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重难专攻（十一）三角形中的范围与最值问题
重难点题型一 三角函数值的最值与范围
1．（24-25 高三上·湖北·开学考试）如图，边长为2 的正方形ABCD 中，P，Q 分别为边BC，CD 上的点，
目录●重难点题型分布
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、辅助角公式、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积
【分析】根据题设条件可得
，然后利用三角变换公式结合正弦函数的性质可求最大值.
【详解】由余弦定理可得
，
整理得到
，
，则
，
整理得到：
，
而
，故
，
而
，故
，
设
，
则
，其中
为锐角且
，
因为
，故
，
故
，当且仅当
时等号成立，
故
的最大值为
，
故选：B.
2．（2023·四川·模拟预测）已知函数
．若存在
，
，使得
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式
【分析】由题意可知
，
或者
，
，即可求解.
【详解】由
，
因
，必有
，
或者
，
，
由
，
，分别得到
，
．
于是
，
，或者
，
，得
的最大值为
．
故选：D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数
满足：对
，有
，若存在唯一的
值，使得
在区间
上单调递减，则实数
m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】由对
，有
，可得
，
，结合
y = f (x)在区间
上单调递减，可得
，又
，可得
是其唯一解，
则有
，再结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】由对
，有
，
即可得
，即
，
则
，
可得
，
即
，即
，
则
，
由y = f (x)在区间
上单调递减，
故
，即
，
由存在唯一的
值，使其成立，故
，即有
，
则
，
，即
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对存在唯一的
值的理解，结合
，
，且
，可得
，则需
.
4．（23-24 高三上·湖北武汉·期末）已知函数
，
，若函数
在
上存在
最大值，但不存在最小值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数
【分析】根据题意分类讨论
和
两种情况，结合题目中所给区间的开和闭以及三角函数图象相关
知识求解答案即可.
【详解】若
，则
，
又因为
，函数
在
上存在最大值，但不存在最小值，
所以当
，即
时，
只需满足
，此时
，
当
，即
时，
函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则
，
此时
，
综上，
，即
的取值范围是
.
故选：D
重难点题型二 基础题型：转化为角的范围问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
．
(1)判断
的形状并给出证明；
(2)若
，求
的取值范围．
【解析】（1）
为等腰三角形或直角三角形，证明如下：
由
及正弦定理得，
，
即
，
即
，
整理得
，所以
，
故
或
，
又
、
、
为
的内角，所以
或
，
因此
为等腰三角形或直角三角形．
（2）由（1）及
知
为直角三角形且不是等腰三角形，
且
，
故
，且
，
所以
，
因为
，故
，
得
，所以
，
因此
的取值范围为
．
2．（2023·全国·高三专题练习）在
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c.已知
.
(1)若
，求角A 的大小；
(2)求
的取值范围.
【解析】（1）由正弦定理得：
，
∵
，∴
或
，
当
时，此时
，所以
舍去，所以
.
（2）
（或者用积化和差公式一步得到
）
∵
，∴
，所以A 为锐角，又
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
.
3．（2025·江苏·模拟预测）在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求正切（型）函数的值域
及最值、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】（1）利用正弦定理化简得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）由
是锐角三角形可求出角
的取值范围，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得
的取值
范围.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
因为
、
，则
，所以，
，
则有
，故
.
（2）因为
为锐角三角形，则
，所以，
，
所以，
，则
，
由正弦定理可得
，
所以，
，
即
的取值范围是
.
4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得
，从而可求
的值.
（2）利用正弦定理及三角变换公式可得
，结合
的范围可求其取值范围，从而可
求
的取值范围.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，
故
，
在
中，
，
，所以
，
，则
，
可得
，所以
，所以
.
（2）由正弦定理可得
（
为
外接圆的半径），
所以
，
，
因为
，则
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，则
，解得
，
则
，
，故
.
重难点题型三 三角形面积最值与范围
1．（2025·江西萍乡·二模）在
中，内角
所对的边分别为
，若
，
则
面积的最大值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值
【分析】首先利用三角函数的基本关系化简得
，再结合余弦定理以及基本不等式知识得
，则三角形面积的最大值可求.
【详解】对
进行化简，
通分可得
，
即
，又
，解得
；
已知
，由余弦定理
，可得
，
根据基本不等式
（当且仅当
时取等号），
则
，可得
，
三角形面积
，当且仅当
时等号成立,
故选：A.
2．（24-25 高三下·广东·开学考试）设
的内角
的对边分别为
，且
，
为
的平分线且与BC 交于点D，
，则
面
积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】将已知条件
化简可求得
的值，再利用三角形面积的关系列
出关于
的等式，最后利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
，即
，
，
，
，
为
的平分线且与BC 交于点
，
，
，即
，
又
，解得
，当且仅当
时等号成立，
的面积
，
的面积的最小值为
.
故选：B.
3．（24-25 高三上·江苏盐城·月考）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在
中，
，
由正弦定理得
，即
，
由余弦定理得
，∵
，∴
，
∵
，当且仅当
时取等号，因此
，
∴
面积
，∴当
时，
的面积取得最大值
．故选：C．
4．（24-25 高三上·四川宜宾·月考）在锐角
中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c，且满足
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）因为
，则
，整理可得
，利用正弦定理可得
，
又因为
，则
，可得
，即
，且
，所以
.
（2）由正弦定理
，可得
，
由题意可知：
，解得
，
则
，可得
，即
，
又因为
面积
，
所以
面积的取值范围为
.
5．（2025·安徽马鞍山·二模）在
中，点
、
分别为边
、
的中点，且
，
，则
面积的最大值为 .
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值
【分析】设
，则
为
的重心，设
，
，则
，
，
，
，由勾股定理得出
，结合基本不等式可求出
的最大值，再由
可求出
面积的最大值.
【详解】因为点
、
分别为边
、
的中点，设
，则
为
的重心，
所以，
，
，
设
，
，则
，
，
，
.
因为
，在
中，由勾股定理可得
，即
.
由基本不等式可得
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
因为
，则
，
当且仅当
时，等号成立，
即
面积的最大值为
.
故答案为：
.
6．（2025·福建泉州·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积与周长的比值的最大值.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余
弦定理解三角形
【分析】（1）首先将原等式利用和差倍角的余弦公式以及正弦定理进行化简，得到关于角
的三角函数，
进而可求得角
的值.
（2）首先根据余弦定理求得关于
的等式，然后求三角形
的面积和周长，化简
的表达式，利用
基本不等式和三角形的边长性质求得
的范围，进而可求得
的最大值.
【详解】（1）因为
，所以
.
因为
，所以
.
所以
.
化简得：
根据正弦定理得：
.
因为
，所以
，
所以
.解得
，又
，所以
.
（2）由（1）知
又
，
则
的面积为
，
的周长为
，
所以
.
由余弦定理得：
，化简得
，
所以
.
又
，所以
，
化简得
，所以
，
所以
.
令
，则
，
所以
，
所以当
时，
取最大值为
.
7．（2025·湖北·模拟预测）
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，满足
．
(1)求
的大小；
(2)点
为直线
上一点，
，且
，求
面积的最小值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理
边角互化的应用
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.
（2）设
，结合正弦定理求出
，再利用三角形面积公式列出函数关系，借助正切函数的
性质及基本不等式求出最小值.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，
得
，
整理得
，而
，则
，
两边平方得
，而
，解得
，
所以
.
（2）由（1）知，
，设
，则
，
，
在
中，
，
，
在
中，由正弦定理得
，
令
，则
，
因此
的面积
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
面积的最小值为
.
重难点题型四 三角形边长及周长的最值与范围
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
的内角
的对边分别为
，且
，
若
的面积等于
，则
的周长的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、
余弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理可得
，求出
，再由余弦定理结合三角形面积公式可得
，
最后利用基本不等式求解即可.
【详解】因为
，
所以由正弦定理得
，因为
，
所以
，即
，
因为
，所以
，解得
因为
的面积等于
，则
，得
，
在
中，由余弦定理得
的周长为
，
当且仅当
时等号成立，
综上所述，当且仅当
是以
为顶角的等腰三角形时，
的周长取到最小值，且最小值为
．
故答案为：
.
2．（2024·全国·二模）在
中，角A，B，C 的对边分别为
的平分线AD 交
BC 于点
.若
，则
周长的最小值为 .
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化
简、求值、基本不等式求积的最大值
【分析】根据正弦定理边角化可得
，即可利用正弦和差角公式求解
，利
用等面积法可得
，进而根据基本不等式即可求解.
【详解】
，
，
即
，
，
，
.
，得
，
由
，得
，当且仅当
时，等号成立.
又
的周长
，当且仅当
时，等号成立.
故答案为：
3．（2023·全国·高三专题练习）在①
；②
；③
；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角
中，内角
、
、
，的对边分别是
、
、，且______
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
周长的范围．
【解析】（1）选①，由
可得
，
，则
，可得
，
；
选②，由
可得
，
即
，即
，
，则
，故
，
；
选③，由
及正弦定理可得
，
、
，则
，所以，
，
故
，
，
，因此，
.
（2）由正弦定理可得
，则
，
，
，
因为
为锐角三角形，则
，可得
，
所以，
，则
，
故
.
4．（24-25 高三上·辽宁·期末）在
中，已知
.
(1)求
；
(2)若在
边上存在点
，使
为锐角三角形，求
的取值范围.
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）因为
由余弦定理有：
，
因为
为
的内角，所以
（2）因为
由余弦定理有：
=
，
所以
设
，由点
在
边上，且
为锐角三角形，所以
，所以
.
在
中，由
，
所以
，所以
，
所以
由
是定义域上的减函数，所以
，
所以
的范围为
.
5．（24-25 高三下·福建·月考）已知锐角
的三个角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求A 的值．
(2)若
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）因为
，
所以
，即
，
由余弦定理
，所以
，又
，所以
；
（2）由正弦定理得
，
∴
，
.
∴
在锐角
中，
，
，又∵
，∴
，∴
，
综上可得
，∴
，
∴
∴
周长的取值范围为
.
6．（23-24 高一下·安徽·阶段练习）锐角
中，角
所对的边分别为
且
．
(1)证明:
;
(2)求
的周长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.85
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求正切（型）函数的值域及最值、用和、差角的正弦公式化简、求
值
【分析】（1）由两角和差以及正弦定理即可运算证明；
（2）由正弦定理表示出
，求出
的范围，再结合三角函数性质即可得解.
【详解】（1）因为
，
，
则
；
（2）由
，得
，
故
，
因为
为锐角三角形，所以
，即
，所以
，
则
，所以周长的取值范围为
.
重难点题型五 三角形中线的最值与范围
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
的内角
所对的边分别为
，若
，则
边上中线长度的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围
【分析】根据正弦定理角化边得到
，结合基本不等式得到
，再由中线长公式求解.
【详解】
，由正弦定理可得
，
即
，则
，
又
，所以
，因为
，当且仅当
时等号成立，
所以
，则
．
设
边上中线的长度为，则
，
所以
边上中线长度的最大值为
．
故选：C
2．（2023·江苏南通·模拟预测）在
中，已知
，
，D 为BC 的中点，则线段AD 长度的
最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形、数量
积的运算律
【分析】由余弦定理得到
，再利用基本不等式得到
，然后由
求解.
【详解】解：由余弦定理得
，
即
，即
，
所以
，
∴
，当且仅当b=c 时等号成立.
因为
，
所以
，
，
∴
，
故选：C．
3．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已
知
，点
为
的中点，则中线
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
是
边
上的中线，得
，
则
，
由正弦定理得
，得
，
，
则
，
而
，
，
于是
，
由
为锐角三角形，
，得
，即
，
则
，
，因此
，即
，
所以
的取值范围为
.故选：C
4．（24-25 高三上·广东·八校联测）在
中，内角
的对边分别是
，
，
．
(1)求角
；
(2)若
，求边
上的角平分线
长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围．
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【解析】（1）在
中，由正弦定理及
，得
，即
，而
，
，
解得
，又
，所以
.
（2）由
及
，余弦定理得
，又
，解得
，
由
得
，
即
，则
，所以
.
（3）因为
是
的中点，所以
，
则
，
由正弦定理得，
即
，
为锐角三角形，
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以
，即边
上的中线
的取值范围为
．
5．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
，边AB 的中点为D，求中线CD 长的取值范围．
【解析】（1）已知
，
由正弦定理可得
，即
，
所以
，
因为
，所以
．
（2）由余弦定理可得
，
又
，
则
，
由正弦定理可得
，
所以
，
，
所以
，
由题意得
，解得
，则
，
所以
，所以
，
所以
，所以中线CD 长的取值范围为
．
6．（2025·河南·二模）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)证明：
；
(2)若
边上的中线长为
，求
的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、基本
（均值）不等式的应用
【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式得到
，再利用正弦定理边化角即可得证；
（2）利用平面向量加法的平行四边形法则将中线转化为向量表示，再利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由余弦定理，得
，
故
，即
，当且仅当
时等号成立，
由正弦定理可得
，
又
，故
，即
.
（2）
设
为
的中点，则有
，
两边平方得，
，
即
，
故
，即
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最大值为4.
重难点题型六 三角形角平分线的最值与范围
1．（22-23 高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，若角A 的内角平分线AD 的长为3，则
的最小值为（ ）
A．12
B．24
C．27
D．36
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得
，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.
【详解】因为
，
所以
，即
，
所以
，
又因
，所以
，
由
，得
，
所以
，
则
，
当且仅当
，即
时，取等号，
所以
的最小值为
.
故选：A.
2．（23-24 高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，在锐角
中，
，点
为
外角平
分线上一点，且
平分
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
为
的平分线，又
，
设
，则
，
，
又
为锐角三角形，故
，解得
，在
中，由正弦定理得
，
即
，在
中，由正弦定理得
，
即
，
由
，得
，
故
，所以
．
3．（24-25 高三上·江西·开学考试）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A 的大小；
(2)若D 为BC 上一点，且AD 平分
，
，求AD 的最大值．
【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，
整理得
，由余弦定理得
，而
，所以
.
（2）由
平分
，得
，而
，
则
，即
，又
，
因此
，
当且仅当
，即
时取等号，则
，所以AD 的最大值为
.
4．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，满足
，且
．
(1)求证：
；
(2)已知
是
的平分线，若
，求线段
长度的取值范围．
【解析】（1）由题意得
，即
．
所以
，
由正弦定理得
，又由余弦定理得
，
所以
，故
，
故
，整理得
．
又
为锐角三角形，则
，
，
，
所以
，因此
．
（2）在
中，由正弦定理得
，所以
．
所以
．因为
为锐角三角形，且
，
所以
，解得
．
故
，所以
．因此线段
长度的取值范围
.
5．（2025·湖北宜昌·二模）如图所示，在
中，
，AD 平分
，且
.
(1)若
，求
的长度；
(2)求
的取值范围；
(3)若
，求
为何值时，
最短.
【答案】(1) ；
(2)
；
(3)
.
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、余弦
定理解三角形
【分析】（1）已知条件结合正弦定理得
，在
和
分别利用正弦定理表示出
，再由
可得
，从而可以求解；
（2）设
，由
即可求解；
（3）由余弦定理和三角形面积公式可用∠BAC 表示出
.方法一：令
，则
，由辅助角公式即可求解；方法二：利用
和三角恒等变换公式，再
结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得：
，
在
中，由正弦定理得
，
在
中，由正弦定理得
，
因为AD 平分
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，
，所以
，得
，所以
；
（2）因为
，设
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
；
（3）由余弦定理得
，
因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
，
方法一：
令
，则
，
所以
（其中
），
所以当
时，
取得最小值4，
即当
时，
取得最小值4，此时
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
由（2）知
，所以
，即当
时，
最短.
方法二：
，
当且仅当
，即
时，故此时
，即
.
重难点题型七 三角形“四心”问题
1．（2023·四川凉山·校联考一模）设
（
是坐标原点）的重心、内心分别是
，且
，若
，则
的最小值是__________．
【答案】
【解析】因为重心、内心分别是
，且
，所以
，（r 为
内切圆的半径），
又
.且
.
解得
.
所以
.
当且仅当
时，即
为等边三角形
有最小值
.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知
是三角形
的外心，若
，且
，则实数
的最大值为（ ）
A．6
B．
C．
D．3
【答案】D
【解析】如图所示：设
.
由题意可得，
，化简可得
，由
是三角形
的外心可得，
是三边中垂线交点，
则
，代入上式得，
，即
依据题意，
为外接圆半径，根据正弦定理可得，
代入
得
，则
结合不等式可得
，
的最大值为3
故选：D
3．（2024 高三·全国·专题练习）在
中，
为
内的一点，
，
则下列说法错误的是（ ）
A．若
为
的重心，则
B．若
为
的外心，则
C．若
为
的垂心，则
D．若
为
的内心，则
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的坐标表示、数量积的运算律
【分析】建立平面直角坐标系，对于A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；
对于B：利用
展开计算即可.
【详解】在
中，
，
，
为
内的一点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，
，
，
对于选项A：若
为
的重心，则
，
，则
，
所以
，
若
，由平面向量基本定理可得：
，
解得
，所以
，故选项A 不正确；
对于选项B：若
为
的外心，其必在直线
上，
所以
，故选项B 正确；
对于选项C：若
为
的垂心，其必在
上，设
，
则
，解得
，
此时
，
若
，由平面向量基本定理可得：
，
解得
，所以
，故选项C 正确；
对于选项D：若
为
的内心，设内切圆半径为，
则
，得
，则
，
此时
，
若
，由平面向量基本定理可得：
，
解得
，所以
，即选项D 正确.
故选：A.
4．（2023·广东佛山·一模）在
中，设
，那么动点
的轨迹必通过
的（ ）
A．垂心
B．内心
C．重心
D．外心
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】向量的线性运算的几何应用、垂直关系的向量表示、数量积的运算律
【分析】将等式化简整理得
，作出中线
，进一步将其化成
，可
得动点
的轨迹为
的垂直平分线，即得D 项.
【详解】由
可得，
，
即
, (*)
如图，取
的中点为
，连
，则
，
因
，故得，
,
代入(*)得，
,即
,
故
垂直且平分线段
，即动点
的轨迹是
的垂直平分线，必通过
的外心.
故选：D.
5．（24-25 高一上·河北保定·期中）（多选题）已知点
是
内的一点，则以下说法正确的有（ ）
A．若
，
，
分别表示
，
的面积，则
B．若
，则动点
的轨迹一定通过
的重心
C．若
，则点
是
的垂心
D．若
，
，
分别为
，
，
的中点，且
，
，则
的最大值
为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】向量与几何最值、根据向量关系判断三角形的心、三角形的心的向量表示
【分析】A 选项，作出辅助线，得到
，从而得到所以
，即可判断；B 选项，作出辅
助线，得到
，故点
在中线
上，故向量一定经过
的重心； C 选项，作出辅助线，
得到
，故
⊥
，并得到
在
的平分线上，同理可得，
在
的平分线上.
D 根据
得到点
的轨迹，将
转化为
，然后求数量积，根据点
的轨
迹求最值.
【详解】对于A：如图，
分别为
的中点，
，
则
，故
，
所以
，
故
，A 正确；
对于B：过点
作
⊥
于点
，取
的中点
，连接
，
则
，
，
则
，
故点
在中线
上，故向量一定经过
的重心，B 正确；
对于C：
分别表示
方向上的单位向量
，
故
，
，故
⊥
，
由三线合一可得，
在
的平分线上，同理可得，
在
的平分线上，
则点
是
的内心，C 错误.
D 选项，设
中点为
，
因为
，所以点
的轨迹为以
为直径的圆，
结合上图，
，
当
为直径时
最大，最大为
，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：
为
所在平面内的点，且
，则点
为
的重心，
点
为
所在平面内的点，且
，则点
为
的垂心，
点
为
所在平面内的点，且
，则点
为
的外心，
点
为
所在平面内的点，且
，则点
为
的内心，
6．（24-25 高三上·江西南昌·阶段练习）（多选题）下列四个命题为真命题的是（ ）．
A．已知向量
，
，则
的最大值为
B．若向量
，
，则
在
上的投影向量为
C．若
，
，
，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
D．若
，则动点
的轨迹一定通过
的重心
【答案】AD
【难度】0.65
【知识点】正弦定理及辨析、已知向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、求投影向量
【分析】把模平方转化为数量积运算，然后结合三角恒等变换求最大值判断A，根据投影向量的概念计算
判断B，利用正弦定理判断C，令边
中点为
，确定
是与
平行的向量，由此可
确定结论，从而判断D．
【详解】对于A，
，
则
，令
，
，
则
，
当
时，
取最大，最大值为
，故A 正确；
对于B，直接根据
在
上的投影向量
，故B 错误；
对于C，根据正弦定理可求得
，所以
，
所以
，且
，
，可求得
，故C 错误；
令边
中点为
，则
，再根据正弦定理
，
所以
，
代入到
，
因此点
的轨迹在直线
上，所以点
的轨迹经过重心，故D 正确．
故选：AD
7．（2023·河北邢台·高一统考期末）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，且
外接圆的半径为
．
(1)求C 的大小；
(2)若G 是
的重心，求
面积的最大值．
【解析】(1)由正弦定理
，得
因为
，
所以
，所以
,因为
,故
．
(2)由（1）得
，
所以
，得
，
当且仅当
时，等号成立．
连接BG，并延长BG 交AC 于D，则D 是AC 的中点，且
，
过G 作
于F，过B 作
于E，则
，
所以
．故
面积的最大值为
重难点题型八 “隐圆”问题
1．（2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知
中，
，
为
的重心，且满足
，则
的面积的最大值为______.
【答案】
/
【解析】以
的中点
为原点建立平面直角坐标系，
，
，
设
，则
，
当
时要使
，则
在坐标原点，显然不成立，
当
时要使
，则
，解得
，显然不成立，
所以
且
，因为
所以
，即
整理得
，(
且
)
所以当点
的纵坐标为
时，
的面积取得最大值为
.
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD 中，
，
，
．若
， 则
的最小值为____．
【答案】
【解析】如图，以
的中点
为坐标原点，以
方向为
轴正向，建立如下平面直角坐标系.
则
，
，
设
，则
，
，
因为
所以
，即：
整理得：
，所以点
在以原点为圆心，半径为2 的圆上.
在
轴上取
，连接
可得
，所以
，所以
由图可得：当
三点共线时，即点
在图中的
位置时，
最小.
此时
最小为
.
故答案为
．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，点D 是
上的点，
平分
，
的面
积是
的面积的3 倍，当
的面积最大时，
.
【答案】
/
【难度】0.4
【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围、轨迹问题——圆
【分析】建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点
的轨迹为以
为圆心，半径为3 的圆，数形结
合，得到当
在点
处时，
的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
由
，得
，又
，则
，
，
设
，由角平分线定理得
，
当
时，
，得
，此时
；
当
时，直线
的斜率分别为
，
则
，又
，
由到角公式得
，即
，
得
，
整理得
，即
，点
的轨迹为以
为圆心，半径为3 的圆，
因此当
在点
处时，
的面积最大，此时
，
在
中，由余弦定理得
.
故答案为：
4．（2024·全国·模拟预测）已知：在
中，M，N，P 三点分别在边
上，则
，
，
的外接圆交于一点O，称为密克点．在梯形
中，
，
，
为
边的中点，动点
在
边上，
与
的外接圆交于点
（异于点
），则
的最小值为
．
【答案】
/
【难度】0.4
【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算
【分析】延长
，
交于点
得
为正三角形，且得
、
、
的外接圆有唯一公
共点为密克点Q，接着由题给条件推出
是直角三角形，进而得其外接圆半径
，再在
中由余弦定理求出
即可得
的最小值.
【详解】延长
，
交于点E，则由题可知
为正三角形，
为正三角形，
由题设结论
，
，
的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q，
故点Q 在
的外接圆上，如上图，
又由题
，
,
所以
，故
，
所以
是直角三角形，而
，
故
外接圆半径
，且圆心为
，
在
中，由余弦定理
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：解决本题得关键是正确作出辅助线
，从而创造密克环境找到并明确
点位置，
从而结合已知条件得出
是直角三角形且其外接圆半径
以及
是点B 与
外接圆上
的点的距离，于是求出
即可求出
.
重难点题型九 与正切有关的最值问题
1．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形
中，角
､
､
的对边分别为
､
､，且满足
，则
的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为
，由余弦定理得
，所以
，
，
由正弦定理得
，所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，
，
，
由
，得
，
，
，
，所以
．
故答案为：
．
2．（2025·四川成都·三模）在
中，
，
的角平分线AD 交BC 于点D，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形
【分析】设
，则
，根据正弦定理得角平分线定理得
，求得
，再根据正弦定理
化简得
，求出
，进而
，即可得解.
【详解】
，则
，设
，则
，
在
中，由正弦定理，
，
在
中，由正弦定理，
，
因
，两式相比，可得
，
所以
，所以
，
由正弦定理得
，所以
，
所以
，化简得
，
所以
或
（舍去），又
，所以
，
所以
.
故选：C
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且
，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、几何图形中的计算、求含tanx 的二次式的最值、余弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得
；利用正弦定理边化角整理可求得
，利用二倍角正切公式化简所求，可得关于
的函数的形式，结合
的范围可求得结果.
【详解】
，
由正弦定理得：
，即
，
由余弦定理知：
，
，
，即
，
由正弦定理得：
，
，
整理可得：
，
为锐角三角形，
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
的取值范围为
.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角
中，角
所对的边分别为
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
，∴所以
因此
设
，∵
是锐角三角形，∴
，∴
∴
，
在
上单调递增，
∴
，
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形 ABC 中，已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由正弦定理，得：
，
如图，作BD⊥AC 于D，设AD＝x，CD＝y，BD＝h，
因为
，所以
，
化简，得：
，解得：
，
，
，
，
＝
＝
＝
，
当且仅当
时取得最小值
.
故选：C
6．（2024·云南·二模）
中，内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，B 是
与
的等差中项.
(1)若
，判断
的形状;
(2)若
是锐角三角形，求
的取值范围.
【答案】(1)是以为斜边的直角三角形.
(2)
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正、余弦定理判定三角形形状、已知弦（切）求切（弦）、三
角恒等变换的化简问题
【分析】（1）根据等差中项性质及三角形内角和性质得
，再结合已知和余弦定理得
，即
可判断三角形形状；
（2）先根据锐角三角形性质得
，然后化切为弦结合三角恒等变换化简目标函数，利用正弦函数性
质求解范围即可.
【详解】（1）
是
与
的等差中项，
.
.
.
由余弦定理得：
，即
，
化简得
.
，即
.
.
，
是以为斜边的直角三角形.
（2）
是锐角三角形，
，解得
，
.
由
得
，
，
，即
.
的取值范围为
.
重难点题型十 最大角问题
1．（2023·江西上饶·高三上饶中学校考期中）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，当tan(A－B)取最大值时，角C 的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得
，化简得
.
，当且仅当
时等号成立，由于
故
为锐角，故
，所以
.故选A.
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）在
中，
，点D 是
上的点，
平分
，
的面
积是
的面积的3 倍，当
的面积最大时，
.
【答案】
/
【难度】0.4
【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围、轨迹问题——圆
【分析】建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点
的轨迹为以
为圆心，半径为3 的圆，数形结
合，得到当
在点
处时，
的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
由
，得
，又
，则
，
，
设
，由角平分线定理得
，
当
时，
，得
，此时
；
当
时，直线
的斜率分别为
，
则
，又
，
由到角公式得
，即
，
得
，
整理得
，即
，点
的轨迹为以
为圆心，半径为3 的圆，
因此当
在点
处时，
的面积最大，此时
，
在
中，由余弦定理得
.
故答案为：
3．（2025·内蒙古包头·二模）在
中，角
所对的边分别为
，若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、求cosx(型)函数的值域、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最
小值
【分析】先利用余弦定理结合基本不等式求得
，然后可求
的最大值.
【详解】∵
，∴
,
.
当且仅当
，即
时等号成立.
又
，∴
，
∴
.
故答案为：
4．（2025·内蒙古包头·二模）在
中，角
所对的边分别为
，若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、求cosx(型)函数的值域、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最
小值
【分析】先利用余弦定理结合基本不等式求得
，然后可求
的最大值.
【详解】∵
，∴
,
.
当且仅当
，即
时等号成立.
又
，∴
，
∴
.
故答案为：
重难点题型十一 三角形中的平方问题
1．（2025·辽宁·二模）已知锐角
，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
．
(1)求
；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、由导数求函数的最值（不
含参）、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的
值；
（2）由
为锐角三角形求出角
的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出
的取值范围，
令
，结合导数可求出
的取值范围，即为所求.
【详解】（1）因为
，
，则
，
由正弦定理得
，
，所以，
，
因为
、
，则
，
所以，
，即
．
（2）在锐角
中，由
，可得
，
则
，
又
，则
，
所以，
的取值范围为
，
又
，设
，设
，其中
，
，
由
可得
，由
可得
，
所以，
在
上递减，在
上递增，
所以，
，
又因为
，
，故
的取值范围为
，
即
的取值范围为
.
2．（23-24 高三下·辽宁锦州·开学考试）若锐角
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，其外
接圆的半径为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)求
的取值范围
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、利用函数单调性求最值或
值域、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）利用正弦定理可将
化简为
，
再次化简得
，从而求得
，从而可求解.
（2）由
的外接圆半径为
，从而得
，从而可得
，
由
为锐角三角形可得
，再构造函数
，
结合对勾函数的性质从而
可求解.
【详解】（1）因为
，
所以
，
即
，由正弦定理得
，
显然
，
，所以
，所以
，
因为
，所以
．
（2）因为
外接圆的半径为
，所以
，所以
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，即
，即
．
令
，
，根据对勾函数的性质可知函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，且
，
，
，
所以
，即
，
所以
，即
的取值范围为
.
3．（2023·全国·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，设
的面积为S，
．
(1)当
时，若
，求角A；
(2)当
时，求
的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
．
【难度】0.65
【知识点】基本（均值）不等式的应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用、正弦定理边角互化的应
用
【分析】（1）由正弦定理化边为角，再利用已知角将其转化成角
的三角方程，求解即得；
（2）由余弦定理和基本不等式求得
的范围，利用面积公式将所求式转化成角
的三角函数式，从而
求出其范围，得最大值.
【详解】（1）当
时，
，即
，由正弦定理得，
，
因
，故
，化简得
，从而
，
由于
，所以
．
（2）当
时，
，
由余弦定理得，
，
所以
（*），
即
，当且仅当
时取等号，
即
，又由（*）可得：
．
因为
，所以
，
由于
,
，故
,此时正切函数为增函数，
且
时，
，所以
，
所以当
时，
的最大值为
．
4．（23-24 高三上·河南·阶段练习）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
外接圆的半径为
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、二倍角的余弦公式、辅助角公式
【分析】（1）根据题意由正弦定理以及两角和的正弦公式可得
，即可得
，结合角
的范围可得
；
（2）利用正弦定理可得
，
，
，代入表达式利用三角恒等变换可得
，再根据角的范围由三角函数值域即可得
.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
由正弦定理得
，所以
，
由余弦定理得
，
又
，所以
.
（2）由正弦定理得
，
所以
，
，
，
所以
，
因为
是锐角三角形，所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
即
的取值范围是
.
重难点题型十二 费马点、布洛卡点、拿破仑三角形
1．（2023·全国·高三专题练习）点
在
所在平面内一点，当
取到最小值时，则称该点
为
的“费马点”.当
的三个内角均小于
时，费马点满足如下特征：
.如图，在
中，
，
，则其费马点到
三点
的距离之和为（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，
为等腰三角形，
，
，
在
中，由余弦定理可得：
，
即
，解得：
，
在
中，由余弦定理可得：
，
即
，解得：
，
，
其费马点到
，
，
三点距离之和为4．
故选：A
2．（23-24 高三上·河南南阳·期中）已知
，
，分别为
的三个内角
的对边，若点
在
的内部，且满足
，则称
为
的布洛卡（Brocard）点，
称为布洛
卡角.布洛卡角满足：
（注：
）.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形
【分析】结合图象,求得
，
,分别在
，
，
中利
用正弦定理可求得
，
，
，三数相加化简即可.
【详解】如图所示，
,
故
,
同理，
,
在
中，由正弦定理得：
,
即
,
所以
，
在
中同理可得：
,
在
中同理可得：
,
所以
，
故选：B.
3．（21-22 高三上·安徽蚌埠·开学考试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为
圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都
有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终
保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件
上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC 内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC 内的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】扇形面积的有关计算
【分析】由题意可得曲边三角形的面积为一个扇形加两个拱形的面积，或者3 个扇形面积减去2 个三角形
的面积，然后由几何概型的概率公式求出概率．
【详解】解：由题意可得正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形的面积
S 曲＝S 扇形CAB+2S 拱＝
22+2（S 扇形﹣S△ABC）＝
3﹣2
22＝2π﹣2
，
三角形ABC 的面积S△ABC＝
＝
，
所以由几何概型的概率公式可得：所求概率＝
＝
，
故选：A．
4．（22-23 高三上·河南南阳·期末）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的
一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它
的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶
点的连线两两成角
；当三角形有一内角大于或等于
时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马
问题中所求的点称为费马点．已知
分别是
三个内角
的对边，且
，
，若点P 为
的费马点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】三角形面积公式及其应用、平面向量数量积的定义及辨析、用和、差角的余弦公式化简、求值、
余弦定理及辨析
【分析】由余弦定理和两角和的余弦公式化简
，
可得
，
，
再根据
等面积法即可求得
，“费马点”定义可得该点与三角形的
三个顶点的连线两两成角
，从而求得答案.
【详解】
,
即
,
又
,
,
即
,
, 又
.
由三角形内角和性质知：△ABC 内角均小于120°，结合题设易知：P 点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知,
,
,
,
.
由
等号左右两边同时乘以
可得：
，
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查两角和差的余弦公式、余弦定理，平面向量的数量积以及等面积法的应用；理解新
概念灵活运用，属于较难题.
5．（2020 高三·全国·专题练习）以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲
边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首
先发现.如图，D，E，F 为正三角形ABC 各边中点，作出正三角形DEF 的勒洛三角形DEF（阴影部分），若
在
中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】几何概型-面积型
【分析】设三角形ABC 边长为2，分别求出阴影部分与三角形ABC 的面积，其面积之比即为点取自于该勒
洛三角形部分的概率.
【详解】设三角形ABC 边长为2，则正三角形DEF 边长为1，图中勒洛三角形面积为
，
面积为
，
所求概率
故选：C.
【点睛】本题考查了几何概型求概率问题，考查了运算求解能力和应用意识，属于中档题目.
重难点题型十三 托勒密定理
1．（2023·全国·高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字
命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组
对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这
个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性
质．已知四边形
的四个顶点在同一个圆的圆周上，
、
是其两条对角线，
，且
为正三角形，则四边形
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，由托勒密定理可知
，
即
，所以，
，
又因为
，
，
因此，
.
故选：C.
2．（2022·四川南充·二模）托勒密是古希腊天文学家地理学家数学家，托勒密定理就是由其名字命名，
､
､
该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形
的四个顶点在
同一个圆的圆周上，
是其两条对角线，
，且
为正三角形，则四边形
的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】几何图形中的计算
【分析】由托勒密定理可得
，由
可求出.
【详解】由题，设
，
由托勒密定理可得
，所以
，
又因为
，
，
所以
.
故选：D.
3．（24-25 高三上·广东深圳·阶段练习）克罗狄斯托勒密（约90-168 年）是希腊著名的数学家、天文学家
和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积
的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形
中，
，
，
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】记
，利用余弦定理表示出
，然后根据题中结论可得.
【详解】设
，则
，
在
中，由余弦定理得
，
由题知，
，即
，
所以
，当且仅当
四点共圆时取等号，
所以
的最大值为
.
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著
的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或
等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，
四边形ABCD 内接于半径为
的圆，
，
，
，则四边形ABCD 的周长为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】连接AC，BD．
由
，
及正弦定理，得
，
解得
，
．
在
中，
，
，
，
所以
．
因为四边形ABCD 内接于半径为
的圆，
它的对角互补，所以
，
所以
,所以
，
所以四边形ABCD 的周长为
．
故选：A．
