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中考总复习第38讲:二次函数与几何综合

发布时间：2026-11-06 15:27:08 最近访问：2026-11-06 15:27:09

中考总复习第38讲:二次函数与几何综合

二次函数与几何综合，是中考压轴题的常客。题目年年换图形，抓手就三个：面积、最值、存在性。

核心：设坐标，用解析式表示线段与面积，再列方程或配方

一抛物线中的面积

抛物线背景下的三角形，硬算坐标容易崩。通用办法是拆成水平宽与铅直高，计算量立刻减半。

抛物线中的面积：过上两点作水平线，第三点作铅直高，S = 1/2 × 水平宽 × 铅直高

S = 1/2 × 水平宽 × 铅直高。水平宽 = 两端点横坐标之差；铅直高 = 第三点到这条水平线的距离。

更直接的一招：三点横坐标 x1、x2、x3 从小到大，面积有现成结论——

S = |a| × (x2 − x1) × (x3 − x2) × (x3 − x1) ÷ 2，a 为二次项系数。

例：抛物线 y = −x² + 4x − 3 交 x 轴于 A(1, 0)、B(3, 0)，顶点 C(2, 1)。△ABC 面积 = 1/2 × 2 × 1 = 1。

再用公式验证：a = −1，x1 = 1、x2 = 2、x3 = 3，S = 1 × 1 × 1 × 2 ÷ 2 = 1。两种算法对上了。

二抛物线与最值

最值分两类。一类是线段和、周长最小，用轴对称——将军饮马；一类是面积最值，把面积写成二次函数，配方或看顶点。

抛物线与最值：对称轴与动点；压轴三件套——面积、最值、存在性

线段和最小：作对称点，化折线为直线，依据是两点之间线段最短。

例：y = x² − 2x − 3，0 ≤ x ≤ 3。配方得 y = (x − 1)² − 4，对称轴 x = 1 在范围内，最小值 −4；端点 x = 3 时 y = 0，为最大值。

提醒：带范围的最值，对称轴和两端点都要算，只盯顶点容易丢最大值。

三比值型最值（斜线段比）

压轴题里还常出现“两条斜线段的比”求最值：比如比较两个共顶点三角形的面积比，或比较 PA 与 PB 的比。核心不是硬算长度，而是把斜线段比转化为共线线段比，或借相似转化为竖直 / 水平线段比。

斜线段比的最值：△PEM 与 △PEN 共用高 PE，底边 EM、EN 共线于 y=x，面积比 = 底边比

共高原理：两个三角形若共用一条高，且底边落在同一直线上，则面积比 = 底边之比。本图中 S△PEM : S△PEN = EM : EN，斜线段比直接变成直线上的线段比。

更一般的套路：当两条线段不共线时，过端点作平行线构造相似，把“斜线段比”换成“竖直（或水平）线段比”，后者用坐标差即可表达，再配方求最值。

例：抛物线 y = x² − 4x 与直线 y = x 交于 M(0,0)、N(5,5)。取顶点 P(2, −4)，向 y = x 作垂线，垂足 E(−1, −1)。则 EM = √2，EN = 6√2，S△PEM : S△PEN = 1 : 6。

易错点：若问“比值最大”，必须限定 P 不跑到 M、N 处——否则其中一个三角形退化、比值在端点发散，没有有限最大值。

若把 P 限定在 0 ≤ t ≤ 5 的弧上求 S△PEM 的最大值，由 S = |t(t − 3)·t(5 − t)| ÷ 4，可知在 t = 4（P(4,0)）时取到最大值 4。

四存在性问题

存在性问题三步走：设坐标（一般只设一个参数 t）→ 用解析式表示线段或面积 → 列方程，解完必须检验。

常考四类：等腰三角形（三边两两相等，分三类讨论）；直角三角形（勾股定理，或两垂直边斜率乘积为 −1，或直径对直角）；平行四边形（对角线互相平分，两组对点坐标和相等）；菱形（先凑平行四边形，再令邻边相等）。

存在性通用套路：设坐标 → 表示 → 列方程 → 解后检验（剔除使图形退化的根）。

五四道母题

母题一　抛物线中的面积

抛物线 y = x² − 2x − 3 交 x 轴于 A(−1, 0)、B(3, 0)。抛物线上是否存在点 P，使 S△PAB = 8？

AB = 4 且在 x 轴上，S = 1/2 × 4 × |y| = 2|y| = 8，得 |y| = 4。y = −4：顶点 C(1, −4)，算一个；y = 4：x² − 2x − 3 = 4，解得 x = 1 ± 2√2。答案：三个点——C(1, −4)、(1 + 2√2, 4)、(1 − 2√2, 4)。

母题二　含范围的最值

抛物线 y = x² − 2x − 3，当 −1 ≤ x ≤ 2 时，求 y 的最值。

配方：y = (x − 1)² − 4，对称轴 x = 1 在范围内，最小值 −4。两端点：x = −1 时 y = 0，x = 2 时 y = −3，最大值 0。教训：有范围的最值，对称轴和两端点都要看。

母题三　直角三角形存在性

抛物线 y = x² − 2x − 3 交 x 轴于 A(−1, 0)、B(3, 0)。抛物线上是否存在点 P，使 △PAB 是直角三角形？

直角只可能在 P（在 A、B 处三角形退化）。直径对直角：P 在以 AB 为直径的圆上，即 (x − 1)² + y² = 4。令 u = (x − 1)²，则 y = u − 4，代入得 u² − 7u + 12 = 0，u = 3 或 4。u = 4 对应 y = 0，P 与 A、B 重合，舍去；u = 3 对应 y = −1，x = 1 ± √3。所以存在：P(1 + √3, −1) 和 P(1 − √3, −1)。

母题四　斜线段比最值

抛物线 y = x² − 4x 与直线 y = x 交于 M(0,0)、N(5,5)。P 为抛物线上一动点，过 P 作 y = x 的垂线，垂足为 E。求 S△PEM : S△PEN 的表达式，并说明它能否取得最大值。

共高：S△PEM 与 S△PEN 同以 PE 为高，底边 EM、EN 都在 y = x 上，故 S△PEM : S△PEN = EM : EN。设 P(t, t² − 4t)，垂足 E((t² − 3t)/2, (t² − 3t)/2)。EM = |t² − 3t| / √2，EN = |10 − t² + 3t| / √2，比值 = |t² − 3t| : |10 − t² + 3t|。P 趋近 M 或 N 时分子 / 分母趋零，比值发散，不存在有限最大值；只有限定 P 在不过端点的闭弧上，才谈得上最值。

六练习

练习1：抛物线 y = −x² + 4x − 3 与 x 轴的交点 A、B 及顶点 C，求 △ABC 的面积。

练习2：y = x² − 2x − 3，−1 ≤ x ≤ 2，求 y 的最值。

练习3：面积公式 S = |a|(x2 − x1)(x3 − x2)(x3 − x1) ÷ 2 中，a 指什么？

练习4：存在性问题的三步走是什么？

练习5：沿用母题四的图，若限定 P 在 0 ≤ t ≤ 5 的弧上，求 S△PEM 的最大值。

练习答案

1. A(1, 0)、B(3, 0)、C(2, 1)，S = 1/2 × 2 × 1 = 1。2. 最小值 −4（x = 1），最大值 0（x = −1）。3. 二次项系数。4. 设坐标 → 用解析式表示 → 列方程并检验。5. 最大值为 4，在 P(4, 0) 处取得（S = |t(t − 3)·t(5 − t)| ÷ 4 的最大值）。

二次函数综合一句话：面积拆宽与高，最值看对称轴与配方，存在性设坐标列方程，比值型用共高与相似转化——下一讲总复习收官，讲压轴题的时间分配与抢分策略。