ 原式
代入得原式
．
13．一元二次方程
的两个实数根分别是
、
，则
（ ）
A．
B．
C．7
D．10
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次变形
，再结合一元二次方程两
根之和的关系计算即可得到结果．
【详解】解：∵一元二次方程
的两个实数根分别是
、
，
∴
，即
，
∴
，
∵
，
∴
．
14．若a，b 是一元二次方程
的两个实数根，则
_______．
【答案】
【分析】由
，
是一元二次方程
的两个实数根，则
、
，再化简得
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，然后进行计算即可解答．
【详解】解：a，b 是一元二次方程
的两个实数根，
，
，
，
，则
，
∴
．
15．设
为一元二次方程
的两个实数根，则
的值为_____．
【答案】2026
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到
，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关
系得到
的值，代入计算即可．
【详解】解：
是一元二次方程
的实数根，
，即
，
对所求代数式变形：
，
是一元二次方程
的两个实数根，
根据根与系数的关系可得
，
代入得原式
．
【易错警示】
运用根的定义进行降次求值时，容易代换出错，不会把高次代数式逐步降为一次式。解题时常忘记结合韦
达定理整体代入两根之和与积。部分学生反复代入原方程，运算繁琐，出现计算错误，缺少逐步化简的解
题逻辑。
题型4、利用根与系数的关系求参数的值
16．关于
的方程
有两个不相等的实数根
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】先利用一元二次方程根的判别式确定
的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系结合已
知条件列方程求
，最后舍去不符合范围的解即可．
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【详解】对于方程
，其中
，
，
，
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴
，
代入计算得
，
解得
，
根据根与系数的关系可得
，
，
∵
，
∴ 代入得
，
整理得
，即
，
解得
或
，
∵
，
∴
．
17．关于
的方程
的两个实数根分别为
，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．5
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代
入已知等式求解
，最后验证方程有实根即可．
【详解】对于一元二次方程
，其中
，
，
，
因为方程有两个实数根
，
，
所以由根与系数的关系可得：
，
，
又因为
，
将上述结果代入等式得
，
解得
，
验证判别式：
，符合方程有两个实数根的条件，
因此
．
18．关于x 的方程
的两根分别为
和
，若
，则
_______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一般形式得到两根之积与
的关系，代入已知条件即可求解
．
【详解】解：∵关于x 的方程
的两根分别为
和
，
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∴
，
∵
，
∴
．
19．已知
，
是关于
的一元二次方程
的两个实数根，且
，则
__________．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解题的关键；已知一元二次方程的两个实
数根满足
，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，再利用完全平方公式变
形得到关于
的方程，求解
后，结合方程有两个实数根需满足判别式大于等于
，舍去不符合条件的解，
即可得到
的值．
【详解】解：
，
是一元二次方程
的两个实数根，
由根与系数的关系可得
，
，
又
，且由完全平方公式得
，
代入得
，
整理得
，
因式分解得
，
解得
或
，
方程有两个实数根，
根的判别式
，
计算得
，
当
时，
，此时方程无实数根，舍去，
当
时，
，此时方程有两个不相等的实数根，符合要求．
20．已知关于x 的一元二次方程
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根x₁，x₂ 满足
求k 的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式
，因为一元二次方程
，当
时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的
，再计算
并证明其非负．
（2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根
，所以先写出
和
的表达式，再将等式
展开，代入
和
的表达式得到关于
的方程，解
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方程即可．
【详解】（1）证明：在方程
中，
,
,
,
则
．
∵
∴
．
∴不论
为何值，方程总有两个实数根．
（2）解：在方程
中，
,
,
,
∴
．
∵
∴
,
解得
．
∴
的值为3．
题型5、构造一元二次方程求代数式的值
21．实数
、
满足
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】根据题意
、
可看作方程
的两个不相等的实数根，根据一元二次方程根和系数的
关系，得到
，再将
代入
求解即可．
【详解】解：
，
，
、
可看作方程
的两个不相等的实数根，
，
，
．
22．已知实数
、
分别满足
，
，则
的值为（ ）
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A．
B．2
C．
或2
D．6 或2
【答案】C
【分析】分两种情况：当
时，实数
、
是方程
的两个解，由一元二次方程根与系数的
关系可得
，
；当
时，分别计算即可得出结果．
【详解】解：当
时，
∵实数
、
分别满足
，
，
∴实数
、
是方程
的两个解，
∴
，
，
∴
；
当
时，
；
综上所述，
的值为
或2．
23．两个非零实数
，
（
）满足
，
，则
的值为_________．
【答案】
【分析】可判断
，
是一元二次方程
的两个根，利用根与系数的关系求出
和
的值，
再将所求代数式变形代入计算即可求解．
【详解】解：
，
满足
，
，
，
是一元二次方程
的两个根，
由根与系数的关系得：
，
，
．
24．已知
，且
，
，则
的值为___________．
【答案】
/
【分析】由题意可得
、
是一元二次方程
的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与
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系数的关系可得
，
，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果．
【详解】解：∵
，且
，
，
∴
、
是一元二次方程
的两个不相等的实数根，
∴
，
，
∴
．
25．阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程
的两个根为
，
，则
，
．材料2：已知一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，求
的值．
解：
一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，
，
，则
．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程
的两个根为
，
，则
________，
________．
(2)类比应用：已知一元二次方程
的两根分别为m、n，求
的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t 满足
，
，且
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出
，再根据
，最后代入求值即可；
（3）由题意可将、可以看作方程
的两个根，即得出
，从而可求
出
，即
或
，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程
的两个根为
，
．
（2）解：∵一元二次方程
的两个根分别为
，
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，
．
（3）解：∵实数
满足
，
∴
可以看作方程
的两个根，
，
，
或
，
当
时，
，
当
时，
，
综上可知，
的值为
或
．
【易错警示】
构造一元二次方程求值时，容易整理等式出错，无法准确搭建方程。常常忽略二次项系数不为零的条件，
也不检验判别式。不会灵活使用整体代换，强行求出未知数再计算，大幅增加运算量，极易出现计算失
误。
题型6、利用根与系数的关系判断根的情况
26．已知方程
的一根为
，则方程的另一根为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】一元二次方程根与系数的关系：两根之积等于常数项与二次项系数的比，据此求解即可．
【详解】解：设方程
的两根为
，
由根与系数的关系得：
，
∵
，
∴
，
因此方程的另一根为
．
27．已知
，
是方程
的两根，下列结论一定正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
，
【答案】A
【分析】根据判别式即可判断A；根据根与系数的关系得到
，
，进而可
判断B，C，D．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴方程有两个不相等的实数根，即
，故A 正确；
∴
，
∵
的符号不确定，
∴
不一定成立，故B 错误；
∴
，故C 错误；
∵
仅说明两根异号，无法确定
，
，也可能
，
，故D 错误．
28．如果关于x 的一元二次方程
有两个实数根
，
，且满足
，
，
则该方程的解为（）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】根据已知条件得到
与
的关系，结合一元二次方程两根之和的性质和
的条件，即可计算
出方程的根．
【详解】∵
，
∴
，
对于一元二次方程
，两根之和满足
，
∵
，
，
解得
，
∴
，
即方程的解为
，
．
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29．一元二次方程：
与
的所有实数根的和为________
【答案】2
【分析】先确定方程的根的情况，再由 二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：因为方程
化为一般形式为
，
因为此方程
，
所以有两个不相等的实数根，两根之和为
，
方程
化为一般形式为
，
因为此方程
，
所以无实数根．
所以
与
的所有实数根的和为2．
30．已知关于
的方程
．
(1)求证：无论
取何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若等腰
的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求
的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
的周长为16 或14
【分析】（）一元二次方程实根情况由判别式决定，当有两个不相等的实数根时，判别式大于0；
（
）计算方程的两个根，讨论两根分别为腰的情况．
【详解】（1）证明：对于方程
，
无论
取何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）
，解得
，
该等腰三角形的两条边长分别为
和
，
已知等腰
的一边长为5，分两种情况讨论：
①当
时，此时三边长分别为5，5，6，可以构成三角形，此时周长为
；
②当
时，
，此时三边长分别为4，5，5，可以构成三角形，此时周长为
；
综上，
的周长为16 或14．
【点睛】本题主要考查一元二次方程实根情况与系数的关系，解含参数一元二次方程，等腰三角形在没告
诉腰具体是哪条边的情况下，要进行分类讨论．
【易错警示】
仅凭两根之和与积判断根的正负时，容易忽略判别式，默认方程一定有实数根。不会综合分析两根同号、
异号的条件，缺少分类讨论。还容易记错两根和的符号，条件考虑不全面，造成根的符号判断失误。
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题型7、根的代入与根与系数的关系结合问题
31．已知
和
是方程
的两个解，则
的值为（ ）
A．2025
B．2026
C．2027
D．2028
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x 的一元二次方程
的两个实数根
，
和系数a，b，c，有如下关系：
，
，由题意
可得
，
，将所求式子变形为
，整体代入所求式子计算即可得解，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵
和
是方程
的两个解，
∴
，
，
∴
，
∴
．
32．已知α，β 是方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】利用方程根的定义化简所求式子，再根据两根之积得出
，最终计算结果．
【详解】解：∵α 是方程
的根，
∴
．
对
变形，得
.
同理可得，
.
∴原式
．
∵α，β 是方程的两个根，得
．
∴原式
．
33．已知
，
是方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的定义对所求的代数式降次变形，再结合根与系数的关系得到两根乘积，代
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入计算即可．
【详解】
，
是方程
的两个根，
由方程根的定义得
，
，
由一元二次方程根与系数的关系得
，
，
又
，
，
由
，得
，
，
原式
，
将
代入得：原式
．
34．已知
是方程
的两个实数根，则
的值为
__________．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根的定义得
，
，进而求得
，
，再结合根与系数的关系代入求值即可．
【详解】解：
，
是方程
的两个实数根
由根的定义得
，
∴
，
，
由根与系数的关系得
，
原式
．
35．一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，
从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题：
(1)【概念辨析】若关于
的方程
是一元二次方程，则
的值是____．
(2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解：
①用配方法解：
；
②用公式法解：
；
③用因式分解法解：
．
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(3)【综合应用】已知
，
是一元二次方程
的两根，请尝试计算
的
值．
【答案】(1)
(2)选择方程①，
，
（答案不唯一）；
(3)
【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2 的整式方程即可得；
（2）根据解一元二次方程的方法解答即可；
（3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再
由根与系数的关系：
，
即可得．
【详解】（1）解：由题意，得
且
，解得
；
（2）选择方程①
由方程
；得：
，
，
，
，
，
∴
，
；
选择方程②
，
，
，
，
，
；
选择方程③
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或
，
；
（3）
，
是一元二次方程
的两根，
代入得：
，
，且
，
，
．
题型8、根与系数的关系中新定义问题
36．对于任意实数
，
，定义一种新运算“⊙”：
，若关于x 的方程
，已知该方程的两个根为
、
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】A
【分析】先根据新定义代入
，
，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系
即可得到答案.
【详解】∵
，且
，
∴ 将
，
代入得：
，
整理得：
，
∴
．
37．对于任意实数a，b，定义新运算“
”：
，例如：
．
若m，n 是方程
的两个实数根，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由
得：
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，由根与系数的关系得
；再把所求代数式通分，整体代入即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
整理得：
，
∵m，n 是方程
的两个实数根，
即m，n 是方程
的两个实数根，
∴
；
∴
；
故选：A．
38．定义：我们把关于
的一元二次方程
与
称作一对“友好方
程”．如
的“友好方程”是
．那么一元二次方程
的“友好
方程”的两根之和为__________．
【答案】
【分析】根据友好方程的定义得到目标一元二次方程，再利用根与系数的关系计算两根之和即可．
【详解】解：根据“友好方程”的定义，可得
的“友好方程”为
，
设该方程的两个根为
，
，
∴
．
39．对于任意实数
，
，我们定义新运算“ ”：
，例如
．若
，
是方程
的两根，则
的值为____________．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一元
二次方程是解题的关键．
根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得
，
，再结合分式的加减及
完全平方公式代入计算可求解．
【详解】解：由题意得
即为
，
化简得
，
，
是该方程的两根，
，
，
故答案为：
．
40．我们定义：如果关于
的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的
倍，
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则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请说明方程
是倍根方程；
(2)若
是倍根方程，则
，
具有怎样的关系？
(3)若一元二次方程
有两个实数根且是倍根方程，则
，的等量关系是______（直接写出结
果）．
【答案】(1)见解析；
(2)
或
；
(3)
．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识．
（1）利用配方法解方程得到
，
，然后根据“倍根方程”可判断方程是倍根方程；
（2）利用因式分解法解方程得
，
，再利用“倍根方程”的定义即可求解；
（3）设一元二次方程
的两个根为
，
，且
，根据根与系数的关系得
，即可求解．
【详解】（1）解：
，
，
，
该方程是倍根方程；
（2）解方程
得
，
，
该方程是倍根方程，
或
；
（3）设一元二次方程
的两个根为
，
，且
，
，即
，
整理得
．
题型9、根与系数关系的多结论判断
41．关于x 的方程
，有下面5 个说法：
①存在实数k，使得方程无实数根；
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②存在实数k，使得方程恰有1 个实数根；
③存在实数k，使得方程恰有2 个不同实数根；
④存在实数k，使得方程恰有3 个不同实数根；
⑤存在实数k，使得方程恰有4 个不同实数根；
其中正确的说法有（ ）个
A．0
B．2
C．3
D．5
【答案】C
【分析】设
，则原方程可变形为
（1），利用一元二次方程根的判别式可得
，再分三种情况讨论，结合一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，即可求解．
【详解】解：设
，
则原方程可变形为
（1），
∴
，
∴当
，即
时，方程（1）没有实数根，
即存在实数k，使得方程无实数根，故①正确；
当
，即
时，方程（1）有两个相等实数根
，
∴
，
解得：
，
即存在实数k，使得方程恰有1 个实数根，故②正确；
当
，即
时，方程（1）有两个不相等实数根
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
∴
无实数根，
有2 个不相等的实数根，
∴存在实数k，使得方程恰有2 个不同实数根，故③正确；不存在实数k，使得方程恰有3 个或4 个不同实
数根，故④⑤错误；
∴正确的说法有3 个．
故选：C
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是用换元的思想，将原方程转化为较简单
的方程，本题分类比较复杂，属于较难试题．
42．若点
与点
关于y 轴对称，则下面关于x 的一元二次方程
根的说法正确
的是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．
是原方程的一个根C．两根之和为
D．两根
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之积为
【答案】D
【分析】先根据关于y 轴对称的点的坐标特征求出m 的值，再代入一元二次方程，结合一元二次方程根的
判别式和根与系数的关系判断各选项即可．
【详解】解：∵点
与点
关于
轴对称，关于
轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反
数
∴
将
代入方程得
方程中
，
，
∵
∴方程有两个不相等的实数根，A 错误；
将
代入方程，左边
∴
不是原方程的根，B 错误；
对于一元二次方程
，两根之和为
∴两根之和为
，C 错误；
对于一元二次方程
，两根之积为
∴ 两根之积为
，D 正确．
43．关于
的一元二次方程
的解的情况，下列说法错误的是（ ）
A．方程必定有两个不相等的实数根
B．若方程有解，则两个解必定异号
C．若
，则两根之和为
D．若方程有解，则两个解的和为负数
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，先确定方程系数，计算判别式判断根的情
况，再根据两根之积、两根之和逐一判断选项即可．
【详解】解：对于一元二次方程
，可得
，
，
，
A：计算判别式判断根的个数：
，
∵
，
∴
恒成立，
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∴方程总有两个不相等的实数根，A 选项说法正确；
B：判断两根符号： 两根之积为
，
∴两根必定异号，B 选项说法正确；
C： 两根之和为
，当
时，两根之和为
，C 选项说法正确；
D： 两根之和为
，当
时，
，此时两根之和为正数，
因此“若方程有解，则两个解的和为负数”不成立，D 选项说法错误．
44．已知
，
为关于x 的一元二次方程
的实数根，嘉嘉，淇淇两人作出了如下判断．
嘉嘉：当
时，
；
淇淇：当
时，
．
则关于两人的判断说法正确的是（）
A．嘉嘉正确，淇淇错误
B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉、淇淇都正确
D．嘉嘉、淇淇都错误
【答案】A
【分析】1．分析嘉嘉的判断：利用根的判别式
，将
代入判别式，根据判别式与0 的大
小关系判断结论．
2．分析淇淇的判断：根据一元二次方程根与系数的关系
、
，联立
求出
、
或直接求出
的值，再判断
是否成立．
【详解】解：根据题意得
，
当
时，
，∴
，故嘉嘉说法正确；
根据题意得
，
，
∵
，∴
，
，∴
，解得
，故淇淇说法错误．
45．如果关于x 的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则称这样
的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程
是倍根方程；②若
是倍根方程，则
；③若
，则关于x 的方程
是倍
根方程；④若方程
是倍根方程，且
，则方程
的一个根为1．其中正
确的是_______．（写出所有正确说法的序号）
【答案】②③④
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键在理解题意，正确作
出判断．
通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出
，
，
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再结合“倍根方程”的定义，得出
或
，进而得出
或
，然后再用十字相乘
法分解
，再把
，
代入，即可判断说法②；通过解出一元二次方程，结合
“倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“倍根方程”的定义，设
，再根据一元二次方程根
与系数的关系，得出
，进而得出
，解出即可判断说法④．
【详解】解：①解方程
得：
，
∴方程
不是倍根方程，故①不正确；
②∵
是倍根方程，且
，
，
∴
或
，
∴
或
，
∴
，故②正确；
③∵
，
解方程
得：
，
，
∴
，故③正确；
④∵方程
是倍根方程，
∴设
，
∵
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，即方程
的一个根为1．
故④正确．
综上所述，说法正确的为：②③④．
故答案是：②③④
题型10、根与系数关系与几何图形结合
46．已知a，b，4 分别是三角形三边的长，且a，b 是一元二次方程
的两个根，则该三角形的
周长等于（ ）
A．16
B．11
C．9
D．7
【答案】B
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出
，
，验证三边满足三角形三边关系后，
即可计算出周长．
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【详解】解：∵
，
是一元二次方程
的两个根，
∴
，
，
∵a，b，4 分别是三角形三边的长，
∴
，且
，
∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形，
∴ 三角形的周长为
．
47．若方程
的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，则该三角形斜边上的中线长为
______．
【答案】6.5/
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到
，
，进而得到
，再利用勾股定
理得到该三角形斜边长，最后根据直角三角形性质求解，即可解题．
【详解】解：
，
，
，
方程
的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，
该三角形斜边长为
，
该三角形斜边上的中线长为
，
故答案为：6.5．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，勾股定理，直角三角形性质，解题的关
键在于熟练掌握相关性质．
48．已知3 是关于x 的方程
的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形
的两条对
角线的长，则菱形
的面积为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质以及一元二次方程的解和根与系数的关系，正确得出方程的两根之积
是解题关键．
首先利用一元二次方程的解得出m 的值，再利用根与系数的关系得出方程的两根之积，再结合菱形面积公
式求出答案．
【详解】解：∵3 是关于x 的方程
的一个根，
∴
，
解得：
，
∴原方程为：
，
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∴方程的两根之积为：
，
∴菱形
的面积为：
．
故答案为：
．
49．现有一个面积为
的菱形，且该菱形的两条对角线长分别是关于x 的一元二次方程
的两个实数根，则该菱形的一个内角的度数为______．
【答案】
或
【分析】设菱形的两条对角线长分别为
，根据菱形的面积公式得到
，根据根与系数的关系
得到
，求解一元二次方程得到菱形的两条对角线长分别为2 和
，再利用菱形的性质、勾
股定理、等边三角形的性质与判定即可求解．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为
，
∵菱形的面积
，
∴
，
∵
是关于x 的一元二次方程
的两个实数根，
∴
，
∴
，
解得：
，
，
∴菱形的两条对角线长分别为2 和
，
如图，菱形
的对角线
，
，
则
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
是等边三角形，
∴
，
又∵菱形
，
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∴
，
，
∴该菱形的一个内角的度数为
或
．
故答案为：
或
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理、等边三角
形的性质与判定，掌握菱形的性质是解题的关键．
50．已知关于x 的一元二次方程：
．
(1)设
，
是方程的两个根，求
（用含m 的式子表示）；
(2)当
时，此方程的两个根分别是菱形
两条对角线长，求菱形
的面积．
【答案】(1)
(2)菱形
的面积是3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求菱形的面积，熟练掌握一元二次方程根与系数的关
系及求菱形的面积的方法是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系， 可得
，
，再将
变形为
，即可求解；
（2）当
时，
，即可代入菱形面积公式求解．
【详解】（1）解：对于关于x 的一元二次方程
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当
时，
，
此时菱形
的面积为
．
1．一元二次方程
的两根为
、
，则
的值是（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系
，即可求解．
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【详解】解：一元二次方程
的两根为
、
，则
．
2．关于x 的一元二次方程
的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个相等的实数根且两根同号
C．有两个不相等的实数根且两根异号
D．没有实数根
【答案】C
【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式，通过根的判别式判断根的个数，再根据两根之积判断两
根符号，即可得出结论．
【详解】解：将原方程整理为一般形式得
因此方程有两个不相等的实数根
设方程的两根为
，
因此方程的两根异号
因此方程有两个不相等的实数根且两根异号．
3．若
是方程
的两个实数根，则
的值为（ ）
A．2022
B．
C．2023
D．2027
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求
解即可．
【详解】解：由题意，
，
，
∴
，
∴
；
故选C．
4．方程
的两个根为
、
，若
，则
的值是（ ）
A．
B．3
C．6
D．
【答案】A
【分析】本题考查了根与系数的关系．根据
，可求出m 的值；再由
，即可求出答案．
【详解】解：∵方程
的两个根为
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
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∴
，
∴
．
故选：A．
5．已知
，且
，则
的值为（ ）．
A．
B．
C．5
D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把
整理得
，则
，再因为
，同理得
，则
和
是方程
的两个根，运用根与系数的关系进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵
，
∴
，
，
设
，则方程变为
，
∵
，
∴设
，方程同样变为：
，
因此，
和
是方程
的两个根，
∴
，
故选：D．
6．已知一元二次方程
的两根分别为
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：
一元二次方程
的两个根为
，
，则
，
．
【详解】解：∵已知一元二次方程
的两根分别为
，
，
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∴
，
，
∴
．
故选：
．
7．若m，n 为方程
的两根，则
的值（ ）
A．1
B．
C．
D．4049
【答案】B
【分析】本题主要考查了方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握根与系数的关系成为解
题的关键．根据方程的解以及根与系数的关系可得
、
、
，再对所求
代数式变形，最后代入计算即可．
【详解】解：∵m，n 为方程
的两根，
∴
、
、
∴
，
，
∴
，
故选：B．
8．已知
是一元二次方程
的两个实数根，则代数式
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可．
【详解】解：∵
是一元二次方程
的两个实数根，
∴由根与系数的关系可得
，
，
∴
，
将
，
代入上式，原式
，
故选B．
9．设
是方程
的两个根，则代数式
的值等于（ ）
A．
B．4
C．
D．12
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，得到
，
，
，然
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后通过
将高次项降次后得到
，然后代入求值．
【详解】解：∵
是方程
的两个根，
∴
，
，
，
∴
，
，
∵
，
∴原式
．
10．若关于
的一元二次方程
有一根小于1，一根大于1，则
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造不等式
，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于
的不等式求解，同
时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根．
【详解】解：设方程
的两根为
、
，且
，
，
由根与系数的关系得
，
，
∵
，
，
∴
，即
，
∴
，解得
，
又判别式
，
当
时，
，故
，方程有两个不相等的实数根，满足条件；
综上，
的取值范围是
．
11．方程
的两个根为
，则
_________．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再代入式子计算即可．
【详解】解：∵方程
的两个根为
，其中
，
，
.
∴
，
，
∴
．
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12．已知
、
是关于x 的一元二次方程
的两个实数根，其中
，则
的值为______．
【答案】
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，代入已知根即可计算出另一个根
【详解】解：
、
是一元二次方程
的两个实数根，
根据根与系数的关系可得：
，
又
，
，
解得
13．设
，
是关于
的方程
的两个根，且
，则
的值是____________．
【答案】
【分析】对于给定的一元二次方程，先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入已知等式计
算得到
的值．
【详解】解：∵
，
是方程
的两个根
根据根与系数的关系，得
，
将
，
代入
得：
解得：
．
14．已知
，
是关于x 的一元二次方程
的两根，且
，则k 的值为______．
【答案】2
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再代入题目给出的等量关系求解
即可．
【详解】解：
，
是一元二次方程
的两根，
由根与系数的关系得
，
，
，
，
解得
．
15．若
，
是关于
的方程
的两个根，且
，则
的值为________．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得到
，求出
k 的值，并根据根的判别式判断方程根的情况解答即可．
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【详解】解：∵
，
是关于
的方程
的两个根，
∴
，
解得
，
当
时，方程为
，
，方程有两个不相等的实数根，符合条件．
故答案为：
．
16．已知m，n 满足
，
（m，n 是实数，且
），则
的值为______．
【答案】
【详解】解：由m，n 满足
，
（m，n 是实数，且
），可知：把m，n 看作
是一元二次方程
的两个根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：
．
17．已知不相等的实数
，
满足
，
，则代数式
的值等于______．
【答案】
【分析】根据
，
满足
，
得出
，
是一元二次方程
的两个不相等
的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系对称
，
，把
变形为
，
把
，
代入即可得出答案．
【详解】解：∵不相等的实数
，
满足
，
，
∴
，
是一元二次方程
的两个不相等的实数根，
∴
，
，
∴
．
18．已知菱形
的两条对角线的长分别是方程
的两个根，则该菱形的面积为_____．
【答案】
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【分析】先利用根与系数的关系得到两条对角线的乘积，再代入面积公式计算即可．
【详解】解：设菱形
的两条对角线的长分别为
，
是一元二次方程
的两个根，
由根与系数的关系可得
，
菱形
的面积
．
19．设关于x 的方程
的两根分别是
、
，则代数式
的值为______．
【答案】2027
【分析】根据一元二次方程的根的定义可得
，进而可得
，根据一元二次方
程根与系数的关系可得
，再将原式变形为
，整体代入即可求解．
【详解】解：
方程
的两根分别为
，
，
，
，
．
20．已知m、n 是一元二次方程
的两个根，计算
_____
．
【答案】2014
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义和根与系数的关系，熟练掌握利用根的定义对多项式变
形以及根与系数的关系公式是解题的关键．利用根的定义将多项式变形，再结合根与系数的关系（韦达定
理）简化计算．
【详解】解：∵m 是方程
的根，
∴
，
∴
．
∵n 是方程
的根，
∴
，
∴
．
又∵m、n 是方程
的两个根，
∴根据根与系数的关系，得
，
．
∴
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．
故答案为：
．
21．已知关于
的一元二次方程
的一个根是1，求它的另一个根及
的值．
【答案】方程的另一个根是
，
的值是
【分析】本题考查一元二次方程的解．根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．
【详解】解：设方程的另一个根为n，
则
，
∴
，
∴方程的另一个根是2，
的值是4．
22．已知关于
的方程
有实数根．
(1)求
的取值范围；
(2)若该方程有一个根为0，求另一个根．
【答案】(1)
(2)另一个根为2
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知根与系数的关系和根的判别式
是解题的关键．
（1）根据题意可得
，据此求解即可；
（2）设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得
，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于
的方程
有实数根，
∴
，
∴
，
∴
；
（2）解：设方程的另一个根为t，
由根与系数的关系可得
，
∴
，
∴方程的另一个根为2．
23．已知关于x 的一元二次方程
．
(1)若
是方程的一个根，求m 的值及方程的另一根
；
(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
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【答案】(1)
，另一个根是
(2)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的根的意义，一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，掌握以上知
识是解题的关键．
（1）根据一元二次方程解的意义，将
代入原方程即可求得
的值，设另一根为
，根据根与系数
的关系可得
，进而求得另一根；
（2）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】（1）解：把
代入
得
，解得：
设另一根为
，
则
，即
另一个根是
．
（2）解：依题得
不论
取何值，
不论
取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
24．已知一元二次方程
．
(1)若方程有两个实数根，求
的范围；
(2)若方程的两个实数根为
，且
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式
和根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据题意可得
，解之即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系可得
，
，再由题意可得
，据此求出
，
的
值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程
有两个实数根，
∴
，
∴
；
（2）解：∵关于x 的一元二次方程
的两个实数根为
，
，
∴
，
∵
，
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∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
符合题意．
∴
．
25．已知
，
是关于x 的方程
的两个根，求下列各式的值．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
3
(2)
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到
，
，再将所求代数式进行变形，代
入求值即可．
【详解】（1） 解： 已知方程
，其中
，
，
，
则
，
∴
，
∴
；
（2）解：
，
代入
，
，
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则原式
．
26．已知关于x 的方程
．
(1)当m 和n 符合以下哪些情况时，方程有两个解．选取你认为正确的序号_____．
①
，
②
，
③
，
④
，
(2)若
时方程的两根
，
满足
，且
，求m 的取值范围．
【答案】(1)③④
(2)
【分析】（1）根据方程有两个解，得到方程为一元二次方程，且
，进行判断即可；
（2）根据根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x 的方程
有两个解，
∴方程为一元二次方程，且
，
∴
，
，
故只需要
，即可满足方程有两个解．
故正确的序号为③④；
（2）解：当
时，原方程化为
，
∵方程的两根
，
满足
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
27．定义：已知
，
是关于x 的一元二次方程
的两个实数根，若
，则称
这个方程为“差1 方程”．比如，一元二次方程
的两根为
，
，因为
，
所以一元二次方程
为“差1 方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程
“差1 方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x 的一元二次方程
是“差1 方程”，求k 的值．
【答案】(1)不是
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(2)-6 或-8
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系．
（1）解该一元二次方程，得出
，
，再根据“差1 方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出
，
，根据 “差1 方程”的定义可得
，即可求出
或
，再结合“差1 方程”的定义检验即可.
【详解】（1）解：此方程不是“差1 方程”，理由如下：
，
解得：
，
，
∵
，
∴方程不是“差1 方程”；
（2）解：∵设方程
两根为
，
，
由根与系数的关系，得
，
，
∵方程
是“差1 方程”，
∴
，
∴
∴
∵
，
∴
,
∴
或
；
当
时，方程
，解得：
，
，此时
，
当
时，方程
，解得：
，
，此时
，
综上所述：当
或
时，关于x 的一元二次方程
是“差1 方程”.
28．如果关于
的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根是另一个根的
倍（n
为正整数），则称这样的方程为“n 倍根方程”，例如：方程
的两个根分别是2 和4，则这个
方程就是“2 倍根方程”：方程
的两个根分别是1 和3，则这个方程就是“3 倍根方程”．
(1)根据上述定义，
是“__________倍根方程”；（填数字）
(2)若关于
的方程
是“4 倍根方程”，求t 的值；
【答案】(1)3
(2)16
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【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解
题的关键是正确理解题意．
（1）利用因式分解法解方程即可求解；
（2）利用根与系数的关系设根并求解参数值．
【详解】（1）解：
，
或
解得
，
，
∵
，
∴ 方程是“3 倍根方程”；
（2）解：设方程
的两个根为
和
，
由题意得
，
根据根与系数的关系，有
，
∴
，
解得
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴ 的值为16．
29．如果关于
的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则
称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2 和4，则方程
就是“倍根
方程”．
(1)若一元二次方程
是“倍根方程”，求的值；
(2)若
是“倍根方程”，求代数式
的值；
(3)若关于
的一元二次方程
是“倍根方程”，请说明：
．
【答案】(1)2
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，新定义， 正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据“倍根方程”的定义，得
，结合
，
，进行列式计算，即可作
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答．
（2）根据
是倍根方程，得出
或
，然后进行分类讨论，再代入
进行计算，即可作答．
（3）理解题意，得出设倍根方程
的两根分别为
，
．得出
，
，代入化简，得
，
，故
，即可作答．
【详解】（1）解：设一元二次方程
的一个根为
，
∴另一个根为
．
则
，
，
∴
，
即
，
∴
，
，
∴
；
（2）解：∵
，
∴该方程的两根为
，
．
∵
是倍根方程，
∴
或
．
当
，即
时，
，
当
，即
时，
＝
，
∴代数式
．
（3）解：依题意，设倍根方程
的两根分别为
，
．
∵
，
∴
，
，
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∴
，
，
∴
，
，
，
整理得：
，
30．阅读材料：
材料1：关于x 的一元二次方程
的两个实数根
，
和系数a，b，c 有如下关系：
，
．
材料2：已知一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，求
的值．
解：
，n 是一元二次方程
的两个实数根，
，
．
则
．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程
的两个实数根为
，
，则
______，
______；
(2)类比：已知一元二次方程
的两个实数根为m，n 且
，求
的值；
(3)提升：已知实数s，t 满足
，
且
，求
的值．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
或
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，
掌握一元二次方程
根与系数的关系：
和
是解题关键．
（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出
，
，，再根据
，
最后代入求值即可；
（3）由题意可将s、t 可以看作方程
的两个根，即得出
，
，从而由
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，求得
或
，最后分类讨论分别代入求值即可．
【详解】（1）解：
，
；
故答案为：
，
；
（2）根据根与系数的关系得
，
，
；
（3）∵实数s、t 满足
，
，
、t 可以看作方程
的两个根，
，
，
，
或
，
当
时，
；
当
时，
，
综上所述，
的值为
或
．
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