文档文本内容
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第08 命题、定义、定理与证明
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：9 大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 定义
概念：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义。
【要点提示】
1.定义必须是严密的，不能使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等。
2.正确的定义能把被定义的事物或名词的本质属性反映出来。
3.定义是几何说理的依据，既可以当性质用，又可以当判定用。
知识点2 命题
1.概念:判断一件事情的句子叫做命题。
2.命题的组成:命题由条件(题设)和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
3.命题的形式:命题一般为“如果….，那么……”的形式，其中“如果”后接的是条件，“那么”后接的是结
论。有些命题的条件和结论不明显，可将它们经过适当变形，改写成“如果……，那么……”的形式。
4 命题的种类：
(1)真命题:如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题。
(2)假命题:命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假
命题。
5.反例:举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反
例.在数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。
.
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知识点3 证明
1.概念:根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明。
2.定理:经过证明的真命题称为定理。
3.证明与图形有关的命题的一般步骤：
(1)根据题意，画出图形。
(2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证。
(3)写出证明过程。
知识点4 定理
定义：经过证明的真命题称为定理。定理是在一定的数学体系中，通过严格的逻辑推理和证明得到的
具有普遍正确性的命题。
课本典例1（习题12.1 第1 题）
判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明：
(1) 两个钝角的和大于平角；
(2) 两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
【答案】(1) 真命题。设两个钝角分别为α ，β ，因为钝角大于90? ，即? > 90? ，? > 90? ，所以
? + ? > 90? + 90? = 180?，也就是两个钝角的和大于平角。(2) 假命题。反例：当两条不平行的直线被第三条
直线所截时，同位角不相等。比如在任意一个三角形中，一边所在直线与另外两边所在直线相交，所形成
的同位角不相等。
【解析】对于(1)，根据钝角和平角的定义，通过不等式运算得出两个钝角和大于平角；对于(2)，依据同
位角相等的前提条件是两直线平行，找到不平行直线被第三条直线所截的情况作为反例。
【点睛】判断命题真假时，真命题需依据定义、定理等进行严格推理证明，假命题只需找到一个反例即可，
要准确把握相关数学概念的条件和结论。
课本典例2（习题12.1 第2 题）
判断命题“当a 是整数时，a2 ≥a 一定成立” 是真命题还是假命题，并说明理由。
【答案】假命题。当a =
1
2时，a2 =
1
2
2
=
1
4，此时
1
4 <
1
2，即a2 < a ，与a2 ≥a 矛盾。
【解析】要判断该命题真假，可通过找特殊值代入验证。当取a =
1
2这个整数时，计算a2并与a 比较大小，
发现不满足a2 ≥a 。
【点睛】判断一个关于数的命题真假，可尝试代入特殊值进行验证，若能找到不符合命题结论的值，则该
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命题为假命题。
课本典例3（习题12.1 第3 题）
把下列命题改写成“如果……，那么……” 的形式：(1) 全等三角形的对应角相等；(2) 有一个角等于60?
的等腰三角形是等边三角形。
【答案】(1) 如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等。(2) 如果一个等腰三角形有
一个角等于60?，那么这个等腰三角形是等边三角形。
【解析】“如果” 后面接的是命题的条件，“那么” 后面接的是命题的结论。对于(1)，条件是两个三角
形全等，结论是对应角相等；对于(2)，条件是等腰三角形有一个角为60?，结论是该三角形是等边三角形。
【点睛】将命题改写成“如果……，那么……” 形式，关键是准确区分命题的条件和结论，使改写后的
语句逻辑清晰、表意明确。
课本典例4（习题12.1 第6 题）
如图，已知?BAD + ?DCE = 180?，AD?BC，求证：AB?CD。
【答案】因为AD?BC，根据两直线平行，同位角相等，可得?DCE = ?ADC。又因为?BAD + ?DCE = 180?，
把?DCE = ?ADC 代入，得到?BAD + ?ADC = 180?。根据同旁内角互补，两直线平行，所以AB?CD。
【解析】先利用AD?BC 这一条件，根据平行线性质得到?DCE 与?ADC 相等，再通过等量代换将?BAD +
?DCE = 180?转化为?BAD + ?ADC = 180?，最后依据平行线判定定理得出AB?CD。
【点睛】本题关键在于熟练运用平行线的性质和判定定理，通过等量代换实现角的关系转化，从而证明两
直线平行。
题型一判断是否是命题
1．（24-25 八年级上·山东青岛·期末）下列语句是命题的是（
）
A．延长线段AB
B．两直线相交有几个交点
C．同位角相等
D．连接A ，B 两点
【答案】C
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【分析】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题，熟练掌握定义是解答本题的关键．根
据命题的概念判断即可．
【详解】解：A、延长线段AB，不是命题，不符合题意；
B、两直线相交有几个交点？不是命题，不符合题意；
C、同位角相等，是命题，符合题意；
D、连接A ，B 两点，不是命题，不符合题意；
故选：C．
2．（24-25 八年级上·贵州贵阳·期末）下列句子中属于命题的是（
）
A．美丽的天空
B．你的作业完成了吗？
C．过直线l 外一点作l 的垂线
D．两直线平行，同位角相等
【答案】D
【分析】本题考查命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键．
根据命题的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、美丽的天空，不是命题，故此选项不符合题意；
B、你的作业完成了吗？，不是命题，故此选项不符合题意；
C、过直线l 外一点作l 的垂线，不是命题，故此选项不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，是命题，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（24-25 八年级上·河南南阳·期末）下列语句中是命题的有（
）
①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
②你喜欢数学吗？
③取线段AB 的中点．
④角平分线上的点到角两边的距离相等
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称
为真命题，错误的命题称为假命题．
根据命题的定义逐个进行判断即可．
【详解】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是命题；
②你喜欢数学吗？不是命题；
③取线段AB 的中点，不是命题；
④角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题；
∴①④是命题，共2 个，
故选：B．
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4．（24-25 八年级上·甘肃兰州·期末）下列语句是命题的是（
）
A．画线段CD
B．内错角相等吗
C．用量角器画
90
AOC
D．对顶角相等
【答案】D
【分析】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题．
根据命题的概念判断即可．
【详解】解：A、画线段CD，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
B、内错角相等吗，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
C、用量角器画∠
90
AOC
，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
D、对顶角相等，做出了判断，是命题，符合题意．
故选：D．
5．（24-25 八年级上·湖南衡阳·期中）下列是假命题的是（
）
A．取线段AB 的中点
B．同角的余角相等
C．相等的角是对顶角
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】C
【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关
键是要熟悉课本中的性质定理．
利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、取线段AB 的中点，不是命题，不符合题意；
B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意；
D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
故选：C．
题型二判断命题真假
6．（24-25 八年级上·陕西西安·阶段练习）下列命题中，为假命题的是（
）．
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．等角的补角相等
D．三角形两边之和大于第三边
【答案】B
【分析】本题考查判断命题的真假，根据对顶角，平行线的性质，补角，和三角形的三边关系逐一进行判
断即可．
【详解】解：A、对顶角相等，原命题为真命题，不符合题意；
B、同旁内角不一定互补，原命题为假命题，符合题意；
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C、等角的补角相等，原命题为真命题，不符合题意；
D、三角形两边之和大于第三边，原命题为真命题，不符合题意；
故选B．
7．（24-25 八年级上·重庆·期中）下列命题正确的是（
）
A．同角或等角的余角相等
B．两直线被第三条直线所截，同位角相等
C．无限小数是无理数
D．同旁内角互补
【答案】A
【分析】本题考查了真命题，平行线的性质，无理数的定义，余角的性质，据此相关性质内容进行逐项分
析，即可作答．
【详解】解：A、同角或等角的余角相等，故该选项符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项不符合题意；
C、无限不循环小数是无理数，故该选项不符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故该选项不符合题意；
故选：A．
8．（23-24 七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有
．（填序号）
①如果a
b
r
r，c
b
，则a
c
；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相
等；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；⑤互补的两个角是邻补角；⑥过一点画已知直线的垂
线可以画而且只能画一条；⑦有理数和数轴上的点一一对应．
【答案】④
【分析】根据平行线的判定和性质，命题真假的判定，相关的数学知识判断解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，命题真假的判定，相关的数学知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解
题的关键．
【详解】解：①如果a
b
r
r，c
b
，未添加条件“在同一平面内”，无法判断a 与c 的关系，故①中命题是假
命题；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②中命题是假命题；
③两直线平行，同位角相等，故③中命题是假命题；
④如图，
180
AMN
BNM
，MP 平分
AMN
，NP 平分
BNM
，
∴
1
2
PMN
AMN
，
1
2
PNM
BNM
，
7 / 35
∴
1
90
2
PMN
PNM
AMN
BNM
，
∴
180
90
P
PMN
PNM
，即MP
NP
，
∴同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，故④中命题是真命题；
⑤互补的两个角不一定是邻补角，故⑤中命题是假命题；
⑥在同一平面内，过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条，故⑥中命题是假命题；
⑦有理数和数轴上的点不是一一对应，故⑦中命题是假命题．
故答案为：④．
9．（24-25 八年级上·河北沧州·期末）下列命题：
①有一个角为60的等腰三角形是等边三角形；
②等腰直角三角形一定是轴对称图形；
③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
其中正确的个数有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】D
【分析】本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握课本中的性质定理．
判断是否为真命题，需要分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法可得到答案．
【详解】解：①有一个角为60的等腰三角形是等边三角形，故①正确；
②等腰直角三角形一定是轴对称图形，故②正确；
③有一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故③错误；
④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故④正确，
即正确的命题有3 个．
故选：D．
10．（24-25 八年级上·贵州毕节·期末）下列命题中，是真命题的是（
）
A．2 是无理数
B．16 的算术平方根是4
C．内错角相等
D．相等的角是对顶角
【答案】A
【分析】本题考查命题与定理．利用无理数，算术平方根，平行线的性质，对顶角的定义等知识分别判断
后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、2 是无理数，是真命题，本选项符合题意；
B、16 的算术平方根是4，原命题是假命题，本选项不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，本选项不符合题意；
D、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，本选项不符合题意．
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故选：A．
题型三举例说明假（真）命题
11．（24-25 八年级上·浙江宁波·期末）能说明命题“对于任意实数a ，都有
0
a
”是假命题的反例是（
）
A．
2
a
B．
1
a
C．
0
a
D．
9
a
【答案】C
【分析】本题主要考查了假命题的反例，绝对值的性质，
根据
0
a
时，判断
0
a
是否成立即可解答．
【详解】解：当
0
a
时，
0
a
，所以该命题是假命题．
故选：C．
12．（24-25 八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“若x
y
，则x
y
”，下面四组关于x
y
，的值中，能说明
它是假命题的是（
）
A．
4
x ，
1
y
B．
5
x
，
2
y
C．
1
x ，
0
y
D．
3
x ，
4
y
【答案】A
【分析】本题考查了假命题，根据假命题的定义逐项判断即可求解，掌握假命题的定义是解题的关键．
【详解】解：A 、
4
x ，
1
y 时，x
y
，但x
y
，能说明命题是假命题，该选项符合题意；
B 、
5
x
，
2
y 时，x
y
，且x
y
，不能说明命题是假命题，该选项不合题意；
C 、
1
x ，
0
y
时，x
y
，且x
y
，不能说明命题是假命题，该选项不合题意；
D 、
3
x ，
4
y 时，x
y
，且x
y
，不能说明命题是假命题，该选项不合题意；
故选：A ．
13．（24-25 八年级上·河南驻马店·期末）能说明命题“如果
2
1
x ，那么
1
x ”是假命题的反例是（
）
A．
1
x
B．
2
x
C．
0
x
D．
2
x
【答案】B
【分析】本题考查举反例，证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．根据
题目的要求举一个反例即可．
【详解】解：用来证明命题“若
2
1
x ，则
1
x ”是假命题的反例可以是：
2
x ，
∵
2
2
4
1
，但是
2
1
x ，
∴B 正确；
故选：B．
14．（24-25 八年级上·陕西榆林·期末）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的
反例的是（
）
A．
30
A
，
40
B
B．
30
A
，
110
B
9 / 35
C．
30
A
，
70
B
D．
30
A
，
90
B
Ð
=
°
【答案】C
【分析】考查了命题与定理的知识，能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，
逐项判断即可．
【详解】解：A、
30
A
，
40
B
，同时满足条件和结论，故不符合题意；
B、
30
A
，
110
B
，不满足条件“两个锐角”，故不符合题意；
C、
30
A
，
70
B
，满足条件“两个锐角”，不满足结论“和是锐角”，符合题意；
D、
30
A
，
90
B
Ð
=
°，不满足条件“两个锐角”，故不符合题意．
故选：C．
15．（24-25 八年级上·上海·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若
0
a
，则
0
a
”是假命题的反例是
（
）
A．
2
a
B．
0
a
C．
1
a
D．
2
a
【答案】A
【分析】本题主要考查了举反例，根据题意可知原命题的反例是满足
0
a
，但是
0
a
，据此可得答案．
【详解】解：A、当
2
a 时，
2
2
0
a
，但是
0
a
，故此选项符合题意；
B、当
0
a
时，
0
0
a
，故此选项不符合题意；
C、当
1
a 时，
1
1
0
a
，但是
0
a
，故此选项不符合题意；
D、当
2
a
时，
2
2
0
a
，但是
0
a
，故此选项不符合题意；
故选：A．
题型四写出命题的题设与结论
16．（24-25 八年级上·河北邯郸·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，
则下列正确的是（
）
已知：如图，
,
a
b a
c
∥
∥．
求证：b
c
P
．
证明：作直线d 分别与直线a，b，c 相交．
,
1
2
180 (
)
a
b
∥
①
,
1
3
180 ,
2
3,
(
)
a
c
b
c
∥
∥
②．
10 / 35
A．①处为两直线平行，同位角相等
B．①处为同位角相等，两直线平行
C．②处为同位角相等，两直线平行
D．②处为两直线平行，同位角相等
【答案】C
【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．
【详解】解：已知：如图，a
b ，a
c
P
．
求证：b
c
P
．
证明：作直线d 分别与直线a，b，c 相交．
a
b ，
1
2
180
（两直线平行，同旁内角互补）
a
c
∥，
1
3
180
，
2
3
，
b
c
∥（同位角相等，两直线平行）．
故选：C．
17．（22-23 七年级下·广西南宁·期中）把命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：
．
【答案】如果两个角是邻补角．那么它们互补．
【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论．分清
题目的已知与结论，即可解答．
【详解】解：把命题“邻补角互补”改写为“如果…那么…”的形式是：如果两个角是邻补角．那么它们互补，
故答案为：如果两个角是邻补角．那么它们互补．
18．（24-25 八年级上·浙江衢州·期末）命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（
）
A．两直线平行
B．同位角相等
C．两直线不平行
D．同位角不相等
【答案】A
【分析】本题主要考查命题与定理的知识，难度适中，解题的关键是：先将原命题改写成：如果…，那么…
的形式．
改写成“如果…那么…”的形式，如果后面的文字就是条件．
【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”改写为如果两直线平行，那么同位角相等，
所以条件是两直线平行，
11 / 35
故选：A．
19．（24-25 八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形
式：
．
【答案】如果同旁内角互补，那么两直线平行
【分析】本题考查了一个命题写成“如果…那么…”的形式，一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果
后面是题设，那么后面是结论．
根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析解答即可．
【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的条件是：“同旁内角互补”，结论为：“两直线平行”，
∴写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同旁内角互补，那么两直线平行”，
故答案为：如果同旁内角互补，那么两直线平行．
20．（24-25 八年级上·贵州黔东南·阶段练习）把命题“三角形的内角和等于180”改写成“如果L 那么L ”的
形式：如果
，那么
．
【答案】
三个角是三角形的内角
它们的和等于180
【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键．
【详解】解：把命题“三角形的内角和等于180”改写成“如果L 那么L ”的形式：如果三个角是三角形的内
角，那么它们的和等于180，
故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于180．
题型五写出一个命题的已知、求证及证明过程
21．（23-24 七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出
图形，写出该命题的已知、求证，并证明．
【答案】见解析
【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考
题型．
写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明．
【详解】解：已知：a
b
r
r，a
c
，
求证：b
c
∥，
证明：
a
b
Q
，
1
90
．
a
c
，
12 / 35
2
90
，
1
2
，
b
c
\
∥．
22．（23-24 八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．
(1)将此命题写成“如果…，那么…”：______；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明
过程．
【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
(2)该命题是真命题，详见解析
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念：
（1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题；
（2）根据三角形内角和定理计算，即可证明．
【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
（2）解：该命题是真命题
已知：如图，在
ABC
V
中，
90
B
Ð
=
°
求证：
90
A
C
证明：
180
A
B
C
180
A
C
B
90
B
180
90
90
A
C
．
23．（23-24 八年级上·湖南郴州·阶段练习）证明命题“三角形的外角和等于360”是真命题．
已知：
求证：
证明：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及邻补角，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键．根据
命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明即可．
【详解】已知：如图所示，
DAF
CBE
BCF
、
、
分别为
ABC
V
三个外角，
求证：
360
DAF
CBE
BCF
．
13 / 35
证明：∵
180
DAF
BAC
，
180
CBE
ABC
，
180
BCF
ACB
，
∴
180
3
540
DAF
BAC
CBE
ABC
BCF
ACB
∵
180
BAC
ABC
ACB
，
∴
540
360
DAF
CBE
BCF
BAC
ABC
ACB
．
24．（17-18 七年级下·江苏南京·期中）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：____________．
求证：____________．
证明：
【答案】见解析
【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可．
【详解】已知：如图，直线a
b
c
、、中，a
b
∥，b
c
∥，
求证：a
c
∥．
证明：作直线a
b
c
、、的截线DF ，交点分别为D
E
F
，，
．
∵a
b
∥,
∴
1
2
，
∵b
c
∥,
∴
2
3
，
∴
1
3
，
∴a
c
∥．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（22-23 七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若
180
A
B
，
180
C
D
，
A
C
，则
14 / 35
B
D
”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为
A
C
（已知）；
②因为
180
A
B
，
180
C
D
（已知）；
③所以
180
B
A
，
180
D
C
（等式的性质）；
④所以
B
D
（等量代换）；
⑤所以
180
B
C
（等量代换）．
正确的顺序是(
)
A．①→③→②→⑤→④
B．②→③→⑤→①→④
C．②→③→①→⑤→④
D．②→⑤→①→③→④
【答案】C
【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可．
【详解】证明：因为
180
A
B
，
180
C
D
（已知），
所以
180
B
A
，
180
D
C
（等式的性质）；
因为
A
C
（已知），
所以
180
B
C
（等量代换）．
所以
B
D
（等量代换）．
∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．
故选C．
【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键．
题型六已知证明过程填写理论依据
26．（23-24 七年级下·江苏宿迁·阶段练习）补全下列推理过程：
如图，EF
BC
，AD
BC
，
1
2
，试说明DG
BA
∥
．
解：∵EF
BC
，AD
BC
，（已知），
∴
90
BFE
BDA
（垂直的定义），
∴DG
BA
∥
（____________）．
∴
2
3
（____________）．
∵
1
2
（已知），
∴____________（等量代换）．
∴DG
AB
∥
（____________）．
15 / 35
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案；
【详解】解：∵EF
BC
，AD
BC
（已知），
∴
90
BFE
BDA
（垂直的定义），
∴EF
AD
∥
（
同位角相等，两直线平行
），
∴
2
3
（
两直线平行，同位角相等
），
∵
1
2
（已知），
∴
1
3
（等量代换），
∴DG
AB
∥
（
内错角相等，两直线平行
）．
27．（23-24 七年级下·陕西西安·阶段练习）补全下列推理过程：
如图，已知AB
CE ，
A
E
，试说明：
CGD
FHB
，
解：∵AB
CE （已知）
A
ADC
（______）
A
E
（已知）
E
ADC
（______）
AD
EF
∥
（______）
CGD
GHE
（______）
FHB
GHE
（______）
CGD
FHB
【答案】答案见详解；
【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案；
【详解】解：∵AB
CE （已知），
A
ADC
（两直线平行，内错角相等），
A
E
（已知），
E
ADC
（等量代换），
AD
EF
∥
（同位角相等，两直线平行），
CGD
GHE
（两直线平行，同位角相等），
FHB
GHE
（对顶角相等），
16 / 35
CGD
FHB
．
28．（21-22 七年级下·山东济宁·期中）推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．
求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．
证明：
∵∠B＝∠CGF（已知），
∴AB∥CD（）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥EF（）．
∴AB∥EF（）．
∴∠B＋∠F＝180°（）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（）．
【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角
互补；平角的定义；等量代换
【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可．
【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∵∠BGC＝∠F（已知）；
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴AB∥EF（平行公理的推论）
∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义），
∠BGC＝∠F（已知），
∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理．
题型七根据给出的论断组命题并证明
29．（22-23 八年级上·全国·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5 名同学组成一个代表
队，这四支代表队（分别用A，B，C，D 表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞
17 / 35
赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C 得亚军；D 得季军；乙：D 得冠军；A 得亚军；丙：C
得冠军；B 得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为
．
【答案】C，A，D，B
【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错
误的没矛盾就是正确的．
【详解】解：①假设甲说的：C 是亚军正确，则他说D 是季军错误，
于是乙说：D 是殿军正确，则乙说的A 得亚军就错误，
故丙说：B 得亚军正确，与假设甲说的：C 是亚军正确互相矛盾，
所以：甲说的：C 是亚军错误；
②假设甲说的：C 是亚军错误，则他说D 是季军正确，
于是乙说：D 是冠军错误，则乙说的A 得亚军就正确，
故丙说：B 得亚军错误，C 是冠军正确；
没有矛盾，
故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B．
故答案为：C，A，D，B．
【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾．
30．（21-22 七年级下·河南商丘·期中）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②
1
2
；③
B
C
．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都
写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的
假命题举出一个反例（温馨提示：
180
B
C
BAC
）
【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析
(2)都是真命题，推理见解析
【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可
【详解】（1）解：一共能组成三个命题：
①如果DE//BC，
1
2
，那么
B
C
；
②如果DE//BC，
B
C
，那么
1
2
；
③如果
1
2
，
B
C
，那么DE//BC ；
18 / 35
（2）解：都是真命题，
如果DE//BC，
1
2
，那么
B
C
，
理由如下：∵DE//BC，
∴
1
B
，
2
C
∵
1
2
，
∴
B
C
．
如果DE//BC，
B
C
，那么
1
2
；
理由如下：∵DE//BC，
∴
1
B
，
2
C
，
∵
B
C
，
∴
1
2
；
如果
1
2
，
B
C
，那么DE//BC ；
理由如下：∵
180
B
C
BAC
，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵
1
2
，
B
C
，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
31．（21-22 七年级下·江苏镇江·期末）【阅读】在证明命题“如果
0
a
b
，
0
c
，那么
2
a
bc
ab
ac
”
时，小明的证明方法如下：
证明：∵
0
a
b
，
∴
2
a >
．∴
2
a
bc
．
∵a
b
，
0
c
，
∴bc
．∴ab
bc
．
∴
2
a
bc
ab
ac
．
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)有以下几个条件：①a
b
，②a
b
，③
0
a
，④
0
b
．请从中选择两个作为已知条件
．．．．．．．．．．．．．，得出结论
a
b
．你选择的条件序号是
，并给出证明过程．
【答案】(1)见解析
(2)②④，证明见解析
19 / 35
【分析】（1）根据
0
a
b
，可得
2
a > ab．从而得到
2
a
bc
ab
bc
．再由a
b
，
0
c
，可得bc ac．从
而得到ab
bc
ab
ac
．即可求证；
（2）选择②④．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得a
a
，b
b
．然后根据a <
b，可得a
b
，即可．
【详解】（1）证明：∵
0
a
b
，
∴
2
a > ab．
∴
2
a
bc
ab
bc
．
∵a
b
，
0
c
，
∴bc ac．
∴ab
bc
ab
ac
．
∴
2
a
bc
ab
ac
．
（2）解∶选择②④．
证明如下：∵a<b，b<0，
∴a<0．
∴a
a
，b
b
．
∵a < b，
∴a
b
．
∴a
b
．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的
关键．
32．（18-19 七年级下·全国·单元测试）如图，现有以下三个条件：①
/ /
,
AB
CD ②
,
B
C
③
E
F
．请
你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的
一个命题即可)．
【答案】（1）可构造如下几个命题：如果
/ /
,
,
AB
CD
B
C
那么
E
F
，如果
/ /
,
,
AB
CD
E
F
那么
B
C
，如果
B
C
，
,
E
F
那么
/ /
AB
CD ；（2）证明见解析．
【分析】（1）分别以其中2 句话为条件，第三句话为结论可写出3 个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对3 个命题分别进行证明，判断它们的真假．
20 / 35
【详解】解：（1）有：如果
/ /
,
,
AB
CD
B
C
那么
E
F
；
如果
/ /
,
,
AB
CD
E
F
那么
B
C
；
如果
B
C
，
,
E
F
那么
/ /
AB
CD ；
（2）如图：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
∴如果
/ /
,
,
AB
CD
B
C
那么
E
F
为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
∴如果
/ /
,
,
AB
CD
E
F
那么
B
C
为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
∴如果
B
C
，
,
E
F
那么
/ /
AB
CD 为真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命
题；经过推理论证的真命题称为定理．
题型八写出正确逆命题
33．（23-24 八年级上·全国·单元测试）写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
21 / 35
(1)三角形的内角和等于180
(2)互为相反数的两数的绝对值相等
(3)同号两数相乘，积为正数
(4)钝角三角形有两个锐角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】根据逆命题的定义，结合所学相关的知识判断真假即可．
本题考查了逆命题的书写，命题真假的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：内角和等于180的多边形是三角形，真命题．
（2）解：绝对值相等的两个数互为相反数，假命题．
（3）解：积为正数的两个数同号，真命题．
（4）解：有两个锐角的三角形是钝角三角形，假命题，如等边三角形．
34．（23-24 八年级上·安徽·期末）“如果m ，n 互为倒数，那么
1
mn ”的逆命题是
命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【分析】本题考查的是命题的逆命题，真假命题的判定，先写出命题的逆命题，再判断即可.
【详解】解：命题“如果m ，n 互为倒数，那么
1
mn ”的逆命题是
“如果
1
mn ，那么m ，n 互为倒数”，
逆命题是真命题；
故答案为：真
35．（23-24 八年级上·全国·单元测试）写出符合下列条件的一个原命题：
(1)原命题和逆命题都是真命题；
(2)原命题是假命题，但逆命题是真命题；
(3)原命题是真命题，但逆命题是假命题：
(4)原命题和逆命题都是假命题．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题主要考查了命题的真假，熟练掌握命题的有关概念是解题的关键．
（1）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可；
（2）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可；
（3）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可；
22 / 35
（4）根据命题及逆命题的定义符合条件的命题即可．
【详解】（1）解：两直线平行，内错角相等（答案不唯一）；
（2）解：相等的角是对顶角（答案不唯一）；
（3）解：所有直角都相等（答案不唯一）；
（4）解∶内错角不相等，两直线平行（答案不唯一）．
36．（23-24 八年级上·全国·单元测试）命题“等角的余角相等”的条件为
，结论为
;它
的逆命题为
，逆命题是
命题（填“真”或“假”）．
【答案】
如果两个角与另外两个相等的角互余
这两个角相等
如果两个角相等，那么这两个
角与另外两个相等的角互余
假
【分析】本题考查了逆命题，判断一个命题的逆命题的真假，根据互逆命题的定义先写出原命题的逆命题，
然后判断真假即可，正确写出原命题的逆命题是解题的关键．
【详解】解：“等角的余角相等” 的条件为为如果两个角与另外两个相等的角互余，结论为那么这两个角
相等，它的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余，逆命题是这是一个假命题，
故答案为：如果两个角与另外两个相等的角互余，这两个角相等；如果两个角相等，那么这两个角与另外
两个相等的角互余，假．
题型九定理与证明
37．（23-24 八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（
）
A．定理可以推导出基本事实
B．定理都是真命题
C．定理和基本事实都不需要证明
D．基本事实不一定是真命题
【答案】B
【分析】本题考查了命题、定理、真命题与假命题．根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即
可得．
【详解】解：A、基本事实可以作为定理的前提条件或基础,定理可以基于基本事实进行推导和证明，定理
可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系,或从基本事实中得出更深入的结论定理，不一定可以推导出基
本事实，故原说法错误，不符合题意；
B、定理都是真命题，正确，符合题意；
C、定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，原说法错误，不符合题意；
D、基本事实是真命题，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
38．（19-20 八年级下·浙江杭州·期末）假设命题“a≤0”不成立，那么a 与0 的大小关系只能是（
）
A．a＝1
B．a≠0
C．a≥0
D．a＞0
【答案】D
23 / 35
【分析】由于a≤0 的反面为a＞0，则假设命题“a≤0”不成立，则有a＞0．
【详解】解：假设命题“a≤0”不成立，则a＞0．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组
成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题
的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
39．（19-20 七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（
）
A．命题是定理，定理是命题
B．命题不一定是定理，定理不一定是命题
C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理
D．定理可能是真命题，也可能是假命题
【答案】C
【分析】根据命题和定理的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、命题不一定是定理，所以本选项错误；
B、命题不一定是定理，但定理一定是命题，所以本选项错误；
C、真命题有可能是定理，假命题不可能是定理，所以本选项正确；
D、定理不可能是假命题，所以本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理，定理是命题，并且是真命题，但真命题不一定是定理，熟知命题和定理
的定义及其关系是解题的关键．
40．（19-20 八年级上·全国·课后作业）（1）如图所示，点A 是公路l 旁的居民点，从点A 向公路l 修一条
连接公路的小路AB ，AB
l
，这样修所依据的数学公理是______．
（2）如图所示，点B ，B，C ，C在同一条直线上，当AB ________，CA ________，BC _______时，
ABC
A B C
≌
，所依据的数学公理是_______．
【答案】（1）垂线段最短；（2）A B
，C A，B C
，SSS.
【分析】（1）根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可；
（2）根据全等三角形的判断定理SSS，即可得到答案.
24 / 35
【详解】解：（1）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点A 作AB
l
于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短．
故答案为垂线段最短．
（2）根据题意，当
'
',
'
',
'
'
AB
A B CA
C A BC
B C
时，
有：ABC
A B C
≌
（SSS），
所依据的数学公理是SSS；
故答案为A B
，C A，B C
，SSS.
【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握垂线段最短的性质和SSS
证明全等三角形的判定定理.
25 / 35
一、单选题
1．（17-18 七年级下·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（
）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同旁内角相等
C．平行于同一条直线的两直线平行
D．对顶角相等
【答案】B
【分析】本题考查了命题真假的判断．根据平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
26 / 35
【详解】解：A、同位角相等，两直线平行，真命题，本选项不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，本选项符合题意；
C、平行于同一条直线的两直线平行，真命题，本选项不符合题意；
D、对顶角相等，真命题，本选项不符合题意；
故选：B．
2．（24-25 八年级上·广东广州·阶段练习）在下列命题中，假命题
．．．是（
）
A．如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】C
【分析】本题主要考查了邻补角的定义，垂线的性质，平行线的性质，平行公理推论等知识点，解题的关
键是熟练掌握以上性质、定义和推论．
利用邻补角的定义，垂线的性质，平行线的性质，平行公理推论等知识逐项进行判断即可．
【详解】A．如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补，根据邻补角的性质可知：互为邻补角的两个角
相加等于180 ，故该命题正确，不符合题意；
B．根据垂线的性质可知：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该命题正确，不符
合题意；
C．根据平行线的性质可知：如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故该命题错误，符
合题意；
D．根据平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故该命题正确，
不符合题意；
故选：C．
3．（24-25 八年级上·贵州贵阳·期末）下列命题中，真命题的是（
）
A．三角形的内角和等于180
B．相等的两个角是对顶角
C．两直线被第三条直线所截，内错角相等
D．平行于同一条直线的两直线不平行
【答案】A
【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键
是要熟悉课本中的性质定理．
根据三角形内角和定理、对顶角的概念、平行线的性质、平行公理的推论判断即可．
【详解】解：A、三角形的内角和等于180，是真命题，符合题意；
B、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题是假命题，不符合题意；
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C、两平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意；
D、平行于同一条直线的两直线平行，原命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
4．（24-25 八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，真命题是（
）
A．相等的角是对顶角
B．如果a
b
，那么
2
2
a
b
C．内错角相等
D．同旁内角互补
【答案】B
【分析】本题考查的是命题的真假判断，熟练掌握对顶角，平行线的性质是解题的关键．
先根据对顶角的定义、平行线的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：A，相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不符合题意；
B，如果a
b
，那么
2
2
a
b
，是真命题，符合题意；
C，内错角不一定相等，原命题错误，不符合题意；
D，同旁内角不一定互补，原命题错误，不符合题意．
故选：B．
5．（24-25 八年级上·浙江金华·期末）下列选项中，可以用来说明命题|
|
a
a
是假命题的反例是（
）
A．
2
a
B．
4
a
C．
0
a
D．
5
a
【答案】B
【分析】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结
论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命
题．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可
以了，这样的例子叫做反例．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、
2
a
满足|
|
a
a
，故该选项不符合题意；
B、
4
a 不满足|
|
a
a
，故该选项符合题意；
C、
0
a
满足|
|
a
a
，故该选项不符合题意；
D、
5
a
满足|
|
a
a
，故该选项不符合题意；
故选：B
6．（24-25 八年级上·山西晋中·期末）通过本学期第七章的学习我们明白了：仅仅依靠实验、观察、归纳是
不够的，必须进行有根有据的证明．而在数学发展史上，数学家们也遇到了“已经知道的真命题又是如何证
实的？”这一问题，而源于希腊数学家的一本数学著作解决了这一问题．它以公理和原始概念为基础推演出
更多的结论．这种做法为人们提供了一种研究问题的方法（称为公理化方法），这本数学著作是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了数学著作，熟练掌握《几何原本》中公理化思想是解题的关键，根据《几何原本》体
现了公理化思想进行判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，数学著作《几何原本》体现的是公理化思想，
故选：D．
7．（24-25 八年级上·安徽亳州·期末）下列命题：①如果x
y
，那么x
y
；②如果两个角相等，那么这
两个角为同位角；③如果m
n
，那么
2
2
m
n
；④如果
A
与
B
互补，那么
180
A
B
，其中假命题
有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】本题考查的是命题与定理，根据绝对值、同位角的概念、实数的大小比较、补角的概念判断即可．正
确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
【详解】解：①如果|
| |
|
x
y
，那么x
y
，故本小题命题是假命题；
②两个角相等，这两个角不一定是同位角，故本小题命题是假命题；
③如果m
n
，那么
2
2
m
n
，是假命题，例如：1
2
，而
2
2
1
( 2)
；
④如果
A
与
B
互补，那么
180
A
B
，是真命题；
故选：C．
8．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明：“已知：在
ABC
V
中，
C
B
，求证：AB
AC
．”
则第一步应先假设（
）
A．AB
AC
B．AB
AC
C．AB
AC
£
D．
C
B
【答案】C
【分析】本题考查了反证法的步骤“①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公
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理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确”，熟练掌握反证法的
步骤是解题关键．根据反证法的步骤即可得．
【详解】解：反证法的第一步是：假设命题结论的反面正确，
所以第一步应先假设AB
AC
£
，
故选：C．
9．（24-25 八年级上·河南新乡·期末）下列命题：①实数与数轴上的点是一一对应的；②平方根和立方根相
等的数有1和0 ；③带根号的数是无理数；④无限小数都是无理数；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直；⑥内错角相等．其中真命题的个数是（
）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题考查了命题真假判断，涉及实数的相关知识，垂线唯一性与平行公理等知识；根据实数与数
轴上的点一一对应可判断①，根据平方根与立方根的定义可判断②，根据无理数定义可判断③④，根据垂
线的性质可判断⑤，根据平行线的性质可判断⑥，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：①实数与数轴上的点是一一对应的，说法正确，是真命题；
②平方根和立方根相等的数只有0 ，说法错误，是假命题；
③带根号的数也可能是有理数，如
4 是有理数，说法错误，是假命题；
④无限不循环小数都是无理数，说法错误，是假命题；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法错误，是假命题；
⑥两直线平行，内错角相等，说法错误，是假命题．
∴真命题的个数是1 个，
故选：A．
10．（24-25 八年级上·河南新乡·期中）下列命题中，假命题是（）
A．2
的绝对值是2
B．对顶角相等
C．在同一平面内，如果直线a
b
r
r，b
c
，那么直线a
c
∥
D．1.01001000100001…是有理数
【答案】D
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假
关键是要熟悉课本中的性质定理．由绝对值的意义，对顶角的性质，平行公理的推论，无理数，即可判断．
【详解】解：A、2
的绝对值是2，原命题正确，不符合题意；
B、对顶角相等，原命题正确，不符合题意；
C、在同一平面内，如果直线a
b
r
r，b
c
，那么直线a
c
∥，原命题正确，不符合题意；
D、1.01001000100001…是无理数，原命题错误，符合题意；
故选：D．
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二、填空题
11．（11-12 七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如
果
，那么
．
【答案】
两个角是对顶角
这两个角相等
【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可．
【详解】解：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等.
12．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）命题“ 8
的立方根等于2
”是
命题( 填“真”或“假”)．
【答案】真
【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键
是要熟悉课本中的性质定理．根据立方根的概念判断即可．
【详解】解：
8
的立方根等于2
，
命题“ 8
的立方根等于2
”是真命题，
故答案为：真．
13．（24-25 八年级上·贵州毕节·期末）要说明命题“若a
b
，则
2
a
ab
”是假命题，举一个反例可以是：a
的值为
，b 的值为
．
【答案】
1
（答案不唯一）
2
（答案不唯一）
【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要
推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结
论求解即可．
【详解】解：当
1
a ，
2
b ，满足a
b
，但是
2
1,
2
a
ab
，
2
a
ab
∴说明命题“若a
b
，则
2
a
ab
”是假命题的一个反例可以是：
1
a ，
2
b ，，
故答案为：1
，2
（答案不唯一）．
14．（24-25 八年级上·山东枣庄·期末）下列命题：
①两直线平行，同旁内角相等；
②实数与数轴上的点一一对应；
③3 8 是无理数；
④三角形的一个外角大于任何一个内角．
其中，不是真命题的是
．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【分析】本题考查了判断命题的真假、平行线的性质、实数与数轴、三角形外角的性质，根据平行线的性
质、实数与数轴、无理数的定义、三角形外角的性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
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【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，不是真命题，
②实数与数轴上的点一一对应，故原说法正确，是真命题；
③3 8
2
是有理数，故原说法错误，不是真命题，
④三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原说法错误，不是真命题，
综上所述，不是真命题的是①③④，
故答案为：①③④．
15．（24-25 八年级上·陕西渭南·期末）下列命题是真命题的是
（填序号）．①内错角相等；②
周长相等的两个三角形全等；③若a
b
，则
2
2
a
b
；④若
2
0
x
，则
0
x
．
【答案】③
【分析】本题考查判断命题的真假，利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，
逐一进行判断即可，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断．
【详解】解：①两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项为假命题，不符合题意；
②周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为3、4、5 的三角形和一个边长为4、4、4 的三角
形，它们的周长都是12，但它们不是全等三角形，故该选项为假命题，不符合题意；
③若a
b
，则
2
2
a
b
，该命题是真命题，故该选项符合题意；
④若
2
0
x
，则
0
x
，比如
2
1
0
，但1
0
，故该选项为假命题，不符合题意；
故答案为：③．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·河南省直辖县级单位·期末）在有理数运算、整式运算的学习中．我们感受到：这部
分内容的学习都是从具体、简单的运算出发，归纳共性并验证规律．请你类比方法解决下列问题：
观察下列等式，并回答问题：
2
2
1
0
1
2
2
2
1
3
2
2
3
2
5
L
(1)将11写成两个正整数平方差的形式：__________
11
；
(2)观察、归纳，得出猜想：用含有字母n （
0
n
，且n 为整数）的等式表示上述的规律为：__________；
(3)验证：用已学的知识验证上述发现的规律；
(4)延伸：两个相邻奇数的平方差一定是8 的倍数．这个命题是__________命题（填“真”或“假”）．
【答案】(1)
2
2
6
5
(2)
2
2
1
2
1
n
n
n
(3)证明见解析
(4)真
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【分析】（1）根据
2
2
6
5
11
即可求解；
（2 ）由等式规律可得
2
2
1
2
1
n
n
n
，即可求解；
（3）展开计算验证即可；
（4 ）设两个相邻奇数分别为2
1
n + 和2
3
n
，由平方差公式进行计算即可判断求出；
本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：
2
2
6
5
11
，
故答案为：
2
2
6
5
；
（2）解：∵
2
2
1
0
1
1
0
，
2
2
2
1
3
，
2
2
3
2
5
，
L ，
∴
2
2
1
2
1
n
n
n
，
故答案为：
2
2
1
2
1
n
n
n
；
（3）证明：
2
2
2
2
1
2
1
n
n
n
n
n
2
1
n
；
（4）解：设两个相邻奇数分别为2
1
n + 和2
3
n ，
则
2
2
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
n
n
n
n
n
n
4
4
2
n
8
1
n
，
∴两个相邻奇数的平方差一定是8 的倍数，该命题是真命题，
故答案为：真．
17．（24-25 八年级上·全国·假期作业）已知实数a，b，c，m，n 满足3
b
m
n
a
，
c
mn
a
．
(1)求证：
2
12
b
ac
为非负数；
(2)若a，b，c 均为奇数，m，n 是否可以都为整数？说明你的理由．
提示：因北师大版八年级上未学因式分解，故可用乘法分配律的逆用公式，即：
am
an
a m
n
．
【答案】(1)证明见解析；
(2)m，n 不可能都为整数，理由见解析
【分析】（1）根据3
b
m
n
a
，
c
mn
a
得到
3
,
b
a
m
n
c
amn
，再代入
2
12
b
ac
，经化简得到
2
2
(3
)
a
m
n
，
根据非负数的概念，即可证明答案；
（2）利用反证法，若
,
m n 都为整数，其可能情况有：①m，n 都为奇数；②m，n 为整数，且其中至少有一
个为偶数，分别利用已知条件推理，得出与已知矛盾的结论，即可证明．
33 / 35
【详解】（1）解：因为3
b
m
n
a
，
c
mn
a
，
所以
3
,
b
a
m
n
c
amn
，
则
2
2
2
12
[
3
]
12
b
ac
a
m
n
a mn
2
2
2
2
9
6
12
a
m
mn
n
a mn
2
2
2
9
6
a
m
mn
n
2
2
(3
)
a
m
n
，
因为a，m，n 是实数，
所以
2
2
(3
)
0
a
m
n
，
所以
2
12
b
ac
为非负数；
（2）解：m，n 不可能都为整数．
理由如下：若
,
m n 都为整数，其可能情况有：①m，n 都为奇数；②m，n 为整数，且其中至少有一个为偶数，
①当m，n 都为奇数时，则3m
n
必为偶数，
又3
b
m
n
a
，所以
3
b
a
m
n
，
因为a 为奇数，所以
3
a
m
n
必为偶数，这与b 为奇数矛盾；
②当m，n 为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn 必为偶数，
又因为
c
mn
a
，所以c
amn
，
因为a 为奇数，所以amn 必为偶数，这与c 为奇数矛盾；
综上所述，m，n 不可能都为整数．
【点睛】本题考查了反证法，完全平方公式，乘法分配律的逆用，非负数的概念，熟练掌握反证法是解题
的关键．
18．（24-25 八年级上·河南周口·期中）（1）如图，DE
BC
∥
，CD
AB
，GF
AB
，试说明
CDE
BGF
；
（2）若把（1）中的已知“GF
AB
”与结论“
CDE
BGF
”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请
判断并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）真命题，理由见解析．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，真假命题，关键找准判定两直线平行的条件和两直线平行的性
质运用．
（1）根据平行线的性质证明
CDE
BCD
，
BGF
BCD
，等量代换可证
CDE
BGF
；
34 / 35
（2）根据平行线的性质证明
CDE
BCD
，等量代换可证
BGF
BCD
，从而可证CD
GF
∥
，然后根
据平行线的性质可证所得的命题是真命题．
【详解】解：（1）
DE
BC
∥
，
CDE
BCD
．
CD
AB
，GF
AB
，
CD
GF
∥
，
BGF
BCD
，
CDE
BGF
；
（2）是真命题，理由：
DE
BC
∥
，
CDE
BCD
．
CDE
BGF
Q
，
BCD
BGF
，
CD
GF
∥
．
CD
AB
，
GF
AB
．
19．（24-25 八年级上·河北秦皇岛·期中）命题：
2
1
m 一定是无理数．请判断命题的真假性并说明理由．
【答案】假命题，理由见解析
【分析】本题考查了真假命题的判断，无理数的定义，理解命题的条件与结论的含义是解本题的关键．
假命题，只需举反例就可以，故当
0
m
时，
2
1
1
m 是有理数，继而得到为假命题．
【详解】解：假命题
当
0
m
时，
2
1
1
m 是有理数，故命题为假命题．
20．（24-25 八年级上·河南周口·期中）如图，点、、
B
E
C 在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出
两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①AB
CD
∥
；②
1
2
，
3=
4
；③AE
ED
．
(1)上述问题有哪几个真命题？
(2)选择（1）中的一个真命题加以证明．
【答案】(1)命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①
(2)选择命题1：①②⇒③，证明见解析；选择命题2：②③⇒①，证明见解析
【分析】本题考查平行线的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
35 / 35
（1）根据三个条件写出真命题即可；
（2）选取①②⇒③，然后根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到
1
2
C
，即可得到
1
2
3
4
180
，进而求出
2
3
90
∠
∠
即可解题．选取命题2：②③⇒①，先根据垂直和平角的
定义得到
2
3
90
，进而得到1
2
3
4
180
,然后根据三角形的内角和定理得到
180
B
C
即可证明结论．
【详解】（1）解：上述问题有两个真命题，分别是：
命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①．
（2）选择命题1：①②⇒③．
证明：∵CD
AB
∥
，
∴
180
B
C
，
∵
1
2
180
B
，
∴
1
2
C
，
∴
1
2
3
4
180
，
∵
1
2
，
3=
4
，
∴
2
3
90
∠
∠
，
∴
90
AED
，
∴AE
ED
．
选取命题2：②③⇒①．
证明: ∵AE
DE
，
∴
90
AED
∠
，
∴
2
3
90
，
又∵
1
2
，
3=
4
，
∴
1
2
3
4
180
，
又∵
180
1
2
B
，
180
3
4
C
，
∴
180
1
2 180
3
4
360
1
2
3
4
180
B
C
，
∴AB
CD ．
