八上习题14.2:怎样证明中点?三组全等如何找全?

教材原题｜习题14.2 拓广探索

17. 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB。AE与CE有什么关系？证明你的结论。

18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上。找出图中的全等三角形，并证明它们全等。

同学们，证明两条线段相等，可以先把它们放进两个三角形，看看能否证明这两个三角形全等。第17题训练“为结论找三角形”，第18题训练“按层次找全图”。解题时既要凑齐判定条件，也要写准对应顶点。

先猜一猜

第17题中，E是DF的中点，会不会也是AC的中点？第18题里，左右两边看起来对称，只能找到一组全等三角形吗？先提出猜想，再用条件说明理由。

01 · 平行线找等角，对顶角再补一组

第17题分析：目标线段分别在哪个三角形里？

要比较AE与CE，可以观察△ADE和△CFE。它们分别包含目标线段，也包含已知相等的DE与FE。接下来要找角的对应关系。

由于D在AB上，AD所在直线就是AB。又因为FC∥AB，所以AD∥FC。用DF作截线，得到∠ADE＝∠CFE。

AC与DF相交于E，∠AED和∠CEF是一对对顶角，因此相等。这样就得到两组对应角和它们之间的一组对应边，可以用“角边角”判定全等。

对应次序是A对应C、D对应F、E对应E。共同顶点E仍要写在对应位置，不能因为两个三角形看起来方向不同，就把字母顺序随意交换。

第17题证明｜AE＝CE

证明：∵ D在AB上，FC∥AB， ∴ AD∥FC， ∴ ∠ADE＝∠CFE。 又∵ AC与DF相交于E， ∴ ∠AED＝∠CEF（对顶角相等）。

在△ADE和△CFE中， 　∠ADE＝∠CFE， 　DE＝FE， 　∠AED＝∠CEF， ∴ △ADE≌△CFE（ASA）。 ∴ AE＝CE（全等三角形的对应边相等）。

所以，E也是线段AC的中点。这里不是“一个中点自动变成另一个中点”，而是通过两三角形全等，才把DF上的等分关系转化成AC上的等分关系。

第17题：为什么这组条件叫“角边角”？

DE位于∠ADE与∠AED之间，FE位于∠CFE与∠CEF之间，所用的相等边是两组对应角的夹边。判定方法要与实际列出的条件一致，不能只要有两个角和一条边，就随便写一个名称。

02 · 前一步的结论，可以成为后一步的条件

第18题分析：由外到内，再看交叠

按题图，E在AD内部，A、E、D共线，B、D、C共线。左右两边的大三角形是△ABD与△ACD；靠近底边的小三角形是△EBD与△ECD；另外还有△ABE与△ACE。

我们依次证明这三组全等。先用已知的两腰相等、底边被平分和公共边证明大三角形全等；再利用得到的角相等证明小三角形；最后用新得到的边相等证明交叠的那一组。

第一组｜证明△ABD与△ACD全等

证明：∵ D是BC的中点， ∴ BD＝CD。 在△ABD和△ACD中， 　AB＝AC， 　BD＝CD， 　AD＝AD， ∴ △ABD≌△ACD（SSS）。 ∴ ∠BDA＝∠CDA。

AD是两个三角形共用的一条边，“公共边相等”也要列出来。三组边分别对应齐全，才是完整的边边边判定。

第二组｜证明△EBD与△ECD全等

∵ E在AD上， ∴ ∠BDE＝∠BDA，∠CDE＝∠CDA。 ∴ ∠BDE＝∠CDE。 在△EBD和△ECD中， 　BD＝CD， 　∠BDE＝∠CDE， 　ED＝ED， ∴ △EBD≌△ECD（SAS）。 ∴ BE＝CE。

这里的等角恰好夹在BD、ED与CD、ED之间，所以使用边角边。等角来自第一组全等以及射线DE与DA重合，不能只凭图像左右对称就当作已知。

第三组｜证明△ABE与△ACE全等

在△ABE和△ACE中， 　AB＝AC， 　BE＝CE， 　AE＝AE， ∴ △ABE≌△ACE（SSS）。

这一组用到了第二组全等得到的BE＝CE。若一开始就把它当作已知，会造成理由缺失。先证明，再使用，推理才能连成完整的链条。

怎样确认第18题没有漏掉其他三角形？

先看所有已画出的非退化三角形：△ABC、△BEC，以及刚才三组中的六个，共八个。题设能保证全等的是上述三组，不能把“图中存在一个三角形”理解为“它一定有另一个全等伙伴”。

A、E、D共线，不能构成三角形；B、D、C也共线，同样不计。不要把一条直线上的三个点当成一个扁三角形，也不要把同一三角形改变字母顺序后重复列举。

原题并未给出E是AD中点，所以不能擅自添上AE＝ED，进而推出其他配对。这里列的是由题设能够保证的三组，不需要设想特殊位置偶然出现的关系。

不要先把AD当成高，再反过来证明全等

已知只说D是底边中点，并没有直接给AD⊥BC。本题先用SSS证明左右大三角形全等，就不需要提前使用垂直条件。也可以继续由两角相等且互补推出它们都是直角，但这应当是推论，不能跳步当作已知。

名师方法｜先找目标，再按条件选择判定

证明线段相等，先寻找包含它们的三角形；找全等组数，按大小和位置有序检查。列条件时把公共边、对顶角、平行线产生的等角逐项写清，再核对对应次序以及夹角、夹边的位置。

书写之前，再检查一次对应顺序

两个三角形的名称不是随便排列的。第十七题中，共有顶点对应共有顶点，已知相等线段的两端也要一一配准；第十八题中，左右两侧顶点互相对应，中间线上的顶点则对应自己。

正式写证明前，可以先在草稿上把对应顶点连成三对，再按这个顺序列边和角。每列一条条件，就说明它来自已知、公共部分，还是前面已经证出的结论。这样不仅符号排列清楚，还能及时发现漏掉一条条件或提前使用结论的问题。

当堂检测

1. 第17题的∠AED与∠CEF为什么相等？ 2. 第18题证明第一组全等时，公共边是哪一条？ 3. 能由“E在AD上”直接写AE＝ED吗？

想好再看：对顶角相等；AD；不能，E不一定是AD的中点。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十四章《全等三角形》第46页，习题14.2“拓广探索”第17、18题。

每一条对应关系，都要有条件支撑。