专题2.5 幂函数与二次函数（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解幂函数的定义，掌握幂函数的图象与性质
(2)熟练掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性与最值等）
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
幂函数与二
次函数
天津卷：第2 题，5 分
上海卷（春考）：第
14 题，4 分
上海卷（春考）：第
15 题，5 分
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命题规律
分析
1、幂函数与二次函数
幂函数与二次函数是常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的
地位，是高考常考的热点内容，从近三年的高考情况来看，幂函数较少单独
考查，常与指、对数函数结合考查，考查内容包括比较幂值的大小、解不等
式等，主要出现在选择题、填空题中，难度较易；二次函数常与其他知识相
结合，考查二次函数的图象与性质。
知识点1
幂函数的解题技巧
1．幂函数的解析式
幂函数的形式是y=xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2．幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+∞)上，幂函数
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中指数越大，函数图象越远离x 轴.
3．比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂
函数的图象和性质是解题的关键.
知识点2
二次函数的解题技巧
1．二次函数解析式的求法
(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.
(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.
(3)零点式法：已知与x 轴两交点坐标，选用零点式.
2．二次函数的图象问题
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于
对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
3．二次函数的单调性与最值
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指
的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
4．二次函数的恒成立问题
不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象
求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【题型1
比较幂值的大小】
【例1】（2026·湖南·一模）若�= log7
7
2，�= 70.1，�=
2
7
−0.1
，则�、�、�的大小关系为（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【变式1-1】（2026·四川绵阳·一模）已知�=
3
2 , �= log34, �= e
1
2，则（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【变式1-2】（2026·北京朝阳·二模）已知�= log0.50.2, �= 0.50.5, �= 20.5，则（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【变式1-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数��= �−1 �1−�为幂函数，若�= log0.30.4，�= log30.4，
则（
）
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A．���< ��+ �< �1
B．��+ �< ���< �1
C．�1 < ��+ �< ���
D．��+ �< �1 < ���
【题型2
幂函数图象的判断及应用】
【例2】（25-26 高一上·上海嘉定·期中）图中�1, �2, �3为三个幂函数�= ��在第一象限内的图象，则解析
式中指数�的值依次可以是（
）
A．0.5,3, −1
B．−1,3,0.5
C．0.5, −1,3
D．−1,0.5,3
【变式2-1】（25-26 高一上·四川泸州·期末）已知函数�= log��−15 + 4 �> 0，�≠1 过定点P，幂函数
的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数��= �2 + �−1 ��的图象与坐标轴无公共点，
则�=（
）
A．－2
B．1
C．－2 或1
D．－1 或2
【变式2-3】（25-26 高一上·上海松江·期中）已知�为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数�= ��和一次函
数�= ��−
1
�的图像关系可能是（
）
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A．
B．
C．
D．
【题型3
幂函数的图象和性质】
【例3】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数��= �2 −�+ 1 �−2�+1在0, + ∞上单调递减，则实数m 的
值为（
）
A．0 或1
B．−1 或1
C．1
D．0
【变式3-1】（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图象关于原点对称且在(0, + ∞)单调递增的是（
）
A．�= �−1
B．�= �
1
2
C．�= �2
D．�= �3
【变式3-2】（2026·四川·二模）“�=−3”是“��= (�+ 2)2��是幂函数且在0, + ∞上单调递减”（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3-3】
（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数��= �2 −�−1 ��2+�−3是幂函数，对任意�1，�2 ∈0, +
∞，且�1 ≠�2，满足
��1 −��2
�1−�2
> 0．若�, �∈�，且��+ ��的值为负数，则下列结论中一定不成立的是
（
）
A．�+ �< 0，��= 0
B．�+ �< 0，��> 0
C．�+ �< 0，��< 0
D．�+ �> 0，��> 0
【题型4
求二次函数的解析式】
【例4】
（25-26 高一上·福建福州·期中）若函数��是二次函数，满足�0 = 2，��+ 2 −��= 4�，则��=
（
）
A．�2 + �+ 2
B．�2 −2�+ 2
C．�2 −�+ 2
D．�2 + 2�+ 2
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【变式4-1】（2026·广东·模拟预测）若函数��= �−1
�−�与��= ��2 + ��表示同一个函数，则�=
（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【变式4-2】（25-26 高三·全国·一轮复习）已知��为二次函数且�0 = 3，��+ 2 −��= 4�+ 2，则
��=___________．
【变式4-3】（25-26 高一上·全国·期末）已知��是二次函数，且�2 =−3，�−2 =−7，�0 =−3，则
��的解析式为_________．
【题型5
二次函数的图象】
【例5】（25-26 高一上·安徽马鞍山·期末）函数�= |�|(�−2)的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】（2026·河南·二模）已知�= 1 −�log2�是减函数，则函数��= ��−�的大致图象为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（25-26 高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数�= ��2 + ��+ ��≠0 的图象顶点在
第一象限，且经过�−1, 0 、�0, 1 两个点．则下列说法正确的是：（
）
①���< 0；②−1 < �< 0；③0 < �< 1；④0 < �+ �+ �< 2．
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A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
【变式5-3】（25-26 高一上·河北邯郸·阶段检测）已知函数��= ��−�(�> 0，且�≠1)的图象如图所示.
则函数��= �−�
�+ �的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【题型6
二次函数的单调性与最值】
【例6】（2026·广东揭阳·二模）已知函数��=−�2 + ��+ 1 在2,6 上不单调，则�的取值范围为（
）
A．2,6
B．−∞, 2 ∪6, + ∞
C．4,12
D．−∞, 4 ∪12, + ∞
【变式6-1】（25-26 高一上·福建莆田·期中）已知函数�= �2 −4�+ 3 在闭区间0, �上有最大值为3，最小
值为−1，则m 的取值范围是（
）
A．[2, + ∞)
B．2,4
C．( −∞, 2]
D．0,2
【变式6-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知��=
2�，�≤�
�2 −4�+ 5，�> �
是在R 上的增函数，则实数�的
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取值范围是（
）
A．1,2
B．2,5
C．[2, + ∞）
D．5, + ∞
【变式6-3】（2026·江西赣州·二模）已知函数�= �2 −4�+ 2 在区间0, �上的最大值为�，在区间�, 2�上
的最大值为�．若�≥2�，则�的取值范围是（
）
A．2 −
3,
1
2
B．2 −
3, 1
C．1 +
3
2 , 3
D．3,2 +
3
【题型7
二次函数的恒成立问题】
【例7】（25-26 高二下·重庆·期末）已知函数��= �2 + ��−�，�> 0，若对∀�∈−�, 1 ，不等式−2�≤
���
≤1 恒成立，则实数�的取值范围为（
）
A．0,1
B．0,2
C．
1
4 ,
3
2
D．
1
2 , 2
【变式7-1】（25-26 高一上·江西抚州·期末）设函数��的定义域为�，且��+ 4 = 2��，当�∈0, 4 时，
��= 2�2 −8�，若对于∀�∈−∞, �，都有��≥−
3
4恒成立，则�的取值范围是（
）
A．−∞, −11
B．−∞, −7
C．−∞, −5
D．−∞, −3
【变式7-2】（25-26 高一下·海南海口·期末）已知函数��= �2 −�2 + 2��+ 16，若当�> 0 时，��> 0
恒成立，则实数�的取值范围是___________．
【变式7-3】（25-26 高二上·上海·期中）设��= �2 −1，对任意�∈1, + ∞，−4�2��≤��−1 + 4��
恒成立，则实数�的取值范围是___________.
一、单选题
1．（2026·四川广安·模拟预测）“�= 0”是“�(�) = (�2 −�+ 1)�2�−3为幂函数”的（
）
A．充分且不必要条件
B．必要且不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2026·河南信阳·模拟预测）已知��= 4�2 −��−8 在区间5,20 上不单调，则�的取值范围是（
）
A．�≤40
B．�≥160
C．40 < �< 160
D．40 ≤�≤160
3．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数�= ��是奇函数，且在0, + ∞上单调递减，则�的值可以是（
）
A．−2
B．2
C．−3
D．3
4．（25-26 高一上·重庆·期末）函数��= ��2 −�−1 �−2 在区间−∞, 2 上是增函数，则实数�的取值
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范围是（
）
A．−
1
3 , 0
B．−
1
3 , + ∞
C．−∞, −
1
3
D．−
1
3 , 0
5．（2026·宁夏银川·一模）如果点�0, �0 在函数�(�) = �2 + 1 的图象上，都有点2�0, �0 在函数�= �(�)
的图象上，则�(2) =（
）
A．17
B．5
C．3
D．2
6．（2026·北京·三模）已知幂函数��= �
2
3，则下列结论正确的是（
）
A．��=
�2
B．�−2 > �3
C．��是奇函数
D．��的值域为0, + ∞
7．（2026·四川·模拟预测）已知一元二次函数��的定义域为�，若�−2 −�= ��，�−2 < �−1 ，
且该二次函数的图象经过�2, �2 + 4 、��, 4�不同两点，则�的取值范围是（
）
A．−∞, −4
B．−∞, −4 ∪2, + ∞
C．2, + ∞
D．−∞, −4 ∪2, + ∞
8．（2026·云南·模拟预测）已知�(�)是定义在�上的奇函数，且当�> 0 时，�(�) = �2 + ��−2�，若�(�) < 0
在[ −3, −1]上恒成立，则a 的取值范围为（
）
A．( −8,0)
B．(1, + ∞)
C．( −∞, −8) ∪(0, + ∞)
D．( −9,1)
二、多选题
9．（2026·新疆喀什·模拟预测）下列关于幂函数的论述正确的是（
）
A．若�= 0，则幂函数�= ��的图象是一条直线
B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同
C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点( −1, −1)
D．幂函数的图象一定经过点(1,1)，且一定不经过点(1, −1)
10．（25-26 高一上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线�= ��2 + ��+ �的一段图像如图所示，则（
）
A．�=−1
B．�+ �+ �>−1
C．�+ �+ �>−2
D．�+ �+ �< 0
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11．（25-26 高一上·新疆阿克苏·期末）已知二次函数�= ��2 + ��+ �（�、�、�为常数，且�≠0）的部分
图象如图所示，则下列判断正确的是（
）
A．�−�= 0
B．���< 0
C．关于�的二次函数�= ��2 + ��+ �有3 个零点
D．关于�的一元二次不等式��2 + ��+ �< 0 的解集为�−3 < �< 2
三、填空题
12．（2026·上海浦东新·三模）若幂函数�= ��的图象经过点4,
2 ，则实数�的值为__________．
13．
（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知幂函数�(�) = �2 −5�+ 5 ��+5为偶函数，则4log2(�+2) =___________．
14．（2026·广东广州·一模）已知函数��+ 1 为奇函数，当�< 1 时，��= ��2 −�（�≠0），若��
在1,
3
2 上单调递增，则�的取值范围是___________．
四、解答题
15．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知函数��+ 1 = �2 −�+ 3.
(1)求��的解析式；
(2)设函数��= �+ 3 �+ ��，若��在−1,2 上的最小值是1，求�的取值集合.
16．（25-26 高一上·福建漳州·期末）已知幂函数��= �2 −5�+ 7 ��−1的图象关于�轴对称.
(1)求实数�的值；
(2)若函数��= ��−��在区间−1,2 上的最小值为−
9
4，求实数�的值.
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17．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数�(�)为定义在R 上的偶函数，且�≥0，�(�) = �2 −��+ 1.
(1)若�= 1，求函数�(�)解析式；
(2)求函数�(�)在[1,3]的最小值；
(3)若函数�= �(�)在(0,4)有两个不同的零点，求m 的取值范围.
18．（2026·天津河北·模拟预测）已知函数��= 2�2 −��+ 10，��= �2 −�+
31
4 ，（�∈R）
(1)当�= 1 时，求�2 的值；
(2)若对任意�∈R，都有��> ��成立，求实数a 的取值范围；
(3)若∀�1 ∈0,2 ，∃�2 ∈0,1 ，使得不等式��1 > ��2 成立，求实数a 的取值范围．
19．（25-26 高一上·辽宁辽阳·期末）如图，点�(2,0)，�(4,0)为二次函数�(�)的图象与�轴的交点，点�为�(�)
图象的顶点，△���的面积为1.
(1)求�(�)的解析式.
(2)设偶函数�(�)和奇函数ℎ(�)的定义域均为�，且�(�) + ℎ(�) = �(�).
（i）求�(�)与ℎ(�)的解析式；
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（ii）若函数�(�) = �(�) + �ℎ(�)在[�−1, �+ 1]上的最大值为0，求�的值.
(3)设函数�(�) = |
4 �(�+ 3) + 1 −1|(0 < �≤81)，是否存在�，�∈(0,81]，使得�(�)在[�, �]上单调递增，
且�(�)在[�, �]上的值域为
8�
81 ,
8�
81 ？若存在，求出�，�的值；若不存在，请说明理由.
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