高中数学|圆的解答题三连问:对称定圆心、极化恒等式求范围、韦达定理证定点

圆的解答题看着温和，三问却各有门槛：先用对称性定圆心求方程，再把”PA²+PC²为定值”翻译成圆上的点到某个定点的距离，最后用斜率乘积条件走一遍”设线—韦达—舍根”的定点流水线。孩子最容易丢分的地方，是没发现原点也在圆上、忘了用判别式收尾——这道题把两个坑都埋好了。

设，B(4,0)，，圆Q过A，B，D三点。

（1）求圆Q的方程；

（2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得PA²+PC²=2λ成立，求实数λ的取值范围；

（3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF的斜率分别为k₁，k₂，且k₁k₂=3，证明：直线l恒过定点。

第一步：抓住对称性，圆心直接落在x轴上。与关于x轴对称，圆又同时过这两点，所以圆心Q在x轴上，设Q(a,0)。由|QA|=|QB|得(a−1)²+3=(a−4)²，展开为a²−2a+4=a²−8a+16，解得a=2，半径平方r²=(2−4)²=4。圆Q的方程为

(x−2)²+y²=4.

第二步：极化恒等式，把”两段距离平方之和”换成”到中点的距离”。设A，C的中点为，|AM|=2。由极化恒等式，

PA²+PC²=2(PM²+AM²)=2PM²+8.

问题变成：圆上的点P到定点M的距离平方能取哪些值。，圆半径为2，所以，即。

第三步：数一数点的个数，端点必须去掉。当P位于直线QM与圆Q的两个交点时，PM²分别取得最小值与最大值，各恰有一个点；其余每个值恰对应圆上两个不同的点。所以”存在两个不同的点P“要求2λ严格落在两端之间：

第四步：设线联立，韦达定理打底。设l:y=kx+m，E(x₁,y₁)，F(x₂,y₂)。圆的一般方程为x²+y²−4x=0，联立消去y：

(1+k²)x²+(2km−4)x+m²=0.

判别式Δ=(2km−4)²−4(1+k²)m²=16−16km−4m²>0。由韦达定理，

第五步：翻译”k₁k₂=3“。。于是

去分母得4km+m²=3m²，即m(2m−4k)=0，所以m=0或m=2k。

第六步：逐根检验，舍退化、留真解。注意(0−2)²+0²=4——原点O本身就在圆Q上。若m=0，直线l过原点，E，F中恰有一点与O重合，与题设”不与原点O重合”矛盾，舍去。若m=2k，则

l:y=kx+2k=k(x+2),

恒过定点(−2,0)。此时，且k≠0（否则m=0已舍），直线不过原点，E，F均异于O，斜率乘积条件成立。故直线l恒过定点(−2,0)。

三问三招，各有套路。求圆的方程先看图形：对称性一用，圆心少设一个未知数。见PA²+PC²这类”两段距离平方之和”，直接上极化恒等式PA²+PC²=2(PM²+AM²)，把问题化成”圆上的点到定点的距离”，最值就沿着圆心与定点的连线找——但”存在两个不同的点”意味着端点值各只对应一个点，取值范围必须开区间。定点问题则是流水线：设线、联立韦达、翻译几何条件、因式分解、逐根检验。本题解出m=0与m=2k两个根，m=0被”原点在圆上”这个隐蔽条件挡掉，而Δ>0又反过来限制——“哪些根不能用”往往比”解出根”更能拉开分差。