【习题研讨】127. 三个和尚没水喝. 高一月考解答题压轴---不存在 k 元好集的几种证明. 不妨从简单情况做起!

设集合 ，其中 ，，且  为互不相同的正整数. 若对于  中任意两个元素 ，当  时，都有

则称  为“ 元好集”.

（1）判断  是否为“三元好集”，并说明理由.

（2）设集合  为“二元好集”，且  中所有元素之积小于 ，求所有满足条件的集合  的个数.

（3）设 ，. 是否存在“ 元好集”？若存在，求出所有满足条件的“ 元好集”；若不存在，请说明理由.

前两问

第（1）问，取 ，有

所以  不是“三元好集”.

第（2）问，设 ，其中 ，且  均为整数. 由于

这个商只能等于  或 .

若商等于 ，则

所以 .

若商等于 ，则

即

由于 ，只能有

这与  为有理数矛盾.

因此，二元好集只能是 . 反过来，这样的集合确实满足条件，因为

再由

可得 ，所以共有  个满足条件的集合.

先猜一猜，不存在的可能性似乎更大. 一个  元集有  组配对，每组得到的商不仅要是整数，还必须落回原集合，这是其一. 其次，当  较大时，配对的数量远多于集合中的元素个数，这就要求不少配对得到相同的商. 要同时满足两个条件，似乎相当苛刻！  

因此我们猜测，k 要么比较小，要么不存在. 于是不管如何，我们都要先做掉三元好集的情况.  这也是自然的！如果你暂时想不到一般情况，就先研究三个元素. 即使没有前面的定性分析，也可以从这个简单情况入手. 在三元好集中要讨论的商只有三个.  可能做好三元的情况，就可以处理一般的结论.

另外，涉及“任意”“任取”的题目，既然任取都成立，我们就有挑选的自由. 可以通过“巧取”和“取遍”，来探索问题的局部和整体性质， 拿到一些有用的必要条件，逐步解决问题. 即使没有全部做完，探索的过程也不会白费.

这个解法在我们班的答卷中没有看到. 它完全没有用到整数条件，只靠大小关系就得到了矛盾. 听完后同学们都被“吓到了”！

我们证明一个更强的结论：对于任何至少含三个元素的有限正实数集，都不满足题设条件.

假设存在这样的集合 . 记它的最小元素为 ，最大元素为 . 因为  至少含三个元素，所以可以在  中选取一个中间元素 ，使得

以下只使用三个商属于原集合 ，不要求它们属于 .

先取最大元素与最小元素配对. 由题设，

由于  是  的最小元素，所以

因为  且 ，可得

从而

这说明所有元素都挤在  内，最大元素与最小元素之间的距离满足

接下来，分别取  和  配对. 由题设，

由于  是  的最大元素，这两个商都不能超过 ，所以

所有分母均为正，整理得

再利用 ，第一式给出

另一方面，因为 ，所以

两式相加，得到

这与前面得到的  矛盾.

因此，任何至少含三个元素的有限正实数集，都不可能满足题设条件. 因此，不存在  的正整数好集. 

所以本题的矛盾可以表述为：

这里真正关键的是商仍属于原集合，整个证明没有用到整数的性质. 当然，既然考题是在整数范围内讨论的，我们也可以利用整数条件，一些同学得到下面两种解法.

第（2）问里，“商只能是已有的两个元素”迫使我们分类. 到了这里，次大元也有同样的作用：只要商比它大，就只能是最大元.

假设存在  的正整数好集 . 记最小元素为 ，最大元素为 ，次大元素为 ，则

由解法一的第一步，有

令

因为 ，所以

即 . 因此

但  是次大元素，集合中大于  的元素只有 ，故只能有 .

于是

两边除以 ，得

结合 ，可得

左边为有理数，右边为无理数，矛盾. 因此不存在  的正整数好集. 

这次我们取遍所有包含最大元素  的配对.

假设存在  的正整数好集，将其元素按从小到大的顺序排列为

固定最大元素 ，令

我们首先说明，这些商也严格递增.

若 ，则

因此

这说明我们得到了  个互不相同的集合元素.

其次，与解法二类似，其中任何一个商都不可能等于最大元素 .

若存在  使得 ，则

即

由 ，得

左边为有理数，右边为无理数，矛盾.

所以， 全部属于 .

在一个只有  个元素的集合中，取出  个互不相同的元素，必然恰好取遍这个集合. 故

由于两组元素均按从小到大的顺序排列，必有

于是

因此

当  时，其中至少有两个不同的元素，与上式矛盾.

所以不存在  的正整数好集. 

解法二、三都只用到了元素之比为有理数，因此对有限正有理数集同样成立；解法一则连有理数条件也不需要.

高一新生的第一场月考，估计不少同学要受点打击了. 初中时都是佼佼者，中考715+的大佬，到了新高一，也可能被一张月考卷稳稳拿捏. 适应期的阵痛，多少还是要经历一些.

高中数学比初中数学更抽象了，有些题读起来，确实有点“摸不着”，无从发力的感觉. 就拿这道题来说，没有复杂公式，也没用新知识，条件看起来都懂，却不知道该从哪里下手. 老师总说只要盯紧条件就行，可注意力该放在哪里，哪些条件要放在一起看，要去尝试哪些可能，恰恰就是难处.

尤其是在考场上做压轴题. 时间一分一秒过去，既要找到思路，又要把推理想清楚、写完整，确实很考验人. 这道题的解答并不长，看完甚至会觉得：“就这么几步，我当时怎么没想到？”可看懂这几步，和在考场上自己找到这几步，再规范地表述出来，中间还隔着相当多的功夫.

那就好好练吧，路还长呢！