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溶液问题.............................................................................................................................................1
排列组合进阶.................................................................................................................................... 4
行程问题.............................................................................................................................................8
行程问题进阶...................................................................................................................................11
几何与行程的爱恨情仇.................................................................................................................. 14
1
溶液问题
【例1】（2021 浙江）三个相同的玻璃杯里装满了不同浓度的酒精溶液，其中
酒精和水的质量比分别为1:5，2:3 和1:9。现将这三杯酒精溶液倒进一个瓶子
里，这瓶酒精溶液里酒精与水的质量比是多少？
A. 2 : 7
B. 7 : 9
C. 4 : 17
D. 4 : 21
【例2】（2024 联考）一次化学实验中，稀释一定量的盐水，在此盐水中加入
100g 水后，其浓度变为原来的80%，则原盐水质量为：
A.200g
B.300g
C.400g
D.500g
【例3】（2025 联考）实验室只有盐和浓度为40%的盐水，为制备120 克浓度
为50%的盐水，则需要浓度为40%的盐水量是：
A.60 克
B.80 克
C.100 克
D.110 克
【例4】（2022 深圳）实验室有甲、乙、丙3 瓶盐酸溶液，浓度分别为10%、
40%、60%，实验员将3 瓶溶液全部倒入一瓶中，得到浓度为52%的盐酸溶液。
2
已知乙溶液重量为甲溶液的1.5 倍，则丙溶液重量为甲溶液的（
）倍。
A.4.5
B.5.5
C.6.5
D.7.5
【例5】（2021 广东）A、B 两个烧杯中装有质量相等的盐溶液，A 烧杯中盐溶
液的浓度为30%，B 烧杯中的盐溶液浓度为20%，现将A、B 两个烧杯的溶液
完全混合，那么混合后溶液中溶质与溶剂之比为（
）。
A.1：3
B.1：4
C.1：5
D.1：6
【例6】(2024 江苏)甲瓶中有50 克浓度为80%的溶液，加水50 克混合后倒出
40 克至空瓶乙中；再往甲瓶中加水40 克，混合后又倒出40 克至乙瓶中。最终
乙瓶中溶液的浓度是：
A.38%
B.32%
C.26%
D.20%
【例7】（2022 湖北选调）将一满容器浓度为24%的溶液放置太阳下暴晒一段
时间，经过一段时间蒸发水分后溶液浓度变为36%且无沉淀。然后再用浓度为
12%的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度变为多少？
3
A.24%
B.28%
C.30%
D.32%
【例8】（2024 联考）现有一容器，装有100 克浓度为75%的盐水，从中倒出
40 克盐水后，再加入40 克纯净水，如此反复三次。问此时盐水的浓度是：
A.16.20%
B.9%
C.1.62%
D.0.90%
【例9】（2024 四川）现有浓度为70%的盐水100 克。从中倒出40 克，再加
入40 克浓度为20%的盐水，如此操作共5 次后，问盐水的浓度在以下哪个范围
内？
A.低于23%
B.在23%到25%之间
C.在25%到27%之间
D.高于27%
4
排列组合进阶
插板法
【例1】（2024 事业单位联考）某单位将11 本《党员学习手册》分发给甲、乙、
丙共3 个党支部。已知甲支部至少分得3 本，乙支部至少分得2 本，丙支部至
少分得4 本，问一共有多少种不同的分配方式？（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
【例2】（2023 重庆事业单位）某学院由行政教辅和三个不同的教学研究室构
成，现引进8 台相同教学设备，每个教学研究室至少分2 台，行政教辅无要求，
问一共有多少种不同分法（
）。
A.6
B.8
C.10
D.12
错位重排
【例1】（2024 广东事业单位）4 个抽屉里各有1 本不同的笔记本，现在将所
有笔记本取出，重新放入，要求每个抽屉里放1 本且不能放回原来的抽屉，则分
配方式有（
）种。
A.9
5
B.12
C.14
D.16
【例2】（2015 山东）某单位从下属的5 个科室各抽调了一名工作人员，交流
到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？
A.120
B.78
C.44
D.24
【例3】（2017 国家）某集团企业5 个分公司分别派出1 人去集团总部参加培
训，培训后再将5 人随机分配到这5 个分公司，每个分公司只分配1 人。问5
个参加培训的人中，有且仅有1 人在培训后返回原分公司的概率：
A. 低于20%
B. 在20%~30%之间
C. 在30%~35%之间
D. 大于35%
环形排列
【例1】（2025 上海）甲参加公司团建，其中一个项目就是做手工风车，要将
材料袋中的七个不同卡通头像贴在如图所示的七个圆点处。则做出来的风车一共
的可能性有多少种？
A.7
6
B.140
C.840
D.5040
【例2】（2023 广东事业单位）某婚宴酒席采用圆桌，每桌均设8 个座位，若
某桌宾客均为结对夫妻，且每对夫妻均相邻而坐，则该桌共有（
）种落座方
式（不考虑座位方位）。
A.768
B.192
C.96
D.48
【例3】（2021 联考）两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木马，
那么两个大人不相邻的概率为：
A.
2
5
B.
3
5
C.
1
3
D.
2
3
跟屁虫原理
【例1】（2019 联考）某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝火
四周，其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一起的概率为：
A.
2
97
B.
2
98
7
C.
2
99
D.
2
100
【例2】（2021 江苏）某次圆桌会议共设8 个座位，有4 个部门参加，每个部
门2 人，排座位时，要求同一部门的两人相邻，若小李和小王代表不同部门参加
会议，则他们座位相邻的概率是：
A.
1
48
B.
1
24
C.
1
12
D.
1
6
【例3】（2018 联考）某单位工会组织桥牌比赛，共有8 人报名，随机组成4
队，每队2 人。那么，小王和小李恰好被分在同一队的概率是：
A.
1
7
B.
1
14
C.
1
21
D.
1
28
【例4】（2025 浙江）某班级只有两个宿舍的男生，每宿舍4 人。每周从这8
人中随机抽取一人担任周管理员，同一人不连续两周担任管理员。问开学前三周
的管理员都来自同一宿舍的概率在以下哪个范围？
A.0%-10%
B.10%-20%
C.20%-30%
D.30%-40%
8
行程问题
1. 甲和乙两辆车同时从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发时的速度比乙车快
20%，但乙车行驶1 个小时后速度加快30 千米/小时继续匀速行驶，又用了3
小时与甲车同时抵达，则A、B 两地相距多少千米？
A. 540
B. 510
C. 600
D. 570
2. 甲、乙两人从湖边某处同时出发，沿两条环湖路各自匀速行走。甲恰好用2
小时回到出发点，比乙晚到20 分钟，多走了2800 米。若甲每分钟比乙多走10
米，则甲行走的速度是：
A. 4.2 千米/小时
B. 4.5 千米/小时
C. 4.8 千米/小时
D. 5.4 千米/小时
3. 一辆车从甲地行驶到乙地共20 千米，用时20 分钟，已知该车在匀加速到最
大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为0，问该车行驶的最大速度是多少千
米/小时？
A. 100
B. 108
C. 116
D. 120
9
4. 甲骑车从A 地前往3 千米外的B 地，出发时均匀加速，骑行到一半路程时的
速度为30 千米/小时。此后均匀减速，到达B 地时的速度为20 千米/小时。则
甲全程用时为多少分钟？
A. 不到9 分30 秒
B. 9 分30 秒～10 分之间
C. 10 分～10 分30 秒之间
D. 超过10 分30 秒
5. 某铁路桥长1440 米，一列动车从桥上通过，测得动车从开始上桥到完全下
桥用了21 秒，动车的速度为288km/h，则整列动车完全在桥上的时间为（
）
秒。
A. 18
B. 16
C. 15
D. 12
6. 某公路隧道长1500 米，一辆公共汽车匀速从隧道通过，测得公共汽车从开
始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151 秒，整辆公共汽车完全在隧道里的时
间为149 秒，则公共汽车的车身长度和行驶速度分别为：
A. 8 米；5 米/秒
B. 10 米；10 米/秒
C. 10 米；15 米/秒
D. 12 米；20 米/秒
10
7. 小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达学校上
课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，
从离家到赶回家中共用了1 个小时，假设小明当天平路骑行速度为9 千米/小时，
上坡速度为6 千米/小时，下坡速度为18 千米/小时，那么小明的家距离学校多
远？
A. 3.5 千米
B. 4.5 千米
C. 5.5 千米
D. 6.5 千米
8. 某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，最后竞走到达终
点。一位选手在上午7 点出发，9 点到达了终点，全程未休息，其蛙跳、游泳和
竞走的速度分别为每小时2 千米、3 千米和6 千米。如果蛙跳和竞走的路程相同，
则所有项目的总路程是（
）。
A. 无法计算
B. 6 千米
C. 8 千米
D. 12 千米
11
行程问题进阶
1. 甲乙两人在相距1200 米的直线道路上相向而行，一条狗与甲同时出发跑向
乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反复，已知甲的速度为
40 米/分钟，乙为60 米/分钟，狗为80 米/分钟。不考虑狗调头所耗时间，当甲
乙相距100 米时狗跑了多少米？
A. 1100
B. 1000
C. 960
D. 880
2. 某帆船队队员甲先行驾驶帆船从某地出海训练，教练员乙、丙随后分别驾驶
摩托艇同时从该地出发，三人航线一致且速度不变，已知乙驾驶摩托艇的速度为
每小时12 千米，追上甲用了2.5 小时，丙驾驶摩托艇的速度为每小时15 千米，
追上甲用了1.5 小时，若不考虑其他因素，则乙、丙二人出发时，甲已经航行了
（
）千米。
A. 7.50
B. 9.75
C. 11.25
D. 10.50
3. 老张和小张在周长为400 米的运动场上跑步，小张的跑步速度快于老张，当
两人在同一起点同时同向出发，则每隔8 分钟相遇一次；当两人在同一起点同时
反向出发，则每隔2 分钟相遇一次，老张在该运动场跑一圈需要多少分钟？
A. 5.33
12
B. 5.36
C. 5.42
D. 5.45
4. 师范大学体育场的环形跑道长400 米，王鹏、李华、周可从同一地点同时同
向出发，围绕跑道分别慢跑、快跑和轮滑。已知三人的速度分别是2 米/秒、6
米/秒和8 米/秒，问李华第4 次超越王鹏时，周可已经超越了王鹏多少次？
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
5. 甲、乙两码头相距600 千米。一艘轮船从甲码头顺流航行到达乙码头，立即
返回甲码头。已知船在静水中每小时行驶25 千米，水流速度为每小时5 千米，
那么这艘船往返甲、乙码头一趟需要（
）小时。
A. 40
B. 44
C. 48
D. 50
6. 甲、乙两地分别为一条河流的上下游，两地相距360 千米，A 船往返需要35
小时，其中从甲地到乙地的时间比从乙地到甲地的时间短5 小时。B 船在静水中
的速度为12 千米每小时。问其从甲地开往乙地需要多少小时？
A. 12
B. 20
13
C. 24
D. 40
7. 小明骑车从甲镇前往乙镇。如果骑车的速度为每小时20 千米，那么将准时到
达。如果骑车的速度为每小时24 千米，那么将提早5 分钟到达。则甲镇到乙镇
的距离为（
）千米。
A. 8
B. 10
C. 12
D. 16
8. 某地突发森林火灾，现有甲、乙两支消防队离火灾发生地距离相同，但路况
不同，假设两支队伍接到命令后同时出发，并且按照一定速度匀速赶往火灾现场
参与救援。已知当甲消防队走了路程1/3 时，乙消防队走了9 公里，当乙消防
队走了路程1/3 时，甲消防队走了16 公里，问甲消防队到达目的地时，乙消防
队距离目的地还有多少公里？
A. 9
B. 12
C. 27
D. 36
14
几何与行程的爱恨情仇
1. 一辆车从甲地行驶到乙地共20 千米，用时20 分钟，已知该车在匀加速到最
大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为0，问该车行驶的最大速度是多少千
米/小时？
A. 100
B. 108
C. 116
D. 120
2. 某地人工湖景区开辟了沿湖福道和环湖乐道两条圆形观景道供市民休闲健身
（如下图所示）。小李和他的妈妈分别沿乐道和福道从A、B 两地同时同向而行
（A、B 两点间距离为50 米），小李骑自行车的速度
是妈妈步行速度的6 倍，已知妈妈步行速度为每小时5
千米，妈妈沿福道步行一周的时间是小李骑行乐道时
间的4 倍，那么这个湖面的面积约多少万平方米?（圆
周率取3）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
3. 一个圆形水库的半径为1 千米。一艘船从水库边的A 点出发，直线行驶1 千
米后到达水库边的B 点，又从B 点出发直线行驶2 千米后到达水库边的C 点。
则C 点与A 点的直线距离
15
最短可能为多少千米？
A. 不到1 千米
B. 1~1.3 千米之间
C. 1.3~1.6 千米之间
D. 超过1.6 千米
4. 兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方500 米处。兔子和乌龟
同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的5 倍。兔子先向正东方跑了
一会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，结果兔子和乌龟同时到
达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A. 600
B. 1200
C. 2400
D. 3000
5. 小王开车以80 千米/小时的速度向北行驶，发现一辆在直线轨道上匀速行驶
的火车车头始终位于自己的正西方，且逐渐变远。已知该火车的速度为160 千
米/小时，问小王行驶1 分钟后，火车车头与自己的距离将增加多少千米?
A.
2
B.
3
C.
4
3
3
D. 2( 3 −1)
6. 部队前哨站的雷达监测范围为100 千米。某日前哨站侦测到正东偏北30°
100 千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向150
16
千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某
点与可疑无人机相遇。则我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？
A.
3 + 1
B. 3( 3 −1)
C.
4
3
3
D.
2
3
5
7. A、B 点和墙的位置如下图所示。现从A 点出发以5 米/秒的速度跑向墙，接
触到墙后再跑到B 点。则最少要多少秒到
达B 点？
A. 30
B. 34
C. 38
D. 42
8. A、B 两村在一条笔直公路的同侧，到公路的垂直距离分别是3 公里和7 公里，
两村相距8.5 公里，现需在公路边建一个物资集散中心，为节约物资配送成本，
集散中心到两个村的直线路程之和应尽可能小，若货车的速度约为60 公里/小时，
那么货车从集散中心出发，到两村送货后返回中心，路途所花费的最少时间为：
A. 18 分钟
B. 21 分钟
C. 24 分钟
D. 27 分钟
遇见不一样的自己
come to meet a different you
