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重难专攻（九） 最小整数与最大整数问题
重难点题型一 整数问题之参变分离
1、（2025·高三·黑龙江大庆·期末）设函数
，若不等式
有且只有三
个整数解，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数
，若不等式
，即
，
因为
，可化为
，令
，可得
，
令
，可得
，所以
在R 上单调递增，
又由
，所以存在唯一的
使得
，
当
时，
，可得
，所以
单调递减，
当
时，
，可得
，所以
单调递增，且
，
目录●重难点题型分布
又因为
，
，
所以当原不等式有且仅有三个整数解时，有
，
解得
，即实数的取值范围是
.
故答案为：
.
2、（2025·高三·全国·阶段练习）已知函数
，若不等式
仅有1 个整数解，则
实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数
的定义域为
.
要使不等式
仅有1 个整数解，使需
仅有1 个整数解
即不等式
仅有1 个整数解，
设
，则
，
当
时，
，
为增函数，
当
时，
，
为减函数，
又
，当
时，
，当
时，
，
设
，则直线
恒过点
，
在同一直角坐标系中，作出函数
与直线
的图象，如图所示，
由图象可知，
，要使不等式
有1 个整数解，
则
，解得
，即实数
的取值范围为
.
故答案为：
3、已知函数
有两个零点a，b，且存在唯一的整数
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题可知
，构造函数
，利用导数研究函数
的单调性及极值，又当
时，
；当
时，
，作出函数
的大致图象，利用数形结合思想即可求解．
【解析】由题意
，得
．
设
，求导得
．
令
，解得
．当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减．故当
时，函数取得极大值，且
．
又当
时，
；当
时，
，且
．
作出函数
的大致图象，如图所示．
又
，
因为存在唯一的整数
，使得
与
的图象有两个交点，
由图可知
，即
．故选B．
4、已知函数
，
，若不等式
的解集中恰有两个整数，则实
数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将问题中的不等式进行参数分离，得到
构造函数h(x),求导分析h(x)的单调性
及极值，结合题意求得满足条件的a 的范围.
【详解】由
，可得
，
设
，则
.
令
，则
，所以
在
上单调递增.
由于
，
，所以
，
，所以
在
单调递减：在
单调递
增.
要使不等式
的解集中恰有两个整数，即
的解集中恰有两个整数，
必须解集中的两个整数为2 和3.所以
，
，
，
，
解得
.
【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性与极值及其函数的性质，考查了方程与不等式的解法及零点存
在性定理，考查了构造方法及推理能力与计算能力，属于难题．
5．已知函数
，
.
（1）当
时，求函数
在点
处的切线方程；
（2）令
，若
在
恒成立，求整数
的最大值.（参考数据：
，
）.
【答案】（1）
； （2）.
【分析】
（1）（1）当
时，得到
，求得
，得出
，且
，结合直线的点斜式方程，即可求解.
（2）把
在
转化为
在
恒成立，令
，利用导数求得函数
的额单调性，零点的存在定理得到
在
上递减，在
上递增，从而求得
，即
可求得整数
的最大值.
【详解】
（1）（1）当
时，可得
，则
，
可得
，且
，即函数
在点
处的切线的斜率
，
所以切线方程为
，即
，
函数
在点
处的切线方程
.
（2）由
，
因为
在
恒成立，即
在
恒成立，
即
在
恒成立，令
，可得
，
令
，可得
在
上单调递增，且
，
所以存在
，使得
，从而
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，因为
在
恒成立，所以
，
所以整数
的最大值为.
6、已知函数
（其中为自然对数的底数）．
（1）当
时，求函数
的极值；
（2）若函数
在
有唯一零点，求实数
的取值范围；
（3）若不等式
对任意的
恒成立，求整数
的最大值．
【答案】
（1）极小值为
，无极大值；
（2）
；
（3）
.
【分析】
（1）利用导数可确定
单调性，由极值定义可求得结果；
（2）利用导数可确定
的单调性；当
时，可知
，解不等式可知无满足题意的值；当
时，根据
，分别在
，
和
三种情况下，根据
在
有唯
一零点可构造不等式求得结果；
（3）将恒成立不等式化为
，令
得
，令
可确
定
，使得
，由此可得
，进而得到
的范围，从而得到
.
（1）
当
时，
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
的极小值为
，无极大值.
（2）
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增；
①当
时，
在
上单调递增，若
在
上有唯一零点，则
，
即
，解得：
（舍）；
②当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
，即
时，
，则
在
上无零点，不合题意；
当
，即
时，
在
上有唯一零点
，满足题意；
当
，即
时，由
得：
，
在
上有唯一零点，此时需
，即
；
综上所述：当
或
时，
在
上有唯一零点，
即实数
的取值范围为
.
（3）
若
对
恒成立，即
对
恒成立，则
，
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，
，
，
，使得
，
即
，
则当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
，
，
，
整数
的最大值为
.
【点睛】
方法点睛：求解本题恒成立问题的常用方法是能够通过分离变量的方法将问题转化为变量与函数最值之间
的大小关系比较问题，即若
恒成立，则
；若
恒成立，则
.
重难点题型二 整数问题之直接限制法
1、（2025·高二·广东中山·阶段练习）若关于
的不等式
有且只有三个整数解，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，即
有且只有三个整数解，
则
，且
，
当
时
，
单调递增，
当
时
，
单调递减，
由于
，
，
由于
为单调递增函数，
，
要使
有且只有三个整数解，这三个整数解必然是
，
所以
，解得
.
故选：A.
2、（四川省达州市2025 届高三第二次诊断性测试数学试题）关于
的不等式
的整
数解个数为
时，
，设
为数列
的前
项和，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
设
，
，
，
，
显然
，
，
，
其中
在
处的切线斜率为
，
在
处的切线斜率为
，
若
，
时，
的图象在
的上方，不等式无解，
则
的整数解个数为0，不合要求，
所以
，
当
时，需满足
，解得
，
当
时，需满足
，解得
，
当
的整数解个数为
时，
需满足
，解得
，
所以
，
所以
，
所以
，
故
故选：C
3、设函数
，其中
，若存在唯一的正整数
使得
，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先根据函数解析式可得
，求出
后就
，
分别讨论．前者可得
为
上的增函数，结合
，可判断出
从而得到
的取值范围；后者可得到与题设矛盾
的结果
两者结合可得实数
的取值范围．
【解析】因为
，故
．
因为
，
，故
．又
，
若
，则
，故
恒成立且不恒为零，
所以
恒成立且不恒为零，故
在
上为增函数．
因为存在唯一的正整数
使得
，故
解得
．
若
，则
，
，
与题设矛盾，故舍去
．故选D．
4、设函数
，若存在唯一的正整数
，使得
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设函数
，求得
，求得
得到单调性，且
的值，结合图象，列出不等式组，即可求解.
【详解】设函数
，
可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
且
，
图象如图，函数
经过
，要使存在唯一的正整数
，
使得
，即
有唯一正整数解，
所以只要
并且
，即
，解得
.
故选：A．
5．已知函数
，
．
（Ⅰ）记
，试判断函数
的极值点的情况；
（Ⅱ）若
有且仅有两个整数解，求
的取值范围．
【解答】解：
，
．
令
在
上单调递增，
又
，
（1）
．
存在唯一
，使得
，即
．
，
，此时函数
单调递减．
，
，
，函数
单调递增．
为极小值点，无极大值点．
（Ⅱ）
化为：
，即
．
①当
时，由不等式有整数解，
在
时，
，
有无穷多整数解．
②当
时，
，又
，
（1）
．
不等式有两个整数解为0，1．即
，解得：
．
③当
时，
，又
，
在
时小于或等于1，
不等式
无整数解．
综上可得：
．
6、已知函数
，为自然对数的底数．
（1）当
时，
①求函数
在
处的切线方程；
②求函数
的单调区间；
（2）若有且只有唯一整数
，满足
，求实数
的取值范围．
【解答】解：（1）当
时，
，
，
①
，又
，
函数
在
处的切线方程为：
，即：
；
②
，
由于
，当
时，
，
，
；当
时，
，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
（2）由
得
，
当
时，不等式显然不成立；当
时，
；当
时，
，
设
，
，
函数
在
和
，
上为增函数，在
和
上为减函数，
当
时，
，当
时，
，
①当
时，
，由
得，
，又
在区间
上单调递增，在区间
上
单调递减，且
，
，即
，
，
②当
时，
，由
得，
，又
在区间
上单调递减，在区间
，
上单调递增，且
，
，解得：
，
综上所述，
的取值范围为
，
，
．
重难点题型三 整数问题之虚设零点
1、设函数
，其中
，若存在唯一的整数
，使得
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，问题转化为存在唯一的整数
使得满足
，求导
可得出函数
的极值，数形结合可得
且
，由此可得出实数
的取值
范围.
【详解】设
，
，
由题意知，函数
在直线
下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当
时，
；当
时，
.
所以，函数
的最小值为
.又
，
.
直线
恒过定点
且斜率为
，
故
且
，解得
，故选D.
【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
2．（2025·广东广州·模拟预测）已知
，若关于
的不等式
有整数解，则
的取值
范围为 .
【答案】
【解析】不等式
，即
，
设
，
，
设
，
，所以
单调递增，且
，
，
所以存在
，使
，即
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，
因为
，所以
，
当
时，
，当
时，
，
不等式
有整数解，即
有整数解，
若
时，即
，因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
时，
，所以
无整数解，不符合题意，
当
时，因为
，
显然0，1 是
的两个整数解，符合题意，
综上可知，
.
故答案为：
3、已知函数
，求：
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）当
时，总有
，求整数
的最小值.
【答案】
（1）
（2）-3
【分析】
（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题.
（1）
当
时，
在点
处的切线方程为
即
（2）
由题意，
，即
，即
，
又
，
恒成立.
令
，
令
，则
恒成立.
在
上递减，
，
使
，即
，则
，
当
时，
，当
时，
因为
，且
，
，即整数k 的最小值为-3
【点睛】
方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。
4．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数
（1）若函数
与
有公共点，求
的取值范围；
（2）若不等式
恒成立，求整数
的最小值.
【答案】（1）
；（2）最小值为.
【分析】
（1）由
，可得
，函数
与
有公共点，即
有解，设
，求导数，求出函数
的值域即可.
（2）不等式
恒成立，即
恒成立，当
时，
成立，解得
，
故
再验证
时，不等式成立即可得出答案.
【详解】
解：（1）令
，即
，则
，
函数
与
有公共点，即
有解.
令
，则
.
令
，
当
时，
，所以
，当
时，
，所以
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
且当
时，
所以
.
（2）不等式
恒成立，即
恒成立.
则
时，
成立，解得
，
由题意求满足条件的整数
最小值，下面验证
是否满足题意.
当
时，令
，且
在
上单调递增.
又
，可知存在唯一的正数
，使得
，
即
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增.所以
，
即当
时，不等式
成立.
故整数
的最小值为
【点睛】
关键点睛：本题考查根据两函数图像有公共点求参数范围和不等式恒成立求参数范围，解答本题的关
键是先根据
时，不等式
成立，求处一个参数的范围，然后根据题目要求再验证
满足
条件，从而得出答案.属于中档题.
重难点题型四 整数问题之必要性探路法
1、（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高三阶段练习）已知
，
，
．
（1）若
，证明：
；
（2）对任意
都有
，求整数
的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）2．
【分析】
（1）利用二次求导求得存在唯一零点
，使得
，
在
上恒成立上可以证明
在定义域上的单调性，可知
，便可证明结论.
（2）先判断整数
可知
，接着证明
在区间
上恒成立即可可出结论.
【详解】
解：
（1）证明：设
，
，则
．
因为
，且
则
在
，单调递减，
，
所以存在唯一零点
，使得
则
在
时单调递增，在
上单调递减
又
，
所以
在
上恒成立上，所以
在
单调递增
则
，即
，
所以
．
（2）因为对任意的
，
即
恒成立
令
，则
由（1）知
，所以
由于
为
整数，则
因此
下面证明
，在区间
上恒成立即可.
由（1）知
，则
故
设
，
，则
，
所以
在
上单调递减，所以
，所以
在
上恒成立.
综上所述，
的最大值为2．
2．（2021·山西·晋中市新一双语学校模拟预测（文））已知函数
（1）若函数
与
有公共点，求
的取值范围；
（2）若不等式
恒成立，求整数
的最小值.
【答案】（1）
；（2）最小值为.
【分析】
（1）由
，可得
，函数
与
有公共点，即
有解，设
，
求导数，求出函数
的值域即可.
（2）不等式
恒成立，即
恒成立，当
时，
成立，解得
，
故
再验证
时，不等式成立即可得出答案.
【详解】
解：（1）令
，即
，则
，
函数
与
有公共点，即
有解.
令
，则
.
令
，
当
时，
，所以
，当
时，
，所以
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
且当
时，
所以
.
（2）不等式
恒成立，即
恒成立.
则
时，
成立，解得
，
由题意求满足条件的整数
最小值，下面验证
是否满足题意.
当
时，令
，且
在
上单调递增.
又
，可知存在唯一的正数
，使得
，
即
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增.所以
，
即当
时，不等式
成立.
故整数
的最小值为
【点睛】
关键点睛：本题考查根据两函数图像有公共点求参数范围和不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是
先根据
时，不等式
成立，求处一个参数的范围，然后根据题目要求再验证
满足条件，
从而得出答案.属于中档题.
