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专题12 三角函数图象与性质
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
三角函数图象与性质近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2022 年全国乙（理科），第11 题,5 分
三角函数的性质
导数求最值
2022 年全国乙（文科），第8 题,5 分
三角函数图象
反比例型函数
2022 年全国乙（理科），第15 题,5 分
根据性质求三角函数解析式
求参
2022 年全国甲（文科），第5 题,5 分
正弦函数图形变换，奇偶性
求参
2022 年全国甲（理科），第11 题,5 分
正弦函数图象的应用
导数求极值
2022 年全国甲（理科），第5 题,5 分
2022 年全国甲（文科），第7 题,5 分
三角函数图象
指数函数
2023 年全国甲（理科），第10 题,5 分
2023 年全国甲（文科），第12 题,5 分
三角函数的综合应用
函数的零点
2023 年全国乙（理科），第6 题,5 分
2023 年全国乙（文科），第10 题,5 分
根据性质求三角函数解析式，再求值
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，考查选择题、填空题（常出现在压轴题位置）；
2.根据图象、性质求三角函数的解析式，再求特殊角的三角函数值；
3.根据图象变换得到三角函数新解析式，判断三角函数的性质；
4.函数解析式中含三角函数，判断图象；
5.函数解析式中含三角函数，求最值、极值、切线；
【备考策略】1.能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x 的图象.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(- π
2 , π
2)上的性质(如单调性、最值、
图象与x 轴交点等).
3.会使用正弦型函数、余弦型函数、正切型函数解决实际问题.
1
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4.能借助图象理解参数ω，
，A 的意义,了解参数的变化对函数图象变化的影响.
5.掌握三角函数的周期性、奇偶性、对称性、最值.
6.会用三角函数解决简单的实际问题,能够利用三角函数构建事物周期变化的数学模型.
【命题预测】1.根据图象、性质求三角函数的解析式，再求特殊角的三角函数值；
2.根据图象变换得到三角函数新解析式，判断三角函数的性质；
3.重点考查三角函数的周期性、奇偶性、对称性、最值；
4.函数解析式中含三角函数，判断图象；
5.函数解析式中含三角函数，求最值、极值、切线；
知识讲解
2
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一、用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别为(0,0),(
π
2 ,1),(π,0),(
3 π
2 ,-1),(2π,0).
(2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别为(0,1),(
π
2 ,0),(π,-1),(
3 π
2 ,0),(2π,1).
二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
图象
定义域
R
R
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
最小正周
期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上
单调递增;
在
上
单调递减
在
[ 2 k π , 2 k π + π ]
上单调递
减;
在
[ 2 k π - π , 2 k π ]
上单调递
增
在
上单调
递增
对称中心
(kπ,0)
(k π + π
2 ,0)
(
k π
2 ,0)
对称轴
x=kπ+π
2
x=kπ
无
1、三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域.
②把sin x 或cos x 看作一个整体,转换成二次函数求值域.
③利用sin x±cos x 和sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域.
2、求三角函数周期的常用方法(T 为最小正周期)
(1)公式法求周期
①函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B 与f(x)=Acos(ωx+φ)+B 的周期T= 2π
|ω| ;
②函数f(x)=Atan(ωx+φ)+B 的周期T=
π
|ω| .
(2)对称性求周期
①两对称轴距离的最小值或两对称中心距离的最小值都等于T
2 ;
②对称中心到对称轴距离的最小值等于T
4 ;
③两个最大(小)值点的横坐标之差的最小值等于T.
3
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三、正弦型函数：“
”
1、定义域：
2、值域：当
时，
；当
时，
3、单调性：
当
与
同号时，增区间：
减区间：
当
与
异号时，增区间：
减区间：
4、奇偶性：
当
且
时，为奇函数；
当
时，为偶函数.
5、最小正周期：
6、对称性：
对称轴：
；
对称中心：
四、余弦型函数：“
”
1、定义域：
2、值域：当
时，
；当
时，
3、单调性：
当
与
同号时，增区间：
减区间：
当
与
异号时，增区间：
4
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减区间：
4、奇偶性：
当
且
时，为奇函数；
当
时，为偶函数.
5、最小正周期：
6、对称性：
对称轴：
；
对称中心：
五、正切型函数：“
”
1、定义域：
2、值域：
3、单调性：
当
与
同号时，增区间：
当
与
异号时，减区间：
4、最小正周期：
5、对称性：
对称中心：
六、用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点
如下表所示:
x
-φ
ω
π -2φ
2ω
π -φ
ω
3 π -2φ
2ω
2π -φ
ω
ωx+φ
0
π
2
π
3 π
2
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
5
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七、函数
的有关概念
y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)
振幅
周期
频率
相位
初相
平衡位置
A
T=2π
ω
f= 1
T = ω
2π
ωx+φ
φ
八、图形变换
1、
：纵坐标的伸缩
2、
：横坐标的伸缩（注意：乘倒数）
3、
：左右平移（注意：左“+”右“-”）
4、
：上下平移（注意：上“+”下“-”）
6
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已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象,确定其解析式的步骤
(1)求A,B,确定函数的最大值M 和最小值m,则A= M -m
2
,B= M +m
2
.
(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=2π
T .
(3)求φ,将图象上的已知点代入解析式,求解时注意点在上升区间还是下降区间.如果已知图象上有最值
点,最好代入最值点求解.
考点一、
三角函数的定义域与值域
1．（2023 年内蒙古赤峰三模）函数
的定义域为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意知,
,∴
,∴函数
的定义域为
.
2．（2022 年全国高考乙卷数学（文）试题）函数
在区间
的最小值、最
大值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数求得
的单调区间，从而判断出
在区间
上的最小值和最大值.
7
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【详解】
，
所以
在区间
和
上
，即
单调递增；
在区间
上
，即
单调递减，
又
，
，
，
所以
在区间
上的最小值为
，最大值为
.
3．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2 卷））函数
（
）的最大值是 ．
【答案】1
【详解】化简三角函数的解析式，
可得
，
由
，可得
，当
时，函数
取得最大值1．
1．函数
的定义域为 .
【答案】
【详解】要使函数有意义,
必须有
即
故函数的定义域为
.
8
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2．函数
在区间
上的值域为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时,
,
,
,
∴函数
的值域为
.
3．（2023 年广东三模）已知函数
,则函数
在区间
上
的值域是 .
【答案】
【详解】
.
∵
,∴
,∴
,
∴
,
即函数
在区间
上的值域是
.
考点
二
、
三角函数的周期性
1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）函数
的最小正周期和最大值分别是（
）
A．
和
B．
和2
C．
和
D．
和2
9
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【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简
，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题，
，所以
的最小正周期
为
，最大值为
.
2．若函数
的最小正周期
满足
,则自然数
的值为 .
【答案】2 或3
【详解】由题意得
所以
,所以
.
3．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若x1=
，x2=
是函数f(x)=
(
>0)两
个相邻的极值点，则
=（ ）
A．2 B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得
.
【详解】由题意知，
的周期
，得
．故选A．
【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式
法，利用方程思想解题．
1．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2 卷））函数
的最小正周
期为（ ）
A．
B．
C．
D．
10
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【答案】C
【详解】由题意
，故选C．
【名师点睛】函数
的性质：
(1)
.
(2)最小正周期
(3)由
求对称轴.
(4)由
求增区间;由
求减区间.
2．（【全国百强校】宁夏模拟）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】分析:将函数
进行化简即可
详解：由已知得
的最小正周期
点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题
3．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知函数
，
则（ ）
A．
的最小正周期为
，最大值为
B．
的最小正周期为
，最大值为
C．
的最小正周期为
，最大值为
D．
的最小正周期为
，最大值为
【答案】B
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【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为
，之后应
用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.
【详解】根据题意有
，
所以函数
的最小正周期为
，
且最大值为
，故选B.
【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解
题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
考点
三
、
三角函数的奇偶性
1．（2023 年河南洛阳月考）若函数
是奇函数,则
.
【答案】
【详解】
,
因为函数
为奇函数,所以
,
即
.故
.
2．（2022 年全国高考甲卷数学（文）试题）将函数
的图像向左平移
个单位长
度后得到曲线C，若C 关于y 轴对称，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线
的解析式，再结合对称性得
，即可求出
的最小值.
12
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【详解】由题意知：曲线
为
，又
关于
轴对称，则
，
解得
，又
，故当
时，
的最小值为
.
3．（2021 年北京市高考数学试题）函数
是（ ）
A．奇函数，且最大值为2
B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为
D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可
判断最大值.
【详解】由题意，
，所以该函数为偶函数，
又
，
所以当
时，
取最大值
.
1．若函数
为奇函数,则φ 的一个值为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
,因为
为奇函数,所以
.
2．若函数
是偶函数,则
的值可以是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【详解】∵
是偶函数,∴
,则
,当
时,
,当
时,
,故选A.
变式训练：若将本例条件中的偶函数改为奇函数,则正确选项为 .
【答案】C
【详解】因为
为奇函数,所以
,所以
,所以
的取值可以是
,所以C 选项正确.
考点
四
、
三角函数的对称性
1．已知函数
的图象关于直线
对称,则φ 的值为 .
【答案】
【详解】由题意得当
时,
,
∴
,∴
.
∵
,∴
.
2．（2022 年全国新高考I 卷数学试题）记函数
的最小正周期为T．若
，且
的图象关于点
中心对称，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【答案】A
14
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【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T 满足
，得
，解得
，
又因为函数图象关于点
对称，所以
，且
，
所以
，所以
，
，
所以
.
3．（2023 年新高考天津数学高考真题）已知函数
的一条对称轴为直线
，一个周期为4，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在
处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足
题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A 选项中
，B 选项中
，
C 选项中
，D 选项中
，
排除选项CD，
对于A 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一条对称轴.
1．（2023 年海南模拟）已知函数
图象的一条对称轴为
,则
的最小值为（
15
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）.
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【详解】由题意知
,∴
,又
,∴
.
2．已知函数
在
处取得最大值,则函数
的图象（ ）.
A.关于点
对称 B.关于点
对称
C.关于直线
对称 D.关于直线
对称
【答案】A
【详解】∵函数
在
处取得最大值,
∴
,解得
,
∴
.
当
时,
,
∴
是函数
图象的对称中心.
3．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数
的图象关
于直线
对称，则
的值是 ．
【答案】
.
【详解】分析：由对称轴得
，再根据限制范围求结果.
详解：由题意可得
，所以
，因为
，所以
16
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点睛：函数
（A>0,ω>0）的性质：(1)
；
(2)最小正周期
；(3)由
求对称轴；(4)由
求增
区间; 由
求减区间.
考点
五
、
三角函数的单调性
1．函数
的单调递增区间是 .
【答案】
【详解】
,
由
,解得
.
故函数的单调递增区间为
,
又
,所以函数的单调递增区间为
.
2．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）下列区间中，函数
单调递增的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解不等式
，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数
的单调递增区间为
，
对于函数
，由
，
17
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解得
，
取
，可得函数
的一个单调递增区间为
，
则
，
，A 选项满足条件，B 不满足条件；
取
，可得函数
的一个单调递增区间为
，
且
，
，CD 选项均不满足条件.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
形式，再求
的单调区间，只需把
看作一个整体代入
的相应单调区间内即可，注意要先
把
化为正数．
3．（2022 年北京市高考数学试题）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出
，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为
.
对于A 选项，当
时，
，则
在
上单调递增，A 错；
对于B 选项，当
时，
，则
在
上不单调，B 错；
对于C 选项，当
时，
，则
在
上单调递减，C 对；
对于D 选项，当
时，
，则
在
上不单调，D 错.
4．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入
即可得到答案.
【详解】因为
在区间
单调递增，
所以
，且
，则
，
，
当
时，
取得最小值，则
，
，
则
，
，不妨取
，则
，
则
，
1．函数
的单调递减区间为 .
【答案】
【详解】
,
由
,
得
,
故所求函数的单调递减区间为
.
2．已知
且函数
在
上单调递减,则
的取值范围是 .
【答案】
19
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【详解】由
,得
.
又
的单调递减区间为
,
所以
,解得
.
又函数
在
上单调递减,所以周期
,解得
,所以
.
3．已知函数
在区间
上单调递增,则φ 的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【详解】∵函数
在区间
上单调递增,
∴函数
在区间
上单调递减,
由
,解得
,
∴
,
∴
,即
,
∵
,
∴令
,∴
的取值范围是
.
考点
六
、
三角函数图象与性质的综合应用
经常出压轴题
20
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1．设函数
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的一个周期为
B．
的图像关于直线
对称
C．
的一个零点为
D．
在
单调递减
【答案】D
【详解】
的最小正周期为
，易知A 正确；
，为
的最小值，故B 正确；
∵
，∴
，故C 正确；
由于
，为
的最小值，故
在
上不单调，故D 错误．
2．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））关于函数
有如下四个命
题：
①
的图象关于
轴对称．
②
的图象关于原点对称．
③
的图象关于直线
对称．
④
的最小值为2．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】②③
【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的
定义可判断命题③的正误；取
可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】对于命题①，
，
，则
，
所以，函数
的图象不关于
轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
，
21
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所以，函数
的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，
，
，则
，
所以，函数
的图象关于直线
对称，命题③正确；
对于命题④，当
时，
，则
，
命题④错误.
【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
3．（2020 年天津市高考数学试卷）已知函数
．给出下列结论：
①
的最小正周期为
；
②
是
的最大值；
③把函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度，可得到函数
的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】B
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为
，所以周期
，故①正确；
，故②不正确；
将函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度，得到
的图象，
故③正确.
【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是
一道容易题.
1．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数
，则（ ）
22
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A．
的最小值为2
B．
的图象关于
轴对称
C．
的图象关于直线
对称 D．
的图象关于直线
对称
【答案】D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】
可以为负，所以A 错；
，
关于原点对称；
故B 错；
关于直线
对称，故C 错，D 对.
【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
2．已知函数
的图像关于直线
对称，将函数
的图像向左平移
个单
位长度得到函数
的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．
的图像关于直线
对称
B．
是奇函数
C．
在
上单调递减
D．
的图像关于点
对称
【答案】D
【分析】根据函数的对称轴得到
，结合平移变换相关知识得到
函数表达式，根据三角函数图像
性质、利用整体代入法进而判断各个选项即可.
【详解】因为函数
的图像关于直线
对称，
所以
，即
，
又因为
，所以当
时，
，所以
，
因为将函数
的图像向左平移
个单位长度得到函数
的图像，
23
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所以
.
对于A，因为
，
所以
的图像不关于直线
对称，故A 错误；
对于B，
定义域为
，
，
，
显然
，所以
不是奇函数，故B 错误；
对于C，
，则
，根据三角函数图像性质可知，
在
上不完全单调递减，
故C 错误；
对于D，
，所以
的图像关于点
对称，故D 正确.
3．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设函数
=sin（
）(
＞0)，已知
在
有且仅有5 个零点，下述四个结论：
①
在（
）有且仅有3 个极大值点
②
在（
）有且仅有2 个极小值点
③
在（
）单调递增
④
的取值范围是[
)
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①③④
【答案】D
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得
，结合正弦函数的
图像分析得出答案．
【详解】当
时，
，
f
∵（x）在
有且仅有5 个零点，
∴
，
24
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∴
，故④正确，
由
，知
时，
令
时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2 个也可能是3 个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当
时，
，
若f（x）在
单调递增，
则
，即
，
∵
，故③正确．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思
想解三角函数问题，属于中档题．
考点
七
、
三角函数的图形变换
1．（2022 年浙江省高考数学试题）为了得到函数
的图象，只要把函数
图象上
所有的点（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为
，所以把函数
图象上的所有点向右平移
个单位长度即可得到函数
的图象．
25
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2．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数
图像上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，
纵坐标不变，再把所得曲线向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数
的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到
，
即得
，再利用换元思想求得
的解析表达式；
解法二：从函数
出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到
的解析表达
式.
【详解】解法一：函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到
的
图象，再把所得曲线向右平移
个单位长度，应当得到
的图象，
根据已知得到了函数
的图象，所以
，
令
,则
,
所以
,所以
；
解法二：由已知的函数
逆向变换，
第一步：向左平移
个单位长度，得到
的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到
的图象，
即为
的图象，所以
.
3．（2020 年江苏省高考数学试卷）将函数y=
的图象向右平移
个单位长度，则平移后的图
26
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象中与y 轴最近的对称轴的方程是
.
【答案】
/
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当
时
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
1．将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间
上单调递增
B．在区间
上单调递减
C．在区间
上单调递增 D．在区间
上单调递减
【答案】A
【详解】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.
详解：由函数
图象平移变换的性质可知：
将
的图象向右平移
个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足：
，即
，
令
可得函数的一个单调递增区间为
，选项A 正确，B 错误；
函数的单调递减区间满足：
，即
，
令
可得函数的一个单调递减区间为
，选项C，D 错误；
点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算
求解能力.
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2．为了得到
的图象，可以将函数
的图象（ ）
A．每个点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再向左平移
个单位长度
B．每个点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再向右平移
个单位长度
C．每个点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再向右平移
个单位长度
D．每个点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再向左平移
个单位长度
【答案】D
【分析】根据函数解析式判断图象平移过程即可.
【详解】将
每个点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变得
，
再向左平移
个单位长度得
.
3．已知函数
的一个零点为
．要得到偶函数
的图象，可将函数
的图
象（ ）．
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】D
【分析】首先代入
，求
的值，再化简函数
，再结合平移规律，以及偶函数
的性质，即可求解.
【详解】
，得
，
所以
，
若向左平移
个单位得到函数
，函数为偶函数，
即
，
，得
，
，AC 都不符合；
若向右平移
个单位得到函数
，函数为偶函数，
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即
，
，得
，
，当
时，
，只有D 成立.
考点
八
、
根据三角函数的图象、性质求解析式
1．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））设函数
，
，
其中
，
.若
，
，且
的最小正周期大于
，则
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】由题意
，其中
，所以
，又
，所以
，所以
，
，由
得
．
【考点】求三角函数的解析式
【名师点睛】有关
问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象
的最高点或最低点确定
，再根据周期或
周期或
周期求出
，最后再利用最高点或最低点坐标满足解
析式，求出满足条件的
值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的
坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求
或
的值或最值或范围等.
2．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数
的部分图像如图所示，则满足
条件
的最小正整数x 为 ．
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数
的解析式，再求出
的值，
然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.
【详解】由图可知
，即
，所以
；
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由五点法可得
，即
；所以
.
因为
，
；
所以由
可得
或
；
因为
，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足
，即
，
解得
，令
，可得
，可得
的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足
，又
，符合题意，
可得
的最小正整数为2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解
，根据特殊点求解
.
3．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数
，
如图A，B 是直线
与曲线
的两个交点，若
，则
．
【答案】
【分析】设
，依题可得，
，结合
的解可得，
，从而得
到
的值，再根据
以及
，即可得
，进而求得
．
【详解】设
，由
可得
，
由
可知，
或
，
，由图可知，
，即
，
．
因为
，所以
，即
，
．
所以
，
30
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所以
或
，
又因为
，所以
，
．
【点睛】本题主要考查根据图象求出
以及函数
的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，
以及特殊角的三角函数值是解题关键．
1．已知函数
在一个周期内的图象如图所示；若
为偶
函数，则
的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由图象的顶点坐标求出
，由周期求出
值，根据五点法作图求出
，可得函数的解析式，根据
为偶函数，求出
的值．
【详解】根据函数
，
，
在一个周期内的图象，
可得
，
，
．
再根据五点法作图，可得
，所以
，由于
，
，
故
．
若
为偶函数，则
，
，即
，
，
取
，则
，故
的值可以为
，
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2．函数
的部分图象如图所示， 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象，依次求得
的值，从而确定正确选项.
【详解】由图象可知
，
，所以
，
即
，所以
.
由图象可知，当
时，
，所以
，
，
即
，
，由于
，所以
，
所以
.
3．已知函数
为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG(G
是图象的最高点)是边长为2 的等边三角形,则f(1)= .
【答案】-√3
【详解】由题意得,
.
又因为
为奇函数，所以
,
所以
.
考点
九
、
三角函数的零点问题
1．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））函数
在
的零点个数
32
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为
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】令
，得
或
，再根据x 的取值范围可求得零点.
【详解】由
，
得
或
，
，
．
在
的零点个数是3，
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利
用数形结合和方程思想解题．
2．（2023 年辽宁省重点高中联合模拟）已知函数
在
上有且仅有2 个零点，则
的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合余弦函数的性质可得
，进而求解即可.
【详解】函数
在
上有且仅有2 个零点，
由
，
，得
，
所以
，即
，
所以
的取值范围为
.
3．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数
在区间
恰有三个极值点、两
个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
的取值范围得到
的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得
，因为
，所以
，
要使函数在区间
恰有三个极值点、两个零点，又
，
的图象如下所示：
33
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则
，解得
，即
．
1．（2018 年全国卷Ⅲ理数高考试题）函数
在
的零点个数为 ．
【答案】
【分析】方法一：求出
的范围，再由函数值为零，得到
的取值即得零点个数．
【详解】［方法一］：【最优解】
由题可知
，或
解得
,或
故有3 个零点．
故答案为：．
方法二：
令
，即
，解得，
，分别令
，得
，所以函数
在
的零点的个数为3．
故答案为：．
【整体点评】方法一：先求出
的范围，再根据余弦函数在该范围内的零点，从而解出，是该题的最
优解；
方法二：先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点．
2．将函数
的图象向右平移
个单位长度可以得到函数
的图象，若函数
在
34
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区间
内有零点，无最值，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用三角函数图象变换规律得
，依题意得
，可得
，
根据条件：函数
在区间
内有零点，无最值，结合角的范围及三角函数的
性质，列出关于
的不等式组，求解即可.
【详解】由题意得
，
依题意得
，
因为函数
在区间
内有零点，无最值，
，解得
，
当
时，
满足条件，当
时，
满足条件，
当
或
时，显然不满足条件．
综上可得
．
3．（2022 年北京市高考数学试题）若函数
的一个零点为
，则
；
．
【答案】 1
【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为
，代入自变量
，计算即可.
【详解】∵
，∴
∴
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考点
十
、
三角函数中含有绝对值的问题
常考压轴题
1．（2023 年上海市模拟）函数
的值域为
．
【答案】
【分析】分类讨论角
的象限及
为轴线角即可求
的值域
【详解】由函数
，
当
的终边落在第一象限时，有
，又
，故此时
，
当
的终边落在第二象限时，有
；
当
的终边落在第三象限时，有
，又
，
故此时
，
当
的终边落在第四象限时，有
当
的终边落在两个坐标轴上时，有
.
综上所述
的值域是
.
2．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））关于函数
有下述四个结
论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（
,
）单调递增 ③f(x)在
有4 个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
【答案】C
【分析】化简函数
，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
为偶函数，故①正确．当
时，
，它在区间
单调递减，故②错误．当
时，
，它有两个零点：
；当
时，
，它有一个零点：
，故
在
有个零
点：
，故③错误．当
时，
；当
36
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时，
，又
为偶函数，
的最大值为
，故④
正确．综上所述，①④ 正确．
【点睛】画出函数
的图象，由图象可得①④正确．
1．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））下列函数中，以
为周期且在区间(
，
)
单调递增的是（ ）
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
【答案】A
【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即
可做出选择．
【详解】因为
图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为
，周期为
，排
除C，作出
图象，由图象知，其周期为
，在区间
单调递增，A 正确；作出
的
图象，由图象知，其周期为
，在区间
单调递减，排除B．
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【点睛】利用二级结论：①函数
的周期是函数
周期的一半；②
不是周期函数；
考点
十一
、
解析式中含三角函数的问题
1．（2022 年全国高考乙卷数学（文）试题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图像，
则该函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】设
，则
，故排除B;
设
，当
时，
，
所以
，故排除C;
设
，则
，故排除D.
2．（2022 年全国高考甲卷数学（理）试题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
【详解】令
，
则
，
所以
为奇函数，排除BD；
又当
时，
，所以
，排除C.
3．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））曲线y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程
为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先判定点
是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当
时，
，即点
在曲线
上．
则
在点
处的切线方程为
，即
．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取
导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，
若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
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1．（2021 年浙江省高考数学试题）已知函数
，则图象为如图的函数可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，
，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，
，则
，
当
时，
，与图象不符，排除C.
2．（2020 年浙江省高考数学试卷）函数y=xcosx+sinx 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在
处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为
，则
，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD 错误；
且
时，
，据此可知选项B 错误.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
3．（2019 年天津市高考数学试卷（文科）） 曲线
在点
处的切线方程为 .
【答案】
【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程．
【详解】
，
当
时其值为
，
故所求的切线方程为
，即
．
【点睛】曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点
为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数
的导数
；
②求切线的斜率
；
③写出切线方程
，并化简．
(2)如果已知点
不在曲线上，则设出切点
，解方程组
得切点
，
进而确定切线方程．
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考点
十二
、
三角函数图象与性质在解答题中的应用
1．（2021 年浙江省高考数学试题）设函数
.
（1）求函数
的最小正周期；
（2）求函数
在
上的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得
，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得
，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得
，
则
，
所以该函数的最小正周期
;
（2）由题意，
，
由
可得
，
所以当
即
时，函数取最大值
.
2．（2020 年山东省春季高考数学真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数
在一个周期内的图象时，列表如下：
42
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0
0
3
0
-3
0
根据表中数据，求：
（1）实数
，
，
的值；
（2）该函数在区间
上的最大值和最小值.
【答案】（1）
，
，
；（2）最大值是3，最小值是
.
【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解
，
，
的值即可.
（2）首先根据（1）知：
，根据题意得到
，从而得到函数的最值.
【详解】（1）由表可知
，则
，
因为
，
，所以
，解得
，即
，
因为函数图象过点
，则
，即
，
所以
，
，解得
，
，
又因为
，所以
.
（2）由（1）可知
.
因为
，所以
，
因此，当
时，即
时，
，
当
时，即
时，
.
所以该函数在区间
上的最大值是3，最小值是
.
3．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知函数
（I）求
的值
43
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（II）求
的最小正周期及单调递增区间.
【答案】（I）2；（II）
的最小正周期是
，
.
【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函
数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．
【详解】（Ⅰ）
，
，
，则
，
（Ⅱ）因为
．所以
的最小正周期是
．
由正弦函数的性质得，
，
解得
，
所以，
的单调递增区间是
．
4．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知函数
.
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）若
在区间
上的最大值为
，求
的最小值.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【分析】（I）将
化简整理成
的形式，利用公式
可求最小正周期；（II）根
据
，可求
的范围，结合函数图象的性质，可得参数
的取值范围.
【详解】（Ⅰ）
，
所以
的最小正周期为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
.
因为
，所以
.
44
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要使得
在
上的最大值为
，即
在
上的最大值为1.
所以
，即
，所以
的最小值为
.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简
时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.
1．已知函数
(1)求函数
的最小正周期及其单调递增区间；
(2)当
时，求
的最小值．
【答案】(1)最小正周期
；单调递增区间为
，
(2)
【分析】（1）由题意，利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，
得出结论；
（2）由题意，利用正弦函数的定义域和值域，求出
的最小值．
【详解】（1）根据函数
，
可得函数
的最小正周期
，
由
，
，得
，
函数
的单调递增区间为
，
；
（2）
当
时，
，
，
，
故
的最小值为
45
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2．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷））设函数
，
其中
.已知
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）将函数
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平
移
个单位，得到函数
的图象，求
在
上的最小值.
【答案】(
)
Ⅰ
.
(
)
Ⅱ
.
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知
及
可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而
.
根据
得到
，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为
，
所以
由题设知
，所以
，
.故
，
，又
，
所以
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，所以
.
因为
，所以
，当
，
即
时，
取得最小值
.
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式
化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的
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范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
3．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷））已知向量
．
（1）若
，求x 的值；
（2）记
，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x 的值．
【答案】（1）
（2）
时，
取到最大值3；
时，
取到最小值
.
【分析】（1）根据
，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x 的值．
（2）根据
求解求函数
解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值
及对应的
的值．
【详解】解：（1）∵向量
．
由
，可得：
，即
，
∵
∴
．
（2）由
∵
，∴
∴当
时，即
时
；
当
，即
时
．
【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是
解决本题的关键．
【基础过关】
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1．函数
的定义域为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意得
,即
,所以
,解得
,所以函数的定义域为
.
2．函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．π
D．2π
【答案】C
【分析】利用辅助角公式将函数化简，再利用周期公式计算可得.
【详解】∵
，
，
【点睛】该题考查三角函数的性质与辅助角公式，属于基础题目.
3．
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.
【详解】
，
所以当
，
时
取最小值为
.
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4．函数
在
单调递减，求
.
【答案】
【分析】根据题意，由正弦型函数的单调区间列出不等式，即可得到结果.
【详解】因为函数
在
单调递减，所以
，
当
时，
，则有
，又
，解得
，
5．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））若
在
是减函数，
则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
所以由
得
因此
，从而
的最大值为
.
6．（2019 年天津市高考数学试卷（理科））已知函数
是奇函数，
将
的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为
.若
的最小正周期为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】只需根据函数性质逐步得出
值即可．
【详解】因为
为奇函数，∴
；
又
，
，又
∴
，
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【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数
．
7．（2023 年北京市模拟）将函数
图象上的点
向右平移
个单位长度得到点P′.若
P′位于函数
的图象上，则（ ）
A．
，的最小值为
B．
，的最小值为
C．
，的最小值为
D．
，的最小值为
【答案】A
【分析】由题意
在函数
上，可得
的值，求出
的坐标，由题意可得关于的方程，可得的
最小值．
【详解】点
在函数上，所以
，则
,
，
将
,
代入
中可得
,
，可得
或
，
由于
，所以的最小值为
．
8．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））函数y=
sin2x 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在
上的符号，即可判断选择.
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详解：令
，
因为
，所以
为奇函数，排除选项A,B;
因为
时，
，所以排除选项C，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，
由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇
偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
9．（2023 年北京市阶段性考试数学试题）设函数
，将函数
图像上所
有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图像，若对于任意的实数
，
恒成立，则
的最小值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，先由三角函数的图像变换得到函数
的解析式，再由
，即可得到结果.
【详解】将函数
图像上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），则可得
，且对于任意的实数
，
恒成立，
则
，即
，
，解得
，
，且
，
所以当
时，
.
10．（2023 年山东省模拟）为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象
上的所有点（ ）
A．向左平移
个单位长度，然后把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2 倍
B．向右平移
个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的
倍
C．向左平移
个单位长度，然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2 倍
D．向右平移
个单位长度，然后再把图象上每点的纵坐标缩短到原来的
倍
【答案】A
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【分析】用辅助角公式先把函数
化为
，再用三角函数的图象变换法则即
可求解.
【详解】因为
，
把
的图象上的所有点向左平移
个单位长度后，
得到
的图象，
然后再把
图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2 倍即可得到
的图象.
11．（2023 年北京二模）已知函数
的部分图象如图所示,则f(x)的表达式
为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由图象知,
,解得
,将最大值点
代入
,
得
,解得
,
所以
.
12．已知函数
，若
，
为
的两个零点，则当
取得
最小值时，
．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合正弦函数的图象性质求出
的函数关系，确定其最小值，进而求出
，再利
用诱导公式、二倍角公式计算作答.
【详解】依题意，函数
的周期
满足
，即
，
解得
，因此当
时，
，
，
52
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由
，
，得
，
所以
.
13．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知函数
.
（I）求f(x)的最小正周期；
（II）求证：当
时，
．
【答案】（1）
（2）见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为
，最后根据公式
求周期；（Ⅱ）先求
的范围再求函数的最小值.
试题解析:（Ⅰ）
.
所以
的最小正周期
.
（Ⅱ）因为
，所以
.所以
.
所以当
时，
.
【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角
差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的
的形式，借助正弦函数的性质去求函数
的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值.
【能力提升】
1．设函数
，则（ ）
A．
且
在
单调递增
B．
且
在
单调递减
C．
且
在
单调递增
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D．
且
在
单调递减
【答案】C
【分析】首先证明函数
的周期为
，然后分
与
两种情况分别讨论函数的值域，判
断函数的单调区间即可．
【详解】由于
，得
的最小正周期不是
；
，则
的周期为
，
当
时，
，
由于
，得
，故
，
当
时，
，
由于
，得
，故
，
综上所述，可得
的值域为
，
当
时，
，由于
，得
，
根据余弦函数性质可知
在
上单调递增．故C 选项正确．
2．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设函数
在
的图像大
致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由图可得：函数图象过点
，即可得到
，结合
是函数
图象与
轴负半轴的第一个交点即可得到
，即可求得
，再利用三角函数周期公式即
可得解.
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【详解】由图可得：函数图象过点
，将它代入函数
可得：
又
是函数
图象与
轴负半轴的第一个交点，所以
，解得：
所以函数
的最小正周期为
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
3．（2023 届安徽省考前适应性检测数学试卷）已知函数
，其中
，若
，对任意的
都有
，且
在
上单调，则下列说法错误的是（
）
A．
关于
对称 B．
C．
一定是奇数
D．
有两个不同的值
【答案】B
【分析】根据给定的条件，利用余弦型函数的性质、结合“五点法”作图逐一分析计算判断作答.
【详解】对于函数
，由
知
的图象关于
对称， A 正确；
设
为
的最小正周期，又
，且对任意的
都有
，
则
，
，即
，从而
；
又由
在
上单调知
，即
，
也即
，则
或
，CD 均正确；
由
，
及
有两个值知，对应
也有两个值，B 错误.
4．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知函数
，
则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】方法一：由
，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的
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最小值点，代入求得函数的最小值.
【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令
，得
，即
在区间
内单调递增；
令
，得
，即
在区间
内单调递减．
则
．
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为
，
所以
．
当且仅当
，即
时，取等号．
根据
可知，
是奇函数，于是
，此时
．
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，
，
当且仅当
，即
时，
．
根据
可知，
是奇函数，于是
．
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［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当
时等
号成立．
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设
，则
可化为
，
当
时，
；当
时，
，对分母求导后易知，
当
时，
有最小值
．
［方法六］： 配方法
，
当且仅当
即
时，
取最小值
．
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为
，所以
，
即函数
的一个周期为
，因此
时，
的最小值即为函数的最小值．
当
时，
，
当
时， 因为
，令
，解得
或
，由
，
，
，
所以
的最小值为
．
【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性
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通法；
方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；
方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；
方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；
方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；
方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；
方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题
的最优解．
5．（2023 年辽宁省模拟）已知函数
在
上单调，且
的图象关于
点
对称，则（ ）
A．
的周期为
B．若
，则
C．将
的图像向右平移
个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数
在
上有2 个零点
【答案】B
【分析】对于A，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点
对称，结合正弦函数的对称中心求
解即可；对于B，由A 知
，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对于C，根据
三角函数平移性质判断即可；对于D，根据余弦函数值直接求解即可.
【详解】对于A，因为函数
在
上单调，
所以
的最小正周期T 满足
，即
，所以
，
因为
的图象关于点
对称，
所以
，得
，
所以当
时，
，所以
，故A 错误；
对于B，
，
，
58
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则
为
，则
为半周期，即
，故B 正确；
对于C，将
的图象向右平移
个单位长度后得
的图象，
为奇
函数，故C 错误；
对于D，
，即
，
令
，当
时，
，故仅有
，故D 错误．
6．（2021 年天津高考数学试题）设
，函数
，若
在区间
内恰有6 个零点，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
最多有2 个根，可得
至少有4 个根，分别讨论当
和
时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】
最多有2 个根，所以
至少有4 个根，
由
可得
，
由
可得
，
（1）
时，当
时，
有4 个零点，即
；
当
，
有5 个零点，即
；
当
，
有6 个零点，即
；
（2）当
时，
，
，
当
时，
，
无零点；
当
时，
，
有1 个零点；
当
时，令
，则
，此时
有2 个零点；
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所以若
时，
有1 个零点.
综上，要使
在区间
内恰有6 个零点，则应满足
或
或
，
则可解得a 的取值范围是
.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成
和
两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
7．（2023 年陕西省质量检测数学试题）同时具有下列性质：“①对任意
，
恒成立；
②图象关于直线
对称；③在
上是增函数”的函数可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对四个选项逐个分析判断是否具有①②③的性质即可得到答案.
【详解】由对任意
，
恒成立，得
的周期为
，
对于A，
的周期为
，所以不符合题意，
对于B，
的周期为
，则
满足条件①，
因为
，所以
的图象关于直线
对称，所以
满足条件②，
由
，得
，因为
在
上是增函数，所以
在
上是增函
数，所以
满足条件③，所以B 符合题意，
对于C，
的周期为
，则
满足条件①，
因为
，所以
的图象关于直线
对称，所以
满足条件②，
由
，得
，因为
在
上不单调，所以
在
上不单调，
60
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所以
不满足条件③，所以C 不符合题意，
对于D，
的周期为
，则
满足条件①，
因为
，所以
的图象不关于直线
对称，所以
不满足条件②，
所以D 不符合题意.
8．（2023 年江西省部分学校调研测试数学试题）如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道，
建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：）时，过山车（看作质点）离地平
面的高度．轨道最高点
距离地平面
，最低点
距离地平面
，入口处
距离地平面
时，
过山车到达最高点
时，过山车到达最低点
，下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为12
B．
时，过山车距离地平面
C．
时，过山车距离地平面
D．一个周期内过山车距离地平面低于
的时间是
【答案】ABD
【分析】设
，根据图象结合五点法可求得
，
从而可判断A；计算
可判断B；计算
可判断C；由
解得
，从而
可求解一个周期内过山车距离地平面低于
的时间，进而可判断D.
【详解】设
，
由题意可知，周期
满足
，得
，
所以
，得
，又
，解得
，
所以
，又
，即
，得
，因为
，所以
61
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，所以
．
对于A，
， A 正确；
对于B，
， B 正确；
对于C，
， C 错误；
对于D，由
，得
，即
，
,
解得
，
所以一个周期内过山车距离底面低于
的时间是
， D 正确.
9．（2021 年浙江省高考数学试题）已知
是互不相同的锐角，则在
三
个值中，大于
的个数的最大值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得
，从而可判断三个代数式不
可能均大于
，再结合特例可得三式中大于
的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有
，
同理
，
，
故
，
故
不可能均大于
.
取
，
，
，
则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，
法2：不妨设
，则
，
62
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由排列不等式可得：
，
而
，
故
不可能均大于
.取
，
，
，
则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注
意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
10．（2023·浙江省绍兴市名校模拟）对中国文人来说，折扇既是一种身份的象征，又寄寓着个人的文化趣
味．折扇开合自如，开之则用，合之则藏，进退自如，逍遥自在，如下左图．其平面图如下右图的扇形
AOB，其中
，
，点
在弧
上，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，表示出各点坐标，进而根据平面向量数量积的坐标表示表示出
，结
合三角恒等变换及正弦函数的图象及性质求解即可.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则
，
，设
，
故
，
，
则
，
由
，得
，
所以当
，即
时，
有最小值
.
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11．已知函数
（其中
）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有
.
（1）
（2）
的图象关于直线
对称
（3）
（4）
在
上的值域为
【答案】（1）（3）
【分析】依据图象解出函数中的各参数，然后一一判别.
【详解】由图知
，
.所以
，
.则
.
因为
，所以
，解得
.
所以
.故（1）对.
.
则函数图象不关于直线
对称，（2）错.
，（3）对.
当
时，
，令
，
则
在
上递减，在
上递增，
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因为
，
所以当
时，
；当
时，
所以当
时，函数
的值域为
，（4）错.
故答案为：（1）（3）
【点睛】注意图象中蕴含的周期，从而解出
，在求值域时，可采用换元法或整体思想来求解.
12．（2019 年浙江省高考数学试卷）设函数
.
（1）已知
函数
是偶函数，求
的值；
（2）求函数
的值域.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定
的值；
(2)首先整理函数的解析式为
的形式，然后确定其值域即可.
【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：
，
函数为偶函数，则当
时，
，即
，结合
可取
，相
应的
值为
.
(2)由函数的解析式可得：
.
据此可得函数的值域为：
.
【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等
知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
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【真题感知】
1．（全国甲卷理数）函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得
，再作出
与
的部分大致图像，考
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虑特殊点处
与
的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为
向左平移
个单位所得函数为
，
所以
，
而
显然过
与
两点，
作出
与
的部分大致图像如下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以由图可知，
与
的交点个数为.
2．（2022 年高考天津卷（回忆版）数学真题）已知
，关于该函数有下列四个说法：
①
的最小正周期为
；
②
在
上单调递增；
③当
时，
的取值范围为
；
④
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为
，所以
的最小正周期为
，①不正确；
令
，而
在
上递增，所以
在
上单调递增，②正确；因为
，
，所以
，③不正确；
由于
，所以
的图象可由
的图象向右平移
个单
位长度得到，④不正确．
3．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））函数f(x)=
在[—π，π]的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先判断函数的奇偶性，得
是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
【详解】由
，得
是奇函数，其图象关于原点对称．又
．
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，
利用数形结合思想解题．
4．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数
的部分图像如图所示，则
.
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【答案】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解
的值即可.
【详解】由题意可得：
，
当
时，
，
令
可得：
，
据此有：
.
故答案为：
.
【点睛】已知
的部分图象求其解析式时，
比较容易看图得出，困难
的是求待定系数
和
，常用如下两种方法：
(1)由
即可求出
；确定
时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标
，
则令
，即可求出
.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出
和
，
若对
，
的符号或对
的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
5．（2022 年全国高考乙卷数学（理）试题）记函数
的最小正周期为
T，若
，
为
的零点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出
，根据
求出
，再根据
为函数的零点，即可求出
的取值，从而得
解；
【详解】解： 因为
，（
，
）
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所以最小正周期
，因为
，
又
，所以
，即
，
又
为
的零点，所以
，解得
，
因为
，所以当
时
；
6．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，
则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令
，得
有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
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