解析几何与函数、导数的综合题｜高考真题拆解·2026新课标Ⅰ卷第11题

真题拆解 · 2026年Ⅰ卷连载第5讲｜上一篇：立体几何的代数法与几何法，你怎么选？（2026年Ⅰ卷第10题）

三个半径相同的圆两两外切，一条直线同时截出三条弦. 选项 A、B 靠位置关系就能判，选项 C、D 却要落到一个单变量函数上，还得先想清楚这个变量能取到哪一段，考试时还得权衡一下性价比. 

同一道题里，几何管鉴定位置关系，代数管精准计算，这是 2026 新课标Ⅰ卷多选第 11 题最值得看的地方.

【真题】

建议先动笔做一遍，再往下看解析.

【解析】

【拆解】

(1) 题眼在「距离」这个词上.三个弦长同时变化，本质是三个距离同时变化，题目里所有的问法都可以翻译成距离的语言. 选项 A 问斜率能不能任取，只要直线垂直于某条连心线，它就不可能同时与三圆都交于两点，排除掉那几个临界方向即可. 选项 B 中 s₁ = s₂ = s₃ 等价于 d₁ = d₂ = d₃，而两点到一条直线距离相等在几何上只有两种情形，连线与直线平行，或者直线过线段的中点，三个圆心两两组合只给出三条直线.

(2) 两个入口的分工.几何入口擅长否决与判定位置关系，A、B 两条用几何最省力. 碰到 C、D 这种要精准计算的，就换成代数入口：把直线写成 y = kx + b，距离写成 |kx₀ − y₀ + b| / √(1 + k²)，在 b = 0 时三个距离一起退化成只含 k 的式子，再令 t = 1 / √(1 + k²)，三个弦长之和就收成一个单变量函数 f(t) = 4t + 2√(1 − 3t²). 这条路算量不小，考场上要不要一路算到底，值得先估一下.

(3) 两个绕不开的坎.第一是 t 的取值范围，它来自题目里「与三圆均有两个交点」这个条件，也就是每个圆心到直线的距离都要小于半径，于是 0 < t < √3 / 3，这个范围是后面解方程与求最值的边界. 第二是选项 C 与 D 其实共用同一个函数，一个问函数值等于 3 时解的个数，一个问这个函数的最大值，把 f(t) = 3 整理成 28t² − 24t + 5 = 0，方程有两个解，配上斜率正负的对称性一共得到四条直线；求最大值交给导数，而极值点必须落在 0 < t < √3 / 3 之内，这正是前面那个范围要先写清楚的原因.

(4) 应试习惯与高频易错.三条最值得记：一是看到弦长先把距离写出来，不要一上来就设直线硬算；二是多选逐项落地，能用位置关系否决的先否决，要精准计算的再用代数收成一个变量；三是参数化简之后先把范围写清楚，范围往往由「有两个交点」这类条件给出，丢范围是这类题最常见的失分点. 说到底，三个半径相同的圆，弦长比就是距离比，剩下的都是把一个多变量的问题收成单变量.

【考查目标】

【备考建议】

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