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第12 讲投影与三视图（知识点+15 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 正投影
题型2 平行投影
题型3 中心投影
题型4 视点、视角和盲区
题型5 判断简单几何体的三视图
题型6 判断简单组合体的三视图
题型7 已知一种或两种视图，判断其他视图
题型8 由三视图还原几何体
题型9 已知三视图求边长
题型10 已知三视图求侧面积或表面积
题型11 求小立方块堆砌图形的表面积
题型12 已知三视图求体积
题型13 求几何体视图的面积
题型14 由三视图判断小立方体的个数
题型15 已知三视图求最多或最少的小立方块个数
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
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关键词
学习目标导航
投影的定义
中心投影
平行投影
正投影
三视图（主视图、左视
图、俯视图）
三视图的画法规则
常见几何体的三视图
由三视图还原几何体
投影与视图的实际应
用
1. 理解投影的定义，经历投影的形成过程，能准确区分中心投影（灯光投影）
和平行投影（太阳光投影），了解正投影的概念，识别生活中的各类投影现
象。
2. 掌握中心投影和平行投影的基本性质，能根据投影的性质解决简单的实际
问题，如根据影子长度求物体高度、确定光源位置或影子的方向。
3. 理解三视图的概念，明确主视图、左视图、俯视图的观察方向，掌握三视
图“长对正、高平齐、宽相等”的画法规则，能规范画出直棱柱、圆柱、圆
锥、球等常见几何体及简单组合体的三视图。
4. 能根据三视图描述几何体的形状特征，还原简单的几何体或组合体，能判
断三视图对应的几何体的组成部分。
5. 体会投影与视图在建筑设计、机械制造等领域的实际应用，发展空间观念
和几何直观能力，感受数学与现实生活的密切联系。
学习重点：中心投影与平行投影的性质及区别，三视图的画法规则，常见几何体三视图的绘制，由三
视图还原几何体。
学习难点：正确区分中心投影和平行投影的不同性质，准确画出复杂组合体的三视图，根据三视图还
原几何体时空间想象能力的运用，以及投影性质在实际问题中的灵活应用。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 投影的基本概念
定义：物体在光线照射下，在地面或墙壁上留下的影子叫做投影。照射光线称为投影线，影子所在的平面
称为投影面。
即时即练
1．光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【易错提醒】
投影必须同时具备三个要素：物体、投影线、投影面，缺一不可。不要将物体本身与投影混淆。
知识点02
菱形的性质
投
影
类
型
定义
投影线特
点
核心性质
生活举例
对应易错提醒
中
心
投
影
由同一点（点光
源）发出的光线形
成的投影
交于一点
（发散
状）
物体离光源越近，影子越
长；不同位置物体的物高
与影长不成正比
路灯、手
电筒、台
灯
不要与平行投影混淆；影
子长度同时受物体高度
和到光源距离影响
平
行
投
影
由平行光线形成
的投影
互相平行
同一时刻、同一地点，不
同物体的物高与影长成
正比
太阳光
只有太阳光可近似看作
平行光线；灯光属于中心
投影
教材重点：正投影— — 投影线垂直于投影面产生的平行投影，是三视图的理论基础。
即时即练
2．下列现象中，不属于中心投影的是（
）
A．路灯下人的影子
B．电影院银幕上的影子
C．阳光下窗框的影子
D．路灯下物体的影子
【易错提醒】
正投影是特殊的平行投影，不是所有平行投影都是正投影。
知识点03
正投影的性质
内容：
线段的正投影：
平行于投影面：正投影与线段等长
倾斜于投影面：正投影比线段短
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垂直于投影面：正投影成为一个点
平面图形的正投影：
平行于投影面：正投影与原图形全等
倾斜于投影面：正投影与原图形相似
垂直于投影面：正投影成为一条线段
几何体的正投影：当几何体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与该面形状、大小完全相同。
即时即练
3．下列投影中，正投影有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【易错提醒】
只有当物体平行于投影面时，正投影才与原物体全等，倾斜时会变形，垂直时会缩为点或线段
不要默认所有正投影都与原物体形状相同，必须考虑物体与投影面的位置关系
知识点04 三视图的基本概念
定义：从不同方向观察同一物体得到的平面图形称为视图。其中：
从正面观察得到的视图叫主视图
从左面观察得到的视图叫左视图
从上面观察得到的视图叫俯视图
主视图、左视图、俯视图合称为三视图。
即时即练
4．画出下列几何体的三视图．
(1)
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(2)
【易错提醒】
左视图是从物体的左面看，不是右面，方向搞反会导致左右颠倒
俯视图是从物体的正上方垂直向下看，不是斜上方
三视图是平面图形，不是立体图形
知识点05 三视图的绘制规则（教材核心）
核心规则：长对正、高平齐、宽相等
长对正：主视图与俯视图的长相等，且互相对正
高平齐：主视图与左视图的高相等，且互相平齐
宽相等：俯视图与左视图的宽相等
绘制要求：
看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线
标准位置：主视图在左上方，左视图在主视图正右方，俯视图在主视图正下方
即时即练
5．如图，是由7 个大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
(1)请在相应网格中画出这个几何体的三视图，并用阴影表示出来；
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图不变，那么最多
可以再添加__________个小正方体．
【易错提醒】
最易出错的是“宽相等”，俯视图的宽和左视图的宽经常画得不相等
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看不见的轮廓线必须画虚线，不能省略，否则会导致视图表达错误
三视图位置不能随意摆放，否则会失去尺寸对应关系
知识点06 常见几何体的三视图
几何体
主视图
左视图
俯视图
对应易错提醒
正方体
正方形
正方形
正方形
三个视图完全相同，与球区分
长方体
矩形
矩形
矩形
注意长、宽、高的对应关系
圆柱
矩形
矩形
圆
俯视图是正圆，不是椭圆
圆锥
等腰三角形
等腰三角
形
圆（带圆心）
俯视图必须画圆心，这是与圆柱的关
键区别
球
圆
圆
圆
三个视图都是圆，与正方体区分
直三棱
柱
矩形（中间一条实
线）
矩形
三角形
主视图中间的实线是看得见的棱，不
能省略
正四棱
锥
等腰三角形
等腰三角
形
正方形（带对角
线）
俯视图的对角线是看得见的棱，不能
省略
即时即练
6．如图是某几何体的三视图．
(1)这个几何体的名称是___________；
(2)若主视图是宽为Ͷcm，长为ͻcm 的矩形，左视图是宽为͵cm 的矩形，俯视图是斜边为ͷcm 的直角三角
形，则这个几何体的表面积是多少？
【易错提醒】
圆锥的俯视图必须包含圆心，很多学生容易漏掉
棱柱、棱锥的三视图中，中间的棱必须用实线画出
不要将圆柱的主视图误认为是正方形，只有当底面直径等于高时才是正方形
知识点07 由三视图还原几何体
基本步骤：
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定类型：根据三个视图的整体形状，判断是柱体、锥体还是球体
定尺寸：根据“长对正、高平齐、宽相等”确定几何体的长、宽、高
定细节：根据实线和虚线判断几何体的内部结构和看不见的棱
验结果：将还原的几何体再画出三视图，与原题对比验证
教材重点应用：根据三视图计算几何体的表面积和体积
体积公式：柱体V=底面积×高，锥体V=1/3×底面积×高
表面积：注意组合体的重叠部分面积不需要计算
即时即练
7．如图所示的是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称．
(2)画出这个几何体的侧面展开图．
(3)若主视图的长为8cm，俯视图中圆的半径为3cm，求这个几何体的表面积和体积（结果保留ߨ）．
【易错提醒】
不能仅凭一个或两个视图判断几何体形状，必须综合三个视图
计算锥体体积时，千万不要忘记乘以1/3，这是本节最高频易错点
计算组合体表面积时，容易重复计算重叠部分的面积，或漏掉看不见的面
题型1 正投影
【例1】
如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投
影是（
）
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A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
线段正投影：平行→等长，倾斜→缩短，垂直→成点
平面图形正投影：平行→全等，倾斜→相似，垂直→成线
立体图形正投影：等于该立体图形某一方向的视图
【变式1-1】
1．如图，一条线段ܣܤ在平面ߙ内的正投影为ܣ̵ ܤ̵ ǡܣܤʹܤʹ ڄ ܣ̵ ܤ̵ܤ，则סܣܤܤ̵ 的度数为（
）
A．͵Ͳι
B．Ͷͷι
C．Ͳι
D．ͷι
【变式1-2】
2．如图，将一块含͵Ͳι角的三角板ABC 的直角顶点C 放置于直线m 上，点A，B 在直线m 上的正投影分
别为点D，E．若ܣܤܤൌͲǡܤͲ͵ܤ͵，求AB 在直线m 上的正投影的长．
题型2 平行投影
【例2】小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（
）
A．矩形
B．等腰梯形
C．正方形
D．平行四边形
【技巧归纳】
同一时刻，不同物体的物高与影长成正比
平行投影的光线互相平行，影子方向相同
可通过影子长度计算物体高度，或通过物体高度推算影子长度
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【变式2-1】
1．小明拿一个三角形木框在太阳下玩耍，发现三角形木框在地面上的投影不可能是（
）
A．三角形
B．一条线段
C．四边形
D．三角形或一条线段
【变式2-2】
2．下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（
）
A．
B．
C．
D．
题型3 中心投影
【例3】如图，在平面直角坐标系中，点光源位于ܲ
ʹǡʹ 处，木杆ܣܤ两端的坐标分别为Ͳǡൌ，͵ǡൌ．则木
杆ܣܤ在ݔ轴上的影长ܥܦ为（
）
A．3
B．6
C．8
D．9
【技巧归纳】
光线从同一点发出，影子方向可能不同
物体离点光源越近，影子越短；离得越远，影子越长
确定点光源位置：延长两个物体顶端与影子顶端的连线，交点即为光源
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【变式3-1】
1．如图，在直角坐标系中，点ܲ
ʹǡ͵ 是一个点光源．木杆ܣܤ两端的坐标分别为ൌǡൌ，Ͷǡൌ．则木杆ܣܤ
在x 轴上的投影长为_______．
【变式3-2】
2．如图，小明用灯泡ܱ
照射一个矩形硬纸片ܣܤܥܦ，在墙上形成矩形影子ܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ ܦ̵ ，现测得ܱ
ܣʹܤ，ܣܣ̵͵ܤ，
纸片ܣܤܥܦ的周长为4，则影子ܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ ܦ̵ 的周长为__________．
题型4 视点、视角和盲区
【例4】如图，在房子屋檐E 处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（
）
A．ᇞܣܥͲ
B．ᇞܣܦ䁨
C．ᇞܣܤܦ
D．四边形ܤܥͲܦ
【技巧归纳】
视点：眼睛的位置；视角：视线的夹角；盲区：视线无法到达的区域
盲区越大，看到的范围越小
解题方法：过视点作障碍物边缘的直线，直线后方即为盲区
【变式4-1】
1．“欲穷千里目，更上一层楼”．用数学的知识解释是站得越高，看到的范围(
)．
【变式4-2】
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2．如图，ܱܯ为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P 位于灯杆ܱ
ܯ上，地面上竖立着一个矩形单杠ܣܤܥܦ，
已知单杠右侧ܥܦ杆在路灯灯泡P 的照射下的影子末端位于点E 处，已知O、B、C、E 在一条直线上，且ܯܱ
٣ܱ
Ͳ，ܣܤ٣ܱ
Ͳ，ܦܥ٣ܱ
Ͳ．
(1)请在图中找出路灯灯泡P 的位置，并画出单杠左侧ܣܤ杆在灯泡P 的照射下的影子ܤ䁨；
(2)经测量ܱ
ܤͶܤ米，ܤ䁨ʹܤ米，单杠的高度ܣܤʹܤ米，请你计算路灯灯泡距地面的高度ܱܲ
．
题型5 判断简单几何体的三视图
【例5】如图是郑州博物馆收藏的汉兽纹长颈铜壶，若仅观察其轮廓，忽略表面纹饰．则关于它的三视图，
下列说法正确的是（
）
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．三种视图都相同
【技巧归纳】
正方体：三个正方形；球：三个圆
圆柱：主/左视图矩形，俯视图圆
圆锥：主/左视图三角形，俯视图圆+圆心
三棱柱：主/左视图矩形，俯视图三角形
【变式5-1】
1．下列四个几何体中，俯视图是正方形的为（
）
A．三棱锥
B．正方体
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C．圆柱
D．球
【变式5-2】
2．如图是一个双耳罐器具，它的左视图是（
）
A．
B．
C．
D．
题型6 判断简单组合体的三视图
【例6】如图是由大、小两个正方体搭成的几何体，关于此几何体的三视图，下列说法正确的是（
）
A．主视图和左视图相同
B．主视图和俯视图相同
C．俯视图和左视图相同
D．三视图都不相同
【技巧归纳】
先将组合体拆成几个基本几何体
分别画出各部分的三视图，再叠加
看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线
注意重叠部分的线条，只画最外层轮廓
【变式6-1】
1．八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）
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A．
B．
C．
D．
【变式6-2】
2．如图所示的几何体的俯视图是（
）
A．
B．
C．
D．
题型7 已知一种或两种视图，判断其他视图
【例7】五个大小相同的正方体搭成的几何体俯视图如图所示，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的
个数，其主视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
长对正：主视图与俯视图的长相等
高平齐：主视图与左视图的高相等
宽相等：俯视图与左视图的宽相等
已知两个视图，可通过上述三个关系推出第三个视图的形状
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【变式7-1】
1．下图是一块积木及其主视图，则它的左视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】
2．已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（）
A．
B．
C．
D．
题型8 由三视图还原几何体
【例8】如图，是一个几何体从正面、左面、上面看到的三种形状图，则这个几何体是（
）
A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
第一步：看俯视图，确定几何体的底面形状
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第二步：看主视图和左视图，确定几何体的高度和侧面形状
第三步：结合三个视图，还原出完整的几何体
还原后再对照三视图检查，确保一致
【变式8-1】
1．某几何体的俯视图如图所示，该几何体是（
）
A．四棱柱
B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱锥
【变式8-2】
2．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为_____（结果保留ߨ）．
题型9 已知三视图求边长
【例9】如图是三棱柱及其三视图，在俯视图ᇞͲ䁨䁨中，Ͳ䁨ܤ㘶cm，Ͳ䁨ܤൌͶcm，סͲ䁨䁨Ͳ͵ܤι，则左视图
中ܣܤ的长为（
）
A．Ͷcm
B．cm
C．㘶cm
D．ൌͶcm
【技巧归纳】
主视图的长=俯视图的长，主视图的高=左视图的高
俯视图的宽=左视图的宽（注意前后方向的宽度）
将三视图中的边长对应到几何体的实际边长
【变式9-1】
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1．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根
据三视图所提供的数据，主视图上线段ܣܤ的长度为________．
【变式9-2】
2．如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立体图中的尺寸，求：
(1)主视图中线段ܣܤ的长；
(2)左视图的面积．
题型10 已知三视图求侧面积或表面积
【例10】如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4 的正方形，左视图是宽为2 的矩形，俯视图是
直径为4 的半圆，这个几何体的表面积是（
）
A．ൌʹπ
B．ʹͶπ
C．ൌʹπ ൌ
D．ൌʹ ൌπ
【技巧归纳】
第一步：根据三视图准确还原几何体
第二步：确定几何体的底面边长、高、母线长等参数
第三步：区分侧面积和表面积，侧面积只算侧面，表面积=侧面积+底面积
常见公式：圆柱侧面积ʹߨݎ݄，圆锥侧面积ߨݎ݈
【变式10-1】
1．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是______________cmʹ．
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【变式10-2】
2．如图，图2 是图1 中长方体的三视图，若用S 表示面积，ܵ主ܤݔʹ ʹݔ，ܵ左ܤݔʹ ݔ，已知ܵ俯ܤ，则
x 的值为_____．
题型11 求小立方块堆砌图形的表面积
【例11】如图是由棱长都为ൌcm 的9 块小正方体组成的简单几何体．
(1)按要求在方格中画出这个几何体的三视图；
(2)求这个几何体的表面积．
【技巧归纳】
分别数出主视图、俯视图、左视图中正方形的个数
表面积=（主视图面积+俯视图面积+左视图面积）×2
原理：每个方向的面都有一个与其相对的面，面积相等
【变式11-1】
1．如图是由6 个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为ൌcm．
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(1)请在对应的方格中分别画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图；
(2)这个几何体的表面积（包括底面）是___________cmʹ．
．
【变式11-2】
2．阅读与思考
阅读材料：如图，它是由6 个小正方体摆成的一个几何体，每个小正方体的棱长为2 厘米，从不同的方向
看的视图各不相同，根据要求回答以下视图问题：
(1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
(2)试求出其表面积；
(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多
可以再添加
个小正方体．
题型12 已知三视图求体积
【例12】如图是某鱼缸的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．若该鱼缸装有一半水，
根据图中所标示的数据（单位：dm），计算鱼缸内水的体积为（
）
A．ൌͲπdm͵
B．㘶Ͳπdm͵
C．ൌͲdm͵
D．㘶Ͳdm͵
【技巧归纳】
第一步：根据三视图数出小立方块的总个数
第二步：单个小立方块体积通常为1，总体积=个数×1
若为其他几何体，还原后用对应体积公式计算
【变式12-1】
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1．如图是一个长方体的主视图和左视图，由视图中标注的尺寸可计算出该长方体的体积为（
）
A．6
B．8
C．12
D．24
【变式12-2】
2．如图是某个几何体的表面展开图．
(1)画出该几何体的三视图；
(2)求该几何体的体积．
题型13 求几何体视图的面积
【例13】如图是由5 个完全相同的小立方块搭成的几何体，若小立方块的棱长为1，则该几何体的主视图
与俯视图的面积之比为(
)
A．Ͷ㔠ͷ
B．ൌ㔠ൌ
C．ͷ㔠Ͷ
D．Ͷ㔠͵
【技巧归纳】
先确定视图的形状（矩形、三角形、圆等）
从三视图中提取该视图的边长、半径等参数
代入平面图形面积公式计算
还原后再对照三视图检查，确保一致
【变式13-1】
1．图中几何体是由6 个相同的小正方体搭成的，小正方体的棱长为ൌcm，则左视图的面积为（
）
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A．͵cmʹ
B．Ͷcmʹ
C．ͷcmʹ
D．cmʹ
【变式13-2】
2．廊坊金丰农科园属于省级农业科技园区，是全国青少年农业科普示范基地．图1 为园区内一处休息区的
座椅，其主视图尺寸如图2 所示．
(1)请用含b 的代数式表示a；
(2)已知ܽ
㔠ܾ㔠ܿ͵ܤ㔠Ͷ㔠ൌ，求这个主视图的面积．
题型14 由三视图判断小立方体的个数
【例14】一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的视图，若该
几何体所用小立方块的个数为n，则n 的最小值为（
）
A．7
B．9
C．8
D．10
【技巧归纳】
第一步：画出俯视图，在每个格子上标可能的层数
第二步：根据主视图，确定每一列的最大层数
第三步：根据左视图，确定每一行的最大层数
第四步：每个格子取符合行列要求的层数，相加得总数
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【变式14-1】
1．超市货架上叠放着几桶方便面，其三视图如图所示，则货架上的方便面不可能有（
）
A．7 桶
B．8 桶
C．9 桶
D．10 桶
【变式14-2】
2．用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置
小立方体的个数，则ܽ
ܾ
ܿܤ__________．
题型15 已知三视图求最多或最少的小立方块个数
【例15】在一个仓库里堆积着若干个大小相同的正方体货箱，要搬运这些货箱很困难，可是仓库管理员要
落实一下货箱的数量，于是就想出一个办法，将这堆货箱组成的几何体的三视图画了出来，如图所示，现
要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【技巧归纳】
最多个数：每个格子都取该行列允许的最大层数
最少个数：保证每列每行都有一个达到最大层数，其余格子取最小层数（通常为1）
先确定必须有的方块，再添加或减少可选方块
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【变式15-1】1．如图所示的几何体由8 个相同的小正方体组成，若拿走一些小正方体后，几何体的主视图
和左视图都没有发生变化，则最多可拿走的小正方体的个数是（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【变式15-2】
2．如图是由5 个相同的小正方体组成的几何体，给这个几何体再加一个相同的小正方体（新加的小正方体
与原几何体至少有一个面重合）后，其左视图不发生变化的操作方法有（
）
A．3 种
B．4 种
C．6 种
D．7 种
一、单选题
1．下列几何体中，主视图和左视图不相同的是（
）
A．圆锥
B．球体
C．圆柱
D．正方体
2．如图是由5 个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（
）
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A．
B．
C．
D．
3．下列判断正确的是（
）
A．两点之间垂线段最短
B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．点ܲ
െܽ
ʹ െൌǡܾ
ʹ ൌ关于y 轴的对称点在第一象限
D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等
4．景德镇瓷器名扬天下，下列器皿中，主视图和左视图不相同的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．“斗”是中国古代重要的量米工具，形状是一个正四棱台．如图是其示意图，则它的俯视图为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图由一个球体和一个圆柱体（圆柱体底面与球体相切）组成的几何体，其主视图不可能是（
）
A．圆形（圆柱体轴线与视线方向一致）
B．左边圆形、右边矩形（圆柱体轴线垂直于视线方向）
C．带一条竖线的圆形（圆柱体轴线垂直于视线方向，且圆心与球心对齐）
D．椭圆形
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7．榫卯结构在中国已有上千年的应用和发展历史，距今ͲͲͲ 年前的河姆渡文明时期就已经出现了榫卯结
构的木构件．榫卯结构不仅应用于建筑领域，如唐代的佛光寺大殿、辽代的应县木塔、山西悬空寺等都是
榫卯结构应用的典型案例，还应用于家具制作，明代榫卯家具把中国传统家具推向发展顶峰．如图是某个
部件“卯”的实物图，则它的主视图是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图所示的几何体由5 个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一个，放在其他位置后，使之主视图
既是轴对称图形又是中心对称图形，下列做法正确的有（
）
A．①④
B．③④
C．①
D．②③
9．如图，沿正方体的一条棱截去其上方的一个三棱柱，则剩余几何体的左视图为（
）
A．
B．
C．
D．
10．刍甍（chú méng）是中国古代著作《九章算术》提到的一个五面体．如图，其底面为长方形，其余四
个侧面中有两个侧面形状是三角形，另外两个是梯形，则下图可以是刍甍的俯视图的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．下图中，图2 是图1 长方体的三视图，若用S 表示面积，则ܵ主视图ܤܽ
ʹ，ܵ左视图ܤܽ
ʹ ܽ，已知ܵ俯ܤ，
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a 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．如图所示的是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方
体的个数．若该几何体的主视图与左视图相同，则a，b 的值分别为（
）
A．2，2
B．2，1
C．1，2
D．1，1
13．如图，一个正方体由27 个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何
体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走的小立方块的个数为（
）
A．4
B．8
C．16
D．20
二、填空题
1．若干个相同的小立方块搭成的几何体从上面和从左面看到的形状图如图所示，求满足条件的几何体中小
立方块的个数：____ ．
2．如图是7 个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，
则拿走的积木是________．（填“甲”“乙”“丙”“丁”）
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3．如图，在点光源ܱ
的照射下，一块面积为ͷcmʹ的三角形硬纸板（记为ᇞܣܤܥ）平行于投影面时，形成
的投影是ᇞܦͲ䁨．若ܣܦ㔠ܣܱܤൌ㔠ʹ，则ᇞܦͲ䁨的面积是______．
4．如图，阳光下一根长ʹm 的木棒ܣܤ在地面上的影子ܤܥ长为͵m，此时旗杆ܦͲ 的影子有一部分落在距
离旗杆ൌͷm 的墙䁨䁨上，旗杆的影子落在墙上的高度䁨ܪ为ʹ‸㘶m，则旗杆ܦͲ 的高度为___________m．
5．如图，直线l 同侧有两点A，B，在直线l 上找一点P，使得ܲ
ܣܲ
ܤ的值最小．若点A 到直线l 的距离
是4，点B 到直线l 的距离是2，A，B 在直线l 上的正投影间距为5，则ܲ
ܣܲ
ܤ的最小值为______．
6．如图，点光源ܱ
射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片ܣܤ投影到与胶片平行的屏幕上，形成
影像ܥܦ．已知ܣܤͷ‸Ͳܤdm，点光源到胶片的距离ܱ
Ͳ 长为Ͷdm，ܥܦ长为ൌ‸ͷdm，则胶片与屏幕的距离Ͳ䁨
为_____dm．
7．已知一个“粮仓”的三种视图如图所示（单位：m），根据图中所给的数据求出它的容积是____m͵．（参
考公式：ܸ
圆柱ܤߨݎʹ݄，ܸ
圆锥ܤ
ൌ
͵ ߨݎʹ݄，结果保留π）
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8．一个由若干个相同的小正方体摆成的几何体，三视图均是如图所示的图形．组成它的小正方体的个数最
多和最少相差______．
9．如图，点O 为正方体ܣܤܥܦെܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ ܦ̵ 的中心，点E 为面ܤ̵ ܤܥܥ̵ 的中心，点F 为ܤ̵ ܥ̵ 的中点，则空间四
边形ܦ̵ܱ
Ͳ䁨在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）．
10．小明要用彩纸给爸爸做了一顶圆锥形生日帽，他设计的生日帽的左视图和俯视图如图所示，其中点ܥ
到ܣܤ的距离为ൌʹ ͵cm，ٖ
ܥ̵ 的周长为ʹͶπcm．这个生日帽至少要用彩纸_______cmʹ（接口处重叠面积
不计，结果保留π）．
11．如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．这个立体图形由_____个小
正方体组成．
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三、解答题
1．画出图中几何体的三视图．
2．如图是一个几何体的三视图（单位：cm)．
(1)这个几何体的名称是．
(2)求这个几何体的表面积和体积．（结果保留π和根号）
3．由10 个大小相同的正方体（每个小正方体的棱长都是2）搭成的几何体如图所示：
(1)请在网格中画出从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形．
(2)现要在这个几何体的表面喷上油漆（不包括下底面），求需要喷上油漆的面积S．
4．三根竖立的竹竿在同一光源ܱ
下的影子如图所示，其中竹竿ܣܤ的影子为ܣ䁨，竹竿ܥܦ的影子为ܥܪ，
已知ܣܤ٣ 䁨䁨ǡ ܥܦ٣ 䁨䁨，点䁨、ܣ、ܥ、ܪ、Ͳ、䁨在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源ܱ
的位置，并画出影子为Ͳ䁨的竹竿Ͳܭ（用线段表示）．
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5．（1）已知：线段ܽ
，直线݈
及直线外一点ܣ．
求作：矩形ܣܤܥܦ，使得边ܤܥ在直线݈
上，ܣܤ٣݈，垂足为ܤ，对角线的长度为ܽ
．
（2）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图．
1）在图②的横线上填写出两种视图的名称：________，_________；
2）根据两种视图中的数据（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积是_________．（结果保留π）
6．（1）如图，有两根木棒ܣܤǡܥܦ在地面上直立着，其中木棒ܣܤ在太阳光下的影子为ܤͲ．请你在图中画
出此时木棒ܥܦ的影子（保留画图痕迹，不写画法）；
（2）如图所示的是由边长为1 的小正方体搭成的几何体的俯视图，图中所示数字表示该位置上小正方体的
个数．请分别画出该几何体的主视图和左视图．
7．石磙（gǔn）是我国传统农耕文明中典型的圆柱形农具（如图1），其在外力拉动下主要用于平整晒谷场、
碾压谷物脱粒等．图2 为某石磙抽象成的实心均匀圆柱体，其三视图如图3 所示．结合以上数据信息，回
答下列问题：
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(1)求该石磙的侧面积和体积；（结果保留π）
(2)为了在圆柱体石磙的两个底面安装转轴，需要在石磙两底面的中心位置各开凿一个底面半径为ͷcm 的圆
柱形孔（开凿深度相等），若开凿圆柱形孔后，石磙的质量不低于原来质量的ͻͻ‸ͷ%（石磙材质均匀，密
度为ߩ），求开凿的圆柱形孔的深度݀
ʹ݀
䁠ൌʹͲ 最大值为多少？（质量=密度×体积）
8．一透明的敞口正方体容器ܣܤܥܦെܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ ܦ̵ 中装有一些液体，棱ܣܤ始终在水平桌面上，容器底部的倾斜
角为ߙ（סܥܤͲܤߙ，如图所示）．
探究：如图①，液面刚好过棱ܥܦ，并与棱ܤܤ'交于点ܳ
，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如
图②．
解决问题：
(1)ܥܳ
与ܤͲ 的位置关系是，ܤܳ
的长是dm；
(2)求液体的体积．[参考算法：直棱柱体积ሺܸ
液ሻܤ底面积ሺܵ
ᇞܤܥܳ
ሻൈ高ܣܤ]
9．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段ܲܳ
为驾驶员，ܲܳ
与地面垂直，车头近似看成矩形ܣܤܥܦ，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲
区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形ܥܦܯ面）．
测量数据：驾驶员眼睛ܲ
距地面的高度为ൌ‸ͷm，车头ܣܦ的高度为Ͳ‸ͻm，宽度ܣܤ为ൌ‸㘶m，车头到点ܲ
的水平距离为Ͳ‸㘶m．
问题解决：
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(1)根据以上信息，参考立体图形，在图3 上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲
区长度（视野盲区的前沿ܯ面到车头的水平距离为盲区长度）；
(2)在问题1 的基础上，在图4 上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积；
(3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛ܲ
距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会
____________（填“减小”、“不变”或“增大”）；
②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不
变”或“增大”）
10．【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，
物体所产生的影子称为中心投影．
(1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿ܣܤ的影子为ܣ䁨，竹竿ܥܦ
的影子为ܥܪ．确定光源O 的位置，并画出影子为Ͳ䁨的竹竿（用线段Ͳܭ表示）．
(2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A 经过路灯C 的正下方沿直线走到点B，他的影长y 随他与点A
之间的距离x 的变化而变化，那么表示y 与x 之间函数关系的图象大致为______；
(3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆ܣܤ，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长ܦ䁨Ͷܤm，沿ܤܦ
方向前进到达点F 处测得自己的影长䁨䁨ܤm．已知小明的身高为ൌ‸㘶m，求灯杆ܣܤ的高度．
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