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第08 命题、定义、定理与证明
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：9 大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 定义
概念：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义。
【要点提示】
1.定义必须是严密的，不能使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等。
2.正确的定义能把被定义的事物或名词的本质属性反映出来。
3.定义是几何说理的依据，既可以当性质用，又可以当判定用。
知识点2 命题
1.概念:判断一件事情的句子叫做命题。
2.命题的组成:命题由条件(题设)和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
3.命题的形式:命题一般为“如果….，那么……”的形式，其中“如果”后接的是条件，“那么”后接的是结
论。有些命题的条件和结论不明显，可将它们经过适当变形，改写成“如果……，那么……”的形式。
4 命题的种类：
(1)真命题:如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题。
(2)假命题:命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假
命题。
5.反例:举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反
例.在数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。
.
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知识点3 证明
1.概念:根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明。
2.定理:经过证明的真命题称为定理。
3.证明与图形有关的命题的一般步骤：
(1)根据题意，画出图形。
(2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证。
(3)写出证明过程。
知识点4 定理
定义：经过证明的真命题称为定理。定理是在一定的数学体系中，通过严格的逻辑推理和证明得到的
具有普遍正确性的命题。
课本典例1（习题12.1 第1 题）
判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明：
(1) 两个钝角的和大于平角；
(2) 两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
课本典例2（习题12.1 第2 题）
判断命题“当a 是整数时，a2 ≥a 一定成立” 是真命题还是假命题，并说明理由。
课本典例3（习题12.1 第3 题）
把下列命题改写成“如果……，那么……” 的形式：(1) 全等三角形的对应角相等；(2) 有一个角等于60?
的等腰三角形是等边三角形。
课本典例4（习题12.1 第6 题）
如图，已知?BAD + ?DCE = 180?，AD?BC，求证：AB?CD。
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题型一判断是否是命题
1．（24-25 八年级上·山东青岛·期末）下列语句是命题的是（
）
A．延长线段AB
B．两直线相交有几个交点
C．同位角相等
D．连接A ，B 两点
2．（24-25 八年级上·贵州贵阳·期末）下列句子中属于命题的是（
）
A．美丽的天空
B．你的作业完成了吗？
C．过直线l 外一点作l 的垂线
D．两直线平行，同位角相等
3．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）下列语句中是命题的有（
）
①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
②你喜欢数学吗？
③取线段AB 的中点．
④角平分线上的点到角两边的距离相等
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．（24-25 八年级上·甘肃兰州·期末）下列语句是命题的是（
）
A．画线段CD
B．内错角相等吗
C．用量角器画
90
AOC
D．对顶角相等
5．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期中）下列是假命题的是（
）
A．取线段AB 的中点
B．同角的余角相等
C．相等的角是对顶角
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
题型二判断命题真假
6．（24-25 八年级上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，为假命题的是（
）．
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．等角的补角相等
D．三角形两边之和大于第三边
7．（24-25 八年级上·重庆·期中）下列命题正确的是（
）
A．同角或等角的余角相等
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．无限小数是无理数
D．同旁内角互补
8．（23-24 七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有
．（填序号）
①如果a
b
r
r，c
b
，则a
c
；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相
等；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；⑤互补的两个角是邻补角；⑥过一点画已知直线的垂
线可以画而且只能画一条；⑦有理数和数轴上的点一一对应．
9．（24-25 八年级上·河北沧州·期末）下列命题：
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①有一个角为60的等腰三角形是等边三角形；
②等腰直角三角形一定是轴对称图形；
③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
其中正确的个数有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
10．（24-25 八年级上·贵州毕节·期末）下列命题中，是真命题的是（
）
A．2 是无理数
B．16 的算术平方根是4
C．内错角相等
D．相等的角是对顶角
题型三举例说明假（真）命题
11．（24-25 八年级上·浙江宁波·期末）能说明命题“对于任意实数a ，都有
0
a
”是假命题的反例是（
）
A．
2
a
B．
1
a
C．
0
a
D．
9
a
12．（24-25 八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“若x
y
，则x
y
”，下面四组关于x
y
，的值中，能说明
它是假命题的是（
）
A．
4
x ，
1
y
B．
5
x
，
2
y
C．
1
x ，
0
y
D．
3
x ，
4
y
13．（24-25 八年级上·河南驻马店·期末）能说明命题“如果
2
1
x ，那么
1
x ”是假命题的反例是（
）
A．
1
x
B．
2
x
C．
0
x
D．
2
x
14．（24-25 八年级上·陕西榆林·期末）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的
反例的是（
）
A．
30
A
，
40
B
B．
30
A
，
110
B
C．
30
A
，
70
B
D．
30
A
，
90
B
Ð
=
°
15．（24-25 八年级上·上海·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若
0
a
，则
0
a
”是假命题的反例是
（
）
A．
2
a
B．
0
a
C．
1
a
D．
2
a
题型四写出命题的题设与结论
16．（24-25 八年级上·河北邯郸·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，
则下列正确的是（
）
已知：如图，
,
a
b a
c
∥
∥．
求证：b
c
P
．
证明：作直线d 分别与直线a，b，c 相交．
,
1
2
180 (
)
a
b
∥
①
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,
1
3
180 ,
2
3,
(
)
a
c
b
c
∥
∥
②．
A．①处为两直线平行，同位角相等
B．①处为同位角相等，两直线平行
C．②处为同位角相等，两直线平行
D．②处为两直线平行，同位角相等
17．（22-23 七年级下·广西南宁·期中）把命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：
．
18．（24-25 八年级上·浙江衢州·期末）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（
）
A．两直线平行
B．同位角相等
C．两直线不平行
D．同位角不相等
19．（24-25 八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形
式：
．
20．（24-25 八年级上·贵州黔东南·阶段练习）把命题“三角形的内角和等于180”改写成“如果L 那么L ”的
形式：如果
，那么
．
题型五写出一个命题的已知、求证及证明过程
21．（23-24 七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出
图形，写出该命题的已知、求证，并证明．
22．（23-24 八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．
(1)将此命题写成“如果…，那么…”：______；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明
过程．
23．（23-24 八年级上·湖南郴州·阶段练习）证明命题“三角形的外角和等于360”是真命题．
已知：
求证：
证明：
24．（17-18 七年级下·江苏南京·期中）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：____________．
求证：____________．
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证明：
25．（22-23 七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若
180
A
B
，
180
C
D
，
A
C
，则
B
D
”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为
A
C
（已知）；
②因为
180
A
B
，
180
C
D
（已知）；
③所以
180
B
A
，
180
D
C
（等式的性质）；
④所以
B
D
（等量代换）；
⑤所以
180
B
C
（等量代换）．
正确的顺序是(
)
A．①→③→②→⑤→④
B．②→③→⑤→①→④
C．②→③→①→⑤→④
D．②→⑤→①→③→④
题型六已知证明过程填写理论依据
26．（23-24 七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程：
如图，EF
BC
，AD
BC
，
1
2
，试说明DG
BA
∥
．
解：∵EF
BC
，AD
BC
，（已知），
∴
90
BFE
BDA
（垂直的定义），
∴DG
BA
∥
（____________）．
∴
2
3
（____________）．
∵
1
2
（已知），
∴____________（等量代换）．
∴DG
AB
∥
（____________）．
27．（23-24 七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程：
如图，已知AB
CE ，
A
E
，试说明：
CGD
FHB
，
7 / 13
解：∵AB
CE （已知）
A
ADC
（______）
A
E
（已知）
E
ADC
（______）
AD
EF
∥
（______）
CGD
GHE
（______）
FHB
GHE
（______）
CGD
FHB
28．（21-22 七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴AB∥CD（）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥EF（）．
∴AB∥EF（）．
∴∠B＋∠F＝180°（）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（）．
题型七根据给出的论断组命题并证明
29．（22-23 八年级上·全国·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5 名同学组成一个代表
队，这四支代表队（分别用A，B，C，D 表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞
赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C 得亚军；D 得季军；乙：D 得冠军；A 得亚军；丙：C
得冠军；B 得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为
．
30．（21-22 七年级下·河南商丘·期中）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②
1
2
；③
B
C
．
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(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都
写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的
假命题举出一个反例（温馨提示：
180
B
C
BAC
）
31．（21-22 七年级下·江苏镇江·期末）【阅读】在证明命题“如果
0
a
b
，
0
c
，那么
2
a
bc
ab
ac
”
时，小明的证明方法如下：
证明：∵
0
a
b
，
∴
2
a >
．∴
2
a
bc
．
∵a
b
，
0
c
，
∴bc
．∴ab
bc
．
∴
2
a
bc
ab
ac
．
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)有以下几个条件：①a
b
，②a
b
，③
0
a
，④
0
b
．请从中选择两个作为已知条件
．．．．．．．．．．．．．，得出结论
a
b
．你选择的条件序号是
，并给出证明过程．
32．（18-19 七年级下·全国·单元测试）如图，现有以下三个条件：①
/ /
,
AB
CD ②
,
B
C
③
E
F
．请
你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的
一个命题即可)．
题型八写出正确逆命题
33．（23-24 八年级上·全国·单元测试）写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
(1)三角形的内角和等于180
(2)互为相反数的两数的绝对值相等
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(3)同号两数相乘，积为正数
(4)钝角三角形有两个锐角．
34．（23-24 八年级上·安徽·期末）“如果m ，n 互为倒数，那么
1
mn ”的逆命题是
命题（填“真”或“假”）．
35．（23-24 八年级上·全国·单元测试）写出符合下列条件的一个原命题：
(1)原命题和逆命题都是真命题；
(2)原命题是假命题，但逆命题是真命题；
(3)原命题是真命题，但逆命题是假命题：
(4)原命题和逆命题都是假命题．
36．（23-24 八年级上·全国·单元测试）命题“等角的余角相等”的条件为
，结论为
;它
的逆命题为
，逆命题是
命题（填“真”或“假”）．
题型九定理与证明
37．（23-24 八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（
）
A．定理可以推导出基本事实
B．定理都是真命题
C．定理和基本事实都不需要证明
D．基本事实不一定是真命题
38．（19-20 八年级下·浙江杭州·期末）假设命题“a≤0”不成立，那么a 与0 的大小关系只能是（
）
A．a＝1
B．a≠0
C．a≥0
D．a＞0
39．（19-20 七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（
）
A．命题是定理，定理是命题
B．命题不一定是定理，定理不一定是命题
C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理
D．定理可能是真命题，也可能是假命题
40．（19-20 八年级上·全国·课后作业）（1）如图所示，点A 是公路l 旁的居民点，从点A 向公路l 修一条
连接公路的小路AB ，AB
l
，这样修所依据的数学公理是______．
（2）如图所示，点B ，B，C ，C在同一条直线上，当AB ________，CA ________，BC _______时，
ABC
A B C
≌
，所依据的数学公理是_______．
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一、单选题
1．（17-18 七年级下·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（
）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同旁内角相等
C．平行于同一条直线的两直线平行
D．对顶角相等
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2．（24-25 八年级上·广东广州·阶段练习）在下列命题中，假命题
．．．是（
）
A．如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
3．（24-25 八年级上·贵州贵阳·期末）下列命题中，真命题的是（
）
A．三角形的内角和等于180
B．相等的两个角是对顶角
C．两直线被第三条直线所截，内错角相等
D．平行于同一条直线的两直线不平行
4．（24-25 八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，真命题是（
）
A．相等的角是对顶角
B．如果a
b
，那么
2
2
a
b
C．内错角相等
D．同旁内角互补
5．（24-25 八年级上·浙江金华·期末）下列选项中，可以用来说明命题|
|
a
a
是假命题的反例是（
）
A．
2
a
B．
4
a
C．
0
a
D．
5
a
6．（24-25 八年级上·山西晋中·期末）通过本学期第七章的学习我们明白了：仅仅依靠实验、观察、归纳是
不够的，必须进行有根有据的证明．而在数学发展史上，数学家们也遇到了“已经知道的真命题又是如何证
实的？”这一问题，而源于希腊数学家的一本数学著作解决了这一问题．它以公理和原始概念为基础推演出
更多的结论．这种做法为人们提供了一种研究问题的方法（称为公理化方法），这本数学著作是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 八年级上·安徽亳州·期末）下列命题：①如果x
y
，那么x
y
；②如果两个角相等，那么这
两个角为同位角；③如果m
n
，那么
2
2
m
n
；④如果
A
与
B
互补，那么
180
A
B
，其中假命题
有（
）
12 / 13
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
8．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明：“已知：在
ABC
V
中，
C
B
，求证：AB
AC
．”
则第一步应先假设（
）
A．AB
AC
B．AB
AC
C．AB
AC
£
D．
C
B
9．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）下列命题：①实数与数轴上的点是一一对应的；②平方根和立方根相
等的数有1和0 ；③带根号的数是无理数；④无限小数都是无理数；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直；⑥内错角相等．其中真命题的个数是（
）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
10．（24-25 八年级上·河南新乡·期中）下列命题中，假命题是（）
A．2
的绝对值是2
B．对顶角相等
C．在同一平面内，如果直线a
b
r
r，b
c
，那么直线a
c
∥
D．1.01001000100001…是有理数
二、填空题
11．（11-12 七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如
果
，那么
．
12．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）命题“ 8
的立方根等于2
”是
命题( 填“真”或“假”)．
13．（24-25 八年级上·贵州毕节·期末）要说明命题“若a
b
，则
2
a
ab
”是假命题，举一个反例可以是：a
的值为
，b 的值为
．
14．（24-25 八年级上·山东枣庄·期末）下列命题：
①两直线平行，同旁内角相等；
②实数与数轴上的点一一对应；
③3 8 是无理数；
④三角形的一个外角大于任何一个内角．
其中，不是真命题的是
．（把你认为正确结论的序号都填上）
15．（24-25 八年级上·陕西渭南·期末）下列命题是真命题的是
（填序号）．①内错角相等；②
周长相等的两个三角形全等；③若a
b
，则
2
2
a
b
；④若
2
0
x
，则
0
x
．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·河南省直辖县级单位·期末）在有理数运算、整式运算的学习中．我们感受到：这部
分内容的学习都是从具体、简单的运算出发，归纳共性并验证规律．请你类比方法解决下列问题：
观察下列等式，并回答问题：
2
2
1
0
1
2
2
2
1
3
13 / 13
2
2
3
2
5
L
(1)将11写成两个正整数平方差的形式：__________
11
；
(2)观察、归纳，得出猜想：用含有字母n （
0
n
，且n 为整数）的等式表示上述的规律为：__________；
(3)验证：用已学的知识验证上述发现的规律；
(4)延伸：两个相邻奇数的平方差一定是8 的倍数．这个命题是__________命题（填“真”或“假”）．
17．（24-25 八年级上·全国·假期作业）已知实数a，b，c，m，n 满足3
b
m
n
a
，
c
mn
a
．
(1)求证：
2
12
b
ac
为非负数；
(2)若a，b，c 均为奇数，m，n 是否可以都为整数？说明你的理由．
提示：因北师大版八年级上未学因式分解，故可用乘法分配律的逆用公式，即：
am
an
a m
n
．
18．（24-25 八年级上·河南周口·期中）（1）如图，DE
BC
∥
，CD
AB
，GF
AB
，试说明
CDE
BGF
；
（2）若把（1）中的已知“GF
AB
”与结论“
CDE
BGF
”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请
判断并说明理由．
19．（24-25 八年级上·河北秦皇岛·期中）命题：
2
1
m 一定是无理数．请判断命题的真假性并说明理由．
20．（24-25 八年级上·河南周口·期中）如图，点、、
B
E
C 在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出
两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①AB
CD
∥
；②
1
2
，
3=
4
；③AE
ED
．
(1)上述问题有哪几个真命题？
(2)选择（1）中的一个真命题加以证明．
