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天津高考真题拆解篇|解几入门:椭圆方程与离心率(第 1 问必拿分)
〇、进入解析几何，先看七年规律
从这篇开始进入解析几何。
先给你一个非常确定的结论：2020 到 2026，天津卷解析几何大题七年全部是椭圆，而且第 (1) 问无一例外都是求椭圆方程或离心率。
这一问是整道题里最稳的分，思路一点都不复杂，核心就一件事：
把题目给的几何条件，翻译成关于 a、b、c 的方程。
这篇把椭圆基本量和三种常见考法讲清楚。
一、先把椭圆的基本量搞清楚
焦点在 x 轴上的椭圆标准方程：
x²/a² + y²/b² = 1（a > b > 0）
三个基本量 a、b、c 的关系（重点记忆）：
a² = b² + c²
注意这里是 a 最大，和双曲线的 c²=a²+b² 正好相反，别记混。
离心率：
e = c/a，范围 0 < e < 1
一个非常好用的结论：上顶点 B (0,b) 到焦点 F (c,0) 的距离：
|BF| = √(b²+c²) = √a² =a
也就是说，"顶点到焦点的距离" 恒等于 a，这个结论在 2021、2022 真题里直接用到。
二、类型 1：给顶点、焦点坐标，直接定 b、c
例题 1（2020 第 18 题）
椭圆的一个顶点为 A (0,−3)，右焦点为 F，且 |OA|=|OF|，求椭圆方程。
解：
A (0,−3) 是下顶点，所以 b = 3。
|OA|=3，由 |OA|=|OF| 得 c = 3。
a² = b²+c² = 9+9 = 18
所以方程为：
x²/18 + y²/9 = 1（e = c/a = √2/2）
例题 2（2023 第 18 题）
椭圆左右顶点为 A₁、A₂，右焦点 F，已知 |A₁F|=3，|A₂F|=1，求方程和离心率。
解：
A₁=(−a,0)，A₂=(a,0)，F=(c,0)，所以：
|A₁F| = a+c = 3
|A₂F| = a−c = 1
两式相加：2a = 4，a = 2；相减：2c = 2，c = 1。
b² = a²−c² = 4−1 = 3
所以：
x²/4 + y²/3 = 1，e = 1/2
三、类型 2：给离心率 + 一个长度，先定比例再定尺寸
离心率只给 "比例"，还需要一个长度或面积来确定具体大小。
例题 3（2026 第 18 题）
椭圆离心率 e = 1/2，椭圆被直线 x=b 截得的线段长为 √3，求标准方程。
解：
由 e=1/2，即 a=2c，于是：
b² = a²−c² = 4c²−c² = 3c²
把 x=b 代入椭圆方程：
b²/a² + y²/b² = 1
3c²/4c² + y²/3c² = 1，解得 y² = 3c²/4，y = ±√3 c/2
截得的线段长：
2・√3 c/2 = √3 c = √3，所以 c = 1
a² = 4，b² = 3，方程为：
x²/4 + y²/3 = 1
（同类：2025 年用 "斜率 1/3 + 面积 3/2"、2024 年用 "三角形面积"，都是先由 e 得比例、再用一个长度定尺寸，方程分别同为 x²/4+y²/3=1 和 x²/12+y²/9=1。）
四、类型 3：给线段比例，求离心率
例题 4（2022 第 19 题）
椭圆右焦点 F、右顶点 A、上顶点 B，满足 |BF|/|AB| = √3/2，求离心率 e。
解：
由前面的结论，|BF| = a。
|AB| 是右顶点到上顶点的距离：
|AB| = √(a²+b²)
代入比例：
a/√(a²+b²) = √3/2
两边平方：
a²/(a²+b²) = 3/4，即 4a² = 3a²+3b²，得 a² = 3b²
于是 c² = a²−b² = 3b²−b² = 2b²
e² = c²/a² = 2b²/3b² = 2/3
所以：
e = √6/3
【方法小结】
求椭圆方程 / 离心率，两条主线：
表格
三个易错点：
椭圆是 a²=b²+c²（a 最大），别和双曲线记反； 离心率只给比例，必须再找一个长度才能定方程； 顶点到焦点的距离恒等于 a，遇到时直接用，能省很多计算。
【配套练习】
椭圆焦点在 x 轴，e=1/2，短轴长为 2√3，求方程。 已知椭圆满足 a²=2b²，求离心率 e。
解：
b=√3，由 e=1/2 得 a²=4，故 x²/4+y²/3=1。 c²=a²−b²=a²/2，故 e = √2/2。
关于这个合集
「天津高考真题拆解」解析几何部分：
① 方程与离心率（本篇・保分基础） ② 直线与椭圆 ③ 切线与几何性质 ④ 斜率、定点与定值
建议关注公众号、点开合集按顺序看。
下期预告
下一篇讲直线与椭圆：联立方程后，怎么用韦达定理处理弦长、交点问题，这是解几大题第 (2) 问的核心动作。
往期回顾
天津高考真题拆解篇｜数列不等式：放缩 + 先猜后证
天津耀华学长数学，公众号：天津耀华学长数学天津高考真题拆解篇｜数列不等式：放缩 + 先猜后证
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作者 | 耀华学长
深耕天津高中数学培优 | 强基计划升学规划
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